课时梯级训练(18) 直线的一般式方程(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(18)　直线的一般式方程 1．(2025·济南高二期中)若直线l的方程为x sin 50°＋y cos 50°＋2 024＝0，则直线l的倾斜角为(　　) A．50° B．130° C．40° D．140° B　解析：设直线的倾斜角为α， 则直线x sin 50°＋y cos 50°＋2 024＝0的斜率为 k＝tan α＝－＝－tan 50°＝tan 130°， 又倾斜角的取值范围为[0，π)，所以直线的倾斜角为α＝130°.故选B． 2．如果Ax＋By＋C＝0表示的直线是y轴，那么系数A，B，C满足的条件是(　　) A．BC＝0 B．A≠0 C．BC＝0，且A≠0 D．A≠0，且B＝C＝0 D　解析：y轴所在直线的方程可表示为x＝0，所以A，B，C满足条件为B＝C＝0，A≠0. 3．若ac<0，bc<0，则直线ax＋by＋c＝0的图形只能是(　　) C　解析：由ac<0，bc<0，∴abc2>0，∴ab>0，∴斜率k＝－<0，又纵截距－>0.故选C． 4．已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则该直线方程为(　　) A．15x－3y－7＝0 B．15x＋3y－7＝0 C．3x－15y－7＝0 D．3x＋15y－7＝0 A　解析：∵A－2B＋3C＝0，即A－B＋C＝0， ∴直线Ax＋By＋C＝0过点(，－)，则直线方程为y＋＝5(x－)，即15x－3y－7＝0. 5．(2025·南通高二期中联考)已知直线l1：ax＋y－2＝0和直线l2：3x－(a＋1)y＋1＝0垂直，则a＝________． 答案：　解析：由题意知直线l1：ax＋y－2＝0和直线l2：3x－(a＋1)y＋1＝0， 故3a＋1×[－(a＋1)]＝0，解得a＝. 6．已知直线mx＋ny＋1＝0平行于4x＋3y＋5＝0，且在y轴上的截距为，则m＋n＝________． 答案：－7　解析：将方程mx＋ny＋1＝0化为斜截式得y＝－x－.由题意得－＝－，且－＝，解得m＝－4，n＝－3.故m＋n＝－7. 7．(2025·济宁高二月考)已知△ABC的三个顶点为A(1，2)，B(－1，2)，C(5，1)，D为BC的中点，AD所在的直线为l. (1)求直线l的一般式方程； (2)若直线l1经过点B，且l1∥l，求l1的方程． 解：(1)由B(－1，2)，C(5，1)，可得BC的中点为D(2，)， 所以直线AD：＝，整理得x＋2y－5＝0，即为直线l的一般式方程． (2)由(1)得直线l的斜率k＝－，结合l1∥l，可知直线l1的斜率也是－. 因为直线l1经过点B(－1，2)，所以l1的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋2y－3＝0. 8．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求实数m的值． (1)在x轴上的截距为1； (2)斜率为1； (3)经过定点P(－1，－1). 解：(1)∵直线过点P′(1，0)，∴m2－2m－3＝2m－6，解得m＝3或m＝1. 又m＝3时，直线l的方程为y＝0，不符合题意，∴m＝1. (2)由斜率为1，得解得m＝. (3)直线过定点P(－1，－1)，则－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6， 解得m＝或m＝－2. 9．已知a≠0，直线ax＋(b＋2)y＋4＝0与直线ax＋(b－2)y－3＝0互相垂直，则ab的最大值为(　　) A．0 B．2 C．4 D． B　解析：由两直线互相垂直知，a2＋(b＋2)(b－2)＝0， 所以a2＋b2＝4.又a2＋b2≥2ab，所以ab≤2， 当且仅当a＝b＝±时，等号成立．所以ab的最大值为2. 10．(多选)(2025·淮安高二期中)关于直线l：ax＋y＋a＝0，以下结论正确的有(　　) A．当a＝1时，直线l在两坐标轴上的截距相等 B．直线l必过第二象限 C．当a<0时，直线l不过第四象限 D．当a>0时，直线l过第二、三、四象限 ACD　解析：对于A，当a＝1时，l的方程化为y＝－x－1，令x＝0得直线l的纵截距为－1， 令y＝0得直线l的横截距为－1，即直线l在两坐标轴上的截距相等，正确； 对于B，当a＝0时，l：y＝0，直线不过第二象限，错误； 对于C，当a<0时，将l的方程化为y＝－ax－a＝－a(x＋1)， 所以不论a为何值，直线l恒过定点(－1，0)，令x＝0得直线l的纵截距为－a>0， 且直线斜率－a>0，所以直线l不过第四象限，正确； 对于D，当a>0时，直线l的斜率－a<0，令x＝0得直线l的纵截距为－a<0， 直线l恒过定点(－1，0)，所以直线l过第二、三、四象限，正确． 故选ACD． 11．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是________． 答案：[，π)　解析：因为k＝－，所以－1≤k<0，所以该直线倾斜角的取值范围是[，π). 12．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是________． 答案：x＋y－5＝0　解析：由x－y＋1＝0得A(－1，0)，P(2，3).又|PA|＝|PB|，所以P为线段AB中垂线上的点，故B(5，0).PB的倾斜角与PA的倾斜角互补，则斜率互为相反数，故PB的斜率kPB＝－1，则方程为y＝－(x－5)，即x＋y－5＝0. 13．(2025·红河州高二月考)已知两条直线l1：ax＋y＋a＋1＝0，l2：2x＋(a－1)y＋3＝0. (1)若l1，l2不重合，且垂直于同一条直线，求实数a的值； (2)从①直线l过坐标原点；②直线l在y轴上的截距为2；③与x轴的交点到坐标原点的距离为4.这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并作答． 若a＝0，直线l与l2垂直，且________，求直线l的方程． 解：(1)∵l1，l2不重合，且垂直于同一条直线，∴l1∥l2， ∴解得a＝－1. (2)∵a＝0，直线l2：2x－y＋3＝0，其斜率为2， 又直线l与l2垂直，∴直线l的斜率为－. 方案一：选条件①.　 由直线l过坐标原点，则直线l的方程为y＝－x，即x＋2y＝0. 方案二：选条件②.　由题意设直线l的方程为x＋2y＋c＝0，令x＝0， 则y＝－，则－＝2，即c＝－4，∴直线l的方程为x＋2y－4＝0. 方案三：选条件③.　 由题意设直线l的方程为x＋2y＋c＝0， 令y＝0，则x＝－c，由|c|＝4，解得c＝±4， ∴直线l的方程为x＋2y±4＝0. 14．直角坐标平面上一机器人在行进中始终保持到两点A(a，0)(其中a∈R)和B(0，1)的距离相等，且机器人也始终接触不到直线l：y＝x＋1，则a的值为________． 答案：1　解析：根据题意可知机器人在线段AB的中垂线上运动，且轨迹与直线l：y＝x＋1平行，由此可得AB⊥l，因此kAB·kl＝－1，即×1＝－1，解得a＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$