第4章 4 第3课时 三边成比例的判定方法-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（北师大版）

第3课时 三边成比例的判定方法 已课内基础闯关 位置的格点构成的三角形相似（填序号） 知识点用边的关系判定三角形相似 1.(教材变式)如图，在4×4的正方形网格中有下 2 列三角形，其中是相似三角形的是 ④® 第5题图 6.如下图，正方形ABCD中，E是BC的中点， 第1题图 DF=CF,△AEF与△ECF是否相似？请 A.①与② B.②与③ 说明理由 C.①与③ D.②与④ 2.如图，0是△ABC内任意一点，AD=号A0, BE=}B0,CF=号CO,则△ABC与△DEF 的相似比为 A.1:3 B.3:2 C.3:1 D.2:3 第2题固 1如下图，已知品-器器 第4题周 3,一个铝质三角形框架的三条边的长分别为 (1)∠ABD与∠CBE相等吗？请说明理由. 24cm,30cm,36cm,要做一个与它相似的铝 (2)判断△ABD与△CBE是否相似，并说明 质三角形框架.现有两根长分别为27cm, 理由. 45cm的铝材，要求以其中的一根为一边，再 从另一根上截下两段（允许有余料）作为框 架的另外两边，则截法有 () A.0种B.1种 C.2种 D.3种 4(教材变式)如图，已知铝-骺-能， ∠BAD=20°，∠DAE=60°，则∠DAC的度 数为 5.在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长 均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”落在 处，能使“马”“车”“炮”所在位置 的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在 68 九年级数学BS版 ⊙课外拓展提高 8.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格 上有6个三角形：①△ABC;②△BCD: D ③△BDE:④△BFG;⑤△FGH:⑥△EFK 1当品-瓷-骨时，求证：△ABC ②一⑥中，与①相似的是 ∽△A'BC' 证明的途径可以用下面的框图表示，①处 应填 ,②处应 第8题固 填 A.②③④ B.③④⑤ AD A'D'AD AB C.④⑤⑥ D.②③⑥ ABAB门ADA'B AC AB 9.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一 AC AB CD AC AB △ABCN △A'BC 个三角形框架的三边长分别为4,5,6，另一 △ADC∽△ADC 个三角形框架的一边长为2，它的另外两边 AC BC 长分别为 2当品 AC BC时，判断△ABC 与△A'B'C是否相似，并说明理由. 10.如下图，在由边长为1的小正方形组成的 网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点 上，P,P2,P,P,P5是△DEF边上的5 个格点.请按要求解决下列各题： (1)求证：△ABC∽△DEF. (2)画一个三角形，它的三个顶点为P,P,P, P,P:中的3个格点，并且与△ABC相似 已综合能力提升 知识要点归纳 11.过程补充题如下图，在△ABC和△A'B'C 相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角 AD AD' 中，D,D分别是AB,AB上一点AAB 形相似。 上册第四章 69△12.解：(1)证明：，AC平分∠DAB,,∠DAC-∠CAB :,∠ADC=∠ACB=90°，∴，△ADCp△ACB, .AD:AC=AC:AB,..AC=AB.AD. (2),E为边AB的中点，∠ACB=90”,AB=8,.CE=AE =子AB=X8=4,∠EAC=∠ECA :∠DAC=∠CAB,.∠DAC=∠ECA. 又：∠DFA-∠EFG,△ADF∽△CER,罡-S D=6受-器架-陆C=号 AF 3 13.解：(1)证明：AC⊥BC,∠ACB=90 ∠ADC=90°，∴.∠ACB=∠CDA. 'DC∥AB,∴∠ACD=∠BAC, .△ACBn△CDA. (2)如图，过点Q作QH⊥AB于 Do 点H. 在Rt△ACD中，DC=6cm,AD= 8cm,.由勾股定壅，得AC /6+8=10(cm). △ACBACDA,∠ABC=∠CAD,品-器-器 -铝-警年得AB-号m,BC-号m 由概意，得BQ=tcm,AP-21cm,BP-AB-AP-(号 -2小m,0<K要 :QH⊥AB,∴.∠BHQ=∠ADC-90 ∠ABC=∠CAD,∴.△BHQ∽△ADC, ÷8器-器即婴-六解得QH=号m ∴SmA=Sae-San=子AC,BC-BP,QH= 是×10×号-子×（号-2刘×子=罗，每得4=5,4= 号，当=5或号时，西边形APQc的面积等于罗m 第2课时两边成比例且夹角相等的判定方法 1.D2.B3.C4.∠A=∠A'(答案不唯-)5.89° 697268.0 AE明：AB=BC,AD=DE,铝- .又∠ABC= ∠ADE,△ABC△ADE,∴0-Ae∠BAC-∠DAE, 8怨 :∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAE=∠DAE-∠DAC, ∴，∠BAD=∠CAE,∴.△ABD∽△ACE. 10.C11.C 12.解：(1)，AE=2,AC=8,,CE=AC-AE=8-2=6 AB∥CD,∠A=∠DCE,∠ABE=∠D, △ABEO△CDE,铝-瓷即慢-号AB=4 (2)证明：AB=4,AE=2,AC=8, '∠A=∠A,,△ABE∽△ACB 13.解：(1)△EOF与△ABO相似.重由如下： t=1,..OE=1.5 cm,OF=2 cm. .'AB=3 cm,OB=4 cm, 182 九年级数学BS版 器=5=器==器-器 ,∠EOF=∠ABO=90°，∴.△EOF∽△ABO (2》根据题意，得OE=1.5tcm,OF=2tcm AB=8m,0B=4m,g-85-号 ,∠EOF=∠ABO=90°，，.△EOF△ABO,∴.∠AOB =∠EFO. ∠AOB+∠FOC=90,∴.∠EFO+∠FOC=90', ∴∠OCF=90°，.EF⊥OA 故不论t取何值，总有EF⊥OA 第3课时三边成比例的判定方法 1.C2.B3.B4.40°5.②② B.解：△AEF与△ECF相似.理由如下： 设正方形APCD的边长为4a. E是BC的中点，DF=3CF, BE-EC-2a,CF-a,DF=34 .AE=25a,EF=/5a,AF=5a, 器-器-部=后△AEPACF. 7.解：(1)相等，理由如下： 0-0-距÷△ABC△nBE,∠ABC=∠DBE, 即∠ABD十∠DBC=∠DBC十∠CBE, +∠ABD=∠CBE (2)相似.理由如下： 品噩提器 ∠ABD=∠CBE,△ABD∽△CBE. 8B9吾，8攻号号攻分号 10.解：1)证明：根据勾股定理，得AB=+2=25,AC= /+2=/5,BC=√+3=5，DF=/2+2=22, DE=/4+4=4E,EF=√/6+2=2√/10， AC+AB:BC=DF:DE+EF=12 '.△ABC∽△DEF (2)如图所示，△PP,P即为所求 解：品-总-铝∠A=∠N (2)相似.理由如下： 如图，过点D,D分别作DE∥BC,E∥B'C,DE交AC 于点E,DE'交A'C于点E D 'DE∥BC,,∠AED=∠ACB,∠ADE=∠B, △ADEAABC铝-暖-是 同理，g-DEE ABBC AC ..AD_A'D'DE D'E' 器滑瓷器，咒器 BC 强能器 C,脚是-器品怨 AC AC CD DE EC .△DCEO△DCE',∴，∠CED=∠CE'D' :DE∥BC,∴.∠CED+∠ACB=180°. 同，∠CE'D+∠ACB'=180°，，∠ACB=∠ACB 0-君品△ABC△ABC 模型构建专题巧用“基本图形” 探索相似的条件 1.B2.6 3.解：(1)，AE=4,AC=9,,CE=AC-AE=9-4=5. 'AB∥CD,∴∠ECD-∠A,∠CDE-∠ABE, △CDE△ABE,器-是， ∴cD=AB,CE_6X5-15 AE 4 2 @运阴荒=音号是号=子盖-是 又”∠A=∠A,.△ABE∽△ACB. 4.A 5.解：(1)∠ACB=90',AB=65,BC=6, .AC=AB-BC=12,..AE=AC-CE=9. AB∥CD,·∠D=∠ABE,∠DCE=∠A,△CDE △iBE,器-器cD=A8C=6X3=26. AE 9 (2)证明：∠ACB=90°，CE=3,BC=6, ..BE-CEFBC=3/5. :△CDE△ABE, 噩-∴DE-EC-, AE 0=4,器-品=子 ∠D=∠D,∴△CDE∽△BDC 6.D7.1 8.解：当AD-号时，△ABCn△ACD,理由如下： AB=6AC=,AD-号 ÷提-福-是又∠A=∠A..AAOAACD. 9.B 10.解：1Ac=5DE2BC=27 11.解：(1)证明：AB=AC,∠B=∠C ,∠ADC=∠1+∠EDC=∠B+∠BAD,∠1=∠B, .∠EDC=∠DAB,·△DCEC∽△ABD (②：△DCE△AD,÷器-8 -号，则cE x 6 CE=22=。兰，解得=6，=2 (3)分以下三种情况讨论：①当DA=DE时. ,△DCE0△ABD,.DC=AB=6,.x=8-6=2: ②当DA=AE时，∠1=∠AED, :'∠AED=,∠C十∠EDC=∠B十∠EDC,与∠AED=,∠ =∠B矛盾，，此种情况不戒立： ③当DE=AE时，∠EAD=∠1=∠B=∠C, ∴△DACn△ABC,小瓷-瓷即号=骨，解得x=子 综上所述，当x=2或？时，△ADE为等要三角形， 第4课时黄金分割 1A2B变武题《3A455D6一波2 7.解：：C,D都是线段AB的黄金分割，点， AC-BD-AB. 2 “AD=BC,CD=1,设AB=x,则AD=BC=会 DAC号+1x 2 解得x=5+2,即AB-5+2 5相似三角形判定定理的证明 1.C2.6 3.解：(1)相似.理由如下： '∠BAD=∠CAE, ·∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD, ∴，∠BAC=∠DAE :∠ABC=∠ADE,△ABC∽△ADE. :△ABCn△ADE,铝能2-0 ∠BAD=∠CAE,∴.△ABDD△ACE 4.解：(1)一个锐角对应相等两直角边对应成比例 (2)斜边和一条直角边对应成比例 在Rt△ABC和Rt△A'B'C中，∠C=∠C=90°， 证同：设铝=品=，则AB=MB,AC-C AC 在Rt△ABC和R△A'B'C中， BC BC= AB—AC AB一ACT VABACT √AB-ACT ÷0-品-瓷R△ABCR△NgC BC 6 利用相似三角形测高 1.B 2.解：如图，过点G作GM⊥ED于点M, .∠EMG=90°.结合题意可得，四边形DF GM为矩形，∠B=∠E,∠A=90°：MD GF,MG=DF,△ABCo△MEG, -，即-∴EM=6m, ..ED=EM+MD=6+3=9(m). 故这棵大树的高DE是9m 一题多解法《 如图，延长EC,DF交于点H. 由题意可得，△ABC△DEH∽△FGH, 提篇0骺 号-品解得H=, ∴.DHDF+FH=8十4=12(m). 部=品品-最郴得E0=9口 故这棵大树的高DE是9m. 444 上册参考答案 183