1.3 直线的方程第3课时 直线方程的一般式、点法式同步练习-2025-2026学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

1.3　直线的方程 第3课时　直线方程的一般式、点法式 一、基础巩固 1.(探究点一)已知直线l过点A(3,4),且倾斜角为,则直线l的一般式方程为(　　) A.x-y-4-3=0 B.x+y-4-3=0 C.x-y-4-3=0 D.x+y-4-3=0 2.(探究点二)已知直线l过点(4,5),且一个方向向量为(-1,2),则直线l的方程为(　　) A.y-5=-(x-4) B.y-5=(x-4) C.y-5=-2(x-4) D.y-5=2(x-4) 3.(探究点一)点M(x0,y0)是直线Ax+By+C=0上的点,则直线方程可表示为(　　) A.A(x-x0)+B(y-y0)=0 B.A(x-x0)-B(y-y0)=0 C.B(x-x0)+A(y-y0)=0 D.B(x-x0)-A(y-y0)=0 4.(探究点二)若直线l的一个方向向量是n=(,1),则直线l的倾斜角是(　　) A. B. C. D. 5.(探究点一)已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1,且它的倾斜角是直线x-y-=0的倾斜角的2倍,则a,b的值分别为(　　) A.-,-1 B.,-1 C.-,1 D.,1 6.(探究点二)写出直线l:2x-y-1=0的一个法向量a=　　　　.  7.(探究点一)已知直线(a+2)x+(a2-2a-3)y-2a=0在x轴上的截距为3,则该直线在y轴上的截距为　　　　　.  8.(探究点一)若直线mx-y+(2m+1)=0恒过定点,则此定点是　　　　.  9.(探究点一·2025天津期中)直线l过点(-3,1)且在两坐标轴上截距相等,则直线l的方程为　　　　　　　　　　　　　.(用一般式方程表示)  10.(探究点一)根据下列条件分别写出直线方程,并化成一般式: (1)斜率是,经过点A(8,-2); (2)经过点B(-2,0),且与x轴垂直; (3)斜率为-4,在y轴上的截距为7; (4)经过点A(-1,8),B(4,-2). 11.(探究点一)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若l在两坐标轴上的截距相等,求l的方程; (2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围. 二、能力提升 12.已知两直线的方程分别为l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在平面直角坐标系中的位置如图所示,则(　　) A.b>0,d<0,a<c B.b>0,d<0,a>c C.b<0,d>0,a>c D.b<0,d>0,a<c 13.直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3,而且它的斜率是直线x-y=3的斜率的相反数,则(　　) A.m=-,n=1 B.m=-,n=-1 C.m=,n=-1 D.m=,n=1 14.已知a,b满足2a+b=1,则直线ax+3y+b=0必过定点(　　) A.-,2 B. C. D.2,- 15.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是(　　) A.0, B.0,∪,π C.,π D.,π 16.(多选题)若直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则直线l的斜率为(　　) A.1 B.-1 C.-2 D.2 17. 如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,2),B(-2,0),C(1,0),分别以AB,AC为边向外作正方形ABEF与ACGH,则直线FH方程的一般式为　　　　　　　　　　.  18.已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(2,1),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是　　　　　　　　.  19.已知在△ABC中,点A的坐标为(1,3),AB,AC边上的中线所在直线的方程分别为x-2y+1=0和y-1=0,求△ABC各边所在直线的方程. 20.已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线l过定点; (2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围; (3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的面积为S,求S的最小值及此时直线l的方程. 参考答案 1.B　由题得直线l的斜率kl=tan=-,又直线l过点A(3,4),所以直线l的点斜式方程为y-4=-(x-3),转化得直线l的一般式方程为x+y-4-3=0.故选B. 2.C　由题可得直线l的斜率kl==-2.又直线l过点(4,5),代入点斜式方程得y-5=-2(x-4).故选C. 3.A 4.A　设直线l的倾斜角为α,因为直线l的一个方向向量是n=(,1),所以直线l的斜率k=tan α= 因为α∈[0,π),所以α= 5.A　原方程化为=1,=-1,∴b=-1.又直线ax+by-1=0的斜率k=-=a,且x-y-=0的倾斜角为60°,∴k=tan 120°=-,∴a=-,故选A. 6.(2,-1)(答案不唯一) 7.-　由题知直线经过(3,0),代入已知方程,得(a+2)×3-2a=0,∴a=-6,∴直线方程为-4x+45y+12=0,令x=0,得y=-即该直线在y轴上的截距为- 8.(-2,1) 9.x+3y=0或x+y+2=0　当两截距都为0时,可设直线方程为y=kx,由直线过(-3,1)可得,1=k×(-3),解得k=-,所以此时直线l的方程为y=-x,整理为一般式可得,x+3y=0;当两截距都不为0且相等时,可设直线的截距式方程为=1,由直线过(-3,1)可得,=1,解得a=-2,所以此时直线l的方程为=1,整理为一般式可得,x+y+2=0.综上可得,直线l的一般式方程为x+3y=0或x+y+2=0. 10.解 (1)由点斜式,得y+2=(x-8),化简,得x-y-8-2=0. (2)直线方程为x=-2,即x+2=0. (3)由斜截式,得y=-4x+7,化成一般式为4x+y-7=0. (4)由两点式,得,化成一般式为2x+y-6=0. 11.解 (1)当直线l过原点时,直线l在x轴和y轴上的截距均为0,∴a=2,此时直线l的方程为3x+y=0;当直线l不过原点时,a≠2,直线l在x轴和y轴上的截距分别为,a-2, =a-2,解得a=0或a=2(舍去),∴直线l的方程为x+y+2=0.综上所述,直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0. (2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2, ∵l不经过第二象限,解得a≤-1. 综上可知,实数a的取值范围是(-∞,-1]. 12.C　由题图可知直线l1,l2的斜率k1,k2都大于0,即k1=->0,k2=->0且k1>k2,所以a<0,c<0且a>c.又l1在y轴上的截距-<0,l2在y轴上的截距->0,所以b<0,d>0,故选C. 13.D 14.D　由2a+b=1,得b=1-2a,代入直线方程ax+3y+b=0中,得ax+3y+1-2a=0,即a(x-2)+3y+1=0.令解得所以该直线必过定点2,-.故选D. 15.D 16.BD　由题得直线l斜率为-a,当直线ax+y-2-a=0过原点时,可得a=-2,此时直线l在x轴和y轴上的截距都为0,相等.当直线ax+y-2-a=0不过原点时,由题意知,当a=0时,直线l与x轴无交点.当a≠0时,直线l在x轴上的截距与在y轴上的截距2+a相等,可得=2+a,解得a=1或a=-2(舍). 综上知,a=-2或a=1.所以直线l的斜率为-1或2. 17.x+4y-14=0　过点H,F分别作y轴的垂线,垂足分别为M,N(图略).∵四边形ACGH为正方形,∴Rt△AMH≌Rt△COA,∴AM=OC=1,MH=OA=2,∴OM=OA+AM=3,∴点H的坐标为(2,3),同理得到F(-2,4),∴直线FH的方程为,即x+4y-14=0. 18.2x+y+1=0　∵点A(2,1)在直线a1x+b1y+1=0上,∴2a1+b1+1=0.由此可知点P1(a1,b1)在直线2x+y+1=0上.∵点A(2,1)在直线a2x+b2y+1=0上,∴2a2+b2+1=0.由此可知点P2(a2,b2)也在直线2x+y+1=0上,∴过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是2x+y+1=0. 19.解 设AB,AC边上的中线分别为CD,BE,其中D,E分别为AB,AC的中点.∵点B在中线BE:y-1=0上,∴设点B的坐标为(x,1).又点A的坐标为(1,3),D为AB的中点, ∴由中点坐标公式得点D的坐标为,2.又点D在中线CD:x-2y+1=0上,-2×2+1=0,解得x=5, ∴点B的坐标为(5,1).同理可求出点C的坐标是(-3,-1). ∴直线AB的方程为,即x+2y-7=0,直线BC的方程为,即x-4y-1=0,直线AC的方程为,即x-y+2=0.故△ABC三边AB,BC,AC所在直线的方程分别为x+2y-7=0,x-4y-1=0和x-y+2=0. 20.(1)证明 直线l的方程可化为y=k(x+2)+1, 故无论k取何值,直线l恒过定点(-2,1). (2)解 直线l的方程可化为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则故k的取值范围是[0,+∞). (3)解 依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,且k>0, 所以A-,0,B(0,1+2k), 故S=|OA||OB|=(1+2k)=4k++4(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,等号成立,故S的最小值为4,此时直线l的方程为x-2y+4=0. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$