第4章 4 第1课时 两角分别相等的判定方法-【学海风暴】2025-2026学年九年级上册数学同步备课（北师大版）

4 探索三角形相似的条件 第1课时两角分别相等的判定方法 忌课内基础闯关 -0 5.如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的 知识点①相似三角形的定义和性质 点，且∠ADE=∠C.若AD=2,AB=6,AC =4,则AE的长是 () 1.下列说法中，错误的是 A.1 B.2 C.3 D.4 A.两个全等三角形一定相似 B.两个等腰三角形一定相似 C.两个等边三角形一定相似 D.两个等腰直角三角形一定相似 第5题周 第6题园 2.(2024-2025开封鼓楼区月考)已知△ABC 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥ D△DEF,若AB=1,DE=2,则△ABC与 AB于点D,则图中与△ABC相似的三角形 △DEF的相似比是 是 A.1:2 B.1:3 7.如图，E是□ABCD的边BC延长线上的一 C.2:3 D.3:2 点，AE和CD交于点G,AC是□ABCD的对 3.(教材变式)如图，△ABCc△ACP.若∠A 角线，则图中相似三角形共有 对. 75°，∠APC=65°，则∠B的大小为( ) A.40° B.50 C.65 D.75 第7题闲 第8题闹 8.如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC 第3题园 支式题园 上一点，且BP=1,D为AC上一点.若 变式题如图，△ABC∽△ADE,则下列比 ∠APD=60°，则CD的长为 例式正确的是 9.如下图，在△ABC中，点D在BC边上，点E A能-提 B铝是 在AC边上，且AD=AB,∠DEC-∠B (1)求证：△AED∽△ADC AD DE C. AC BC n怨- (2)若AE-1,CE-3,求AB的长 知识点② 两个角分别相等的两个三角形 相似 4.如图所示的三个三角形中，相似的是( 5659 5449 667 ② ② 第4题图 A.①和② B.②和③ C.①和③ D.①和②和③ 九年级数学B$版 ⊙课外拓展提高 速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s 10.如图，△ABC为等边三角形，点D,E分别 的速度沿BC向终点C匀速运动.当其中一 在边BC,AB上，∠ADE=60°.若BD= 点到达终点时，两点都停止运动，设运动时 4DC,DE=2.4,则AD的长为 () 间为ts.当t为何值时，四边形APQC的面 A.1.8B.2.4 C.3 D.3.2 积等于1cm? 第10题图 第11题周 11.跨物理学科如图，一束光线从点A(一2,5) 出发，经过y轴上的点B(0,1)反射后经过 点C(m,n),则2m一n的值是 12.如下图，在四边形ABCD中，AC平分 ∠DAB,∠ADC-∠ACB=90° (1)求证：AC=AB·AD (2)E是边AB的中点，连接CE,DE,且 DE与AC交于点F.若AD=6,AB=8,求 二的位。 知识要点归纳 1.相似三角形的定义：三角分别相等、三边对应成 @综合能力提升 比例的两个三角形叫做相似三角形 13.如下图，在四边形ABCD中，AB∥CD, 2.相似三角形的三个特性：对应性：顺序性：传 ∠ADC-90°，AC⊥BC 递性 3.判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. (1)求证：△ACB∽△CDA. 说明：(1)有-一个顶角或底角相等的两个等腰三角 (2)若DC=6cm,AD=8cm,点P从点A 形相似：(2)所有的等边三角形都相似」 出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B匀 上册第四章第四章 图形的相似 1成比例线段 第1课时线段的比和成比例线段 1.A2.B3.B4.B5.3 6.解：(1)：AB=8cm,BC=12cm,AB'=4cm,B'C=6cm, ②由可知，器-音合瓷-危子 ÷是-瓷浅段把，AB,8C,C是我比例段 7.5180.5cm或2cm或32cm 2 第2课时比例的基本性质和等比性质 1.D2.D变式题B3号4.()号(2)号5.12 6.57.1.2 8,解：①当a+b+≠0时，牛=中=a+也==2a+十 atbte =2, °-21-1=22-2×2-1=-1： @当a十c=0时，b十c=-a,a+c=-b,a十b=-c, :牛=牛=+也=-1， ∴2-2x-1=(-1)2-2×(-1)-1=2. 综上所述，t一2t一1的值为-1或2. 2平行线分线段成比例 1.D2.D3.C4.1.25.A变式题C 6普变式题号 7解：DE形BC…铝是合-号 AE=号E=AC-AE=5-号- (公证明：DF∥B,铝-铝 DE/BC,0-能是铝AE=AAC 8.C9.1t3 10.证明：如图，延长AE交BC于点H CD平分∠ACB,AE⊥CD, ·.∠ACE=∠HCE,∠AEC= ∠HEC=90°， .CE=CE, .△ACE2△HCE(ASA), :AE=HE=合AH EF/BC,是器脚荒-子标得AC-2AP, .F是AC的中点. 又，G是BC的中点，，FG是△ABC的中位线， FG=子AB 1.解：1)AQ-8-亭 (2)当PQ与△ABC的一边平行时，t的值为1.5或3. 3相似多边形 1,A2.D3.C4.A5.C6.B7.4E8.1或2.25 9.解：(1)，四边形ABCD四边形ABCD',,∠C=∠C= 135°，∠B=360°-135°-96°-60°=69 (2):四边形ABCD∽四边形A'B'CD 10.C11.1.5或9 12.解：(1)证明：：菱形AEFC∽差形ABCD, ·∠EAG=∠BAD,AE=AG,AB=AD, ,∴，∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB, 即∠EAB=∠GAD, .△AEB2△AGD(SAS),,EB=GD. (2)如图，连接BD交AC于 点P,则BP⊥AC. :∠DAB=60°，∠APB =90°， .∠PAB=30° BP=合AB 菱形AEFG∽菱形ABCD,相似比是3：2，AB=2, :.AE=/3,BP=1,..AP=/AB-BP=/, .EP=23,∴EB=EP+BP=√/I3,GD=/3 13.解，：矩形EPCD炬形CBAD,∴品-晕 投AD=2CF=2xcm. :CD=AB=2am,号=是解得x=E 经检验，x=E是原分式方程的解，且符号题意， :.AD=2v2 cm. (2)存在 假设存在矩形EFCD与矩形ABCD相似，则DC一定与 AD对应，ED一定与DC对应， 器器Dc=AD·ED 又：DC=2cm,AD=(5+1)cm, ·ED=D 4=(5-1)cm, AD5+1 .AE=AD-ED=/5+1)-(/5-1)=2(cm),而2>5 一1， 依据对称性考虑，一定存在当AE=(F-1)cm时，使矩形 EFCD与矩形ABCD相似的情况 综上所述，当AE=(5-1)cm或2cm时，在剪开所得到的 小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况： 4探索三角形相似的条件 第1课时两角分别相等的判定方法 1.B2.A3.A变式题D4.A5.C 6.△ACD有△CBD7.48,号 9.解：(1)证明：AD=AB,∠ADB=∠B. '∠DEC-∠B,∴∠DEC=∠ADB. 又，'∠DEC十∠AED=180°，∠ADB十∠ADC=180, .∠AED=∠ADC 又"∠EAD=∠DAC,.△AED△ADC 由可：，△AE△ADC,盖-是 A-1CE-.AD. 又AB=AD,AB=2 10.C11.-1 上册参考答案 181 12.解：(1)证明：，AC平分∠DAB,,∠DAC-∠CAB :,∠ADC=∠ACB=90°，∴，△ADCp△ACB, .AD:AC=AC:AB,..AC=AB.AD. (2),E为边AB的中点，∠ACB=90”,AB=8,.CE=AE =子AB=X8=4,∠EAC=∠ECA :∠DAC=∠CAB,.∠DAC=∠ECA. 又：∠DFA-∠EFG,△ADF∽△CER,罡-S D=6受-器架-陆C=号 AF 3 13.解：(1)证明：AC⊥BC,∠ACB=90 ∠ADC=90°，∴.∠ACB=∠CDA. 'DC∥AB,∴∠ACD=∠BAC, .△ACBn△CDA. (2)如图，过点Q作QH⊥AB于 Do 点H. 在Rt△ACD中，DC=6cm,AD= 8cm,.由勾股定壅，得AC /6+8=10(cm). △ACBACDA,∠ABC=∠CAD,品-器-器 -铝-警年得AB-号m,BC-号m 由概意，得BQ=tcm,AP-21cm,BP-AB-AP-(号 -2小m,0<K要 :QH⊥AB,∴.∠BHQ=∠ADC-90 ∠ABC=∠CAD,∴.△BHQ∽△ADC, ÷8器-器即婴-六解得QH=号m ∴SmA=Sae-San=子AC,BC-BP,QH= 是×10×号-子×（号-2刘×子=罗，每得4=5,4= 号，当=5或号时，西边形APQc的面积等于罗m 第2课时两边成比例且夹角相等的判定方法 1.D2.B3.C4.∠A=∠A'(答案不唯-)5.89° 697268.0 AE明：AB=BC,AD=DE,铝- .又∠ABC= ∠ADE,△ABC△ADE,∴0-Ae∠BAC-∠DAE, 8怨 :∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAE=∠DAE-∠DAC, ∴，∠BAD=∠CAE,∴.△ABD∽△ACE. 10.C11.C 12.解：(1)，AE=2,AC=8,,CE=AC-AE=8-2=6 AB∥CD,∠A=∠DCE,∠ABE=∠D, △ABEO△CDE,铝-瓷即慢-号AB=4 (2)证明：AB=4,AE=2,AC=8, '∠A=∠A,,△ABE∽△ACB 13.解：(1)△EOF与△ABO相似.重由如下： t=1,..OE=1.5 cm,OF=2 cm. .'AB=3 cm,OB=4 cm, 182 九年级数学BS版 器=5=器==器-器 ,∠EOF=∠ABO=90°，∴.△EOF∽△ABO (2》根据题意，得OE=1.5tcm,OF=2tcm AB=8m,0B=4m,g-85-号 ,∠EOF=∠ABO=90°，，.△EOF△ABO,∴.∠AOB =∠EFO. ∠AOB+∠FOC=90,∴.∠EFO+∠FOC=90', ∴∠OCF=90°，.EF⊥OA 故不论t取何值，总有EF⊥OA 第3课时三边成比例的判定方法 1.C2.B3.B4.40°5.②② B.解：△AEF与△ECF相似.理由如下： 设正方形APCD的边长为4a. E是BC的中点，DF=3CF, BE-EC-2a,CF-a,DF=34 .AE=25a,EF=/5a,AF=5a, 器-器-部=后△AEPACF. 7.解：(1)相等，理由如下： 0-0-距÷△ABC△nBE,∠ABC=∠DBE, 即∠ABD十∠DBC=∠DBC十∠CBE, +∠ABD=∠CBE (2)相似.理由如下： 品噩提器 ∠ABD=∠CBE,△ABD∽△CBE. 8B9吾，8攻号号攻分号 10.解：1)证明：根据勾股定理，得AB=+2=25,AC= /+2=/5,BC=√+3=5，DF=/2+2=22, DE=/4+4=4E,EF=√/6+2=2√/10， AC+AB:BC=DF:DE+EF=12 '.△ABC∽△DEF (2)如图所示，△PP,P即为所求 解：品-总-铝∠A=∠N (2)相似.理由如下： 如图，过点D,D分别作DE∥BC,E∥B'C,DE交AC 于点E,DE'交A'C于点E D 'DE∥BC,,∠AED=∠ACB,∠ADE=∠B, △ADEAABC铝-暖-是 同理，g-DEE ABBC AC ..AD_A'D'DE D'E' 器滑瓷器，咒器 BC 强能器