课时梯级训练(36) 双曲线的简单几何性质的应用(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(36)　双曲线的简单几何性质的应用 1．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点．若|AB|＝2，则该双曲线的方程为(　　) A．x2－y2＝6 B．x2－y2＝9 C．x2－y2＝16 D．x2－y2＝25 B　解析：设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2(a＞0)，又y＝x，∴x2＝a2，∴|AB|＝×a＝2，解得a＝3，x2－y2＝9.故选B． 2．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线仅在右支有一个交点，则此直线斜率的取值范围是(　　) A．(－，) B．(－，) C．[－，] D．[－，] C　解析：由题意知，F(4，0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，当过F点的直线与渐近线平行时，满足与双曲线右支只有一个交点，画出图形(图略)，通过图形可知应选C． 3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为(　　) A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1 A　解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x，由题意得＝2.又双曲线的一个焦点在直线y＝2x＋10上，即－2c＋10＝0，解得c＝5.由 得故双曲线的方程为－＝1. 4．(多选)直线y＝mx＋1与双曲线x2－y2＝1有公共点，则m的取值可能为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 BC　解析：由得(1－m2)x2－2mx－2＝0.由题意知1－m2＝0或解得－≤m≤. 5．已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的左、右支各有一个公共点，则k的取值范围是________________________________________________________________________． 答案：(－1，1)　解析：由⇒(1－k2)x2＋2kx－5＝0.依题意有解得－1<k<1. 6．设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________． 答案：　解析：由题可得a2＝9，b2＝16，故c＝5，∴A(3，0)，F(5，0)，不妨设直线BF的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程解得B(，－)，∴S△AFB＝|AF|·|yB|＝×2×＝. 7．过双曲线－＝1的右焦点F2作倾斜角为45°的弦AB．求： (1)弦AB的中点C到双曲线右焦点F2的距离； (2)弦AB的长． 解：(1)∵双曲线的右焦点为F2(5，0)，∴直线AB的方程为y＝x－5. 由 消去y并整理得7x2＋90x－369＝0.③ 如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1·x2＝－. 设AB的中点C的坐标为(x，y)，则x＝＝－，∵C点的坐标满足方程②， ∴y＝－， ∴|CF2|＝＝. (2)|AB|＝·|x1－x2|＝＝＝. 8．斜率为2的直线l被双曲线－＝1截得的弦长为，求直线l的方程． 解：设直线l的方程为y＝2x＋m， 联立得10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*) 设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 由根与系数的关系，得x1＋x2＝－m，x1x2＝(m2＋2). 于是|AB|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝5(x1－x2)2＝5[(x1＋x2)2－4x1x2]＝5[m2－4×(m2＋2)]. 因为|AB|＝，所以m2－6(m2＋2)＝6. 则m2＝15，m＝±. 由(*)式得Δ＝24m2－240， 把m＝±代入上式，得Δ＞0， 所以m的值为±， 故所求l的方程为y＝2x±. 9．若斜率为的直线与双曲线－＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，) D．(，＋∞) D　解析：因为斜率为的直线与双曲线－＝1恒有两个公共点，所以>，所以e＝＝>.所以双曲线离心率的取值范围是(，＋∞). 10．过双曲线x2－＝1的右焦点F，且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________． 答案：4　解析：由题意可知右焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为y＝±x.将x＝2代入渐近线方程得y＝±2，所以A(2，2)，B(2，－2)，所以|AB|＝4. 11．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)，斜率为1的直线l与双曲线C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P(2，4)，则双曲线的渐近线方程为________________． 答案：y＝±x　解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 两式相减得－＝0， ∴＝，又线段AB的中点为P(2，4)，AB的斜率为1，∴1＝，∴＝，∴渐近线方程为y＝±x. 12．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过其右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长． 解：因为直线l过点F2，且倾斜角为45°，所以直线l的方程为y＝x－2. 代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为x1x2＝－＜0， 所以A，B两点分别位于双曲线的左、右两支上． 因为x1＋x2＝－2，x1x2＝－， 所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝·＝6. 13．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0). (1)求双曲线C的方程； (2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2，其中O为原点，求实数k的取值范围． 解：(1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知得a＝，c＝2.又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1， 故双曲线C的方程为－y2＝1. (2)将y＝kx＋代入－y2＝1中， 得(1－3k2)x2－6kx－9＝0， 由直线l与双曲线交于不同的两点得 即k2≠且k2<1.① 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝. 由·>2得xAxB＋yAyB>2， 而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋) ＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2 ＝(k2＋1)·＋＋2＝， 即>2，解得<k2<3.② 由①②得<k2<1.故实数k的取值范围是(－1，－)∪(，1). 学科网（北京）股份有限公司 $$