4.3.2 第1课时 等差数列前n项和的应用(课件PPT)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数 列 4．3　等比数列 4.3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和公式 第四章 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 学习目标 1.探索并掌握等比数列前n项和公式． 2．理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系． 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 C 2 8 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 D 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 A 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 D 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 C 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 A 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 课时梯级训练(10) 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 谢谢观看 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 知识点一　等比数列的前n项和公式 等比数列的前n项和公式 1．一般地，使用等比数列求和公式时需注意： (1)一定不要忽略q＝1的情况． (2)知道首项a1、公比q和项数n，可以用Sn＝；知道首尾两项a1，an和q，可以用Sn＝. (3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个． 2．两种思想：关于等比数列前n项和公式的基本运算，多运用方程的思想，解决两个基本量：首项a1和公比q，从而求出通项公式．同时此类问题在求解中经常使用整体代换的思想． 3．等比数列前n项和公式的推导过程，体现的是“错位相减”的方法． [例1] 在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5； (3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. (1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意知 解得或 从而Sn＝×5n+1－或Sn＝. (2)方法一　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意知解得 则S5＝＝. 方法二　由(a1＋a3)q3＝a4＋a6，得q3＝，从而q＝. 因为a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10， 所以a1＝8，则S5＝＝. (3)因为a2an－1＝a1an＝128， 所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的两根， 可得或 又Sn＝＝126，所以q的值为2或. 等比数列前n项和的运算技巧 (1)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． (2)在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解． [练1] (2024·天津卷改编)已知数列{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn，若a1＝1，S2＝a3－1，则数列{an}的前n项和Sn＝________. 答案：2n－1 设等比数列{an}的公比为q(q>0)，则1＋q＝q2－1，得q＝2或q＝－1(舍去). 所以Sn＝＝2n－1. [练2] (2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________． 答案：－　 由8S6＝7S3，可知数列{an}的公比q≠1， 所以8·＝7·， 即8·(1－q6)＝7·(1－q3)，即8·(1＋q3)＝7， 解得q＝－. 知识点二　等比数列前n项和的性质 等比数列前n项和的有关性质 　(1)等比数列{an}中，若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(其中Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…均不为0). (3)数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇒数列{an}为等比数列． (3)数列{an}的前n项和Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇒数列{an}为等比数列． [例2] (1)(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝ (　　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 (2)一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，则此数列的公比为________，项数为________． (1)方法一　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，则化简整理得所以S8＝＝×(1－44)＝－85. 方法二　易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝.当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；当S2＝时，结合S4＝－5得化简可得q2＝－5，不成立，舍去．所以S8＝－85. 85. (2)设数列为{an}，其公比为q，项数为2n，由等比数列前n项和的有关性质可得＝q，得q＝2，所以＝85，4n＝256，故得n＝4，故项数为8. 运用等比数列前n项和性质解题的策略 (1)牢记并熟练运用等比数列及其前n项和的性质是基础． (2)运用方程思想、整体思想是解题的关键． [练3] (2024·烟台高二期末)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝λ－2n+1，则λ＝ (　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 方法一　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－2n+1＋λ)－(－2n＋λ)＝－2n， 又a1＝S1＝λ－4，数列{an}为等比数列，所以＝，即＝，解得λ＝2. 方法二　因为等比数列{an}的前n项和Sn＝λ－2n+1＝λ－2×2n，所以λ＋(－2)＝0， 所以λ＝2. [练4] 已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为 (　　) A．5 B．7 C．9 D．11 根据题意，数列{an}为等比数列，设公比为q，则由数列{an}的奇数项之和为21，偶数项之和为10，得q＝＝2， 故Sn＝21＋10＝，即2n－1＝31，解得n＝5. 1．知识清单 (1)等比数列前n项和及其计算公式． (2)等比数列前n项和的性质及应用． 2．方法归纳：函数与方程思想、整体思想． 3．常见误区：利用求和公式求和时易漏掉对公比是否为1进行讨论而致错． ◎随堂演练 1．首项为a的数列{an}既是等差数列，又是等比数列，则这个数列的前n项和Sn为 (　　) A．an-1 B．an C．(n－1)a D．na 既是等差数列又是等比数列的数列为常数列． 2．等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn等于 (　　) A． B． C． D． 当x＝1时，Sn＝n；当x≠1且x≠0时，Sn＝. 3．(2024·苏州高二检测)已知等比数列{an}的前n项和为45，前2n项和为60，则其前3n项和为 (　　) A．65 B．80 C．90 D．105 设数列{an}的前n项和为Sn，由等比数列的性质得Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．Sn＝45，S2n＝60，故45，60－45，S3n－60成等比数列， 故(60－45)2＝45(S3n－60)，解得S3n＝65. $$