课时梯级训练(11) 等比数列前n项和的实际应用(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(11)　等比数列前n项和的实际应用 1．现有一根4 m长的木头，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木头的，到第n天时，共截掉了 m，则n＝ (　　) A．5 B．6 C．7 D．8 B　解析：设第n天截掉的木头长度为an，则{an}是首项为2，公比为的等比数列， 则该等比数列的前n项和Sn＝＝4－()n-2. 由Sn＝4－()n-2＝，得()n-2＝，得n＝6. 2．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这个女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，则该女子所需的天数至少为 (　　) A．10 B．9 C．8 D．7 C　解析：设该女子第一天织布x尺，则＝5，解得x＝，所以前n天织布的尺数为(2n－1).由(2n－1)≥30，得2n≥187，解得n的最小值为8. 3．云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成一个数列{an}，则log2(a3a5)的值为 (　　) A．8 B．10 C．12 D．16 C　解析：从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}， 则{an}是以2为公比的等比数列， ∴S7＝＝1 016，127a1＝1 016，解得a1＝8，所以an＝8×2n-1， ∴log2(a3·a5)＝log2(8×22×8×24)＝12. 4．中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，现打算在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1 533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂________盏灯笼． 答案：3　解析：依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列{an}(n∈N*，n≤9)，公比q＝2，前9项和为1 533，于是得S9＝＝1 533，解得a1＝3，所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼． 5．如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形……如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________． 答案：　解析：由题意，得正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列．现已知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n-1＝1 023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为×()9＝. 6．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，求每年应偿还的金额． 解：设每年应偿还x万元，则x[(1＋γ)4＋(1＋γ)3＋…＋1]＝a(1＋γ)5，∴x·＝a(1＋γ)5，故x＝(万元). 7．某家用电器一件现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月开始还款，每月还款一次，共还12次，购买后一年还清，月利率为0.8%.按复利计算，那么每期应付款多少？(参考数据：1.00812≈1.1) 解：设每期应还款x元，则第1期还款到最后一次还款时的本息和为x(1＋0.008)11，第2期还款到最后一次还款时的本息和为x(1＋0.008)10……第12期还款没有利息，所以各期还款连同利息之和为 x(1＋0.008)11＋x(1＋0.008)10＋…＋x＝x. 又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812， 于是有x＝2 000×1.00812， 解得x＝≈176(元). 所以每期应还款176元． 8．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2025年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%. (1)以2025年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式． (2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区稀土资源的出口，问2025年最多出口多少吨？(结果保留一位小数，参考数据：0.910≈0.35) 解：(1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a·0.9n-1(n≥1). (2)10年的出口总量S10＝＝10a(1－0.910). ∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，即a≤， ∴a≤12.3，故2025年最多出口12.3吨． 9．(2025·深圳高二期中)计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”．如(1101)2表示二进制的数，将它转换成十进制数的形式是1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，那么将二进制数转换成十进制数的形式是 (　　) A.217－2 B．216－1 C．216－2 D．215－1 D　解析：二进制数转换成十进制数的形式是 1×214＋1×213＋…＋1×21＋1×20＝1×＝215－1. 10．(2024·上海杨浦高二阶段练习)我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”描述的问题是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则两鼠相遇的天数为 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　解析：设n天后能打穿，则＋≥5，化简为2n－－4≥0. 令f(n)＝2n－－4，则f(2)＝－<0，f(3)＝8－－4>0，又由函数的单调性可知f(n)＝2n－－4在(2，3)内有唯一零点，所以至少需要3天．故选C. 11．(2024·马鞍山高二期中)如图，第一个正六边形A1B1C1D1E1F1的面积是1，取正六边形A1B1C1D1E1F1各边的中点A2，B2，C2，D2，E2，F2，作第二个正六边形A2B2C2D2E2F2，然后取正六边形A2B2C2D2E2F2各边的中点A3，B3，C3，D3，E3，F3，作第三个正六边形，依此方法一直继续下去，则前n个正六边形的面积之和为________． 答案：4[1－()n]　解析：由题设知，后一个正六边形与前一个正六边形的边长比值为，故它们面积比为，所以前n个正六边形的面积是首项为1，公比为的等比数列， 所以前n个正六边形的面积之和S＝＝4[1－()n]. 12．(2025·杭州高二检测)一航模小组进行飞机模型实验，飞机模型在第一分钟时间里上升了15米高度． (1)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟里，上升的高度都比它前一分钟上升的高度少2米，达到最大高度后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度是多少？ (2)若通过动力控制系统，使得飞机模型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一分钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型上升的最大高度能超过75米吗？请说明理由． 解：(1)由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成a1＝15，d＝－2的等差数列，则 Sn＝na1＋d＝15n＋×(－2)＝－n2＋16n， 当n＝8时，(Sn)max＝S8＝64， 即飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64米． (2)不能超过． 由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成b1＝15，q＝0.8的等比数列， 则Sn＝＝＝75(1－0.8n)<75， 所以这个飞机模型上升的最大高度不能超过75米． 13．某地响应号召，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2021年投入1 000万元，以后每年投入将比上一年减少，当地2021年度旅游业收入约为500万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加. (1)设n年内(2021年为第一年)总投入为Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，写出Sn，Tn的表达式； (2)至少到哪一年，旅游业的总收入才能超过总投入． (参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 5≈0.699 0) 解：(1)2021年投入为1 000万元，第n年投入为1 000×(1－)n-1万元， 所以n年内的总投入为Sn＝1 000＋1 000×(1－)＋…＋1 000×(1－)n-1＝＝5 000×[1－()n]. 2021年收入为500万元，第2年收入为500×(1＋)万元，第n年收入为500×(1＋)n-1万元， 所以n年内的总收入为Tn＝500＋500×(1＋)＋…＋500×(1＋)n-1＝＝2 000×[()n－1]. (2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此Tn－Sn>0， 即2 000×[()n－1]－5 000×[1－()n]>0，化简得5×()n＋2×()n－7>0. 设x＝()n，代入上式并整理得5x2－7x＋2>0， 解此不等式，得x<或x>1(舍去).即()n<， 不等式两边取常用对数可得n lg <lg ，即n>＝≈4.1. 所以n≥5，故至少到2025年旅游业的总收入才能超过总投入． 学科网（北京）股份有限公司 $$