19第四单元 第4课时　万有引力与宇宙航行-【优化指导】2026年物理一轮复习高中总复习·第1轮（人教浙江专版）

第4课时　万有引力与宇宙航行 目标定位 1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题。2.理解万有引力定律，知道万有引力与重力的关系。3.掌握计算天体质量和密度的方法。 考点一　开普勒行星运动定律 [对应学生用书P69] 名称 内容 图示或公式 开普勒第一定律（轨道定律） 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律（面积定律） 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律（周期定律） 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 1.开普勒定律仅适用于行星绕太阳的运动。 (　×　) 2.行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大。 (　×　) 3.不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。 (　×　) 4.公式＝k中的a可认为是行星的轨道半径。 (　√　) [典例1] （2024·浙江6月卷）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则 (　　) A．小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度 B．小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度 C．小行星甲与乙的运行周期之比≈ D．甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比≈ D　解析：设小行星甲在远日点的速度为v1，在近日点的速度为v2，在极短时间Δt内，由开普勒第二定律可得＝，由于R1＞R，可知v2＞v1，A错误；由牛顿第二定律可得＝ma，可知小行星乙在远日点的加速度大小等于地球公转加速度大小，B错误；小行星甲的半长轴a1＝，小行星乙的半长轴a2＝，由开普勒 第三定律可得＝，所以≈，C错误；甲、乙两星从远日点到近日点的时间均为各自做椭圆运动的半个周期，可得＝≈，D正确。 开普勒定律的三点说明 (1)行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。 (2)由开普勒第二定律可得Δl1r1＝Δl2r2，v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小。 (3)开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只适用于绕同一中心天体做圆周运动的两星体。 考点二　万有引力定律的理解及应用 [对应学生用书P70] 1.内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。 2.表达式 F＝G，G是比例系数，叫作引力常量，G＝6.67×10-11 N·m2/kg2。 3.适用条件 (1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。 1.星体表面及上空的重力加速度（以地球为例） (1)地球表面附近的重力加速度大小g（不考虑地球自转），有mg＝G，得g＝。 (2)地球上空的重力加速度大小g′ 地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度大小为g′，则有mg′＝，得g′＝。所以＝。 2.地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg0。 (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 3.万有引力的“两个推论” (1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F引＝0。 (2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。 考向1 万有引力定律的理解及应用 [典例2] （2024·浙江1月卷）如图所示，2023年12月9日“朱雀二号”运载火箭顺利将“鸿鹄卫星”等三颗卫星送入距离地面约500 km的轨道。取地球质量6.0×1024 kg，地球半径6.4×103 km，引力常量6.67×10-11 N·m2/kg2。下列说法正确的是 (　　) A．火箭的推力是空气施加的 B．卫星的向心加速度大小约为8.4 m/s2 C．卫星运行的周期约为12 h D．发射升空初始阶段，装在火箭上部的卫星处于失重状态 B　解析：根据反冲现象的原理可知，火箭向后喷射燃气的同时，燃气会给火箭施加反作用力，即推力， A错误；根据万有引力定律可知卫星的向心加速度大小为a＝＝≈8.4 m/s2，B正确；卫星运行的周期为T＝2π≈1.6 h，C错误；发射升空初始阶段，火箭加速度方向向上，装在火箭上部的卫星处于超重状态，D错误。 考向2 万有引力与重力的关系 [典例3] （2025·湖州检测）某类地天体可视为质量分布均匀的球体，由于自转，其表面“赤道”处的重力加速度为g1，“极点”处的重力加速度为g2，若已知自转周期为T，则该天体的半径为 (　　) A． B． C． D． C　解析：在“极点”处有mg2＝，在其表面“赤道”处有－mg1＝m（）2R，联立解得R＝，C正确。 考点三　天体质量和密度的估算 [对应学生用书P71] 1.重力加速度法 利用天体表面的重力加速度g和天体半径R求解。 (1)由G＝mg得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2.天体环绕法 利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r求解。 (1)由G＝mr得天体的质量M＝。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 考向1 利用“环绕法”计算天体质量和密度 [典例4] （2024·新课标卷）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的 (　　) A．0.001 B．0.1 C．10倍 D．1 000倍 B　解析：设红矮星质量为M1，行星质量为m1，轨道半径为r1，周期为T1；太阳的质量为M2，地球质量为m2，到太阳距离为r2，周期为T2；根据万有引力定律有G＝m1r1，G＝m2r2，联立可得＝（）3·（）2，由于轨道半径约为日地距离的0.07，周期约为0.06年，可得≈0.1，B正确。 [典例5] （多选）（2024·宁波九校联考）下表是有关地球的一些信息，根据引力常量G和表中的信息能估算的物理量是 (　　) 信息序号 信息内容 ① 地球半径约为6 400 km ② 地表重力加速度约为9.8 m/s2 ③ 地球近地卫星的周期约84 min ④ 地球公转一年约365天 ⑤ 日地距离大约是1.5×108 km A.地球的质量 B．地球的平均密度 C.太阳的平均密度 D．太阳对地球的吸引力 ABD　解析：对地球近地卫星有G＝m，解得M＝，由以上数据可解得地球的质量，A正确；由密度公式ρ＝可得ρ＝＝，由以上数据可解得地球的平均密度，B正确；太阳对地球的吸引力F＝G＝M，可得太阳的质量为M太＝，由于不知道太阳的半径，则不能求出太阳的密度，C错误；在地球表面有G＝mg，可知地球的质量为M＝，由以上数据能够估算太阳对地球的吸引力为F＝，D正确。 考向2 利用“重力加速度法”计算天体质量和密度 [典例6] （2024·辽宁卷）如图甲所示，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如图乙所示（不考虑自转影响）。设地球与该天体的平均密度分别为ρ1和ρ2，地球半径是该天体半径的n倍。的值为 (　　) A．2n B． C． D． C　解析：设地球表面的重力加速度为g，某球状天体表面的重力加速度为g′，弹簧的劲度系数为k，根据简谐运动的对称性有k·4A－mg＝mg，k·2A－mg′＝mg′，可得g＝，g′＝，可得＝2，设某球状天体的半径为R，在星球表面，有G＝mg，G＝mg′，联立可得＝，C正确。 1.从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比约为 (　　) A．9∶1 B．9∶2 C．36∶1 D．72∶1 B　解析：悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小等于它们所受的万有引力，则＝＝··＝9×2×（）2＝，B正确。 2.（2025·温州检测）一颗卫星绕某一行星做匀速圆周运动，其高度恰好与行星半径相等，线速度大小为v。而该行星的环绕周期（即沿行星表面附近飞行的卫星运行的周期）为T。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为 (　　) A． B． C． D． 答案：D 3.（2025·浙江1月卷）地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2，且S1>S2。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6，则彗星 (　　) A．在近日点的速度小于地球的速度 B．从b运行到c的过程中动能先增大后减小 C．从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间 D．在近日点加速度约为地球的加速度的0.36 答案：C 4.（多选）已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1（地球自转周期），一年的时间T2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2。则能计算出 (　　) A.地球的质量m地＝ B．太阳的质量m太＝ C．月球的质量m月＝ D．太阳的平均密度ρ＝ AB　解析：设地球表面的一个物体的质量为m0，有m0g＝，所以地球质量m地＝，A正确；地球绕太阳运动，有＝m地，则m太＝，B正确；月球绕地球运动，能求出地球的质量，无法求出月球的质量，C错误；由于不知道太阳的半径，不能求出太阳的平均密度，D错误。 [课时提升训练(18)见P344] 学科网（北京）股份有限公司 $$