课时梯级训练(10) 等比数列的前n项和公式(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(10)　等比数列的前n项和公式 1．已知数列{an}是等比数列，a2＝1，a5＝－，若Sk＝－，则k＝ (　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　解析：设等比数列{an}的公比为q， 由解得 所以Sk＝＝－，解得k＝5.故选B. 2．(2025·酒泉高二期中)正项递增等比数列{an}，前n项和为Sn，若a2＋a4＝30，a1a5＝81，则S6＝ (　　) A．121 B．364 C．728 D．1 093 B　解析：在正项递增等比数列{an}中，a1a5＝81，所以a2a4＝a1a5＝81， 又a2＋a4＝30，所以或(舍去). 设数列{an}的公比为q(q>0)，则所以所以S6＝＝364. 故选B. 3．等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n-1＋r，则r的值为 (　　) A. B．－ C． D．－ B　解析：当n＝1时，a1＝S1＝3＋r，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n-1－32n-3＝32n-3(32－1)＝8·32n-3＝8·32n-2·3-1＝·9n-1，所以3＋r＝，所以r＝－，故选B. 4．(2025·福建部分达标学校高二期中)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝ (　　) A． B． C． D． B　解析：因为Sn为等比数列{an}的前n项和，所以S3，S6－S3，S9－S6成等比数列， 由＝，得S6＝S3，则＝，所以S9－S6＝S3，所以S9＝S3， 所以＝＝.故选B. 5．已知数列{an}是以b为首项，a为公比的等比数列．设Sn是其前n项和，则对于任意的正整数n，点(Sn，Sn＋1)在 (　　) A．直线y＝ax－b上 B．直线y＝ax＋b上 C．直线y＝bx＋a上 D．以上答案都不对 B　解析：当a＝1时，Sn＝nb，所以Sn＋1＝(n＋1)b，即Sn＋1＝nb＋b＝Sn＋b， 所以点(Sn，Sn＋1)在直线y＝ax＋b上． 当a≠1时，Sn＝，所以Sn＋1＝， 所以aSn＋b＝＋＝＝Sn＋1， 所以点(Sn，Sn＋1)在直线y＝ax＋b上． 综上，点(Sn，Sn＋1)在直线y＝ax＋b上．故选B. 6．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么S10＝____________． 答案：33　解析：根据等比数列的性质得＝q5，∴＝25，∴S10＝33. 7．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝____________． 答案：　解析：设等比数列的公比为q，则an＝a1qn-1＝qn-1.∵a1＝1，S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝，即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－，∴S4＝＝. 8．已知等比数列{an}的公比为q，且有1－q＝3a1，试用q表示{an}的前n项和Sn. 解：当q＝1时，∵3a1＝1－q＝0， ∴a1＝0，与{an}是等比数列矛盾， ∴q≠1，即＝. 又∵等比数列的前n项和公式为 Sn＝＝－·qn＋， ∴Sn＝－qn＋. 9．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和Sn. 解：设数列{an}的公比为q(q≠0). 由已知可得 所以 解②得q＝3或q＝1. 由于a1(q－1)＝2，因此q＝1不合题意，应舍去． 故公比q＝3，首项a1＝1. 所以数列{an}的前n项和 Sn＝＝＝(n∈N*). 10．(2023·天津卷)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为 (　　) A．3 B．18 C．54 D．152 C　解析：由题意可得：当n＝1时，a2＝2a1＋2，即a1q＝2a1＋2，① 当n＝2时，a3＝2(a1＋a2)＋2，即a1q2＝2(a1＋a1q)＋2，② 联立①②可得a1＝2，q＝3，则a4＝a1q3＝54. 11．(多选)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则 (　　) A．{an}为单调递增数列 B．＝9 C．S3 ，S6，S9成等比数列 D．Sn＝2an－a1 BD　解析：由a6＝8a3，可得a3q3＝8a3，则q＝2.当首项a1＜0时，可得{an}为单调递减数列，故A错误；＝＝9，故B正确；假设S3，S6，S9成等比数列，可得S＝S9×S3，即(1－26)2＝(1－23)(1－29)，显然不成立，所以S3，S6，S9不成等比数列，故C错误；由{an}是公比为2的等比数列，可得Sn＝＝＝2an－a1，故D正确． 12．(2025·莆田高二期中)已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an＋1}是公比为2的等比数列．若a1＝0，则S6＝________． 答案：57　解析：根据题意可知{an＋1}是以a1＋1＝1为首项，2为公比的等比数列， 所以an＋1＝2n-1，即an＝2n-1－1， 因此S6＝a1＋a2＋…＋a6＝20－1＋21－1＋…＋26-1－1＝20＋21＋…＋25－6＝－6＝57. 13．(2025·河池高二月考)已知等比数列{an}的公比q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________． 答案：120　解析：因为在等比数列中，若项数为2n，则＝q， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＝90＋×90＝120. 14．(2025·济南高二期中)已知等差数列{an}的前四项和为10，且a2，a3，a7成等比数列． (1)求通项公式an； (2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则4a1＋d＝10，即2a1＋3d＝5. 又a2，a3，a7成等比数列，所以a＝a2a7，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)， 整理得2d2＋3a1d＝0，得d＝0或d＝－a1. 若d＝0，则a1＝，an＝a1＋(n－1)d＝， 若d＝－a1，则2a1－a1＝5，得a1＝－2，d＝3，an＝3n－5. 综上所述，an＝或an＝3n－5. (2)若an＝，则bn＝2＝4，Sn＝4n； 若an＝3n－5，则bn＝23n-5＝，Sn＝·＝. 15．已知数列{an}，其前n项和为Sn，且满足Sn＝2－an，数列{a}的前n项和为Tn.若S＋λTn＞0对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围． 解：显然an≠0，n∈N*.当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，得a1＝1. 当n≥2时，由Sn＝2－an，得Sn－1＝2－an－1. 两式相减，得＝， 所以数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列． 因为＝，所以＝. 又a＝1，所以{a}是以1为首项，为公比的等比数列． 所以Sn＝＝2[1－()n]，Tn＝ ＝[1－()n]. 由S＋λTn＞0，得3(2n－1)＋λ(2n＋1)＞0， 所以－λ＜＝ ＝3－， 所以－λ＜3－＝3－2＝1，所以λ＞－1. 综上，实数λ的取值范围是(－1，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$