第4章 4 第2课时 两边成比例且夹角相等的判定方法-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（北师大版）

第2课时两边成比例且夹角相等的判定方法 已课内基础闯关] 个条件，那么这个条件可以是 知识点用边角的关系判定三角形相似 (写出一种情况即可). L.(教材变式)如图，下列三角形中，与△ABC 5.如图，在△ABC中，AD=2.4,DB=2.6,AE 相似的是 ( =3,EC=1,∠A=36°，∠B=55°，则∠ADE 的度数为 6.如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC= 40 16 √5AB=3BD,则AD:AC的值为 180° B 40>P D 0 第6题图 第7题图 7.如图，BD平分∠ABC,且AB=4,BC=6.当 3 BD的长为 时，△ABD 100 C∽△DBC. 第1题图 第2题图 8.如图所示，三个边长为1 2.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交 的正方形ABCD,ABEF, 于点O,且将这个四边形分成①②③④这四 EFHG拼在一起，则∠1， 个三角形.若OA:OC=OB:OD,则下列结 第8题图 ∠2，∠3这三个角的度数 论一定正确的是 ( 之和等于 A.①和②相似 B.①和③相似 9.如下图，已知△ABC和△ADE都是等腰三 C.①和④相似 D.②和④相似 角形，AB=BC,AD=DE,且∠ABC= 3如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点 ∠ADE.连接BD,CE,求证：△ABD 均在格点（小正方形的顶点）上，要使△ABC ∽△ACE. ∽△EPD,则点P所在的格点为 ( A.P B.P2 C.P3 D.P 第3题围 第5题围 4.开放题 在△ABC和△A'B'C'中，A5 AC A.要使△ABC∽△AB'C',还需添加 AB' 66 九年级数学BS版 ⊙课外拓展提高 已综合能力提升 10.(易错易混题)在平面直角坐标系中，已知 13.几何直观如下图，已知∠MON=90°，A是 点A(-2,0),B(0,4),C(0,3),过点C作直 ∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON, 线交x轴于点D,使得以D,O,C为顶点的 垂足为B,AB=3cm,OB=4cm.动点E,F 三角形与△AOB相似.这样的直线最多可 同时从点O出发，点E以1.5cm/s的速度 以作 沿ON方向运动，点F以2cm/s的速度沿 A.2条 B.3条 OM方向运动，EF与OA交于点C,连接 C.4条 D.6条 AE,当点E到达点B时，点F随之停止运 11.如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中 动.设运动时间为ts(t>0). 点，会能-号，连接BD,则和△AED(不包含 (1)当t=1时，△EOF与△ABO是否相 似？请说明理由。 △AED)相似的三角形有 (2)在运动过程中，不论t取何值，总有EF ⊥OA,为什么？ 第11题图 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 12.(2024一2025榆林榆阳区月考)如下图，AB ∥CD,AC与BD交于点E,连接BC.已知 AE=2,AC=8,CD=12. (1)求AB的长， (2)求证：△ABE∽△ACB. 知识要点归纳 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等 的两个三角形相似 67 上册第四章12.解：(1)正明：，AC平分∠DAB,∴.∠DAC=∠CAB :∠ADC=∠ACB=90°，，'.△ADC∽△ACB, .AD AC=AC:AB,..AC=AB.AD. (2)E为边AB的中点，∠ACB=90”,AB=8,∴.CE=AE =含AB=是×8=4，∠EAC=∠ECA :∠DAC=∠CAB,.∠DAC=∠ECA 又：∠DFA=∠EFC,△ADF△CEF,是-器 “AD=6,受-部架=陆C=号 AF 3 13.解：(1)证明：：AC⊥BC,.∠ACB=90 ∠ADC=90°，∴∠ACB=∠CDA :DC∥AB,.∠ACD=∠BAC, .△ACB∽△CDA (2)如图，过点Q作QH⊥AB于 点H, 在Rt△ACD中，DC=6cm,AD 8cm,由勾股定壅，得AC= /6+8=10(cm. △ACB△cDA∠ABC-∠CAD,器-普-器 碧-铝-警解得AB- 3cm,BC-40 3 cm 由题意，得BQ=cm,AP=2am,BP=AB-AP=(号 -24）m.0<r<等 QH⊥AB,·∠BHQ=∠ADC=90. :∠ABC=,∠CAD,.△BHQA△ADC 器-器即要=六解得QH=子m, ∴Sms事Ag=Sac-Saae=号AC·BC-子BP,QH 号×10×号-合×（号-2刘×÷：=，解得6=5,6 号∴当=5攻号时，四边形APQC的面积等于罗 第2课时两边成比例且夹角相等的判定方法 1.D2.B3.C4.∠A=∠A(答案不准一)5.89° 657268.90 9E明：AB=BC,AD=DE,六0- ,又，∠ABC ∠ADE,△ABC△ADE,0-能∠BAC-∠DAE, 8-架 :∠BAD=∠BAC-∠DAC,.∠CAE=∠DAE-∠DAC ,∠BAD=∠CAE,∴.△ABD∽△ACE. 10.C11.C 12.解：(1)，AE=2,AC=8,∴.CE=AC-AE=8-2=6. 'AB∥CD,.∠A=∠DCE,∠ABE=∠D △ABEn△CDE,部-器，脚授-音AB=4 (2)证明：”AB=4,AE=2,AC=8, '∠A=∠A,∴△ABE∽△ACB. 13.解：(1)△EOF与△ABO相似.理由如下： t=1:..OE-1.5 cm,OF=2 cm. 'AB=3 cm,OB=4 cm, 44444 182 九年级数学BS版 器器-是-器器 :∠EOF=∠ABO=90°，∴.△EOF∽△ABO (2)根据题意，得OE=1,5tcm,0F=2tcm AB=8m,0B=4mg-器- ,∠EOF=∠ABO=90”,,△EOF△ABO,∴.∠AOB =∠EFO. ,∠AOB+∠FOC-90°，，∠EFO+∠FOC-90°， .∠OCF=90,EF⊥OA 蔽不论x取何值，总有EF⊥OA. 第3课时三边成比例的判定方法 1.C2.B3.B4.40°5.② 6.解：△AEF与△ECF相似.理由如下： 设正方形ABCD的边长为4a E是BC的中点，DF=3CF, ..BE=EC=24,CF=4DF=34, :.AE=2/54,EF=/5a,AF=5a, ÷能-器-部-后，△ME△BCR 7.解：(1)相等.理由如下 0-品-距△ABCn△DBE,∴∠ABC=∠DBE 即∠ABD+∠DBC=∠DBC十∠CBE, ,∠ABD=∠CBE (2)相似.理由如下： 品器…提器 ∠ABD=∠CBE,∴△ABD∽△CBE. 8B9营3攻号号号哥 5 10.解：(1)证明：根据勾股定理，得AB=/+2=25,AC= +2平=5，BC=/+3=5,DF=/2+2=2E, DE=/4+4F=42,EF=/6+2=2/0 AC:AB BC=DF:DE EF=1:2:5, ∴，△ABC∽△DEF. (2)如图所示，△P:P,P即为所求 11解：品-怒-0∠A=∠ AC AD (2)相似.理由如下： 如图，过点D,D分别作DE∥BC,DE'∥B'C',DE交AC 于点E,DE交A'C于点E' 0 ,DE∥BC,.∠AED=∠ACB,∠ADE=∠B △ADEAABC,铝-瓷-怎 同莲，品瓷瓷。 .ADA'D'DE D'E' AE AE' 同理光一℃，