课时梯级训练(7) 等差数列前n项和的应用(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(7)　等差数列前n项和的应用 1．(2025·龙岩高二开学考试)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则使Sn最小的n的值为 (　　) A．4 B．5 C．6 D．4或5 D　解析：设等差数列{an}的公差为d，由a2＝－3，S5＝－10， 得解得所以an＝n－5， 令an≥0，解得n≥5，则数列{an}单调递增，且a5＝0， 所以当n＝4或n＝5时，Sn取得最小值．故选D. 2．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁……生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历．”某老年公寓住有19位老人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为一遂，则最年长者的年龄为 (　　) A．71岁 B．72岁 C．89岁 D．90岁 C　解析：设这些老人的年龄构成数列{an}，最年长者的年龄为a1，则由题可知数列{an}是公差为－1的等差数列，且S19＝1 520，则S19＝19a1＋×(－1)＝1 520，解得a1＝89.故最年长者的年龄为89岁． 3．(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，则下列结论中正确的是 (　　) A.d<0 B．S11>0 C．S12<0 D．数列{Sn}中的最大项为S11 AB　解析：∵S6>S7，∴a7<0.∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，A正确．S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，B正确．S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，C不正确．{Sn}中最大项为S6，D不正确． 4．某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则前10年维修费总和为________万元． 答案：300　解析：由题意，从第二年起维修费比上一年增加4万元，即每年的维修费成等差数列．设每年的维修费构成的等差数列为{an}，则an＝12＋4(n－1)＝4n＋8，S10＝10×12＋×10×9×4＝300(万元). 5．已知数列{an}是以3为公差的等差数列，Sn是其前n项和，若S10是数列{Sn}中唯一的最小项，则数列{an}的首项a1的取值范围是________． 答案：(－30，－27)　解析：依题意，得即解得－30<a1<－27. 6．《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织________尺布． 答案：　解析：设该女子织布每天增加d尺，由题意知S30＝30×5＋d＝390，解得d＝.故该女子每天比前一天多织尺布． 7．(2025·苏州高二阶段练习)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40，则数列{|an|}的前20项和为________． 答案：218　解析：设等差数列{an}的公差为d， 由题意可得即解得 ∴an＝－2n＋15，可得当n≤7时，an>0，当n≥8时，an<0， 设数列{|an|}的前20项和为T20， 则T20＝|a1|＋|a2|＋…＋|a20|＝a1＋a2＋…＋a7－a8－a9－…－a20 ＝2(a1＋a2＋…＋a7)－(a1＋a2＋…＋a20) ＝2×(7a1＋d)－(20a1＋d) ＝2×(7×13－2×21)－(20×13－20×19)＝218. 8．(2025·哈尔滨高二期末)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d.由题意，得3a1＋3d＝－15. 由a1＝－7，得d＝2，所以{an}的通项公式为an＝2n－9. (2)由(1)得Sn＝＝n2－8n＝(n－4)2－16. 所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16. 9．已知数列{an}的通项公式为an＝31－3n，求数列{|an|}的前n项和Hn. 解：设{an}的前n项和为Sn. 由an＝31－3n可得Sn＝－n2＋n. 由an≥0，解得n≤≈10.3. 当n≤10时，Hn＝Sn＝－n2＋n； 当n≥11时，Hn＝2S10－Sn＝n2－n＋290. ∴Hn＝ 10．(多选)(2024·吕梁高二期末)已知等差数列{an}的首项a1＝16，公差d＝－4，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，Sn是数列{bn}的前n项和，则以下说法正确的是 (　　) A．bn＝n＋15 B．b29是数列{an}的第8项 C．当n＝17时，Sn最大 D．{}是公差为－1的等差数列 BC　解析：由等差数列{an}的首项a1＝16，公差d＝－4，可得an＝20－4n. 对于选项A，根据题意，可得b1＝16，b5＝a2＝12，所以公差为d′＝＝－1， 所以数列{bn}的通项公式为bn＝b1＋(n－1)d′＝17－n，所以A错误； 对于选项B，由b29＝－12，令an＝20－4n＝－12，解得n＝8，所以B正确； 对于选项C，令bn＝17－n≥0，解得n≤17，所以n＝16或n＝17时，Sn取得最大值，所以C正确； 对于选项D，由Sn＝，可得＝＝－n，所以{}的公差为－，所以D错误． 11．首项为正数的等差数列的前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝____________时，Sn取到最大值． 答案：5或6　解析：∵S3＝S8，∴S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝0，∴a6＝0.∵a1>0，∴a1>a2>a3>a4>a5>a6＝0，a7<0. 故当n＝5或6时，Sn最大． 12．(2025·衡水检测)用分期付款方式购买家用电器一件，价格为2 250元，购买当天支付250元，以后每月这一天都交付100元，并加付欠款利息，月利率为 1%，全部欠款付清后，买这件家电实际付钱________元． 答案：2 460　解析：购买家电当天支付250元，实际欠款2 000元，每月付100元，分20次付清，每次所付欠款的数额依次构成数列{an}， 则有an＝100＋[2 000－100(n－1)]×0.01＝121－n，显然数列{an}是等差数列，n∈N*，n≤20， 因此S20＝＝＝2 210，则S20＋250＝2 460， 所以买这件家电实际共付钱2 460元． 13．(2024·苏州高二期中)已知等差数列{an}的前n(n∈N*)项和为Sn，且a2＝4，S9＝90. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝|9－an|，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 因为S9＝90，所以S9＝＝9a5＝90， 所以a5＝10，由a5－a2＝3d＝10－4＝6，解得d＝2， 又a2＝4，所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n. (2)bn＝|9－an|＝|9－2n|， 设cn＝9－2n，{cn}的前n项和为An，得An＝×n＝8n－n2， 令cn＝9－2n>0，得n<. 当1≤n≤4时，cn>0，即bn＝cn，所以1≤n≤4时，Tn＝An＝8n－n2. 当n≥5时，得cn<0，所以bn＝－cn， 则Tn＝(c1＋c2＋…＋c4)－(c5＋c6＋…＋cn) ＝A4－(An－A4)＝2A4－An＝32－(8n－n2)＝n2－8n＋32， 综上所述，Tn＝ 14．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S3＝－6. (1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn. (2)是否存在正整数n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，请说明理由． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，∵S2＝2，S3＝－6， ∴解得 ∴an＝4＋(n－1)×(－6)＝－6n＋10， ∴Sn＝4n＋×(－6)＝－3n2＋7n. (2)假设存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列， 则2(Sn＋2＋2n)＝Sn＋Sn＋3， ∴2[－3(n＋2)2＋7(n＋2)＋2n]＝－3n2＋7n＋7(n＋3)－3(n＋3)2， 解得n＝5. 故存在正整数n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $$