指对幂比较大小、指对幂函数的实际应用、切线问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

指对幂比较大小、指对幂函数的实际应用、切线问题专项训练 指对幂比较大小、指对幂函数的实际应用、切线问题专项训练 考点一 指对幂比较大小 1．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江西·期中）已知，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）三个数的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）三个数的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·陕西宝鸡·二模）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·广东汕头·期中·多选）下列各式比较大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·广东广州·阶段练习·多选）下列公式比较大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 考点二 指对幂函数的实际应用 1．（2025·甘肃天水·三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 2．（2025·河南南阳·模拟预测）在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（    ）（已知） A．31 B．32 C．33 D．34 3．（2024·四川攀枝花·一模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练选代轮数为12时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练选代轮数至少为（参考数据：）（   ） A．34 B．35 C．36 D．37 4．（2025·海南三亚·一模）夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校教室换气卫生要求》（GB/T177226-2017）规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得超过0.10%，经检测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，记下课开窗通风分钟后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，%是二氧化碳初始浓度，，则该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为（    ） （参考数据：） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期.考古学中常利用生物标本中的碳元素稳定持续衰减的现象测定遗址的年代.已知碳的半衰期为年.现在实验室测定某遗址内动物标本中碳含量为正常大气中碳含量的.则该遗址大约距今（    ）（） A．年 B．年 C．年 D．年 6．（24-25高三下·福建厦门·阶段练习）已知某物种t年后的种群数量y近似满足函数模型：（，当时表示2025年初的种群数量）．自2025年初起，经过n年后，当该物种的种群数量不足2025年初的10%时，n的最小值为（参考数据：）（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 7．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（   ）倍.（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 9．（2025·重庆·二模·多选）从2024年3月1日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每血液中乙醇含量大于或等于，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于则认定为醉驾，属于犯罪行为．张师傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量（单位：）与酒后代谢时间（单位：）的数量关系满足．则张师傅此次饮酒后（    ） A．当代谢时间时，血液中的乙醇含量最低 B．血液中的乙醇含量开始是代谢时间的增函数，然后是代谢时间的减函数 C．若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为 D．若执意驾车，饮酒后接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾 10．（2025·甘肃定西·模拟预测·多选）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据： 声强 声强级 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·广西·模拟预测·多选）环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染物的动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值，，其中x表示污染物浓度，a为设备灵敏度参数越大，灵敏度越高，则（    ） A．过定点 B．在污染物浓度区间上单调递增 C．关于对称 D．取定x的值，灵敏度越高，监测值越大 12．（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 13．（2025·云南昆明·模拟预测）根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积单位：与时间单位：月的关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1个月时，浮萍面积为，第5个月时，浮萍面积就会超过，下列函数模型：①，②，③，④中，最符合浮萍面积y与时间t关系的模型是 填写序号，若浮萍蔓延到，所经过的时间 . 14．（2025·江苏南通·模拟预测）心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在后该学生记忆了20个单词.该学生记忆38个单词大约需要 . 15．（24-25高一上·广西玉林·期末）为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建立一个每天得分y（单位：分）与当天阅读时间（单位：分钟）的函数关系，要求如下： （i）函数的部分图象如图所示； （ii）每天阅读时间为0分钟时，当天得分为0分； （iii）每天阅读时间为30分钟时，当天得分为50分． 现有以下三个函数模型供选择：． (1)选出你认为最符合要求的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)若学校要求每天的得分不少于75分，则每天至少阅读多少分钟？ 16．（24-25高一上·福建南平·期末）某湖泊2024年2月底测得水草覆盖面积为48，2024年3月底测得水草覆盖面积为64，水草覆盖面积与月份的关系有以下两个函数模型可供选择：①；②. (1)求两个函数模型的解析式； (2)若2024年1月底测得水草覆盖面积为36，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，请说明理由，并估算至少到哪一年的几月底水草覆盖面积能达到1080？ （参考数据：，，） 17．（24-25高一上·云南保山·期末）数控机床（Computer Numerical Control Machine Tools，简称CNC机床）是一种通过计算机程序控制，具有高精度、高效率的自动化机床，广泛应用于机械制造、汽车制造、航空制造等领域．某机床厂今年年初用50万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用．已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和（单位：万元）与使用时间（，，单位：年）之间满足函数关系式为：．该机床每年的生产总收入为24万元．设使用年后数控机床的盈利额为万元．（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）． (1)写出与之间的函数关系式； (2)从第几年开始，该机床开始盈利？ (3)该机床使用过程中，已知年平均折旧率为（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）．现对该机床的处理方案有两种： 第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出； 第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出． 以总获利为选取方案的依据，研究一下哪种处理方案较为合理？请说明理由．（总获利盈利额机床剩余价值） （参考数据：，，，，） 考点三 切线问题 1．（24-25高二下·北京西城·期中）下列函数中，图象存在与x轴平行的切线的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·北京延庆·期末）下列函数中，图象存在与轴平行的切线的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南·期末）若曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为2，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．3或 D． 4．（24-25高二下·广东·阶段练习）过点作曲线的切线，若切线有3条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏南通·模拟预测）若曲线的一条切线与直线：平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C．5 D．10 6．（24-25高二下·广东深圳·期末）设曲线在处的切线与垂直，则（   ） A． B．2 C． D． 7．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 8．（2025·海南儋州·模拟预测）若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（   ） A．1 B． C．e D． 9．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 10．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）过原点引的切线，若切线斜率为，则 ． 11．（2025·吉林长春·模拟预测）若函数在处的切线与直线平行，则实数 . 12．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若直线是曲线的切线，则 . 13．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求在上的值域； (2)证明：曲线与在点处存在公切线. 14．（24-25高二下·湖北黄冈·期末）已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形面积为，求的值. 15．（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线与的公切线的方程； (2)若有两个极值点和，且，求实数的取值范围． 16．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数. (1)求曲线与的公切线的条数； (2)若，求的取值范围. 17．（24-25高三下·山西晋中·阶段练习）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若，求曲线与曲线的公切线； (3)已知，若的两个极值点为，，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$指对幂比较大小、指对幂函数的实际应用、切线问题专项训练 指对幂比较大小、指对幂函数的实际应用、切线问题专项训练 考点一 指对幂比较大小 1．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）已知，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：B. 2．（24-25高三上·江西·期中）已知，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，，则. 故选：A 3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）设，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数在上单调递增，可得， . 因函数在R上单调递增，则.故， 即. 故选：A 4．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得在R上单调递增， 在上单调递增， 又，，故， ，，故， ，故， 故. 故选：B 5．（24-25高三上·天津·阶段练习）三个数的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 6．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）三个数的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，； 设，则， 当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减， 又，所以，即，所以. 故选：D 7．（24-25高一上·吉林长春·期末）已知，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，因为，所以， 因为，所以， ， 所以. 故选：A 8．（2025·陕西宝鸡·二模）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，，可得，， 因为对数函数为上的增函数，则， 幂函数在上为增函数，则，故. 故选：B. 9．（2025·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，可得，， 因为对数函数为上的增函数，则， 幂函数在上为增函数，则， 故. 故选：D. 10．（24-25高一上·广东汕头·期中·多选）下列各式比较大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，因为在上单调递增，且，所以，所以A错误， 对于B，，因为在上单调递减，且， 所以，即，所以B正确， 对于C，，因为在上单调递增，且， 所以，即，所以C正确， 对于D，因为在上单调递增，且，所以， 因为在上单调递减，且，所以， 所以，所以D正确. 故选：BCD 11．（24-25高二上·广东广州·阶段练习·多选）下列公式比较大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于选项A：由于在上是单调递增函数，故，故A错误； 对于选项B：因为，且在上是单调递增函数， 所以，即，故B正确； 对于选项C：因为，，故，故C正确； 对于选项D：， 所以，即，故D错误； 故选：AD. 考点二 指对幂函数的实际应用 1．（2025·甘肃天水·三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 【答案】D 【详解】依题意，设，由，得，则， 当时， ，所以． 故选：D 2．（2025·河南南阳·模拟预测）在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（    ）（已知） A．31 B．32 C．33 D．34 【答案】D 【详解】因为衰减学习率模型为， 所以根据已知条件可得：① ② 用②式除以①式可得： ,化简可得：. 将代入①式中可得：. 所以衰减学习率模型为. 当学习率衰减到0.05以下时，即. 化简上述不等式得：，所以. 因为为正数，所以最小值取34. 故选：D. 3．（2024·四川攀枝花·一模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.8，衰减速度为12，且当训练选代轮数为12时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练选代轮数至少为（参考数据：）（   ） A．34 B．35 C．36 D．37 【答案】C 【详解】由于，所以， 依题意，则， 则， 由，即， 所以， 所以所需的训练迭代轮数至少为次． 故选：C. 4．（2025·海南三亚·一模）夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校教室换气卫生要求》（GB/T177226-2017）规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得超过0.10%，经检测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，记下课开窗通风分钟后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，%是二氧化碳初始浓度，，则该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为（    ） （参考数据：） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】由题意可知，， 解，即， 得 ， 该教室内的二氧化碳浓度不超过需要的时间的最小整数值为. 故选：C 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期.考古学中常利用生物标本中的碳元素稳定持续衰减的现象测定遗址的年代.已知碳的半衰期为年.现在实验室测定某遗址内动物标本中碳含量为正常大气中碳含量的.则该遗址大约距今（    ）（） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】C 【详解】不妨设动物标本中碳含量初始值是个单位， 则经过年动物标本中碳含量为， 令，则年. 故选：C. 6．（24-25高三下·福建厦门·阶段练习）已知某物种t年后的种群数量y近似满足函数模型：（，当时表示2025年初的种群数量）．自2025年初起，经过n年后，当该物种的种群数量不足2025年初的10%时，n的最小值为（参考数据：）（   ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】C 【详解】由题意可知2025年初的种群数量为时的函数值， 令，即，则， ，由于，故n的最小值为19． 故选：C. 7．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（   ）倍.（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】设原始状态信道容量为，提升后信道容量为， 由题意可得，即，解得， 同理，即，解得， 所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6倍. 故选：B 8．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 9．（2025·重庆·二模·多选）从2024年3月1日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每血液中乙醇含量大于或等于，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于则认定为醉驾，属于犯罪行为．张师傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量（单位：）与酒后代谢时间（单位：）的数量关系满足．则张师傅此次饮酒后（    ） A．当代谢时间时，血液中的乙醇含量最低 B．血液中的乙醇含量开始是代谢时间的增函数，然后是代谢时间的减函数 C．若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为 D．若执意驾车，饮酒后接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾 【答案】BD 【详解】由题意可知：，则， 由对勾函数可知：在内单调递减，在内单调递增， 则在内单调递增，在内单调递减，故B正确； 当时，取到最大值1， 即当代谢时间时，血液中的乙醇含量最高为， 即每血液中乙醇含量为，故A错误； 因为，可知饮酒后接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾，故C错误，D正确； 故选：BD. 10．（2025·甘肃定西·模拟预测·多选）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据： 声强 声强级 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意可得.即，解得.所以，故A正确； 因为，所以，解得，故B错误； 由，得，故C正确； 设烟花噪声､鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由题意知，，，所以，所以，所以，即，所以，故D正确. 故选：ACD. 11．（2025·广西·模拟预测·多选）环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染物的动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值，，其中x表示污染物浓度，a为设备灵敏度参数越大，灵敏度越高，则（    ） A．过定点 B．在污染物浓度区间上单调递增 C．关于对称 D．取定x的值，灵敏度越高，监测值越大 【答案】AB 【详解】解：对于A，在中，令，则，所以过定点，故A正确； 对于B，因为 则注意到当，， 则在上单调递增，故B正确； 对于C，由B选项知为单调递增函数，故不存在对称轴，故C错误； 对于D，以a为自变量，设为， 则 ，因为，故， 所以的正负取决于，当时 ，即当时，随着a的增大，减小，故D错误 故选： 12．（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型，其中N为饱和度，为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为，饱和度为1020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约 万块． （结果四舍五入保留到整数，参考数据：，，） 【答案】 【详解】根据题意，所给模型中， 则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量为， 因为，所以， 所以2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约36万块. 故答案为：36. 13．（2025·云南昆明·模拟预测）根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积单位：与时间单位：月的关系近似表示为如图所示函数关系，已知第1个月时，浮萍面积为，第5个月时，浮萍面积就会超过，下列函数模型：①，②，③，④中，最符合浮萍面积y与时间t关系的模型是 填写序号，若浮萍蔓延到，所经过的时间 . 【答案】 ③ 【详解】为线性增长，的增长速度会逐渐变慢， 由图象可知，模型①④不符合， 将，代入模型②③，得，，即模型②，模型③， 当时，模型②，不符合， 当时，模型③，，选模型③； 由，解得 故答案为：③； 14．（2025·江苏南通·模拟预测）心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在后该学生记忆了20个单词.该学生记忆38个单词大约需要 . 【答案】10 【详解】步骤一：根据已知条件求出记忆率 已知函数，其中表示需要记忆的量，表示记忆率，表示时间（min），表示在时间内能够记忆的量. 已知，当时，，将这些值代入函数中，可得：， 可得：，即，可得：， 两边同时取自然对数可得： 可得：，则. 步骤二：求出记忆38个单词所需的时间 当，，时，代入函数中，可得： 可得：，即， 可得：，两边同时取自然对数可得： 可得： 因为，所以，可得：，解得. 故该学生记忆38个单词大约需要10min. 故答案为：10. 15．（24-25高一上·广西玉林·期末）为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建立一个每天得分y（单位：分）与当天阅读时间（单位：分钟）的函数关系，要求如下： （i）函数的部分图象如图所示； （ii）每天阅读时间为0分钟时，当天得分为0分； （iii）每天阅读时间为30分钟时，当天得分为50分． 现有以下三个函数模型供选择：． (1)选出你认为最符合要求的函数模型，并求出相应的函数解析式； (2)若学校要求每天的得分不少于75分，则每天至少阅读多少分钟？ 【答案】(1)选对数型模型，； (2)70分钟 【详解】（1）根据图象是曲线且单调递增， 故选对数型模型，；                     由题意可知在上， 所以，解得， 所以，                         所以函数的解析式为； （2）令，可得， 即解得，所以每天得分不少于75分，至少需要阅读70分钟． 16．（24-25高一上·福建南平·期末）某湖泊2024年2月底测得水草覆盖面积为48，2024年3月底测得水草覆盖面积为64，水草覆盖面积与月份的关系有以下两个函数模型可供选择：①；②. (1)求两个函数模型的解析式； (2)若2024年1月底测得水草覆盖面积为36，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，请说明理由，并估算至少到哪一年的几月底水草覆盖面积能达到1080？ （参考数据：，，） 【答案】(1)①，② (2)选择模型②更合适，理由见解析，2025年2月底 【详解】（1）若选择模型①，则，解得，， 所以函数模型①的解析式为 ； 若选择模型②，则，解得，， 所以函数模型②的解析式为 . （2）把代入函数模型①，得， 再把代入函数模型②，得， 因此选择模型②更合适， 由，得，两边取对数得， 即， 所以至少到2025年2月底水草覆盖面积能达到1080. 17．（24-25高一上·云南保山·期末）数控机床（Computer Numerical Control Machine Tools，简称CNC机床）是一种通过计算机程序控制，具有高精度、高效率的自动化机床，广泛应用于机械制造、汽车制造、航空制造等领域．某机床厂今年年初用50万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用．已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和（单位：万元）与使用时间（，，单位：年）之间满足函数关系式为：．该机床每年的生产总收入为24万元．设使用年后数控机床的盈利额为万元．（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）． (1)写出与之间的函数关系式； (2)从第几年开始，该机床开始盈利？ (3)该机床使用过程中，已知年平均折旧率为（固定资产使用1年后，价值的损耗与前一年价值的比率）．现对该机床的处理方案有两种： 第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出； 第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出． 以总获利为选取方案的依据，研究一下哪种处理方案较为合理？请说明理由．（总获利盈利额机床剩余价值） （参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2)第3年 (3)第一方案 【详解】（1）由盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用，可得： . （2）令，即，即， 对于方程，由求根公式可得， 又，则， ， 所以不等式的解为， 且，所以从第3年开始盈利. （3）第一方案：对于，对称轴为， 当时，（万元）， 此时机床剩余价值为， 总获利为（万元）； 第二方案：年平均盈利额为 其中， 当且仅当时，即时，等号成立， 且，则或， 当时，（万元）， 当时，（万元）， 所以时，年平均盈利额最大，此时盈利额（万元）， 机床剩余价值为（万元）， 总获利为（万元）， 因为，所以第一方案较为合理. 考点三 切线问题 1．（24-25高二下·北京西城·期中）下列函数中，图象存在与x轴平行的切线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，已知，对求导可得. 令，即，此方程无解，所以的图象不存在与轴平行的切线，A选项错误. 对于B选项，. 当时，；当时，；在处，函数不可导. 令，方程无解，所以的图象不存在与轴平行的切线，B选项错误. 对于C选项，已知，其定义域为.对求导可得. 令，即，移项可得，解得，但不在定义域内，所以方程无解，的图象不存在与轴平行的切线，C选项错误. 对于D选项，已知，则. 令，即，因为恒成立，所以，解得，所以的图象存在与轴平行的切线，D选项正确. 故选：D. 2．（24-25高二下·北京延庆·期末）下列函数中，图象存在与轴平行的切线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A选项，对求导可得.所以的图象不存在与轴平行的切线，A选项错误. 对于B选项，已知，对求导可得. 令，即，此方程无解，所以的图象不存在与轴平行的切线，B选项错误. 对于C选项，已知，其定义域为.求导可得. 令，即，解得，在定义域内，所以的图象存在与轴平行的切线，C选项正确. 对于D选项，求导函数得，令，即， 因为此方程无解，所以的图象不存在与轴平行的切线，D选项错误. 故选：C. 3．（24-25高二下·河南·期末）若曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为2，则的值为（   ） A．1或3 B．3 C．3或 D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 因为，所以， 即切线方程为，即， 切线与轴交点坐标为，与轴交点坐标为， 因为切线与坐标轴围成的三角形面积为2， 所以，解得或. 故选：C 4．（24-25高二下·广东·阶段练习）过点作曲线的切线，若切线有3条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则，设切点为，则切线斜率， 即，整理得， 设，由题意可知有3个零点，，显然， 由，得或， 因为三次方程有三个根的条件是导数对应的极值点处函数值异号， 所以，所以，或. 故选：A. 5．（2025·江苏南通·模拟预测）若曲线的一条切线与直线：平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】A 【详解】设直线与曲线切于点，直线的斜率为4， 由导数的几何意义可知，，得，则， 所以直线，即， 所以直线与之间的距离为. 故选:A 6．（24-25高二下·广东深圳·期末）设曲线在处的切线与垂直，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以曲线在处的切线斜率为：， 由直线的斜率为：， 又因为曲线在处的切线与垂直， 所以， 所以， 故选：C. 7．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】D 【详解】由题可得，设切点坐标为， 则， 所以，，，故D正确. 故选：D. 8．（2025·海南儋州·模拟预测）若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（   ） A．1 B． C．e D． 【答案】A 【详解】，， 设切点坐标为，则， 消去k，得，所以. 故选：A 9．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 【答案】/0.5 【详解】因为，所以. 所以曲线在点的切线方程为：. 因为，设曲线与该切线的切点为. 所以，所以，即. 又， 所以. 故答案为：. 10．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）过原点引的切线，若切线斜率为，则 ． 【答案】 【详解】因为切线过原点且切线斜率为，所以切线方程为， 又，所以， 令，切点为， 切点一定在上，所以. 故答案为：. 11．（2025·吉林长春·模拟预测）若函数在处的切线与直线平行，则实数 . 【答案】1 【详解】因为，所以， 依题意可得，即，解得. 故答案为：1. 12．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若直线是曲线的切线，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 设与曲线切于点， 所以，所以， 所以切点为，又该点在上， 所以，所以 故答案为：. 13．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求在上的值域； (2)证明：曲线与在点处存在公切线. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）若，则，得， 令，解得， 所以当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当时，有最大值，， 当时，，当时，， 故在上的值域为． （2）证明：由，得，则， 又，故在点处的切线方程为． 同理，由，得，则， 又，故在点处的切线方程为， 所以与在处存在公切线． 14．（24-25高二下·湖北黄冈·期末）已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形面积为，求的值. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）当时，， ， ，， ，故在单调递增， 又， 上的值域为. （2）， ， 又， 曲线在点处切线方程为， 切线与轴交点为， 切线与坐标轴围成的图形面积为， ，解得或. 15．（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线与的公切线的方程； (2)若有两个极值点和，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，所以， 因为，所以， 设曲线上的切点为，则切线方程为， 设曲线上的切点为，则切线方程为， 由两条切线重合得，解得， 所以曲线与的公切线的方程为， （2）由题意可知，， 所以， 因为有两个极值点和， 所以有两个零点和， 所以，即， 令，则，解得， 设则 ， 又令，则， 所以在上单调递减， 所以，所以 所以在上单调递减， 所以， 易知所以， 令，则， 当时，， 所以在上单调递增， 又 所以， 故实数的取值范围为. 16．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数. (1)求曲线与的公切线的条数； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)2条 (2) 【详解】（1）设的切点分别为， 则， 故在切点处的切线方程分别为， 则需满足； ,故， 解得或， 因此曲线与有两条不同的公切线， （2）由可得， 即对于恒成立， ，结合解得 设， 则当时单调递减，当时，单调递增， 故当，故 因此，， 令，则， 令，得， 当时，此时，，故在上单调递减， 所以， 所以，由于进而，满足题意， 当时，此时， 令，解得单调递增， 令，解得单调递减， 故， 令，则， 由于 ，所以， 故在单调递减，故，即可， 因此 所以，由于进而，满足题意， 综上可得 17．（24-25高三下·山西晋中·阶段练习）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若，求曲线与曲线的公切线； (3)已知，若的两个极值点为，，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减 (2) (3) 【详解】（1）， 当时，在时恒成立，此时在单调递增； 当时，令， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 综上当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减； （2），，， 设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为，， 此时切线方程为， 设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为， 此时切线方程为， 所以，，时两边都是单调的， 且时，等号成立，故， 公切线方程为； （3）， ，即， 因为的两个极值点为，， 所以有两个不同的正数解，所以 又，代入解得， ，， 令，， ，所以在单调递减， ， 故答案为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$