课时梯级训练(6) 等差数列的前n项和公式(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课时梯级训练(6)　等差数列的前n项和公式 1．(2025·莆田高二检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7＝20，S16＝392，则a13＝ (　　) A．36 B．35 C．42 D．38 D　解析：设等差数列的公差为d，则 解得故a13＝a1＋12d＝2＋12×3＝38. 2．(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝1，则a3＋a7＝ (　　) A． B． C． D． B　解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则通项an＝a1＋(n－1)d，前n项和Sn＝na1＋d.所以a3＋a7＝2(a1＋4d)，S9＝9(a1＋4d)，从而a3＋a7＝S9.再由已知条件S9＝1得a3＋a7＝.故正确选项为B. 3．已知等差数列{an}中，a1＝1，前10项的和等于前5项的和．若am＋a7＝0，则m＝ (　　) A．10 B．9 C．8 D．2 B　解析：设等差数列{an}的公差为d，因为前10项的和等于前5项的和，且am＋a7＝0，a1＝1，则10＋45d＝5＋10d，2＋(m＋5)d＝0，解得m＝9. 4．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝________． 答案：25　解析：设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝2.因为a1＝－2，所以d＝1.所以S10＝10×(－2)＋×1＝25. 5．在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则S12＝________． 答案：9　解析：由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是可求得b3＝S12－S8＝5， 即S12＝S8＋5＝4＋5＝9. 6．(2025·济南高二期中)设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则＝________． 答案：　解析：因为＝，根据等差数列的性质， ＝＝＝＝＝. 7．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 则an＝a1＋(n－1)d. 由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2. 从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n. (2)由(1)可知an＝3－2n， 所以Sn＝＝2n－n2. 由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35， 即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5. 又k∈N*，故k＝7. 8．(2025·沧州高二阶段练习)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且2S6＝a1a2，a6＝a4＋a5. (1)求{an}的通项公式； (2)求使Sn>an成立的n的最小值． 解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0). 因为 所以 解得故an＝3n－9. (2)Sn＝n×(－6)＋×3＝. 因为Sn>an，所以>3n－9，整理可得(n－1)(n－6)>0， 解得n<1或n>6. 因为n为正整数，所以n的最小值为7. 9．已知等差数列{an}共有20项，其偶数项和为200，奇数项和为100，则a8＝ (　　) A．10 B．－10 C．－20 D．20 B　解析：设等差数列{an}的公差为d， 因为数列{an}共有20项，其偶数项和为200，奇数项和为100， 可得S偶－S奇＝10d＝200－100，解得d＝10， 所以奇数项的和为10a1＋×20＝100，解得a1＝－80，故a8＝－80＋7d＝－10. 10．(多选)(2025·阜阳高二阶段练习)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且S9＝S10<S11，则 (　　) A．a10＝0 B．d>0 C．S8<S9 D．S17<0 ABD　解析：∵S9＝S10<S11，∴a10＝S10－S9＝0，a11＝S11－S10>0， ∴d＝a11－a10>0，故选项A，B正确． ∵a10＝0，d>0，∴a9＝a10－d<0，∴S9－S8＝a9<0，∴S8>S9，故选项C错误． 由等差数列前n项和公式得，S17＝×17＝×17＝17a9<0，故选项D正确． 11．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 017＝S2 025，Sk＝S2 015，则正整数k为________． 答案：2 027　解析：因为等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 017＝S2 025，Sk＝S2 015，可得＝，解得k＝2 027. 12．(2025·菏泽高二月考)已知Sn是等差数列{an}的前n项和． (1)证明{}是等差数列； (2)设Tn为数列{}的前n项和，若S4＝12，S8＝40，求Tn. (1)证明：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋×d， 所以＝a1，＝a1＋×d＝n＋(a1－)， 当n≥2时，－＝d，所以{}是首项为a1，公差为的等差数列． (2)解：由(1)的结论得{}是等差数列，且＝3，＝5， 故{}这个数列的公差是＝， 则＝＋3×，得＝，所以数列{}是首项为，公差为的等差数列， 所以Tn＝n＋×＝. 13．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝λan－1(λ为常数，n＝1，2，3，…). (1)若a3＝a，求λ的值． (2)是否存在实数λ，使得数列{an}是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)因为Sn＝λan－1， 所以a1＝λa1－1，a2＋a1＝λa2－1，a3＋a2＋a1＝λa3－1. 由a1＝λa1－1，可知λ≠1， 所以a1＝，a2＝，a3＝. 因为a3＝a，所以＝，解得λ＝0或λ＝2. (2)假设存在实数λ，使得数列{an}是等差数列， 则2a2＝a1＋a3， 由(1)可得＝＋， 所以＝＝＋，即＝0， 显然不成立，所以不存在实数λ，使得数列{an}是等差数列． 学科网（北京）股份有限公司 $$