课时梯级训练(1) 空间向量及其线性运算(Word练习)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(1)　空间向量及其线性运算 1．下列说法正确的是(　　) A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．若a，b满足|a|>|b|且a，b同向，则a>b C．不相等的两个空间向量的模必不相等 D．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b| D　解析：对于A，向量与有向线段是不同的，常用有向线段表示向量，故错误； 对于B，向量是不能比较大小的，故错误； 对于C，不相等的两个空间向量的模可以相等，故错误； 对于D，若a，b不共线时，设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作一个平行四边形OACB， 如图所示， 由平面向量的加法法则可知＝a＋b，根据三角形中三边关系可得|a＋b|<|a|＋|b|； 若a，b共线且同向时满足|a＋b|＝|a|＋|b|成立； 综上所述，对任意向量a，b，|a＋b|≤|a|＋|b|，故正确． 2．(2025·青岛期中)平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，化简－＋＝(　　) A． B． C． D． B　解析：因为ABCD­A1B1C1D1是平行六面体，如图所示， 所以－＋＝＋－＝＋＝． 3．已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点(　　) A．不共面 B．共面 C．不一定共面 D．无法判断 B　解析：∵＋＋＝1，∴点P，A，B，C四点共面． 4．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．空间四边形 C．等腰梯形 D．矩形 A　解析：∵＋＝＋，∴＝，∴∥且||＝||，∴四边形ABCD为平行四边形． 5．(多选)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AC和BD的交点为O.设＝a，＝b，＝c，则(　　) A．＝b－a B．＝a－b＋c C．＝a＋b＋c D．＝a＋b＋c AC　解析：＝－＝b－a，A项正确；＝＋－＝b＋c－a，B项错误；＝＋＋＝a＋b＋c，C项正确；＝－＝(＋)－＝a＋b－c，D项错误．故选AC． 6．在空间四边形ABCD中，点E，点F分别是AB，CD的中点，则和＋的关系是____________．(填“平行”“相等”或“相反”) 答案：平行　解析：设G是AC的中点，则＝＋＝＋＝(＋)，所以2＝＋，从而∥(＋). 7．在三棱柱ABC­A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________． 答案：－c－a＋b　解析：如图，＝－＝－＝－－(－)＝－c－(a－b)＝－c－a＋b. 8．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简下列各式并在图中标出化简结果． (1)＋＋； (2)＋＋. 解：(1)＋＋＝＋＝. (2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB的中点， ∴＝，＝. ∴＋＋＝＋＋＝. 故所求向量，如图所示． 9．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱AA1的中点，O是面对角线BC1与B1C的交点．试判断向量与、是否共面． 解：根据空间向量的运算法则，可得＝＋＋＝＋＋(－)＝－ ＋＋－＝－， 又由空间向量的共面定理，可得向量与，共面． 10．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点P为空间一点，且满足＝λ＋μ，λ，μ∈[0，1]，则下列说法错误的是(　　) A．当λ＝0时，点P在棱BB1上 B．当λ＝μ时，点P在线段B1C上 C．当μ＝1时，点P在棱B1C1上 D．当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上 B　解析：当λ＝0时，＝μ，又μ∈[0，1]，所以∥， 则点P在棱BB1上，故A正确； 当λ＝μ时，＝λ(＋)＝λ，λ∈[0，1]， 所以点P在线段BC1上，故B错误； 当μ＝1时，＝λ＋，所以B1P＝λ＝λ， 即∥，且λ∈[0，1]，所以点P在棱B1C1上，故C正确； 当λ＋μ＝1时，μ＝1－λ， 所以＝λ＋(1－λ) ，λ∈[0，1]， 即＝λ，所以点P在线段B1C上，故D正确． 11．如图，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量的为(　　) A．＋2＋2 B．－3－2 C．＋3－2 D．＋2－3 C　解析：因为A，B，C，P四点共面，所以可设＝x＋y，即＝＋x＋y，由题图可知x＝3，y＝－2，故选C． 12．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________． 答案：1　解析：∵＝＋＋＝7e1＋(k＋6)e2， 且与共线，故＝x， 即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2， 故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0. 又e1，e2不共线， ∴解得故实数k的值为1. 13．如图，点O为△ABC所在平面外一点，M为BC的中点，若＝λ与＝＋＋同时成立，则实数λ的值为________． 答案：　解析：＝＋＝＋λ＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝(1－λ)＋＋，因为＝＋＋，所以1－λ＝，＝，解得λ＝. 14．如图，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1. (1)求证：A，E，C1，F四点共面； (2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值． (1)证明：因为＝＋＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋ )＝(＋)＋(＋)＝＋， 所以A，E，C1，F四点共面． (2)解：因为＝－＝＋－(＋)＝＋DD1－－BB1＝－＋＋， 所以x＝－1，y＝1，z＝， 所以x＋y＋z＝. 15．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝m＋n，其中m＝1，n∈[0，1]，则三角形AB1P周长的最小值是________． 答案：＋　解析：根据题意，因为＝m＋n＝m＋n，其中m＝1，n∈[0，1]， 所以点P在线段CC1上． 如图所示，沿AA1展开正三棱柱ABC­A1B1C1的侧面， 故三角形AB1P周长为AB1＋AP＋B1P＝＋AP＋B1P≥＋＝＋， 当B1，P，A三点共线时，等号成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$