江西省九江市都昌县2024-2025学年八年级 下学期期末数学试卷

2024-2025学年江西省九江市都昌县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2.在代数式，，，，中，属于分式的有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3.下列不等式的变形正确的是（　　） A. 若a＞b,则c+a＜c+b B. 若a＜b,且c≠0，则ac＜bc C. 若a＞b,则ac2＞bc2 D. 若ac2＜bc2，则a＜b 4.如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是(  ) A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm 5.下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（　　） A. a（x+y）=ax+ay B. x2-4x+4=x（x-4）+4 C. 10x2-5x=5x（2x-1） D. x2-16+6x=（x+4）（x-4）+6x 6.如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=8，AB=4，点H、G分别是边CD，BC上的动点.连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF.则EF的最大值与最小值的差为（　　） A. B. C. D. 2 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 7.式子有意义，则实数a的取值范围是______. 8.若关于x的分式方程有增根，则m的值为______. 9.一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，它的边数是______． 10.因式分解：2x2-4x═______． 11.如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC=20°，∠PCB=30°，则∠APB的度数为______. ​​​​​​​ 12.正方形ABCD的边长为3，点P、Q在正方形不同的边上与点A构成等腰三角形，若等腰△APQ的底边长为，则等腰△APQ的腰长是______. 三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(本小题6分) （1）解不等式组； （2）解方程：=1. 14.(本小题6分) 化简：，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式=[+]•… 解：原式=•+•… （1）甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；（填序号） ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律. （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程. 15.(本小题6分) 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．求证：BE=FC． 16.(本小题6分) 图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A在格点上.用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上. （1）在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形. （2）在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形. 17.(本小题6分) 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60得到△AEF，点E落在BC边上，EF与AC交于点G． （1）求证：△ABE是等边三角形； （2）若∠ACB=28°，求∠FGC的度数． 18.(本小题8分) 如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F． （1）求证：AB=AF； （2）若BC=2AB，∠BCD=100°，求∠ABE的度数． 19.(本小题8分) 某服装店用6000元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2800元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元. （1）这两次各购进这种衬衫多少件？ （2）若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于2600元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？ 20.(本小题8分) 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x-y＜0． （1）求k的取值范围； （2）在（1）的条件下，若不等式（2k+1）x-2k＜1的解为x＞1，请写出符合条件的k的整数值． 21.(本小题9分) 如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a,c），C（b,0），且a,b满足（b-16）2+|a-21|=0.一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发，在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动.点P，Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时停止运动，点Q随之停止运动.设运动时间为t秒. （1）求B，C两点的坐标； （2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？请求出此时P，Q两点的坐标. （3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？ 22.(本小题9分) 【阅读材料】形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有着广泛的应用 （1）用配方法因式分解：a2+6a+8 解：原式=a2+6a+9-1 =（a+3）2-1 =（a+3-1）（a+3+1） =（a+2）（a+4） （2）用配方法求代数式a2+6a+8的最小值 解：原式=a2+6a+9-1 =（a+3）2-1 ∵（a+3）2≥0，∴（a+3）2-1≥-1，∴a2+6a+8的最小值为-1 【解决问题】（1）若代数式x2-10x+k是完全平方式，则常数k的值为______， （2）因式分解：a2-12a+32 【拓展应用】（3）用配方法求代数式4x2+4x+5的最小值 23.(本小题12分) 【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于90°的角）与旋转角的关系． 【问题初探】线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD，其中点A与点C对应，点B与点D对应，旋转角的度数为α，且0°＜α＜180°． （1）如图（1）当α=90°时，线段AB、CD所在直线夹角为______； （2）如图（2）当α=60°时，线段AB、CD所在直线夹角为______； （3）如图（3），当90°＜α＜180°时，直线AB与直线CD夹角与旋转角α存在着怎样的数量关系？请说明理由； 【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角______； 【运用拓广】运用所形成的结论求解下面的问题： （4）如图（4），四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠ADC=30°，AB=BC，AD=2，CD=，试求BD的长度． 1.【答案】  【解析】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意， B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意， C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意， D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意， 故选：A． 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：分式有：，+x共有2个． 故选：A． 判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式． 3.【答案】  【解析】解：A．∵a＞b, ∴c+a＞c+b,故本选项不符合题意； B．当c＜0时，由a＜b能推出ac＞bc,故本选项不符合题意； C．当c=0时，由a＜b能推出ac2=bc2，故本选项不符合题意； D．∵ac2＜bc2， ∴不等式的两边都除以c2，得a＜b,故本选项符合题意； 故选：D． 根据不等式的性质逐个判断即可． 本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了线段垂直平分线的性质，注意掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用，属于基础题． 由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，又由AC=5cm，BC=4cm，即可求得△DBC的周长． 【解答】 解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∵AC=5cm，BC=4cm， ∴△DBC的周长是：BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=5+4=9（cm）． 故选D． 5.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了因式分解的意义，这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断． 根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解． 【解答】 解：A、是多项式乘法，故选项错误； B、右边不是积的形式，x2-4x+4=（x-2）2，故选项错误； C、提公因式法，故选项正确； D、右边不是积的形式，故选项错误． 故选：C． 6.【答案】  【解析】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N. ∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°， ∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=4， ∴AM=DM=DC=4， ∴△CDM是等边三角形， ∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC， ∴∠MAC=∠MCA=30°， ∴∠ACD=90°， ∴AC=4， 在Rt△ACN中，AC=4，∠ACN=∠DAC=30°， ∴AN=AC=2， ∵AE=EH，GF=FH， ∴EF=AG， ∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长， ∵AG的最大值为4，最小值为2， ∴EF的最大值为2，最小值为， ∴EF的最大值与最小值的差为2-=． 故选：C． 取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再证明∠ACD=90°，求出AC=4、AN=2；然后由三角形中位线定理，可得EF=AG，最后求出AG的最大值和最小值即可． 本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，正确添加辅助线和证得∠ACD=90是解答本题的关键． 7.【答案】  【解析】解：∵式子有意义， ∴a+1≥0且a-2≠0， 解得：a≥-1且a≠2， 故答案为：a≥-1且a≠2． 根据二次根式有意义和分式的分母不能为0得出a+1≥0且a-2≠0，再求出答案即可． 本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，注意：①式子中a≥0，②分式的分母B≠0． 8.【答案】  【解析】解：方程两边乘以x-3，得2x+1=5（x-3）+m； 当x-3=0时，x=3，即方程的增根为3， 把x=3代入2x+1=5（x-3）+m中，得：2×3+1=5×（3-3）+m, ∴m=7， 故答案为：7． 按解分式方程的步骤把分式方程化为整式方程，根据分母为零确定出增根，并把增根代入整式方程中即可求得m的值． 本题考查了解分式方程，确定方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：∵一个多边形的内角和与外角和的比是4：1， ∴这个多边形的内角和为4×360°=1440°， 设这个多边形的边数是n， 则（n-2）•180°=1440°， 解得：n=10， 即边数为10， 故答案为：10． 设这个多边形的边数是n，先求出多边形的内角和，再根据内角和公式得出关于n的方程，求出方程的解即可． 本题考查了多边形的内角和公式和多边形的外角和定理，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：多边形的外角和等于360°，边数为n的多边形的内角和公式为（n-2）•180°． 10.【答案】  【解析】【分析】 直接提取公因式2x，进而分解因式即可． 此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 【解答】 解：2x2-4x=2x（x-2）． 故答案为：2x（x-2）． 11.【答案】  【解析】解：∵点P为△ABC三边垂直平分线的交点， ∴PA=PC=PB， ∴∠PAC=∠PCA=20°，∠PCB=∠PBC=30°， ∵∠ACB+⊥ABC+∠BAC=180°， ∴∠PCA+∠PCB+∠PAC+∠PBC+∠PAB+∠PBA=180°， ∴∠PAB+∠PBA=80°， ∴∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=100°， 故答案为：100°． 先根据线段垂直平分线的性质可得PA=PC=PB，从而利用等腰三角形的性质可得∠PAC=∠PCA=20°，∠PCB=∠PBC=30°，然后利用三角形内角和定理可得∠PAB+∠PBA=80°，从而再利用三角形内角和定理求出∠APB的度数，即可解答． 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：当P、Q分别在AD、AB上，AP=AQ，△APQ为等腰直角三角形，如图所示： ∵， ∴； 当P、Q分别在CD、BD上，AP=AQ，如图所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AC=BD=CD=3，∠B=∠C=90°， ∴Rt△ABQ≌Rt△ACP， ∴BQ=CP， ∴BD-BQ=CD-CP，即DP=DQ， ∴△DPQ为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴BQ=3-2=1， ∴此时腰长为； 当AP=PQ，点P在CD上，点Q在AB上，过点P作PM⊥AB于点M，如图所示： ∵AP=PQ，PM⊥AB，， ∴， ∵∠AMP=∠CAM=∠C=90°， ∴四边形AMPC为矩形， ∴MP=AC=3， ∴． 综上分析可知：等腰△APQ的腰长是2或或． 故答案为：2或或． 分三种情况进行讨论，当P、Q分别在AD、AB上，AP=AQ，当P、Q分别在CD、BD上，AP=AQ，当AP=PQ，点P在CD上，点Q在AB上，分别画出图形，根据正方形的性质和勾股定理进行求解即可． 本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 13.【答案】  【解析】（1）， 解不等式①得，3x＜x+2， 解得：x＜1， 解不等式②得，2x+4≥x+1， 解得：x≥-3， ∴不等式组的解集为-3≤x＜1； （2）， 2（x-3）+x2=x（x-3）， 2x-6+x2=x2-3x, 解得：， 经检验，是原方程的解． （1）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可． 本题考查了解一元一次不等式组，接分式方程，掌握相应的运算法则是关键． 14.【答案】  【解析】解：（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②；③； （2）若选择甲同学的解法： =[+]• =• =• =2x； 若选择乙同学的解法： =•+• =•+• =x-1+x+1 =2x. （1）根据乘法分配律，以及分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）若选择甲同学的解法：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择乙同学的解法：先利用乘法分配律计算分式的乘法，再算加减，即可解答． 本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 15.【答案】  【解析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法可以证明△DCF和△DEB全等，从而可以证明结论成立． 本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 16.【答案】  【解析】（1）根据平行四边形的判定与性质作图即可． （2）根据平行四边形的判定与性质作图即可． 本题考查作图-应用与设计作图、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． 17.【答案】  【解析】（1）根据全等三角形的判定定理证明． （2）根据旋转性质，结合三角形的外角定理计算． 本题考查旋转性质和等边三角形的判定，充分利用旋转性质是求解本题的关键． 18.【答案】  【解析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，点E为AD的中点，易证得△DEC≌△AEF（AAS），继而可证得DC=AF，又由DC=AB，证得结论； （2）由（1）可知BF=2AB，EF=EC，然后由∠BCD=100°求得BE平分∠CBF，继而求得答案． 此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意证得△DEC≌△AEF与△BCF是等腰三角形是关键． 19.【答案】  【解析】（1）设第一次购进这种衬衫x件，则第二次购进这种衬衫x件，利用进价=进货总价÷进货数量，结合第二批进价每件比第一批降低了10元，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出第一次购进这种衬衫的数量，再将其代入x中，即可求出第二次购进这种衬衫的数量； （2）设第二批衬衫的售价是y元/件，利用总利润=销售单价×购进数量-进货总价，结合总利润不低于2600元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 20.【答案】  【解析】（1）根据题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含k的代数式表示出x-y，再根据x-y＜0，即可求得k的取值范围，本题得以解决． （2）不等式（2k+1）x-2k＜1的解为x＞1，根据不等式得性质得到2k+1＜0，得到k的取值范围，再根据（1）k的范围，求得k最终的取值范围，即可得到答案． 本题考查二元一次方程组的解及解一元一次不等式组，根据数量关系列出一元一次不等式组是解决本题的关键． 21.【答案】  【解析】（1）在平面直角坐标系中，a,b满足（b-16）2+|a-21|=0． 由题意得：， 解得：， ∵AB∥OC，A（0，12），B（a,c），C（b,0）， ∴c=12， ∴B（21，12），C（16，0）； （2）如图1： ∵动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发，在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设运动时间为t秒， ∴AP=2t,QO=t, 则：PB=21-2t,QC=16-t, ∵AB∥OC， ∴当PB=QC时，四边形PQCB是平行四边形， ∴21-2t=16-t, 解得：t=5， 故当t=5时，四边形PQCB是平行四边形， 此时，P点的坐标为P（10，12），Q点的坐标为Q（5，0）； （3）∵△PQC是以PQ为腰的等腰三角形， ∴分两种情况：PQ=CQ或PQ=PC， ①当PQ=CQ时，如图2，过Q作QN⊥AB于N， ∵∠AOQ=∠OAN=∠ANQ=90°， ∴四边形AOQN是矩形， ∴AN=OQ=t,NQ=OA=12， ∴PN=AP-AN=2t-t=t, 在Rt△PQN中，由勾股定理得：PQ2=PN2+NQ2=t2+122， ∵PQ=CQ， ∴PQ2=CQ2，即 122+t2=（16-t）2， 解得：， ②当PQ=PC时，过P作PM⊥x轴于M，如图3， ∴QM=MC， 由题意得：QM=t,CM=16-2t, 则t=16-2t, 解得：， ∴， 综上所述，当或 时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形． （1）根据非负数的性质得出a,b的值进而得出答案； （2）由题意得：AP=2t,QO=t,PB=21-2t,QC=16-t,根据平行四边形的判定可得21-2t=16-t,再解方程即可； （3）①当PQ=CQ时，122+t2=（16-t）2，解方程得到t的值；②当PQ=PC时，由题意得：QM=t,CM=16-2t,进而得到方程：t=16-2t,再解方程即可． 本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形和矩形判定与性质，等腰三角形的性质及勾股定理，解答本题的关键是注意分类讨论，不要漏解． 22.【答案】  【解析】解：（1）∵（x-5）2=x2-10x+25， ∴k=25， 故答案为：25； （2）原式=（a-6）2-4 =（a-6+2）（a-6-2） =（a-4）（a-8）； （3）4x2+4x+5=4x2+4x+1+4=（2x+1）2+4， ∵（2x+1）2≥0， ∴（2x+1）2+4≥4， ∴4x2+4x+5的最小值为4． （1）根据完全平方式的定义计算即可； （2）利用公式法进行因式分解即可； （3）利用配方法将原式变形为（2x+1）2+4，再根据非负数的性质，即可得出结果． 本题考查的是因式分解的应用，非负数的性质，熟练掌握其分解方法是解题的关键． 23.【答案】  【解析】解：（1）如图1，延长DC交AB于F，交BO于E， ∵α=90° ∴∠BOD=90° ∵线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD， ∴AB=CD，OA=OC，BO=DO ∴△AOB≌△COD（SSS） ∴∠B=∠D ∵∠B=∠D，∠OED=∠BEF ∴∠BFE=∠EOD=90° 故答案为：90° （2）如图1，延长DC交AB于F，交BO于E， ∵α=60° ∴∠BOD=60° ∵线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD， ∴AB=CD，OA=OC，BO=DO ∴△AOB≌△COD（SSS） ∴∠B=∠D ∵∠B=∠D，∠OED=∠BEF ∴∠BFE=∠EOD=60° 故答案为：60° （3）直线AB与直线CD所夹锐角角与旋转角α互补， 理由如下： 如图，延长AB，DC交于点E， ∵线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD， ∴AB=CD，OA=OC，BO=DO ∴△AOB≌△COD（SSS） ∴∠ABO=∠D ∵∠ABO+∠EBO=180° ∴∠D+∠EBO=180° ∵∠EBO+∠E+∠D+∠BOD=360° ∴∠E+∠BOD=180° ∴直线AB与直线CD所夹锐角角与旋转角α互补， 【形成结论】 由（1）（2）（3）可知：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补 故答案为：相等或互补 【运用拓广】 （4）如图，将△BCD绕点B顺时针旋转60°，得到△BAF，连接FD， ∴△BCD≌△BAF，∠FBD=60° ∴BF=BD，AF=CD=，∠BDC=∠BFA， ∴△BFD是等边三角形 ∴BF=BD=DF ∵∠ADC=30°， ∴∠ADB+∠BDC=30° ∴∠BFA+∠ADB=30° ∵∠FBD+∠BFA+∠BDA+∠AFD+∠ADF=180° ∴60°+30°+∠AFD+∠ADF=180° ∴∠AFD+∠ADF=90° ∴∠FAD=90° ∴DF== ∴BD= （1）由旋转的性质可得AB=CD，OA=OC，BO=DO，可证△AOB≌△COD，可得∠B=∠D，由三角形内角和定理可求解； （2）由旋转的性质可得AB=CD，OA=OC，BO=DO，可证△AOB≌△COD，可得∠B=∠D，由三角形内角和定理可求解； （3）由旋转的性质可得AB=CD，OA=OC，BO=DO，可证△AOB≌△COD，可得∠B=∠D，由平角的定义和四边形内角和定理可求解； 【形成结论】 由（1）（2）（3）可知对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补 【运用拓广】 （4）将△BCD绕点B顺时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，由旋转的性质可得BF=BD，AF=CD=，∠BDC=∠BFA，由三角形内角和定理可求∠FAD=90°，由勾股定理可求解． 本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$