2.5 第2课时 几何图形问题与一元二次方程&情境应用专题 一元二次方程的实际应用-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（湘教版）

8D9.A10.B1.-号<m< 12.解：（门）正明：△=(m一3)2十4m=m2一2m十1十8=(m一 十8≥8， ,方程有两个不相等的实数根， (2)由根与系数的关系，得十=m一3,0=一m x+x-x1x1=27,.(十x)2-3x4x2=27, .(m一3)2十3m=27,解得=一3，m2=6. 故m的值为一3或6. 13.解：1)证明：由题意，得△=[一(2k一3)]的一4(2十1)>0 即-12k+5>0,解得位： 十=2张-3K一号=形+1≥1， x1<0,x1<0. (2)x1x1一|x1-|x2=6, .x1xa十(1十x2)■6，即2十1十2k-3=6, .(克十4)(k一2》=0， 解得k1■一4，k:一2（不合题意，舍去）， 点的值为一4 14.解：1)ma十m2=-子 （2)2+7+2=-1. 2.5一元二次方程的应用 第1课时变化率问题、销售问题与一元二次方 1.D2.C 3.解：设2022年2024年改造费用的平均降低率为x, 4000÷80=50(万元). 根据题意，得50(1一x)2=18, 解得x1=0.4=40%,x2=1.6(舍去). 故2022年2024年改造费用的平均降低率为40%， 4.C 5.解：设每顶帽子降价x元 根据题意，得(68-x-40)100十20x)=4000, 整理，得x2-23x十60=0， 挪得x1=3,x=20. 每质售价不高于58元，.每页降价不低于10元， x=3不符合题意，应当舍去，”x=20, 故每顶帽子应降价20元. 6.D7.10%8.5 9.解：(1)设售价应定为x元 由题意，得8000=(x一20)[500-10(x一30)]， 解得x1=40,x1=60. ”更大优惑让利消费者，·x=0 故售价应定为40元 (2)设这两周的平均增长率为y 由题意，得[500-10×(40-30)](1+y)2=484, 解得当=0.1=10%，”=一2.1（不合题意，舍去）. 故这两周的平均增长案为10%. 10,解：(1)设每个台灯降价x元，每个台灯获利(10一x)万 月销量为(200x十600). 根据题意，得(10一x)(200x十600)=8400， 解得x1=3,x1=4. 当x=3时，200x+600=1200<1210: 当x=4时，200x十600=1400>1210（不合题意，舍去）. 故每个台灯降价3元. (2)设每个台灯的售价为y元， ①当y<40时，根据题意，得(y一30)[200(40一y)十600]= 8000, 即(y-30)(8600-200y)=8000 解得y1=38,为=35. 当y=38时，8600-200y=1000: 当y=35时，8600-200y=1600>1000(不合题意，名去) ②当y>40时，根据题意，得(y-30)[600-20(y-40)门= 8000, 即(y-30)(1400-20y)=8000, 解得1一边=50. 当y=50时，1400一20y=400,符合题意 综上所述，每个台灯的售价为38元或50元 第2课时几何图形问题与一元二次方程 1.(32-x)(20-x)=5402.81 3.解：设人行通道的宽度为x(0<x<4)m 根据题意，得(20-3x)(8-2x)=56, 整理，得3以-32十52-0，解得-2，-9（不合题意， 舍去). 故人行通道的宽度为2m 4.9或12 5.解：口PQCR的面积能为7. 设点P从点A出发运动x个单位长度时，口PQCR的面积 为7 依题意，得x(8一x)=7 解得x1=1xa=7, 故点P运动的时间为子或子。时，口PQCR的面积为7， 6.C72m82或号 9.解：(1)设BC=xm,则AB=(33-3x)m, 依题意，得x(33一3x)=90, 解得x1=6,x2=5. 当x=6时，33一3x=15: 当x=5时，33一3x=18>15(舍去). 故养鸡场的长(AB)为15m,宽(EC)为6m (2)不能实现理由如下： 设BC=ym,则AB=(33-3y》m 依题意，得y(33一3y)=100, 整理，得3yY一33y+100=0. 4=(-33)2-4×3×100=-111<0, ·该方程无实数根，即小海的爷爷不能用购买的铁栅栏建 个100m的矩形养鸡场。 10.解：①当0<8时，7PB·DQ-32 即2(12-0·21=32 整理，得2-12十32=0，解得4=4,2=8： ②当8<×12时，CQ=2t-16,PB=12-t .BQ=BC-CQ=16-(2:-16)=32-2x, ÷7PB·BQ=号12-0(32-20=32， 解得4=20（舍去），4=8（舍去）： ③当=12时，点P和点B重合，不符合题意，舍去： ④当12<<16时，2PB·BQ=32,即7(-12)32-2) 上册参考答案 16© =32,整理，得t2一28十224=0. △=282一4×1×224=一112<0，，方程无实数根： ⑤当t=16时，点Q和点B重合，不符合题意，舍去， 综上所述，当：的值为4或8时，△PBQ的面积等 32cm2. 情境应用专题一元二次方程的 实际应用（真实情境》 1.解：设周输去世时年龄的十位上的数是x 由题意，得10x十(x十3)=(x十3)2， 解得x1■2，x2■3. 周瑜已过而立之年，x=3,∴.x十3=6. 故周瑜去世时36岁 2解：依遥意，得子A-1)=125, 解得州=50,2=一49（不符合题意，舍去）. 放该班同学的人数为50， 3.解：设每只病鸡每轮传染x只健素鸡 由题意，得x十1十x(x十1)=256， 解得x1=15,x4=一17（不符合题意，舍去）： 放每只病鸡每轮传染15只健康鸡 4.解：(1)设平均每次下调的百分率为x 根据题意，得7000(1一x)2=5670, 解得x1=10%,x2=190%(不符合题意，舍去) 故平均每次下调的百分率为10%. (2)方案①：100×5670×98%=555660（元）： 方案②：100×5670-1.5×100×12×2=563400（元）. 555660<563400,∴.方案①更优惠 5.解：Q)由3月份用电量和电费，得20十(80-a·总-35 整理，得a2-80a十1500=0，解得a1=30,aa=50. 由4月份用电量和电费，得a>45, ,a的值为50. (2)设该宿舍当月用电量为xkW·h 由题盘，得20十c-50)×品=45，解得x=10, 故该宿舍当月用电量为100kW·h 章末对点导练 1.B2.C3.3 4.解：1)原方程可化为x十1)产-号， 开学方：得x十1=士子 解得=一子=一专 2 (2)x2-6x十16=8，.x2-6x十9=1， ∴(x-3)2-1,.x-3=±1， ∴x1=4,x8=2. (3),a=5,b=-1,c=-23 ∴，4=6-4ac■(-1)2-4×/5×(-25)=25>0， “x=1±愿1士5 2525 六5，x=-2 3 1707 九年级数学X版 (4)原方程可化为x(x一3)十(x-2)(x一3)=0 方程左边因式分解，得(x一3)(x十x一2)=0， .x一3=0或x十x一2=0， 解得西-3，五=1. 5.解：由题意，得(-1)2一2m十m2一1=0， 整理，得m2一2m=0,解得m=0或m=2. ①当m=0时，原方程为x2一1=0， 解得1=1，=一1： ②当m=2时，原方程为x十4z十3-0， 解得=一3或x2=一1. 综上所述，当m=0时，此时原方程的另一个根为x一1：当m =2时，此时原方程的另一个根为x■一3。 6.解：移项，得m2十n2一12n十10m十61=0： 将61拆分为25和36， 可得(m2+10m+25)+(m2-12m十36)=0， 根据完全平方公式，得(m十5)十(m一6)2=0， .(m十5)2=0，(n一6)2=0，.m=-5,=6. .(m十n)2脑=(-5十6)0路=1 7.A8.D 9.解：(1)：关于x的一元二次方程x2十2(m+1)x十m一1=0 有实数根， .△=[2(m+10]2-4(m2-1)=8m+8≥0， 解得m≥一1， .当方程有实数根时，实数m的取值范围为m≥一1， (2):方程的两个实数根分别为4， ∴.x1十x2=一2(m十1)，1x2=m2一1. (x1-x2)2=16-2红1x4, .(x1-x2)2=(x1十a)2-4x=16-2x1x2, .[-2(m十1)]-4(m2-1)=16-2(m2-1), 整理，得m2十4m一5=0 解得m1=-5,m=1 又：m≥一1，.实数m的值为1. 10.30%11.2 12.解：(1)由题意，得5000m十5000(m+1)(m一1)=145000， 解得1=5，m2=一6（不合题意，舍去）. 当m=5时，5000十5000(m+1)=35000, 故小琴的父母今年共收获蜜梨35000kg (2)设每干克否售价应降价x元，才能使得每天的销售利润 为600元. 由题意，得(2-)(200+40·奇》 =600 解得x1=0.5,x2=1. ,要加快销售速度，∴x=1 故每干克公售价应降价1元，才能使得每天的销售利润为 600元. 13.A14.A15.C16.C17.C18.=0(答案不唯-) 19.14 20.解：(1)：原方程有两个不相等的实数根， .4=(-20)2-4X1×(-k+1D=42-4+4h-4=4k -4>0, 解得>1. (2)1<k<5, .整数是的值为2,3,4. 当=2时，方程为x2-4x十3=0，解得=1，x1=3, 当k=3或4时，方程解不为整数， 综上所述，k的值为2.第2课时几何图形问题与一元二次方程 要固提园 常用公式：)S=长X宽：2S,=上底十下底×高：3均股宽理：a+8=:（4)SW=边长X边长： 2 (5)V*本=长X宽×高。 转化策略：(1)几何图形问题中，常将不规则图形进行平移、分制等操作，将其组合成规则图形，找出各部分的 面积关系，再运用规则图形的面积公式求解：(2)对于动态几何问题，常将动态的过程进行静态处 理，在“静”的秋态下分析图中的数量关系，然后根据相关公式列方程求解即可. 已课内基础练 知识点② 动点问题 知识点①面积问题 4.如图，在Rt△ABC中，∠C 1.如图，在长为32m、宽为20m的矩形地面上 90°，AC=30cm,BC=21cm,s动 修建宽度相同且互相垂直的道路，余下部分 点P从点C出发，沿CA方向 第4题图 进行绿化.若绿化面积为540m2,设道路的 向点A运动，动点Q从点B出发，沿BC方向 宽度为xm,则根据题意可列出关于x的方 向点C运动，如果P,Q两点同时出发，运动 程为 速度均为1cm/s,那么运动 5 时，它们相距15cm. 54 cm 5.(教材变式)如右图，在等腰直 正em 角三角形ABC中，AB=BC 第1题图 第2题图 =8,点P从点A开始以每秒 2.如图，一块正方形钢板截去3cm宽的矩形钢 2个单位长度的速度沿边ABB 条，剩下的面积是54cm2,则原来这块钢板的 向点B运动，过点P作PR∥BC,PQ∥AC, 面积是 m 分别交AC,BC于点R,Q.口PQCR的面积 3.(2025毕节期末)）某新建 能否为7？如果能，请求出点P运动的时间； 火车站站前广场有一块 如果不能，请说明理由. 长为20m、宽为8m的矩 20m 形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿 地，它们的面积之和为56m2,两块绿地之间 及周边留有宽度相等的人行通道（如上图所 示).人行通道的宽度为多少米？ 上册第2章 37△ 已课外拓展练 (2)小海的爷爷想用购买的铁橘栏建一个 6.茗茗把一根长为32cm的细铁丝剪成不等长的 100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？ 两段，并把每一段都围成一个正方形（不考虑损 请说明理由。 耗).若要使围成的两个正方形的面积之和等于 40cr,则较短的那段铁丝的长为 ( A.2 cm B.6 cm C.8 cm D.24 cm 7.如图所示的是用8m长的铝合金材料制成 的矩形窗框，窗框的下部分是一个正方形， 上部分是一个矩形.若要使窗户的透光面积 为m,则窗框的高为】 (窗框的 已核心素养练 厚度忽略不计). 10.分类讨论思想如右图，在 △ABC中，∠B=90°，AB= 12cm,BC-16cm.点P从点A 第7题周 第8题阔 开始沿AB边向点B以1cm/s4+P 8.如图所示，A,B,C,D为矩形的四个顶点， 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向 AB=16cm,AD=8cm,动点P,Q分别从点 点C以2cm/s的速度移动.如果点P,Q分 A,C同时出发，点P以3cm/s的速度向点 别从点A,B同时出发，点P在到达点B后 B移动，点Q以2cm/s的速度向点D移动. 返回点A,点Q在到达点C后返回点B,一 若一点到达终点，另一点也随之停止运动. 个点停止，另一个点也随之停止.设运动时 当P,Q两点出发 s时，点P 间为ts,当t为何值时，△PBQ的面积等于 和点Q的距离是10cm. 32cm2? 9.小海的爷爷购买了33m的铁栅栏，准备用 这些铁栅栏靠墙（墙长15m)围建一个中间 带有铁栅栏的矩形养鸡场（如下图所示）。 (1)若要建的矩形养鸡场面积为90m2,求养 鸡场的长(AB)和宽(BC). 438 九年级数学划版 情境应用专题 一元二次方程的实际应用（真实情境） 题型① 古诗问题 题型④ 方案问题 1.跨语文学科请欣赏改编自苏轼《念奴娇· 4.某市某楼盘准备以每平方米7000元的均价 赤壁怀古》的诗歌：大江东去浪淘尽，千古风 对外销售，由于新政策出台，购房者持币观 流数人物.而立（三十而立）之年督东吴，早 望.为了加快资金周转，房地产开发商对价 逝英年两位数.十位恰小个位三，个位平方 格经过两次下调后，决定以每平方米5670 与寿符.最后两句大意为十位上的数比个位 元的均价开盘销售， 小3，个位上的数的平方等于他去世时的年 (1)求平均每次下调的百分率， 龄.求周瑜去世时的年龄。 (2)某人准备以开盘均价购买一套100m2的 房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供 选择：①打九八折销售；②不打折，送两年物 业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5 元.请问哪种方案更优惠？ 题型② 循环问题 2.新年到了，为增进同学友谊，某班主任规定 本班同学每两个人间必须通电话1次.若同 学们共通话1225次，求该班同学的人数元 题型⑤ 分段计费问题 5.为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿 舍用电收费做如下规定：一间宿舍一个月用 电量若不超过akW·h,则一个月的电费为 20元：若超过akW·h,则除了交20元外，超 题型③ 传播问题 过部分每千瓦时要交品元电费.某宿舍3月 3.(2024一2025浏阳月考)鸡瘟是一种传播速 份用电80kW·h,交了35元电费：4月份用电 度很快的传染病，一轮传染为一天时间.某 45kW·h,交了20元电费. 养鸡场某日发现一例，两天后发现共有256 (1)求a的值. 只鸡患有这种病.若每只病鸡每轮传染健康 (2)若该宿舍5月份交了45元电费，则该宿 鸡的只数均相同，求每只病鸡每轮传染多少 舍当月用电量为多少千瓦时？ 只健康鸡， 上册第2章 39△