专题05 五大常考相似模型（压轴题专项训练）数学湘教版九年级上册

专题05 五大常考相似模型 目录 1 类型一、A字型 1 类型二、8字型 6 类型三、母子型 11 类型四、手拉手型 15 类型五、 K字型 24 31 类型一、A字型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1　 　图2 　 图3 （1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. （2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. （3）同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 例1．如图，在中，点分别在上，且． （1）求证：； （2）若点在上，与交于点，求证：． 变式1-1．如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 变式1-2．如图，中，已知，点D、F是分别为垂足，．    (1)求证：； (2)若，直接写出和的周长比． 变式1-3如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 类型二、8字型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 （1）“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. （2）反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. （3）平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论： 例2．如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ） A． B．7 C． D．8 变式2-1．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___． 变式2-2．如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长． 变式2-3．如图所示，延长平行四边形一边至点F，连结交于点E，若 ． (1)若，求线段的长； (2)若的面积为3，求平行四边形的面积． 类型三、母子型 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 例3．如图，在中，平分交于点D，． (1)求证： (2)若，，求的长． 变式3-1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 变式3-2 如图，为等腰直角三角形，，点D、E在线段上，． (1)求证：； (2)若，求的值． 变式3-3 在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长； （2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F． ①求证：∠ABC＝∠EAF； ②求的值． 类型四、手拉手型 “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手相似模型 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；. 例4 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC． （1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC； （2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由． （3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离． 变式4-1 如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M． （1）求证：△MFC∽△MCA； （2）求证△ACF∽△ABE； （3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长． 变式4-2 【发现问题】      （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 变式4-3 （1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值．    类型五、 K字型 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 例5 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE． (1)求证：△ABE∽△ECD； (2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长． 变式5-1 【感知】 如图1，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），，易证：（不要求证明）． 【探究】 如图2，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），． （1）求证：； （2）若，求的长． 【应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E． （3）当是等腰三角形时，直接写出的长 变式5-2 （1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：． （2）探究 若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长． 变式5-3 （1）如图①，在矩形中，E为边上一点，连结过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图②，在中，，，，为边上一点（点不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？    一、解答题 1．如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 2．如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 3．如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 4．已知：在中，为的平分线．求证：．    5．如图，中，，，点，分别在的边，上，且， (1)求证； (2)如果，，，求的长． 6．如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 7．如图，相交于的点，且．求证： ． 8．如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 9．如图，已知，，，，，求证：． 10．如图，将绕着点A按顺时针方向旋转得到，连接，，求证：． 11．如图，四边形的对角线交于点，点是上一点，且．求证：． 12．在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． (1)如图，若点在线段上运动，交于． 求证：； 当是等腰三角形时，求的长． (2)如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由； 13．如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接． (1)如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）． (2)如图1所示，若为任意锐角，证明：． (3)若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程． 15．如图，在中，点D，E分别在边，上，，相交于点O，且， 求证： (1)； (2)． 16．在中，，为直线上一点，为直线上异于点的一点，连接，，使． (1)如图1，若点在线段上，，求证； (2)如图2，若点在线段上，，求的长； (3)如图3，若点在线段的延长线上，点在线段上，交于点F，，，求的值． 17．如图1，在中，，点D是边上的动点（点D不与点B，C重合），点E，F分别在边，上，且满足，． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)如图2，连接，将沿翻折，使点D落在点G处，连接，， ①求证：； ②若，，当是等腰三角形时，求的长． 18．如图，在矩形中，是对角线，，．点E从点D出发，沿方向匀速运动，速度是；点F从点B出发，沿方向匀速运动，速度是．直线过点F，且，分别交、于点M，N，连接、、．两点同时出发，设运动时间为（），请回答下列问题： (1)当t为___________时，和相似； (2)设四边形的面积为，求关于之间的函数关系式； (3)求当为何值时，为等腰三角形． 19．（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，，分别在边，上，，，，求的长． 20．在中，，，，将绕点C逆时针旋一个角度得到，连接，．    (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当时，点在上，的延长线交于点P，请确定与的位置关系，并说明理由； (3)如图③，当时，如果 ，连接，求的长． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 五大常考相似模型 目录 1 类型一、A字型 1 类型二、8字型 6 类型三、母子型 11 类型四、手拉手型 15 类型五、 K字型 24 31 类型一、A字型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1　 　图2 　 图3 （1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. （2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. （3）同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 例1．如图，在中，点分别在上，且． （1）求证：； （2）若点在上，与交于点，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】解：（1）在△AEF和△ABC中， ∵，， ∴△AEF∽△ABC； （2）∵△AEF∽△ABC， ∴∠AEF=∠ABC， ∴EF∥BC， ∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC， ∴,， ∴． 变式1-1．如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质． （1）根据，证明，得到，由，得到，进而得到，求出，即可求解； （2）由（1）知，得到，推出，根据，证明，得到，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，即， 的值为； （2）证明：， ，即， ， ， ， ， 点D是中点， ， ， ，即， ． 变式1-2．如图，中，已知，点D、F是分别为垂足，．    (1)求证：； (2)若，直接写出和的周长比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先判断，可证得，利用内错角相等，两直线平行可证明； （2）根据相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，垂足分别为D，F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴和的周长比， ∵， ∴， ∴和的周长比为． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 变式1-3如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握是是解决问题的关键． （1）由可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由，相似三角形的周长比等于相似比，即可证得；　 （3）由，．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵分别是和的高， ∴； （2）∵， ∴； 故与的周长之比为 （3）∵， ∴， ∵， ∴． 故的面积为． 类型二、8字型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 （1）“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. （2）反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. （3）平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论： 例2．如图，是的中位线，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（   ） A． B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， ， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 变式2-1．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___． 【答案】2 【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝DC，根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可． 【详解】解：延长CF、BA交于M， ∵E是CD的中点，F是AE的中点， ∴EF＝AF，CE＝DC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∴CE＝AB，∠ECF＝∠M， 在△CEF和△MAF中 ， ∴△CEF≌△MAF（AAS）， ∴CE＝AM， ∵CE＝AB， ∴BM＝3CE， ∵DC∥AB， ∴△CEG∽△MBG， ∴ ， ∵BE＝8， ∴ ， 解得：GE＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 变式2-2．如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．先证明，根据相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 的长为． 变式2-3．如图所示，延长平行四边形一边至点F，连结交于点E，若 ． (1)若，求线段的长； (2)若的面积为3，求平行四边形的面积． 【答案】(1)6 (2)24 【分析】（1）利用平行四边形的性质可以证明，然后利用相似三角形的性质和已知条件即可求解； （2）利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可以求出，然后利用平行四边形的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 而， ∴， 而， ∴； （2）解：如图，过E作于M，交于N，    ∵， ∴于N， 根据（1）， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了三角形的面积公式和平行四边形的性质及面积公式，有一定的综合性，对于学生的要求比较高． 类型三、母子型 如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．． 如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型． 当时，，则有． 例3．如图，在中，平分交于点D，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)3． 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意证明，即可证明三角形相似； （2）根据三角形相似的性质得到，计算即可． 【详解】（1）证：平分 ， （2）解： 即 变式3-1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出 （2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键． 变式3-2 如图，为等腰直角三角形，，点D、E在线段上，． (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质， 等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定以及性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得出，再证明， 即可得出． （2）由相似三角形的性质可得出， 再结合已知条件可得出的值． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 变式3-3 在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长； （2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F． ①求证：∠ABC＝∠EAF； ②求的值． 【答案】（1）AD＝；（2）①见解析；②． 【详解】（1）∵∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ACB. 又∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB， ∴，即，∴AD＝ （2）①证明：∵AE⊥AC，AF⊥BD，∴∠AFB＝∠EAC＝90°. 又∵∠ABF＝∠C，∴△ABF∽△ECA，∴∠BAF＝∠CEA. ∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠AEC＝∠ABC＋∠BAE，∴∠ABC＝∠EAP. ②如图，取CE的中点M，连接AM. 在Rt△ACE中，AM＝CE，∠AME＝2∠C. ∵∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝∠AME，∴AM＝AB， ∴． 类型四、手拉手型 “手拉手”旋转型定义：如果将一个三角形绕着它的项点旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我们称这样的图形变换为旋转相似变换，这个顶点称为旋转相似中心，所得的三角形称为原三角形的旋转相似三角形。 手拉手相似模型 条件:如图，∠BAC=∠DAE=，； 结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；. 例4 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC． （1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC； （2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由． （3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【分析】（1）当α＝60°时，△ABC和△PBD为等边三角形，根据三角形全等即可求证； （2）过点作，求得，根据题意可得，可得，再根据，判定，得到，即可求解； （3）过点作于点，过点作于点，分两种情况进行讨论，当在线段或当在线段延长线上时，设根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）当α＝60°时，∵AB＝AC ∴△ABC为等边三角形， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴△PBD为等边三角形 ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴ （2）过点作，如下图： ∵当α＝120°时， ∴， ∴ 由勾股定理得 ∴ ∴ 由旋转的性质可得：， ∴， 又∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ （3）过点作于点，过点作于点，则点D到CP的距离就是的长度 当在线段上时，如下图： 由题意可得： ∵α＝120°， ∴ 在中，，∴， 在中，，，∴ ∴， 由（2）得 由旋转的性质可得： 设，则 由勾股定理可得： 即，解得 则 当在线段延长线上，如下图： 则， 由（2）得， 设，则 由勾股定理可得： 即，解得 则 综上所述：点D到CP的距离为或 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，综合性比较强，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 变式4-1 如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M． （1）求证：△MFC∽△MCA； （2）求证△ACF∽△ABE； （3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【详解】解：（1）四边形是正方形，四边形是正方形， ， ， ， ， ； （2）四边形是正方形， ，， ， 同理可得， ， ， ， ； （3），， ， ， ， ，即， ， ， ， 即正方形的边长为． 变式4-2 【发现问题】      （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①，证明见解析；②； （3）度，，理由见解析． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定以及性质， 相似三角形的判定以及性质等知识． （1）由等边三角形的性质可求解； （2）①由“SAS”可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，即可解决问题． （3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2中，    ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（SAS）， ∴； ②∵， ∴， 设交于点． ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）结论：，． 理由： ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 变式4-3 （1）如图①，和为等腰直角三角形，，求证：． （2）如图②，，，试探究线段与线段的关系，并加以证明． （3）如图③，，，求的最大值．    【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）证明，则； （2）证明，则，，证明，则，， 由，可得，即； （3）如图,过点C作，在上取点E使，连接．由（2）知：，则，，由勾股定理得，，则，即最大值为，进而可求的最大值． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴， ∴，即； （3）解：如图,过点C作，在上取点E使，连接．    由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴最大值为， ∴的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识．熟练掌握了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系是解题的关键． 类型五、 K字型 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 例5 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE． (1)求证：△ABE∽△ECD； (2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）CD＝． 【详解】(1)证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°， ∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB＋∠DEC＝90°， ∴∠BAE＝∠DEC， ∴△ABE∽△ECD. (2)在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5，∴BE＝3， ∴EC＝BC－BE＝5－3＝2， ∵△ABE∽△ECD，∴， ∴，∴CD＝. 变式5-1 【感知】 如图1，在四边形中，点P在边上（不与A、B重合），，易证：（不要求证明）． 【探究】 如图2，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），． （1）求证：； （2）若，求的长． 【应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E． （3）当是等腰三角形时，直接写出的长 【答案】（1）见解析（2）或（3）4或． 【分析】（1）证明即可． （2）根据，得，设，则，代入比例式，解答即可． （3）根据，得到，结合，得，证明，再对是等腰三角形进行分类计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， 设，则， ∴，整理得， 解得， ∴或． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设，则， ∵是等腰三角形，且， 故只有两种情形解答，具体如下： 当时， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， 设，则， 根据前面证明，得， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的长为4或． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形的分类，分类思想，一元二次方程的解法，熟练掌握三角形相似的判定，等腰三角形的性质是解题的关键． 变式5-2 （1）问题 如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当时，求证：． （2）探究 若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且，若，求CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）先证△ABD△DFE，求出DF=4，再证△EFC△DEC，可求FC＝1，进而解答即可． 【详解】（1）证明：如题图1， ∵∠DPC=∠A=∠B=90°， ∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD = 90°， ∴∠ADP = ∠BPC， ∴△ADP△BPC， ， ∴ADBC = APBP， （2）结论仍然成立，理由如下， ， 又， ， ， 设， ， ， ， ∴ADBC = APBP， （3）， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ,， ， ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键． 变式5-3 （1）如图①，在矩形中，E为边上一点，连结过点E作交于点F． ①求证：． ②若，，E为的中点，求的长． （2）如图②，在中，，，，为边上一点（点不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F，当为等腰三角形时，的长为多少？    【答案】（1）①见解析；②;（2）或 【分析】本题考查了相似三角形的常见模型-“一线三等角”，熟悉相关模型的构成及求证是解题关键． （1）①根据可得即可求证；②根据可得，即可求解；（2）证得，分类讨论，，两种情况即可求解； 【详解】（1）①证明：由题意得： ∴ ∴ ∴ ②解：∵， ∴ ∵E为的中点， ∴ ∴ ∴ （2）解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∵为等腰三角形且 ∴若，则； 若，则， ∴； 综上所述：或 一、解答题 1．如图，在正方形中，是的中点，点在上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 设正方形的边长为．则，，再利用正方形的性质与勾股定理求得，．即可根据相似三角形的判定定理得出结论． 【详解】证明：法一：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． ． ． 在和中，， ． 法二：设正方形的边长为． 是的中点， ． ． 四边形为正方形， ． 在Rt中，， ． 又， ． 同理． 在中，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． 法三： ． 四边形为正方形， ． 是的中点， ， ． 在和中， ， ． ． ， ， ． 在和中， ， ． 2．如图，点E在的对角线上，当平分，且时． 求证： (1)四边形是菱形； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得，，从而即可得证； （2）由菱形的性质可得，．则．由，，证明三角形相似即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，菱形的判定及性质，相似三角形的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 3．如图，点D、E、F分别在等边的三边，，上，且，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识． （1）由等边三角形的性质得到，证明，即可证明； （2）证明，由（1）知：，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，     ∴，       ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴，          由（1）知：， ∴，   ∵， ∴． 4．已知：在中，为的平分线．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 如图，过点做的平行线与的延长线交于点，可证，得到，根据角平分线的性质，等腰三角形的定义得到，由此即可求解． 【详解】证明：如图，过点做的平行线与的延长线交于点，   ， ，， ， ， 又为的角平分线， ， ， ∴． 5．如图，中，，，点，分别在的边，上，且， (1)求证； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理求出，即，再结合利用“两角对应相等，两个三角形相似” 即可证明结论； （2）先求得，再根据相似三角形的性质及已知条件可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：，， ， ， 又， ； （2）解：由（1）得， ， ， ， ， ， ， ． 6．如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由四边形是正方形，得，，证明即可； （）由，得，，根据，，再根据相似三角形的判定方法即可得证； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵四边形是正方形，点在的延长线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 7．如图，相交于的点，且．求证： ． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵相交于的点， ∴， 又∵， ∴． 8．如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据可证，通过可证，然后根据相似的传递性即可得证． 【详解】证明： ， ， ， ， ， ， ． 9．如图，已知，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据两组对应边成比例，且夹角相等的两三角形相似，进行证明． 【详解】证明：，，，， ， ， ， ． 10．如图，将绕着点A按顺时针方向旋转得到，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查旋转性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．先根据旋转性质得到，，再利用相似三角形的判定可得结论． 【详解】证明：∵绕着点A按顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴． 11．如图，四边形的对角线交于点，点是上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了三角形内角和定理，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 首先根据三角形内角和定理得到，然后根据角的和差关系得到，即可证明出． 【详解】证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 12．在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）． (1)如图，若点在线段上运动，交于． 求证：； 当是等腰三角形时，求的长． (2)如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由； 【答案】(1)证明见解析；或或 (2)存在， 【分析】（1）由等边对等角可得出，由三角形的内角和定理可得出，由，得出，于是得证；分为三种情况：第一种情况，；第二种情况，；第三种情况，；分别根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质即可推出的长； （2）利用三角形外角的性质可证得，进而可证得，于是可得，又因，于是可求得的长，确定点的位置． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； 解：当是等腰三角形时，分为以下三种情况： 第一种情况：如图，， ， ， ， ， 由可知：， ， ， 点为的中点， ； 第二种情况：如图，， 此时点和点重合，点和点重合， 即； 第三种情况：如图，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设， 在中， ，， ， ， ， 解得：， ； 综上所述，的长为或或； （2）解：存在（只有一种情况）， 理由如下： 如图，由（1）可知：， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， 答：存在，． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，证明两三角形相似，垂线的定义，等角对等边，三线合一，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解一元一次方程，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 13．如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，比的利用等知识．熟练掌握相似三角形的判定是解此题的关键． （1）首先得到，然后结合即可证明； （2）由已知条件可得出，，根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，，进一步即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴ 14．在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接． (1)如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）． (2)如图1所示，若为任意锐角，证明：． (3)若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 (3)成立，证明见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的外角，相似三角形的判定，熟练掌握一线三等角相似模型，是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，结合三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）等边三角形的性质，得到，利用三角形的外角得到，即可得证； （3）成立，同法（2）即可得证． 【详解】（1）解：∵边三角形和等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）证明：由（1）知：， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （3）成立，证明如下： ∵等边三角形和等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 15．如图，在中，点D，E分别在边，上，，相交于点O，且， 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：①相似三角形的对应边的比相等，对应角相等，②两三角形有两组对应边的比相等，且这两边的夹角也相等的两三角形相似． （1）根据两三角形有两组对应边的比相等，且这两边的夹角也相等的两三角形相似推出即可； （2）根据两三角形的相似得出，再，即可推出，得出比例式，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 即． 16．在中，，为直线上一点，为直线上异于点的一点，连接，，使． (1)如图1，若点在线段上，，求证； (2)如图2，若点在线段上，，求的长； (3)如图3，若点在线段的延长线上，点在线段上，交于点F，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角的和差运算可求得，即可求证； （2）过点作的垂线，交延长线于点，可求得，进而求得，根据解直角三角形得出的长； （3）过点作的平行线，交延长线于点，过点作的垂线，交于点，根据等边三角形的性质和判定与平行线的性质可求出，设，根据等腰三角形的性质和线段的关系可求得，根据解直角三角形可求得，再根据勾股定理求得，进而求得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ，即， ， ， ． （2）解：如图过点作的垂线，交延长线于点， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图过点作的平行线，交延长线于点，过点作的垂线，交于点， ， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形，即， 又， ∴， ， ∴设，则， 又，即, ∴， ， ， ∴， ， ， ∴，即， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，勾股定理等，熟练掌握以上知识，合理做出辅助线是解题的关键． 17．如图1，在中，，点D是边上的动点（点D不与点B，C重合），点E，F分别在边，上，且满足，． (1)判断四边形的形状并说明理由； (2)如图2，连接，将沿翻折，使点D落在点G处，连接，， ①求证：； ②若，，当是等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)四边形是平行四边形，证明见详解； (2)①证明见详解； ②或或． 【分析】（1）由等边对等角可得：，，，继而得到 ，再由三角形内角和定理得到，然后得到，，即可证明四边形是平行四边形； （2）①由翻折可知：，，再结合已知条件可得到，再令，，由翻折可知：，，继而得到，即可证明； ②分三种情况：，，进行讨论，通过角度之间的转换得到边相等，进而求出的长． 【详解】（1）解：， ， 又，， ，， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）①证明：由翻折可知：，， ，， ，， ， 令，， ，， ， ， 由翻折可知：，， ， ， ， 又， ； ②是等腰三角形， 可以分为三种情况，分别是：，，， 第一种情况： 当时，， ， ∵四边形是平行四边形， 点、、分别是、、的中点，此时点与点重合， ； 第二种情况： 当时，， ， ， ， ， ， ， ， 过点作交于点，如图3： 在中，， ， ， ， 在中，， ； 第三种情况： ， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， 过点作交于点，如图4： 在中，， ， ， ， 综上所述：的长为或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定，三角函数，勾股定理等知识，是一道几何综合题，用到了分类讨论的数学思想方法，熟记相关的性质和判定，会通过角度之间的转换得到边相等是解题的关键． 18．如图，在矩形中，是对角线，，．点E从点D出发，沿方向匀速运动，速度是；点F从点B出发，沿方向匀速运动，速度是．直线过点F，且，分别交、于点M，N，连接、、．两点同时出发，设运动时间为（），请回答下列问题： (1)当t为___________时，和相似； (2)设四边形的面积为，求关于之间的函数关系式； (3)求当为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1) (2) (3)或时，为等腰三角形 【分析】（1）根据矩形的性质及相似三角形的判定，即可求得答案； （2）根据相似三角形的判定分别求出，，，再根据求解即可； （3）若时，直接列方程求解；若时，过点作于，证明，并列方程求解即可；若时，过点作于点G，证明，并列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 若要使和相似， 则， ， 解得， 当t为时，和相似； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， 即， ， 同理， ，， 即S关于之间的函数关系式为：； （3）解：①若时，则，解得：； ②若时，过点作于， ， 为等腰三角形， 又， ， ，， ， ， 即， ； ③若时，过点作于点G， ， 为等腰三角形， 又， ， ，， ， 即， 解得， 此时（舍去）； 综上所述，当或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对等腰三角形进行分类讨论及添加辅助线是解题的关键． 19．（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【分析】（1）证明，结合，利用“两角对应相等，两个三角形相似”证明结论即可； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，易得，结合，即可证明结论； （3）延长到点，使，连接，结合菱形的性质可证明，易得，，进而证明是等边三角形，然后计算的长即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵点在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 20．在中，，，，将绕点C逆时针旋一个角度得到，连接，．    (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当时，点在上，的延长线交于点P，请确定与的位置关系，并说明理由； (3)如图③，当时，如果 ，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质得，，，得，再证，然后由相似三角形的判定即可得出结论； （2）同(1)得，则，再由对顶角，得，即可得出结论'； （3）延长交于点D，过作于点E，则四边形是矩形，得，，由勾股定理得，再由三角形面积得，则，然后证，求出，则，进而由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：证明：由旋转的性质得：，，， ∴，， 即， ∴； （2），理由如下： 同(1)得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图③，延长交于点D，过作于点E， 则四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即的长为．    【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、平行线的性质、矩形的性质以及三角形面积． 2 / 60 学科网（北京）股份有限公司 $$