第4章 4 第4课时 黄金分割&模型构建专题 巧用“基本图形”探索相似的条件-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（北师大版）

模型构建专题 巧用“基本图形”探索相似的条件 题型①平行线型 5.模型观念如下图，AB∥CD,AC与BD交于点 1.如图，AC,BD相交于点O,AB∥DC,M是 E,且∠ACB=90°，AB=65,BC=6,CE=3. AB的中点，MN∥AC,交BD于点N.若 (1)求CD的长 DO:OB=1:2,AC=12,则MN的长为 (2)求证：△CDE∽△BDC. A.2 B.4 C.6 D.8 第2题困 2.如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的 OA边上一点，AC:OC=1:2.过点C作 CD∥OB交AB于点D,C,D两点纵坐标分 别为1,3，则点B的纵坐标为 题型③ 子母型 3.如下图，AB∥CD,AC与BD相交于点E,且 6.如图，在△ABC中，P为边AB上一点.下列 AB=6,AE=4,AC=9. 条件中，不能判定△APC与△ACB相似的 (1)求CD的长 是 () (2)求证：△ABEn△ACB A.∠ACP=∠B B.∠APC=∠ACB C.AC=AP·AB D.AB·CP=BC·AC 第6题图 第7题图 7.如图，E为AB的中点，∠ADE=∠B,AB= 12,AC=9,则CD的长为 8.如下图，在△ABC中，AB=6,AC=4,D是 题型② 相交线型 边AB上的一点.当AD为何值时，△ABC 4.如图，在△ABC中，CE⊥AB, △ACD?请说明理由. 垂足为E,BD⊥AC,垂足为 D,CE与BD交于点F,则图 中相似三角形共有 ( 第4题国 A.6对 B.5对 C.4对 D.3对 九年级数学BS版 题型④ 旋转型 题型⑤一线三等角型 9.(2024一2025聊城东昌府区月 11.如下图，在△ABC中，AB=AC=6,BC= 考)如图，已知∠1=∠2，那么 8,D是BC边上的一个动点，点E在AC边 D 添加下列一个条件后，仍无法 第9题围 上，点D在运动过程中始终保持∠1=∠B. 判定△ABC∽△ADE的是 设BD的长为x(0<x<8) A.∠B=∠ADE BAE-DE (1)求证：△DCE△ABD. (2)当CE=2时，求x的值 c"怨 D.∠C=∠E (3)当x为何值时，△ADE为等腰三角形？ 10.几何直观如图①，已知线段AB, AC,线段AC绕点A在直线AB 上方旋转，连接BC,以BC为边 在BC上方作Rt△BDC,且∠DBC=30° (1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方 作Rt△BAE,且∠AEB=90°，∠EBA 30°，连接DE,用等式表示线段AC与DE 的数量关系是 (2)如图②，在(1)的条件下，若DE⊥AB, AB=4,AC=2,求BC的长 上册弟四章 第4课时 黄金分割 已课内基础闯关 课外拓展提高 知识点① 黄金分割的概念 5.黄金分割由于其美学性质，受 1.我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作 到摄影爱好者和艺术家的喜 出重要贡献，优选法中的一种0.618法应用 爱，摄影中有一种拍摄手法叫 了 ( 做黄金构图法，其原理如下： 第5题图 A.黄金分割数 B.平均数 如图，将正方形ABCD的底边BC取中点 C.众数 D.中位数 E,以E为圆心，线段DE的长为半径作圆， 2.如图，点C将线段AB分成AC,CB两部分， 其与底边BC的延长线交于点F,这样就把 且AC>BC.若C是线段AB的黄金分割点， 正方形ABCD延伸为矩形ABFG,称其为黄 AB=2,则BC的长为 金矩形.若CF=4a,则AB= () A.5-1 B.3-5 A.(5-1)a B.(25-2)a C.2/5-3 D.5-2 C.(/5+1)a D.(25+2)a 6.(易错易混题)若线段MN的长为1，P是 第2题园 变式题图 MN的黄金分割点，则MP的长为 变式题如图，C是线段AB的黄金分割点， 且AC>BC,AC=2,则AB·BC= 7.如下图，在五角星中，AD=BC,且C,D都是 AB的黄金分割点，CD=1.求AB的长 知识点② 黄金分割的应用 3.大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金 分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP> PB).如果AB的长度为8cm,那么BP的长 度为 A.(12-45)cm B.(9-4√/5)cm C.(45-4)cm D.(45+4)cm 知识要点归纳 黄金分割：一般地，点C把线段AB分成两条线段 B 第3题园 第4题国 AC和BCAC>BC,如果铝-瓷，年么称我段 4.某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将 AB被，点C黄金分割，点C叫时做线段AB的黄金分 汽车倒车镜设置于整个车身的黄金分割点 (如图，车尾到倒车镜的水平距离与车长之比 制点，AC和AB的比时微黄金比.其中 AB 为0.618).若车头到倒车镜的水平距离为 5-1≈0.618. 2 1.91m,则该车的车长为 m. 九年级数学BS版C,脚是-器品怨 AC AC CD DE EC .△DCEO△DCE',∴，∠CED=∠CE'D' :DE∥BC,∴.∠CED+∠ACB=180°. 同，∠CE'D+∠ACB'=180°，，∠ACB=∠ACB 0-君品△ABC△ABC 模型构建专题巧用“基本图形” 探索相似的条件 1.B2.6 3.解：(1)，AE=4,AC=9,,CE=AC-AE=9-4=5. 'AB∥CD,∴∠ECD-∠A,∠CDE-∠ABE, △CDE△ABE,器-是， ∴cD=AB,CE_6X5-15 AE 4 2 @运阴荒=音号是号=子盖-是 又”∠A=∠A,.△ABE∽△ACB. 4.A 5.解：(1)∠ACB=90',AB=65,BC=6, .AC=AB-BC=12,..AE=AC-CE=9. AB∥CD,·∠D=∠ABE,∠DCE=∠A,△CDE △iBE,器-器cD=A8C=6X3=26. AE 9 (2)证明：∠ACB=90°，CE=3,BC=6, ..BE-CEFBC=3/5. :△CDE△ABE, 噩-∴DE-EC-, AE 0=4,器-品=子 ∠D=∠D,∴△CDE∽△BDC 6.D7.1 8.解：当AD-号时，△ABCn△ACD,理由如下： AB=6AC=,AD-号 ÷提-福-是又∠A=∠A..AAOAACD. 9.B 10.解：1Ac=5DE2BC=27 11.解：(1)证明：AB=AC,∠B=∠C ,∠ADC=∠1+∠EDC=∠B+∠BAD,∠1=∠B, .∠EDC=∠DAB,·△DCEC∽△ABD (②：△DCE△AD,÷器-8 -号，则cE x 6 CE=22=。兰，解得=6，=2 (3)分以下三种情况讨论：①当DA=DE时. ,△DCE0△ABD,.DC=AB=6,.x=8-6=2: ②当DA=AE时，∠1=∠AED, :'∠AED=,∠C十∠EDC=∠B十∠EDC,与∠AED=,∠ =∠B矛盾，，此种情况不戒立： ③当DE=AE时，∠EAD=∠1=∠B=∠C, ∴△DACn△ABC,小瓷-瓷即号=骨，解得x=子 综上所述，当x=2或？时，△ADE为等要三角形， 第4课时黄金分割 1A2B变武题《3A455D6一波2 7.解：：C,D都是线段AB的黄金分割，点， AC-BD-AB. 2 “AD=BC,CD=1,设AB=x,则AD=BC=会 DAC号+1x 2 解得x=5+2,即AB-5+2 5相似三角形判定定理的证明 1.C2.6 3.解：(1)相似.理由如下： '∠BAD=∠CAE, ·∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD, ∴，∠BAC=∠DAE :∠ABC=∠ADE,△ABC∽△ADE. :△ABCn△ADE,铝能2-0 ∠BAD=∠CAE,∴.△ABDD△ACE 4.解：(1)一个锐角对应相等两直角边对应成比例 (2)斜边和一条直角边对应成比例 在Rt△ABC和Rt△A'B'C中，∠C=∠C=90°， 证同：设铝=品=，则AB=MB,AC-C AC 在Rt△ABC和R△A'B'C中， BC BC= AB—AC AB一ACT VABACT √AB-ACT ÷0-品-瓷R△ABCR△NgC BC 6 利用相似三角形测高 1.B 2.解：如图，过点G作GM⊥ED于点M, .∠EMG=90°.结合题意可得，四边形DF GM为矩形，∠B=∠E,∠A=90°：MD GF,MG=DF,△ABCo△MEG, -，即-∴EM=6m, ..ED=EM+MD=6+3=9(m). 故这棵大树的高DE是9m 一题多解法《 如图，延长EC,DF交于点H. 由题意可得，△ABC△DEH∽△FGH, 提篇0骺 号-品解得H=, ∴.DHDF+FH=8十4=12(m). 部=品品-最郴得E0=9口 故这棵大树的高DE是9m. 444 上册参考答案 183