第4章 专题提升课(1) 构造法求数列通项公式问题(课件PPT)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数 列 专题提升课(一)　构造法求数列通项公式问题 第四章 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 学习目标 1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法． 2．会用构造法构造等差数列、等比数列解决一些简单的问题． 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 B 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 课时梯级训练(12) 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 谢谢观看 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 专题一：形如an＝pan－1＋pn(n≥2)的递推关系求通项公式 [例1] 已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n(n≥2)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式． 因为an＝2an－1＋2n，等式两边同时除以2n， 得＝＋1，即－＝1，且＝， 所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列， 即＝＋(n－1)×1，所以an＝(n－)×2n. [变式探究] 将本例中“an＝2an－1＋2n”变为“an＝2an－1＋2n+1”，其余不变，求数列{an}的通项公式． 等式两边同时除以2n，得＝＋2，即－＝2，且＝，所以{}是以为首项，以2为公差的等差数列， 所以＝＋(n－1)×2＝2n－，即an＝(2n－)×2n. 形如an＝pan－1＋pn(p≠1，n≥2)的递推关系 求通项公式的一般步骤 第一步：等式两边同除以pn，不管这一项是pn-1或pn+1，都同除以pn，为的是数列的下标和p的指数对应起来； 第二步：写出数列的通项公式； 第三步：写出数列{an}的通项公式． [练1] 已知数列{an}满足an＋1＝3an＋3n(n∈N*)，且a1＝1，则数列{an}的通项公式为________． 答案：an＝n·3n-1 将an＋1＝3an＋3n两边同时除以3n+1，得＝＋，即－＝. 由等差数列的定义知，数列{}是以＝为首项，为公差的等差数列， 所以＝＋(n－1)×＝，故an＝n·3n-1. 专题二：形如an＋1＝pan＋q的递推关系求通项公式 [例2] (2025·衡水高二月考)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋4，求数列{an}的通项公式． 因为an＋1＝3an＋4，设an＋1＋t＝3(an＋t)，即an＋1＝3an＋2t， 根据对应项系数相等可得2t＝4，解得t＝2，故an＋1＋2＝3(an＋2)，a1＋2＝3， 所以{an＋2}是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以an＋2＝3×3n-1＝3n，即an＝3n－2. [变式探究] 将本例中“an＋1＝3an＋4”改为“an＝3an－1＋2(n≥2)”，其余不变，求数列{an}的通项公式． 因为an＝3an－1＋2(n≥2)，所以an＋1＝3(an－1＋1)，又a1＝1，所以a1＋1＝2， 所以数列{an＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以an＋1＝2×3n-1，则an＝2×3n-1－1. 形如an＋1＝pan＋q的递推关系求通项公式的方法 对于形如an＋1＝pan＋q(p≠0且p≠1，q≠0)的递推关系的递推数列，即数列相邻的次数都是一次，尾巴上有一个常数，求此类数列的通项公式，通常采用待定系数法将其转化为an＋1＋k＝p(an＋k)求解． [练2] 已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an－2n＋3，n∈N*，Sn为数列{an}的前n项和，则数列{an}的通项公式为an＝________． 答案：2n＋2n－1　 因为an＋1＝2an－2n＋3，a1＝3， 则an＋1－2(n＋1)＋1＝2(an－2n＋1)，且a1－2＋1＝2≠0， 可知数列{an－2n＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， 则an－2n＋1＝2×2n-1＝2n，即an＝2n＋2n－1. 专题三：形如an＋1＝(A，B，C为常数)的递推关系求通项公式 [例3] 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________． 答案：　 因为an＋1＝，a1＝1，所以an≠0，所以＝＋，即－＝.又a1＝1，则＝1，所以是以1为首项，为公差的等差数列，所以＝＋(n－1)×＝.所以an＝. 形如an＋1＝的递推关系求通项公式的思路 形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解． [练3] (2025·德州高二月考)已知数列{an}的递推公式为an＋1＝，且a1＝1，求数列{an}的通项公式． 因为an＋1＝，且a1＝1，则a2＝>0，…， 以此类推可知，对任意的n∈N*，an>0， 在等式an＋1＝两边取倒数可得＝＝＋1，则－＝1， 所以数列为等差数列，且其首项为＝1，公差为1， ＝1＋(n－1)×1＝n，故对任意的n∈N*，an＝. 1．知识清单 (1)形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式． (2)形如an＋1＝pan＋q的递推关系求通项公式． (3)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的递推关系求通项公式． 2．方法归纳：构造法． 3．常见误区：构造的新数列的首项易误认为还是a1. ◎随堂演练 1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 (　　) A．an＝ B．an＝ C．an＝2n－1 D．an＝－1 ∵an＋1＝(n∈N*)，∴＝＝1＋， ∴＋1＝2(＋1).∵a1＝1，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴＋1＝2n，∴an＝.故选B. 2．已知数列{an}满足＝＋(n≥2)，且a1＝1，求数列{an}的通项公式． 由题意，等式两边同乘2n， 得＝＋1，即－＝1， 所以{}是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，即an＝. $$