课时梯级训练(12) 构造法求数列通项公式问题(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(12)　构造法求数列通项公式问题 1．数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则是这个数列的 (　　) A．第100项 B．第101项 C．第102项 D．第103项 A　解析：由an＋1＝(n∈N*)，得＝＝＋2，则＝＋2(n－1)＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴an＝.令an＝＝，得n＝100.故选A. 2．在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an＋1，则{an}的通项公式为 (　　) A．an＝2n－1 B．an＝2n C．an＝2n＋1 D．an＝2n+1 A　解析：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)， 由a1＝1，得a1＋1＝2，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1＝2·2n-1＝2n，即an＝2n－1. 3．(2024·大连高二阶段练习)已知数列{an}满足(n＋1)an＋1－(n＋2)an＝(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，a2＝3，则a2 025＝ (　　) A．2 024 B．2 025 C．2 0242－1 D．2 0252－1 D　解析：由(n＋1)an＋1－(n＋2)an＝(n＋1)(n＋2)得－＝1， 所以{}是首项为，公差为1的等差数列，又＝1， 所以＝＋(2 025－2)×1＝2 024，则a2 025＝(2 025－1)(2 025＋1)＝2 0252－1. 4．(多选)(2024·金昌高二段考)某高中通过甲、乙两家餐厅给1 920名学生提供午餐，通过调查发现，开学后第一天有的学生到甲餐厅就餐，剩余的学生到乙餐厅就餐，从第二天起，在前一天选择甲餐厅就餐的学生中，次日会有的学生继续选择甲餐厅，在前一天选择乙餐厅就餐的学生中，次日会有的学生选择甲餐厅．设开学后第n天选择甲餐厅就餐的学生比例为an，则 (　　) A．an＝an－1＋(n≥2) B．{an－}是等比数列 C．第100天选择甲餐厅就餐的学生比例约为 D．开学后第一个星期(7天)中在甲餐厅就过餐的有5 750人 ABD　解析：依题意，当n≥2时，an＝an－1＋(1－an－1)＝an－1＋，A正确； 当n≥2时，an－＝(an－1－)，又a1＝，即a1－＝， 因此数列{an－}是以为首项，为公比的等比数列，B正确； 显然an－＝·()n-1，即an＝＋·()n-1，则a100＝＋×()99≈，C错误； 显然a1＋a2＋a3＋…＋a7＝＋×[1＋＋()2＋…＋()6]＝， 所以开学后第一个星期(7天)中在甲餐厅就过餐的有1 920×＝5 750(人)，D正确． 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，若4Sn＝(2n－1)·an＋1＋1(n∈N*)，且a1＝1. (1)求证：数列{}是常数列； (2)求数列{an}的通项公式． (1)证明：令n＝1，则a2＝4S1－1＝3； 令n＝2，则3a3＝4S2－1＝15，所以a3＝5. ∵4Sn＝(2n－1)an＋1＋1，∴当n≥2时，4Sn－1＝(2n－3)an＋1， 两式相减得(2n＋1)an＝(2n－1)an＋1. 故＝，且＝＝＝1， 所以数列{}是常数列． (2)解：由(1)知＝＝1，所以an＝2n－1. 6．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，3Sn＝an＋1－2n+2＋2(n∈N*). (1)当 n∈N*时，写出an＋1与an之间的递推关系； (2)求{an}的通项公式． 解：(1)因为3Sn＝an＋1－2n+2＋2，① 所以当n≥2时，3Sn－1＝an－2n+1＋2.② ①－②得3an＝an＋1－an－2n+1(n≥2)， 即an＋1＝4an＋2n+1 (n≥2). 在①中，令n＝1得a2＝3a1＋23－2＝12＝4a1＋22，符合上式． 所以an＋1＝4an＋2n+1. (2)因为an＋1＝4an＋2n+1，所以an＋1＋2n+1＝4(an＋2n)，且a1＋2＝4≠0， 所以数列{an＋2n}是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以an＋2n＝4n，故an＝4n－2n. 7．数列{an}中，已知an＝3an－1＋2·qn (n∈N*，n≥2)，其中q是非零常数． (1)若q＝5，a1≠25，求证：数列{an－5n+1}是等比数列； (2)若q＝3，a1＝3，求{an}的通项公式． (1)证明：由q＝5得，an＝3an－1＋2·5n(n∈N*，n≥2)， 所以an－5n+1＝3an－1－3·5n＝3(an－1－5n)， 即＝3. 因为a1≠25，所以a1－52＝a1－25≠0， 所以数列{an－5n+1}是公比为3的等比数列． (2)解：当q＝3时，an＝3an－1＋2·3n(n∈N*，n≥2).由an＝3an－1＋2·3n，得＝＋2，即－＝2(n∈N*，n≥2). 又＝1，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，即an＝(2n－1)·3n. 8．(2025·重庆高二月考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则满足an>的n的最大值为 (　　) A．7 B．8 C．9 D．10 C　解析：因为an＋1＝，所以＝4＋，所以－＝4.又＝1， 所以数列是以1为首项，4为公差的等差数列． 所以＝1＋4(n－1)＝4n－3，所以an＝.由an>，即>，即0<4n－3<37，解得<n<10.因为n为正整数，所以n的最大值为9，故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $$