第1章 专题强化 空间向量的综合应用-【金试卷】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步单元双测卷（人教A版2019）

7,若将正方形AD沿对角线BD折成直二面角，雨下列结论罐 第章空问向量与立体几何 吴的是 专趣强化 空间向量的综合应用 AC与平面AD新我角的正织值为 品，平面AC与平面D所成角的正切值是夏 建议用时：120分钟满分：150分 C.AC与BD所成的角为0 口AD与C所城的角为45 一，单项建择觅本木思共器小题，每小题5分，其40分，在每小是给 8,正方体ACD一A,丛CD,的掉上到直线A,B与CC,的距离相 出的四个选原中，只有一魔是管合题目要求的》 等的点有3个，记这3个点分别为E,下，G.财直找AC与平而 1.已领向量丽，青分别是平面业和平面日的法向量，若c(群，》 下G所成角的正弦雀为 一交期不山g与平面月的英角为 A.60减120 且30或10 A曾 a c n C.80 D.30 二，备顾选播题（本图共4小题，据小置5分，共20分。在每小题前 艺.已如平面■的一个法向量为=(1,2，一2》，平直的一个法向量 州的这项中，有多项符合遵日要求，全常选计的得5分，部分选对钩 为bw(一2，一4，若年L品，则女= 得2分，有选错的得0分】 A.4 D- 线 35 以，下刘说达不正喻的是 3,设平面a的-个法向量为m=(1,2,一2？，点A0,0,11在平面 A.者直线上的方向向量与平图。的法向量的夹角等于1心，期直 内，点K4,2,3(a≠01在平面▣外，设直规AB与平面：所成角 线（与平面，所成的角等于30 为9，集n的取植意圆是 出两景异面直红的夹角等于它川的方有量的夹角 A(停传 c.(0.) .(o.) C,二角的大小雀围是[0，] 4,在空间直角坐标系中，A(1,2,33,B1-2,-1,6),C(3,2,1), 0二面角的大小等于其两个半平正的法向量的夹角韵大小 K4,3,01.则直线AB与D的位置关系是 10.如国，一个结品体的形状为平行六面 A.重直 B平行 体ACD一ACD,其中，以顶点 C,异面 D.相交但不系直 A为滑点的三条棱的长度都框等，丑 5,已每功点P在正方体A以) 它们候此的夹角都是的，下列说齿 A,B,C:)的体对角线D,不含嘴点司 中正确的是 上公-：者∠A心为能角：则实 A.(AA+B+A币)-2A 数美的取值范围为 且.AC·AB-AD而=0 A.(o.) ao】 C,向量4C与AA的交角是60 c() n 上助，与A衡武霜的务波植为受 6,如图所不，国边形AD和ADPQ均为正方 11,已知E,F分别是E方体AWD一A,出CD 思，它们保在的平直相互康直，动点M在线段 的棱C和CD的中点，则 PQ上，E,下分为AB,C的中点.设异直直 A,AD与B,D是异有直线 线f与AF质成的角为0，刹8的最大值 且.AD与EF所成角的大小为4 人司 A号 C,A,F与平值BEB所龙角的余弦值为写 D二三套角CDB,-B的余弦值为号 12.已知图1中，正方形EFGH的边长为22,4，B.C.D是各边的 中点，分别沿看AB、BC,CD.DA起△ABF,△BG,△CDH、 △DAF列上折显，使料喜个三角感所在的平面都与平我ACD 压直，再斯次连接EF刊，得到一个如图2所示的多面体，期 图1 2 A.平面AEF⊥平雀H 山.直线AF与直线G所成的角为0 C多面体ABD-EFGH的体积为+2区 D直线(：与平面AEF所成角的正切值为四 三，填空蹈本题共4小题，每小题G分，共20分) 1a,已每a-(6a,1,n),b-n,l,e如su,则向量a+各与 日一b的夹角是 1L.直角△ABC修两条直角边C一3，AC-,PC⊥平直AC.PC -号，则点P到料边A日的距离是 15.如图，已加国边形ACD为周柱的轴截面， AB一C=2,E,F为上底面上的间个动 点，且EF过飘心G,当三棱灌A一BEF的 体积最大时，直线AC与平面BEF所成角 的正兹值为 16,已知正方彩的边长为4，E,F分别为AD, C的中点，以E下为腹将逐方形AD新成如图质层的0的 二面角，点AM在线投AB上.直线DE与平雀EC质成的角为 ,喇平育CE与平面CEF夹角的余蓝值为 第一部分单元，专题海7 西，解答■（本题共6小题，共0分，解答应写出文字说用，过明过 程线膏算步翼) 了，(10分)如阁所承，已每空可国边形ABCD的每条边和对角线 年等于1，点E,F分调是AB,AD的中点，段e,b,为空间的 一个基底.序=年，A亡=b,AD=,试用向量素产法求解以下 各题 (1)求E乎.C的镇： (2)求异面直线CF当D所成角的余 莹值 18.(12分)如M,在四棱雌P一ACD中，四边形ACD为矩形， AD=PA=PH=22,PA⊥PB,平面PAB⊥平东ACD (1)证明，平面PAD1平面w (21若M为中点，求平面AND与平 直MD的夹角的余弦值 日集一部分单无，专题春 1.(12分)如图所示，在直三校柱ABC一A,B,C中，∠A一0， 21.《12分)如图，在四楼壁P一ACD中， -2,C℃-4，点E在线段BB,上，且EB-1,D,F,G分别 PA⊥平雀ABCD,AD/BC.AD⊥CD, 为C,CB,CA的中点 且AD=CD=2,=22,PA=2 (1)求证：B,D⊥平面ABD: 11取PC的中点N,求证：DN零 ()求证：平而FEF平而ABD: 有PAB: (3)求平面议F与平面ABD的雨离： ()求直线AC与PD所成角的余疏值： 《3在线段PD上·是香存在一点M.桂得平面MAC与率面 ACD修夹角为45？如果存在，求出B2与平面刷A所成角 的大小：智果不存在，请说明理由. 22.(12分)如图1.平面图形PA风CD由直角榨彩ACD和R1 △PAD拼接南域.其中AB=C=1,CAD,AB⊥AD. 21.《12分)如图，在四控推P一4C0中 PA=D一区，PA⊥PD,℃与AD相交干点小.现册看直铁 PA⊥平图ACD,底直ABCD为菱 AD折成四棱锥P一ACX如m2). 形，AP-AD一2，∠A-,点E (1)当四棱惟P一AUD的体积最大时求点B可平而代D的距离： F分别在棱PA,PB上，且EFAH, (艺)在(1)的条件下，就程PD上是否怀在一点Q,使得二面角 (1门求证：EFCD: (2若直线PD与平面CEF新成的角 Q-AC-D的余弦值为学？若有在，求出品的植：若不存在。 请说明理由。 的正弦值为膏 ①来点严到平童CEF的距离： 母其确定点E的位置朝为E8GD,所HCD⊥平看AB 气B意生知昌时0的空网直角童标泰，授AB=1,剩N0,, gC寿里标原生，CA,CB,CD两在直线合列寿 轴，罗轴正触流么堂网重周垒标暴，中层阶卡， -()i-(-支w)eo] 则04,0，AE.0,0,D0.0,0,E0,w2 日A市=(-1,0)，正-(0,203 mw-1m花，m11-, 1A· 易和平鼻A6C转一个法肉看秀1-切同-) 重平青EAD的法向量为：=兴到， e 211 n+5-0, √4x+1x+园 表-5，=百，4，， + ◆8y+1=t,1<G1 收年司EA0当+需A股所氯均载二鲁满的伞楼植海正 每具低的-1时取等子， 第一章空同向量与立体几何 专疆强化空闻向量的组合庄用 香具托多y一0岭取手导，群8的录大值为子，质选包 的装★量，两成8=同，1点=1=《n3, 7.D乘边的中九0，速林A0,①， 周及m叫n-的-一安所a=n-l2w,周al7'一1W=时表通 着将压含暂4B印龟时商成D并或上二折身， 日点Q为史标师A:庄上堂同互角坐括品中期 黄蒸几 3.C我L线AB与康向量■时先具及，即m=利， t0℃=1，制A(0,4,1》,(,-1:00.C1,0.0, 又i=《3,4-1,3,: p0.l.4). 数5-0l,-t,经-11 州.配-密离衣在十 它标40，自4雄进卡g喻，可是进十0，音血烧丝于无有时，ew鸡进十文， 群A口海对或的角为，此选男D中给降暗， 丝gCm0C,益4白 腾为记-14，一中，Bb-020 1排由周者得可---3刻.元-1,1。一1》∴清-一缘市市与市头 背4花，动-1×+0x2+(-1n×0=g 背城⊥面，背远A0与船对A的角寿了，成选重C中曲论L4: 气，又AD马CD没有◆养点，二AG8CD故选且 度平面ACD的一个清向变为1=(，-》。 - 量A★体AD一ABCD的发美有1： +=一=0： 学里师g“=黄=（小，1,1， (001 L=110>, 最和a, +以-D+不=(-1，-1+1,4 -D=1-A,-Ad-1, -可+pt--1,-a+4.1, 番如十改0特一个最肉量为黑-，0，，上武-0lD,克- 1)=-,1-A-1, 建平角BC的法肉量寿=4小 自因南∠APC不是平周 e可-a-1,期-1n i∠A℃为桃角平价手c■∠U a,成2-4十- ,<. 架得子<认的取植E函灵（行） 级千面K车卡面D时或角为：明4。-。-， 址流C 片域平面AK两手面)降点角的王物是，监迷项B中赫冷王4，数选B 40参考答案■ &D图为AD1⊥平面ABBA,两过A:D的类 为仍时AB的现焉，里然CD时关是D则 C明雨典，为AA与C0的卡相平，降起 时克我A下与℃的降真料等， 至气C种中是到真直A:而身工时面离相等， 使”为BC上桥人，接F=:正考像情参 为里： 时多到工的原高为1一4：丝数等M⊥含A 手点M生桂下，时 FSE-B A+BPma+1 FM-FCr 可得v公+8-3一@解牙a-宁 所以F为上的香手章A是寒进码 片且L孝殊D一A:GA的撞上到直线AB寿的是奉轮羊种是分时为 月，C的中A,C的四等分成4者好B们， 目建与G重◆，C的中A为E, 日D内全林通点，DA,DC,D0种在直成舟时为I3s轴，老生堂明直用皇称暴， 时12.02.r(22)ma22da0602 年a减-（位02-（号，）--， 议平雨EFG转企肉量有n■江)2 阜1=，得=4，一3，-1). 说直我AG与平而EFG群或秀为9， a-aaC1-1雲ta 鸟AD时于A,真线「的冷向向量与中面。的染向量的类年等于， 时真气1奉卡面。所或的角等于矿，所日A停民法不正响， 时十五，两卡养面直气的具角与名们的才向向黄的气角如等发是种，片远日中既法 不上确： 时十二，三面角的大小成国是[，，年双C中量法正身： 时于，二面角的大小与养两个丰中西的金★量的★条时大◇相等风直种：期日D 1(A昌花日正九A角%A竹二条准的芒度身1：目为它们通纯时来角都是”，两日 不，泰-不-市-迹：本-11× A+忘+市-疗+A++国，市+：市：市+2A式， -++1+8×2×方-4 1A+-心+A0+2A话，A -×1+1+3×含）-1-6，斯日A工4 沉·-前-不+随+·-商 -,B-,+F-B,i+市，A感-A市-0. 所日指至地。 6民不-A,. 里数△L4D为等班天用形，时∠AMD=6 所区向量AD与A的美青民1， 即向量品C,的是角是1可，件限C不温纳 周考可-+-i,证-A返+A不 两前√不+M-不 0=1,释1=1约=-1： 面+后+凤：形君 m2, 刚m=41,-1,1方 众+F一+AD+2,B-5 量平有0的法民量为E=班lC2-101),C月=(D,-1.1 ·A证=Ai+A-A·Ai+AD=1, 国-+有- 种维ms成，花 或·厅一平aD不2 ,2 取时=1，得-1为=1，时■=-1,1,1)， 此选A且 ·年面AEF与年面QH系◆直，成A相误 内不程丝堂九的皇线是界面重线，所原A是确， 遇wB-0t,,n10e不0元- X厅子：系加直A银内 病D为垂点：DM:D:心所在直线◆养为主轴：y 直我C0所良时勇为的'，故B点墙1 遇限C:柱ABCD为底雨，或0月门为高博儿年体A假D一EF配日升友票方多AB 设d含体发长为2，到DK0,9.61,A2,.2公，1：2 C-ABC b0,F0,l3, 则EF,0,H利为A1DAB1:BCC凸的中 waA,方-1-20，一，=（一1，-14 WAI=2,0H=1, 金，口有T两点角的大中为， ÷餐考体ACD一A高CD号单和V=x1=4, 则朝-.正 ,面×石 州材=射放B错该： +多高体ABCD-EFH片年称VD--V-V,气g-4一t以言-号， 出周意可包，平面5用1的一个请南量为D元=(0，是，0，A市一《一3，，一)， 底A求身平面：因两点角为■， IAF.OL n流平 漫直我近与平面风F州点角为8 D1B:■2,2，的，BB■00,2D, 酸平香DBB的请向量为n=n:), m一号愿，液D在境 1a,-2=, 个1-1，得n=(3,-101, 11养素20 河厘可得中鱼D具C时法肉量a=1,一【，=)4 武二齿两C一岛一包的平自角为 两双la=b,夏a+1s《a)=a-=1, 14.养客雪 由因易知月为锐身， 解析日C为坐特版，心LBCP为3轴，轴，E物魔 1品，D取An的PA0,M,是楼明M,雨 型A4,0.,01,P04.} :A,,C山是L★型G象连昨中A, CH=,夏0为D的中A,1D 4-4-4a,0-(40,号)为 :来新DM⊥牛面AD,平南CDH门来斯AB-它.W三平南DH -而惑-（小 泰加得连形ACD是连长为之的更方有 0冷利为C0.A各的中点， 周P到A加的题4为小一V公一a可一64是要- OC8H且OC=BM且∠B= m边年OCBM秀桃卷，，OILCD, 伍养南3匹 能新瑞福：AG,时三唯锥A一E了暗华新号十三峰障A一B钢试的体制有三 为F船y轴，m流出定间里角坐静果。 量维A的米朝心年，具于离十国G对种，所以下列平香D所系 则A2,-taD.B2,10),C01.d3:D0。-1 D,E1.-t1.F2,013.G1,1.lfHe,0 喜二转维A=种卷梨桑大时二桂维A=的外数系大，二线维A=球种 . 三黄F-A, 4瑞A:漫平香灯的业长量为m=(外 n正(-1,0，，-0l》 盈大的缘最大， 局加FG⊥CD时F时平面BCD的能真录太，高时区城推F一AB0的象和表太 取AB鳞中点O,过点)在风面内作直我0：工A思，速 路0，电点如刻两量的空闲L角室韩票， 时A,-1,6,B(0,1,91,G0,42),F，,2) C0,l,3. 时配=0，-士2.=t.-.0. 设平南BEF的梁有重者▣n5nE, 应-。 1w,=xy+红=0， -1，莉)=r- fdn=,2,10, 位直直AC为平面平将点角为0，又A亡-(0,2,2， -AC 此直直A汇与十面5灯种或角的玉就丝为3厘 1收著常 幕所南已k得，F⊥AE,F⊥DB,A5门DE=F.二.FL平ADg,∠呢A 见二平为A山P居，平面风目来A力r 取Ar的中是H为坐赫装是，是主如面所学的室闲 置-4,0-D0,C4,-l40 i-15.i-(1.45, 厦Mt.00.到EF丽-(3，，0， 设平面C的潘向量考==(-y,1.时 a·i-+g-, 、·-++,-4.孩一-。 由直直D5每平香C明或的角为经“， 正一址十1=：解用地1人2=1，的有重线De与平面C种或的两为行， 鞋D的中AQ,为南平面CEF的一个食向量， 9b,9)tan,@i-(号0，-） 设平而2与平新CEF特决角有0， 时Im到= Q·n =4 1= ++ w+ 习时-子 二平面新次异平鱼T表角的卡能值中子 1.解()由+最格可和el=1=e-l a》=e,=的， 地g:6-bg-ee-lXo- “-}动-}币---，-花--- ,亚--)--a-+- 梦考答漏41 由由则可如这-减+-对-花-}一，迹-布-西-e4 1船1,2)e,示-0,1.40，i-D,2,-23是平面AD的有量， .时-ce--2--ee*e-}-}-}+ 点F到+6D格是集布山感：马上-2项 82 的，解(11证明：国为是面AD为菱形，时以CD8An 61d-号.动-15s- 惑 )①量龙伊同平面的2离海A 二弄海美气F与BD肾成薄的伞程雁为总 透弟生技P阳有十由C四所A的高格美就丝为受，PD一团干-2豆 1点，解1a明，因为平青PAB2平面ACD,千看PAB门平奇AB印=AB,且是形 AHD中，ADLH, ②真BC格中点G:速基AG, RADL年新PA及 XPBC平南PB,背4 ADIPB. E(d.Bp,0r2. PALPB,.ADPA=A-ADC平面PAD,FAC年面PAD 种4PB⊥平面PAD D0,2a)5,1.0m,0,b,2, 又PB二面P8C,两平PADL平面PC d=,-1,03话-a.-2,0,Dd=0, (21南1加AD⊥平面PA用.取AN中A0,是传m,时OLA用 -10.P元(0,0t-2 议)为原人，建生如周降的的室网直典室标系。 (I}知E的CD,#M7,CD具西，盛 P1,0,,A,-1,0,,2,,D(0,-,2 4E, ,11,w2 混平有OEF时贵南量布m=红， 一i--0, 4,-8. 0:m一y十-0 最平画AW阳的清向量为=xE, 伞g-25.周n4,e,2. 数/·成- 。a-a. 背或真线PD与平面CF背或的角的王敏性为 r+3s-5e=0, 伞ym-1,可-8，=0，背dm=(3,一1,0创， :-器器 同理可得，平南MD的一个法令是为m=一1l西， 解年-1透-学含4 cin. 骨滋AE是P的中点 L(I)证即“取C转中AE,连mD呢，度C于AD,是 两阳十最AD身牛西0的夫角的款整丝为四 nA0,-1,00,1,=1,0.C0,1,0,p叫-1,0，a3 ,1证期加国斜为，由季种和：成4C,离两河直相垂直。 0,-12 点N为PC的中A,N,D,1):D及=id.i). 格建上空间直角皇然难BFy过， 财=《e00》面-(.2,0，，D=《03,-》- 8D,-b,8,B:b=0+4-4- 可年4=(0,1,0，二D4=8 B DLBA.801RD. 夏：0NC平垂PA图，.DN8平面PA用 X+BD门BA=B.BO,AC平垂AHD, 2M41》亡-40,2,0>.i-(-1,1.-) BD平A 日真线AC具PD确点的用为R, (2量稀由8如00门》号t4)以014》 w:高-品兴 屈-（号t).-01. 一直我C海PD用成A的全#植动停 出，D,2=g十1-=0，D,-+2-2=1. B》7GHU上F 元EGnEF=E,E.EFC+kEFG 量4y山，上P-A市.☑1 B,DI平看G, =-4 X平两EFG南平角ABD系重香， 4y1-A:g-1,3-1,3- 线合U可物，平西EF这平面AD 量平重C别的4向量为n=g,-e》 42参考答案☐ =0,2,0》AM-(-1,41一) 巴”中色 转A商- 1-3x+4y+3-队m=9, 罗得平面ACM的一个塞向量为m=2一日.系，)。 当国加西ACD时一个准向章为a=0是1D: 解样1=成A-红合4. (-是-}是)-(-是是) 的a干面ACD格一本金南量海▣一（得号》 路寿平面MAC带点的周为， : -一 此存在点N,镜得平面M风C鼻平面AD的先路为， 在时W每平面MAC所点时考为， 解()如理日1：点△PD中，PALPD,PA=PD=反，AD=2 居加m娃8联0为星方形 AD=1.即0为AD时中A, 参超图？中，备如语回城维P一ACD时体称最大财， 侧南PAD⊥点面ACD,c时O⊥年南ACD, D为室排扇A,0汇两在真周为：每，C0种在直线 为于仙，P时农真填角。轴此立室间直角拿却奉， 如常片争，时N0,0,1》A(0,=10).1,=10》-C 1042.D4.1.0) P西-1，-1，-D乎--1，，死-l,- 议平面D的法餐量秀s=:5y:), a·=一+=0 ,币-广 取4=1：得=11.13， 明法到+传mm的B高d-西：-华 假成年在满风是意的属Q,真成P西=1P可（写 :市=(1.-1，范-0亦-西=《0，.-. 是-0,013.i-03,1-4).Q0dl-A 爱平面C4Q钟海向童考和=《列的-： 易知花=1，l).A-(0a+1,1-, 黑·而-以+州+(1=南-g 取有=1+1，样和=-4一1山+1) L平面CAD的一个表向量为n=00, 是二面黄9-一0的余营值粉当。 w-aax号 a+1 垫厦4老周得初-幽十1-，期得-号A人3红女， 提阳上4成元题含将去9器-多