22.3 第3课时 建立适当坐标系解决实际问题-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（人教版）

第3课时 建立适当 已知识要点扫描 建立适当平面直角坐标系解决实际问题 许多实际问题（如与隧道洞口、桥洞、球的 运动轨迹、喷泉喷出的水的轨迹等相关的实际 问题)中都存在着与抛物线相关的图形.此类 问题可以通过构建二次函数解析式来求解，求 解的一般步骤如下： (1)建立适当的平面直角坐标系，将抛物 线图形放在平面直角坐标系中： (2)结合图形和已知条件，分析变量间的 关系： (3)用待定系数法求函数解析式： (4)利用二次函数的解析式及其性质求解 实际问题 经典例题剖析 【例】如图①所示的是一个运动员在投篮， 球的运行路线可以看作是一条抛物线，图②是 球运行路线的平面示意图.球的出手点D到地 面EB的距离为2.25m(DE=2.25m),当球 运行至F处时，达到最大高度3.5m,水平距离 为2.5m(F到DE的距离为2.5m).已知篮圈 中心A到地面EB的距离为3.05m. (1)请建立恰当的平面直角坐标系，求该 抛物线的解析式 (2)若篮圈中心A离运动员的水平距离为 4.5m,则该运动员能否将篮球投入篮圆？若 能，请说明理由；若不能，算一算运动员往哪个 方向移动，移动多少米，此次所投的篮球才能 投人篮圈. 图① 图② 【点拨】(1)以EB所在直线为x轴，DE所 在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据题意 40 九年级数学J版 坐标系解决实际问题 得出点D,F的坐标，设此抛物线解析式的顶点 式，再把点D的坐标代入析式中，求出常数 项即可：(2)把y=3.05代入解析式求出x的 值，与4.5比较即可得出结论 【解】(1)示例：如图，以EB 所在直线为x轴，DE所在直线 为y轴建立平面直角坐标系， 则D(0,2.25),F(2.5,EoyB 3.5). 由题意知，F为该抛物线的顶点，故可设 抛物线的解析式为y=a(x-2.5)2十3.5. 将D(0,2.25)代人，得2.25=a(0-2.5)2 十3.5，解得a=-0.2. 故该抛物线的解析式为y=一0.2(x 2.5)2+3.5. (2)不能 当y=3.05时，3.05=-0.2(x-2.5)2十 3.5,解得x1=1,x2=4. ,4.5>4, ,该运动员不能将篮球投入篮圈. 4.5-4=0.5(m). 故运动员应沿EB方向向点B移动0.5m, 此次所投的篮球才能投入篮圈， 色基础对点训练 知识点建立适当平面直角坐标系解决实际 问题 1.如图，某同学在校运会跳 高比赛中采用背跃式，跳 跃路线是一条抛物线.他 跳跃的高度y(单位：m) 第1题图 与跳跃时间x(单位：s)之间具有函数关系y 号女+号x十号，那么他能跳过的最大高 度为 A.号n B.m C.1nD.告n 变式题由二次函数的解析式求最大值· 求函数图象与x轴的交点坐标 如图，一名学生推铅球，铅球在空中的运行 路线是一条抛物线，铅球行进高度y(单位： m)与水平距离x(单位：m)之间的关系式 是y一立x一10)(x十4)，则铅球推出的 距离OA m. y/m A x/m 变式题国 第2题围 2.如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门， 小强想知道这道门的高度，他先测出门的宽 度AB=8m,然后用一根长为4m的竹竿 CD竖直接触地面和门的内壁，并测得AC= 1m,则门高OE为 () A.9m &g如 C.8.7m D.9.3m 3.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同 的抛物线形护栏组成的.为了牢固起见，现 每段护栏每隔0.4m需要加设一根不锈钢 支柱，防护栏的最高点距离底部0.5m(如 图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长 度为 () A.50m B.100m C.160m D.200m 单位：m 单位：m 0.5 0.4 2.534 第3题图 第4题周 4.如图，要在水池中心点O处竖直安装一根水 管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下 移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移， 水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调 试发现，当喷头高2.5m时，水柱落点距点 O2.5m;当喷头高4m时，水柱落点距点O 3m;当喷头高 m时，水柱落点距 点04m. 5.(2024江西)如下图，一小球从斜坡O点以一 定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函 数y=a.x2+bx(a<0)的图象刻画，斜坡可以 1 用一次函数y=x的图象刻画.小球飞行 的水平距离x(单位：)与小球飞行的高度y (单位：m)的变化规律如下表： 0 26 15 15 2 8 2 (1)①m= ②小球的落点是A,求点A的坐标. (2)小球飞行高度y与飞行时间t(单位：s) 满足关系：y=一5t十t. ①小球飞行的最大高度为 m: ②求的值. 小球 上阳第二十二章 4△-1. 把A(1,0),B(3,2)代入抛物线y=x+b虹+，得 10=1十b+6解得 b=-3, 2=9+3b+c, c=2, “抛物线的解析式为y=x2-3红十2. (2)x<1或x>3. 重难题型专练二次函数的最值 及函数值的范围 1.-22.13.(1)直线x=1(2)-174.-2<y≤2 5.解：(1D把M(-2,3)代入y=-2+mx十3，得-4-2m+3 =3,解得m=一2， .y=-x2-2x十3=-(x十1)8+4， 抛物线的质点坐标为（一1,4） (2),y=-(x十1)2+4， .抛物线开口向下，对称轴为直线x=一1，最大值为4. 当x=0时，y=3 当x=-3时，y=0, ∴当-3≤x≤0时，y的取值范围是0≤y≤4 6C7.D8-1g-8或±厘 10,解：由题意可知，二次函数图象的开口向下，对称轴为直线 x=m.分以下三种情况讨论： ①当m<一2时，函数的最大值在x=一2处取得，即一（一2 一m02十十1=4，解得m=一子，不合题意，舍去 ②当一2≤m≤1时，函数的最大值在x=m处取得，即m十 1=4,解得m=尽（不合题意，舍去），m=一5 ③当m>1时，函数的最大值在x=1处取得， 即-(1-m)2十m2十1=4， 解得m=2. 综上所述，实数m的值为一5或2 22.3实际问题与二次函数 第1课时几何图形面积问题 1.A2B3.B4.25.4万6号7.125875 9.解：(1).△AEH2△BFE2△CGF2△DHG, Sar=S△Mg=Saos球=Sa0G,AH=BE=4-x, Sa=4×受AE·AH=2x4-x, 六y=SE方带m-S明事=4X4-2x(4-x)=2x2-8x十16. (2)令2x2-8x+16=10, 解得x1=1,xg=3. 放当AE-1或3时，四边形EFGH的面积为10. (3)存在最小值。 :y=2x2-8x+16=2(x-2)2+8,2>0 .当x=2时，y取得最小值，最小值为8， ,四边形EFGH的面积的最小值为8. 10.解：(1)由题意，得AM=t,ON=2t,则OM=QA一AM=18 一，Sa6seNW=Saa一Sas0w=zX18X30-ZX(18- t0×22=2-18t+270(0<t≤15). (2)S=r2-18x十270=2-18t十81-81十270=(t-9)月 44444 196 九年级数学RJ版AH +189. a=1>0, “S有最小值，这个值是189， 第2课时最大利润问题 1.B2.B3.D4.B5.A6.C7.48.602400 9.解：(1)设一次函数的解析式为y=x十6 1100k+b=300, 将(100,300)，(120,200)代入，得 120k+6=200, 解得/使一5， b=800, ∴，这段时间内y与x之间的函数关系式为y=一5z十800， (2)设商场获得的利润为元， (x≥100， 由题意，得 1L-5x+800≥220. .100x≤116. ,w=(x-80)(-5x十800)=-5x2+1200x-64000 -5(x-120)2十8000. ,-5<0,100≤x≤116， ∴当x=116时，利润最大，最大利润为7920元. 10.解：(1)根据题意，得y=(x十8)(600一30x)=一30x2十 360x十4800， ,y与x之间的函数关系式为y=一30x2十360x十4800. (2)y=-30x2十360x十4800=-30(x-6)2+5880. ”顾客的接受价格范围是每碗大于等于8元，小于等于 15元， ∴，0≤x≤7 .当x=6时，y最大，最大值为5880，此时x十8=14. 故该店每碗米线售价为14元时，每天的米线营业额最大 最大营业额为5880元. 第3课时建立适当坐标系解决实际问题 1.A变式题102.B3.C4.8 5.解：(1)①36 /4a+2b=6, ②把(2,6)，(4,8)代人y=ax2十bx,得 16a+4b=8, 解得 b=4, ·二次函数的解析式为y=一 x”+4x x2十4x 联立，得 y=4x, 解得=0 (舍去)或 y=0 15 六点A的坐标是（要，） (2)①8 @y=-5+=一5(-品）°+苏，则品=8， 解得=4/⑥（负值已舍去），放的值为4√⑥.