第七章 命题与证明 复习讲义 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第七章　命题与证明 . . . . . . . . . . 　混淆命题的条件与结论 　　有些不是以“如果……那么……”的形式出现的命题，部分学生在确定其条件和结论时常不知如何表达. 【例1】把命题“两个正数的和仍是正数”写成“如果……那么……”的形式为　 　. 　　解此题时，部分学生不知如何正确拆解命题中的信息，而随意地写成“如果两个正数的和，那么仍是正数”. 1.把命题“同位角相等”改写为“如果……那么……”的形式，结果是（　 　）. A.如果两直线平行，那么同位角相等 B.如果同位角相等，那么两直线平行 C.如果两个角相等，那么这两个角是同位角 D.如果两个角是同位角，那么这两个角相等 2.把下列命题写成“如果……那么……”的形式，并指出条件和结论. （1）三角形的内角和为180°； （2）全等三角形的对应角相等； （3）同角的余角相等； （4）对顶角相等； （5）平行于同一条直线的两条直线互相平行. 　对于平行线的性质和判定混淆不清，不知如何运用 　　平行线的性质是先有直线平行，后有角的关系；平行线的判定是先有角的关系，后得到直线平行，这两者不要搞混弄错. 【例2】如图，在四边形ABCD中，若∠1＝∠2，则AD∥BC，判定的理由是（　 　）. A.两直线平行，内错角相等 B.两直线平行，同位角相等 C.内错角相等，两直线平行 D.同位角相等，两直线平行 　　解此题时，学生如果未分清什么是性质，什么是判定，就可能错选A. 3.如图，E是AB延长线上一点，下列条件中能判定AB∥CD的有（　 　）. A.∠DAC＝∠BCA B.∠DAB＝∠CBE C.∠CBE＋∠BCA＋∠DCA＝180° D.∠BAD＝∠BCD且∠DAC＝∠BCA 4.（2024·南山区期中）如图，填写证明过程和理由. ∵∠1＋∠2＝180°（已知）， ∴　 　∥　 　（　 　）. ∵∠3＝∠4（已知）， ∴　 　∥　 　（　 　）， ∴a∥c （　 　）. 　定义、命题 定义：一般地，对某一名称或术语的含义加以描述，作出明确规定的句子，就叫做该名称或术语的定义. 常用句式：……叫做…… 命题：一般地，对某一件事情作出判断的语句叫做命题.命题包含条件和结论. 常用句式：如果……那么…… 逆命题：条件与结论互换的命题互为逆命题. 公理：公认的真命题称为公理. 证明：演绎推理的过程称为证明. 定理：经过证明的真命题称为定理. 1.（2024·南山区麒麟中学期末）下列四个命题中，真命题是（　 　）. A.垂直于同一直线的两直线平行 B.如果x2＞0，那么x＞0 C.的平方根是±3 D.三角形的一个外角大于任何一个内角 2.将命题“同角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式为：如果　 　， 那么　 　. 3.如图，AD与BC相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，连接AB，CD，EF，给出以下四个等量关系：①∠A＝∠C，②OA＝OC，③∠B＝∠D，④OE＝OF.请你以其中两个为条件，另两个中的一个为结论，组成一个真命题，并证明. （1）条件：　 　，结论：　 　；（填序号） （2）写出你的证明过程. 　平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成： 同位角相等，两直线平行. 几何语言： 如图，∵∠1＝∠2， ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）. 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. 几何语言： 如图，∵∠2＝∠3， ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）. 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行. 几何语言： ∵∠4＋∠2＝180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）. 4.如图，直线a，b被第三条直线c所截.由“∠1＝∠2”，得到“a∥b”的依据是（　 　）. 第4题图 A.两直线平行，同位角相等 B.同位角相等，两直线平行 C.两直线平行，内错角相等 D.内错角相等，两直线平行 5.如图，已知直线EF⊥MN垂足为点F，且∠1＝140°，则当∠2＝　 　时，AB∥CD. 第5题图 6.如图，在四边形ABCD中，已知BE平分∠ABC，∠AEB＝∠ABE，BE的延长线交CD的延长线于F，∠A＝110°. （1）求证：AD∥BC； （2）若∠ADC＝70°，求∠F的度数. 　平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. 几何语言：如图，∵a∥b，∴∠1＝∠5（两直线平行，同位角相等）. 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 几何语言：如图，∵a∥b，∴∠3＝∠5（两直线平行，内错角相等）. 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 几何语言：如图，∵a∥b，∴∠3＋∠6＝180°（两直线平行，同旁内角互补）. 7.如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中一定正确的是（　 　）. A.∠1＝180°－∠3 B.∠1＝∠3－∠2 C.∠2＋∠3＝180°－∠1 D.∠2＋∠3＝180°＋∠1 8.如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若AB∥CD，∠1＝130°，∠3＝35°，则∠2的度数为　 　. 第8题图 9.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D的直线交BC于点E，交AB的延长线于点F，若∠1＝∠2，∠A＝60°，则∠C＝　 　. 第9题图 10.如图，在△ABC中，BP平分∠CBA，AP平分∠CAB，且DE∥AB，若∠BPA＝124°，∠CBA∶∠CAB＝4∶3，则∠DEA＝　 　°. 第10题图 11.如图1，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C，D分别落在H，G的位置，再沿BC折叠成图2，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝　 　°. 参考答案 【思维导图】 ①实验验证法　②举例反证法　③推理论证法　④举反例 ⑤同位角　⑥内错角　⑦同旁内角　⑧同位角　 ⑨内错角　⑩同旁内角　⑪平行 【易错点剖析】 例1　如果两个数都是正数，那么这两个数的和仍是正数 1.D 2.解：（1）如果三个角为一个三角形的内角，那么它们的和为180°. 条件是三个角为一个三角形的内角，结论为这三个角的和为180°. （2）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等. 条件为两个三角形全等，结论为对应角相等. （3）如果两个角为同一角的余角，那么这两个角相等. 条件为两个角为同一角的余角，结论为这两个角相等. （4）如果两个角为对顶角，那么这两个角相等. 条件为两个角为对顶角，结论为这两个角相等. （5）如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行. 条件为两条直线平行于同一条直线，结论为这两条直线互相平行. 例2　C 3.D 4.a；b；同旁内角互补，两直线平行；b；c；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 例3　C　 解析：由三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，可知“三角形的一个内角小于和它不相邻的外角”是正确的. 5.C　 6.26° 【重难点突破】 1.C 2.两个角是同一个角的补角；那么这两个角相等 3.解：（1）②④；①.（答案不唯一） 解：（2）证明：∵OE＝OF，点E，F分别为OB，OD的中点， ∴OB＝OD. 在△OAB和△OCD中， ∴△OAB≌△OCD（SAS）， ∴∠A＝∠C.（答案不唯一） 4.D　5.50° 6.（1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE. ∵∠AEB＝∠ABE， ∴∠AEB＝∠CBE， ∴AD∥BC. （2）解：∵∠A＝110°，∠AEB＝∠ABE， ∴∠AEB＝×（180°－110°）＝35°， ∴∠DEF＝∠AEB＝35°， ∴∠F＝∠ADC－∠DEF＝70°－35°＝35°. 7.D　8.85°　9.60° 10.132　 解析：∵BP平分∠CBA，AP平分∠CAB， ∴∠PBA＝∠CBA，∠PAB＝∠CAB. ∵∠CBA∶∠CAB＝4∶3， ∴∠PBA∶∠PAB＝4∶3. ∵∠BPA＝124°， ∴∠PBA＋∠PAB＝180°－∠BPA＝56°， ∴∠PAB＝（∠PBA＋∠PAB）＝24°， ∴∠EAB＝2∠PAB＝48°. ∵DE∥AB， ∴∠CED＝∠EAB＝48°， ∴∠DEA＝180°－∠CED＝132°. 11.72 学科网（北京）股份有限公司 $$