4.1 第1课时 函数的极值(课件PPT)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

数 列 4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与表示 第四章 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 学习目标 1.借助实例了解数列的相关概念和表示方法． 2．理解数列的通项公式，能利用数列的通项公式解决简单的问题． 3．了解数列是一种特殊函数，能根据数列的前几项写出数列的通项公式． 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 距离/天 文单位 行星 水星 金星 地球 火星 ？ 木星 土星 ？ ？ 实验 距离 0.39 0.72 1.0 1.52 ？ 5.2 9.5 ？ ？ 计算 距离 0.4 0.7 1.0 1.6 2.8 5.2 10.0 19.6 … 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 定义 按照__________排列的一列数称为数列 有关概念 项 数列中的________叫做这个数列的项 第n项 第n个位置上的数 首项 数列的______也叫做首项 确定的顺序 每一个数 第1项 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 类别 含义 有穷数列 项数____的数列 无穷数列 项数____的数列 有限 {an} 无限 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 大于 小于 相等 类别 含义 递增 数列 从第2项起，每一项都____它的前一项的数列 递减 数列 从第2项起，每一项都____它的前一项的数列 常数列 各项都____的数列 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 ABD 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 正整数集N* an＝f(n) 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 通项公式 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 AD 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 D 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 A 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 D 随堂演练 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 解 析 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 课时梯级训练(1) 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 谢谢观看 高中数学 选择性必修 第二册 A　 返回导航 知识点一　数列的概念 1766年，普鲁士天文学家提丢斯对下面这列数进行了研究． 3，6，12，24，48，96，192，… 他发现从数字6开始每个数恰好是前一个数的2倍；如果把0加在这一列数的最前面，再在每个数上加上4，然后除以10，就得出另一列数：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，19.6. 进一步，他得到了一张出色的表： 注：1天文单位等于太阳到地球的平均距离，约为149 597 870 km. 表中留下了一些空格.1781年发现的天王星(19.2)，差不多恰好处在定律所预言的轨道(19.6)上．于是，天文学家们开始在距离太阳约为2.8天文单位的区域寻找一个尚未被发现的行星.1801年意大利天文学家皮亚齐果然在这个距离发现了谷神星，它与太阳的近似距离为2.7天文单位，预测偏差约为3.7%. 上面所说的一列数3，6，12，24，48，96，192，…，就是一个数列． 1．数列的定义 2.数列的表示 (1)一般形式：a1，a2，…，an，…； (2)简记为__________． 3．数列的分类 (1)按项数分类 (2)按项的变化趋势分类 数列相关概念的辨析 (1)数列中项与项之间用“，”隔开． (2)数列{an}与an是不同的．{an}表示数列a1，a2，…，an，…，而an表示数列{an}中的第n项． (3)数列中的项与项的序号是不同的．数列中的项是指这个数列中的某一个确定的数，而项的序号是指这个数在数列中的具体位置． [练1] (多选)下列说法中，不正确的是 (　　) A．数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7} B．数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列a，b，c和数列c，b，a一定不是同一数列 对于A，{1，3，5，7}不表示数列，故A错误； 对于B，数列具有有序性，故B错误； 对于C，数列的项可以相等，故C正确； 对于D，当a＝c时，数列a，b，c和数列c，b，a表示同一数列，故D错误．故选ABD. [练2] 下列数列中哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？ (1)1，0.84，0.842，0.843，…； (2)2，4，6，8，10，…； (3)7，7，7，7，…； (4)，，，，…； (5)10，9，8，7，6，5，4，3，2，1. (5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是常数列． 知识点二　数列与函数的关系、数列的通项公式 数列{an}中的每一项an与它的序号n有下列的对应关系： 问数列与函数有什么关系？ 1．数列与函数的关系 数列{an}是从__________ (或它的有限子集{1，2，…， n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为________． 2．数列的表示方法 与其他函数一样，数列也可以用表格和图象来表示． 数列是以正整数为自变量的特殊函数，在解决数列问题时，要善于利用函数知识、函数观点、函数的思想方法． 3．数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的________． (1)数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式，即an＝f(n).数列的通项公式必须适合数列中的任何一项． (2)已知通项公式an＝f(n)，那么只需依次用1，2，3，…代替公式中的n，就可以求出数列的各项． (3)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝(－1)n(n∈N*)还可以写成an＝(－1)n+2(n∈N*)的形式等． (4)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样． [例1] 写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项为下列各数． (1)1，2，3，4，…； (2)11，102，1 003，10 004，…； (3)9，99，999，9 999，…； (4)－1，，－，，…. (1)这个数列各项的整数部分分别为1，2，3，4，…，恰好是序号n；分数部分分别为，，，，…，与序号n的关系是，所以这个数列的一个通项公式为an＝n＋＝. (2)这个数列可以改写为10＋1，100＋2，1 000＋3，10 000＋4，…，所以这个数列的一个通项公式为an＝10n＋n. (4)可知其分母为n，其分子是－1，1交替出现，故分子可为(－1)n，所以该数列的一个通项公式为an＝. (3)这个数列可以改写为10－1，100－1，1 000－1，10 000－1，…，所以这个数列的一个通项公式为an＝10n－1. 由数列的前几项求通项公式的思路 (1)通过观察、分析、联想、比较，去发现项与序号之间的关系. (2)如果关系不明显，可将各项同时加上(减去)一个数或分解、还原等，将规律呈现，便于找通项公式． (3)要借助一些基本数列的通项，如正整数数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等． (4)符号用(－1)n或(－1)n+1来调整． (5)分式的分子、分母分别找通项，还要充分借助分子、分母的关系． 系． [练3] 根据以下数列的前4项写出数列的一个通项公式． (1)，，，，…； (2)－3，7，－15，31，…； (3)2，6，2，6，…. (1)数列的项均是分数且分子均为1，分母均是两因数的积，第一个因数是项数加上1，第二个因数比第一个因数大2，所以该数列的一个通项公式为an＝. (2)数列的项正负相间，且负号在奇数项，故可用(－1)n来表示符号，各项的绝对值恰是2的整数(项数加1)次幂减1，所以该数列的一个通项公式为an＝(－1)n·(2n+1－1). (3)此数列为摆动数列，两数的平均数为＝4，而2＝4－2，6＝4＋2，中间符号用(－1)n来表示， 所以该数列的一个通项公式为an＝4＋2×(－1)n. [例2] 已知数列{an}的通项公式为an＝. (1)写出数列的前4项； (2)画出它的图象，并判断增减性． (1)由于an＝，令n＝1，2，3，4，可得此数列的前4项分别是a1＝－，a2＝－，a3＝－，a4＝－2. (2)此数列的图象如图所示， 由图象可知，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的． 上也是递减的． [变式探究] 若将本例数列通项公式改为an＝(n∈N*)，试判断数列{an}的增减性；数列{an}有最大项还是有最小项？请作出判断并求出来． an＝＝1＋.当n≤9时，an<1且逐渐减小；当n≥10时，an>1，且逐渐减小．故数列{an}在{1，2，3，…，9}上是递减的，在{10，11，…}上也是递减的．数列{an}有最大项和最小项，其最大项为a10＝，最小项为a9＝. 由通项公式解决问题的思路 (1)由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行赋值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值． (2)判断某数是否为数列的项，只需将此数代入数列的通项公式中，求出n的值．若求出的n为正整数，则该数是数列的项，否则该数不是数列的项． (3)利用作差法或作商法来比较an＋1与an(n∈N*)的大小关系，可判断数列单调性． [练4] 数列{an}的通项公式是an＝(n∈N*). (1)0和1是不是数列{an}中的项？如果是，是第几项？ (2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ (1)若0是{an}中的第n项，则＝0. 因为n∈N*，所以n＝21.所以0是{an}中的第21项． 若1是{an}中的第n项，则＝1， 所以n2－21n＝2，即n2－21n－2＝0. 因为方程n2－21n－2＝0不存在正整数解，所以1不是{an}中的项． (2)假设{an}中存在第m项与第m＋1项相等，即am＝am＋1， ＝，解得m＝10. 故数列{an}中存在连续且相等的两项，即第10项与第11项． 1．知识清单 (1)数列的有关概念． (2)数列的分类． (3)函数与数列的关系． (4)数列的通项公式及其应用． 2．方法归纳：观察、归纳、猜想． 3．常见误区 (1)归纳法求数列的通项公式时归纳不全面． (2)不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系． ◎随堂演练 1．(多选)下列说法正确的是 (　　) A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列0，2，4，6，8，…可简记为{2n} D．数列中的项不能是三角形 根据数列的相关概念，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确；同一个数在数列中可以重复出现，故B错误；当n＝1时，a1＝2≠0，故C错误；数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确． 2．已知数列{an}的通项公式为an＝n2(n∈N*)，则数列{an}的图象是 (　　) A．一条直线 B．一条抛物线 C．一个圆 D．一群孤立的点 因为n∈N*，所以an＝n2的图象是一群孤立的点． 3．已知an＋1－an－3＝0，n∈N*，则数列{an}是 (　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．不能确定 an＋1＝an＋3>an，n∈N*，即该数列每一项均小于它的后一项，故数列{an}是递增数列． 4．(2025·邢台重点高中期中)已知某数列为－2，，－，，－，…，按照这个规律，则该数列的第10项是 (　　) A．－ B． C．－ D． 由题意，数列－2，，－，，－，…，可化为－，，－，，－，…，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n，所以该数列的第10项是a10＝. $$