课时梯级训练(11) 用空间向量研究距离问题(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(11)　用空间向量研究距离问题 1．已知平面α的一个法向量为n＝(－，，1)，且平面α过原点O，则点M(a，0，a)(a＞0)到平面α的距离为(　　) A．a B．a C．a D．a D　解析：＝(a，0，a)，故点M到平面α的距离d＝＝＝a. 2．若A(2，2，1)，B(0，0，1)，C(2，0，0)，则点A到直线BC的距离为(　　) A． B． C． D． A　解析：＝(2，2，0)，＝(2，0，－1)，则在上的投影向量的模为＝， 则点A到直线BC的距离为＝＝.故选A． 3．(2025·福州高二期中)棱长均为2的正三棱柱ABC­A1B1C1中，顶点C1到平面B1AC的距离是(　　) A． B． C． D． A　解析：取BC中点O，根据正三棱柱的几何特征，以O为坐标原点，分别以，，过点O平行于方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示， 因为正三棱柱的棱长均为2，所以C1(1，0，2)，B1(－1，0，2)，A(0，，0)，C(1，0，0)， 所以＝(1，－，0)，＝(2，0，－2)，设平面B1AC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 所以所以 取y＝1，则x＝，z＝，所以n＝(，1，). 设顶点C1到平面B1AC的距离为d，且C1C＝(0，0，－2)，所以d＝＝＝，故选A． 4．如图，ABCD­EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足＝＋＋，则P到AB的距离为(　　) A． B． C． D． C　解析：如图，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，可作为x，y，z轴方向上的单位向量，＝＋＋，＝(，，)，＝(1，0，0)，·＝，所以点P到AB的距离d＝＝＝. 5．(2025·广州高二期中)已知直线l的一个方向向量为m＝(1，，－1)，若点P(－1，1，－1)为直线l外一点，A(4，1，－2)为直线l上一点，则|AP|＝________；点P到直线l的距离为________． 答案：　　解析：依题意，＝(－5，0，1)，所以||＝＝；|·m|＝6，|m|＝2，点P到直线l的距离d＝＝＝. 6．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则点D1到直线GF的距离为________． 答案：　解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0，0，2)，F(1，1，0)，G(0，2，1)，于是有＝(1，－1，－1)，＝(0，－2，1)，所以||＝＝，||＝，所以点D1到直线GF的距离为＝. 7．如图，在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别是OA，BC，AD的中点．求： (1)直线MN与平面OCD的距离； (2)平面MNR与平面OCD的距离． 解：(1)因为OA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形， 所以以A为坐标原点，AB，AD，AO所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(2，2，0)，D(0，2，0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)，N(2，1，0)，R(0，1，0). 所以＝(2，1，－1)，＝(2，0，0)，＝(0，－2，2). 因为M，R分别为OA，AD的中点，则MR∥OD．因为MR⊄平面OCD，OD⊂平面OCD，所以MR∥平面OCD．因为AD∥BC且AD＝BC，R，N分别为AD，BC的中点，则CN∥RD且CN＝RD，所以四边形CDRN为平行四边形，所以RN∥CD．因为RN⊄平面OCD．CD⊂平面OCD，所以RN∥平面OCD．因为RN∩MR＝R，MR，RN⊂平面MNR，所以平面MNR∥平面OCD．又MN⊂平面MNR，所以MN∥平面OCD． 设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则取y＝1，可得n＝(0，1，1). ＝(0，1，0)，所以直线MN与平面OCD的距离为d1＝＝＝. (2)由(1)得平面MNR∥平面OCD，则平面MNR与平面OCD的距离即为点N到平面OCD的距离，d2＝＝＝. 8．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点． (1)求点M到直线AC1的距离； (2)求点N到平面MA1C1距离． 解：(1)由题意，分别以，，AA1为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)， 直线AC1的一个单位方向向量为s0＝(0，，)，＝(2，0，1)， 故点M到直线AC1的距离 d＝＝ ＝. (2)设平面MA1C1的法向量n＝(x，y，z)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－1)， 则即 不妨取x＝1，得z＝2，故n＝(1，0，2)为平面MA1C1的一个法向量． 因为N(1，1，0)，所以＝(－1，1，－1)， 故N到平面MA1C1的距离d＝＝＝. 9.如图，棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是线段BB1，DD1的中点，记E是线段MC1的中点，则点E到平面ANB1的距离为(　　) A． B． C． D． D　解析：如图，以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系． 则A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，N，M， ＝，＝，＝(0，1，1)，＝(1，0，0)， 设平面ANB1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则令z＝2，则n＝(1，－2，2). 因为·n＝·(1，－2，2)＝－1＋1＝0， 所以⊥n，又MC1⊄平面ANB1，所以MC1∥平面ANB1， 故E与C1到平面ANB1的距离相等． 设点C1到平面ANB1的距离为d， 则d＝＝＝， 故点E到平面ANB1的距离为.故选D． 10．(2025·海南高二期中)已知直线l的方向向量为n＝(3，0，3)，且过点M(1，－1，－1)，则点N(1，1，a)到直线l的距离的最小值为(　　) A．1 B．2 C． D．6 B　解析：＝(0，2，a＋1)，所以点N(1，1，a)到直线l的距离为 ＝ ＝， 所以当a＝－1时，距离有最小值为＝＝2.故选B． 11．(2025·绍兴高二期末)空间直角坐标系中，A(0，0，0)，B(1，1，1)，C(1，0，0)，D(－1，2，1)，其中A∈α，B∈α，C∈β，D∈β.已知平面α∥平面β，则平面α与平面β间的距离为________． 答案：　解析：由已知得＝(1，1，1)，＝(－2，2，1)，＝(1，0，0)，设向量n＝(x，y，z)与向量，都垂直，则即取x＝1，n＝(1，3，－4)，又平面α∥平面β，则平面α与平面β间的距离为d＝＝＝. 12．在底面是直角梯形的四棱锥P­ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________． 答案：　解析：AD到平面PBC的距离等于点A到平面PBC的距离．已知AB，AD，AP两两垂直． 以A为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，则＝(2，0，－2)，＝(0，2，0).设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)， 则即取a＝1，得n＝(1，0，1)，又＝(2，0，0)，所以d＝＝. 13．如图，在四棱锥S­ABCD中，AD∥BC，且AD⊥CD，平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS＝2AD＝2，E为BS的中点，CE＝，AS＝.求点C到平面SAB的距离． 解：因为平面CSD⊥平面ABCD，平面CSD∩平面ABCD＝CD，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面CSD． 又AD∥BC，所以BC⊥平面CSD． 所以△BCS与△ADS均为直角三角形． 在Rt△BCS中，因为E为BS的中点，CE＝， 所以BS＝2，所以BC＝＝2. 在Rt△ADS中，DS＝＝. 如图，以S为原点，以，，为x轴、y轴正方向建立空间直角坐标系， 则S(0，0，0)，C(0，2，0)，B(0，2，2)，A(，0，1)， 所以＝(，0，1)，＝(0，2，2)，＝(0，2，0). 设平面SAB的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则y＝，z＝－. 所以n＝(1，，－)为平面SAB的一个法向量． 所以点C到平面SAB的距离为＝. 14．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1，四边形AEC1F为平行四边形． (1)求BF的长； (2)求点C到平面AEC1F的距离． 解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，设F(0，0，z).因为四边形AEC1F为平行四边形，所以＝，则(－2，0，z)＝(－2，0，2)，解得z＝2. 所以F(0，0，2).所以＝(－2，－4，2). 于是||＝2，即BF的长为2. (2)＝(0，4，1)，＝(－2，0，2)，＝(0，0，3)，设n＝(x，y，z)为平面AEC1F的法向量， 所以，即 令z＝1，则得n＝(1，－，1). 所以C到平面AEC1F的距离为d＝＝＝. 15．如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ABC＝90°，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1.在线段PA上是否存在一点M，使其到平面PCD的距离为？若存在，试确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 解：如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则P(0，0，2)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，所以＝(1，1，－2)，＝(0，2，－2). 假设线段PA上存在点M满足题意， 设M(0，0，z0)，0≤z0≤2，设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则x＝1，y＝1. 所以n＝(1，1，1)为平面PCD的一个法向量． 又＝(0，0，2－z0)， 所以点M到平面PCD的距离d＝＝(2－z0). 由(2－z0)＝，可得z0＝1. 所以点M的坐标为(0，0，1)，此时M为线段PA的中点． 故当M为线段PA的中点时，点M到平面PCD的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $$