高教版《一课一练》第18练-函数的奇偶性 课后作业（解析版+原卷版）

编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》基础模块第18练，内容是第三章函数3.3.2 函数的奇偶性。 高教版《数学》基础模块上册 第18练 第三章 函 数 3.3.2 函数的奇偶性 一课一练 1、 选择题 1．下列关于函数奇偶性的描述，正确的是（　　） A.所有函数都具有奇偶性 B.奇函数的图像一定过原点 C.偶函数的图像关于y轴对称 D.既是奇函数又是偶函数的函数不存在 2．若函数f(x)是奇函数，且f(2)=5，则f(−2)=（　　） A.5 B.-5 C.2 D.-2 3．若函数f(x)是偶函数，且f(−3)=2，则f(3)=（　　）​ A.2​ B.-2 C.3 D.-3 4．函数f(x)=3x的奇偶性是（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 5．函数f(x)=x2+1的奇偶性是（　　） A.奇函数 B.偶函数​ C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 6．函数f(x)=的定义域是[0,+∞)，则该函数的奇偶性是（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇又是偶函数 2、 填空题 7．已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=2x−1，则当x<0时，f(x)= 。 8．函数f(x)=x2+ax+3是偶函数，则实数a= 。 3、 解答题 9．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： （1）f(x)=x2−2； （2）f(x)=3x+1。 10．已知函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数，且f(0)=5，f(1)=6。 （1）求a、b、c的值； （2）判断f(2)与f(−2)的大小关系。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》基础模块第18练，内容是第三章函数3.3.2 函数的奇偶性。 高教版《数学》基础模块上册 第18练 第三章 函 数 3.3.2 函数的奇偶性 一课一练 一、选择题 1．下列关于函数奇偶性的描述，正确的是（　　） A.所有函数都具有奇偶性 B.奇函数的图像一定过原点 C.偶函数的图像关于y轴对称 D.既是奇函数又是偶函数的函数不存在 【答案】C 【分析】奇偶性定义判断。 【详解】对于A中，函数的奇偶性要求定义域关于原点对称（即若x在定义域内，则−x也在定义域内），且满足f(−x)=±f(x)。但多数函数不满足这一条件，例如f(x)=x+1，其定义域为R（关于原点对称），但f(−x)=−x+1≠−f(x)且f(−x)≠f(x)，既不是奇函数也不是偶函数。结论：并非所有函数都具有奇偶性，故A错误； 对于B中，奇函数的图像关于原点对称，但原点不一定在定义域内。例如，f(x)=是奇函数（满足f(−x)=−=−f(x)），但其定义域为x≠0，图像不过原点。即使定义域包含原点，奇函数也一定过原点（因f(−0)=−f(0)即f(0)=−f(0)，得f(0)=0），但“一定过原点”的前提是定义域包含原点，否则不成立，故B错误； 对于C中，根据偶函数的定义，对于任意x，f(−x)=f(x)，即点(x,f(x))与点(−x,f(x))都在图像上，这两点关于y轴对称，因此整个图像关于y轴对称。这是偶函数的核心图像特征，故C正确； 对于D中，存在既奇又偶的函数，例如f(x)=0（定义域关于原点对称），满足：f(−x)=0=f(x)（偶函数）；f(−x)=0=−f(x)（奇函数）。只要定义域关于原点对称且函数值恒为0，就是既奇又偶的函数，故D错误. 故选：C. 2．若函数f(x)是奇函数，且f(2)=5，则f(−2)=（　　） A.5 B.-5 C.2 D.-2 【答案】B 【分析】奇函数定义应用。 【详解】已知函数f(x)是奇函数，且f(2)=5。根据奇函数的性质，当x=2时，有：f(−2)=−f(2)。将f(2)=5代入上式，得：f(−2)=−5。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，符合上述求解结果，故B正确； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：B. 3．若函数f(x)是偶函数，且f(−3)=2，则f(3)=（　　）​ A.2​ B.-2 C.3 D.-3 【答案】A 【分析】偶函数定义应用。 【详解】已知函数f(x)是偶函数，且f(−3)=2。根据偶函数的性质，当x=3时，有：f(3)=f(−3)。将f(−3)=2代入上式，得：f(3)=2。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 4．函数f(x)=3x的奇偶性是（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 【答案】A 【分析】一次函数奇偶性判断。 【详解】步骤1：判断定义域是否关于原点对称 函数f(x)=3x的定义域为R（全体实数），对于任意x∈R，−x也一定属于R，因此定义域关于原点对称，满足奇偶性判断的前提条件。 步骤2：验证f(−x)与f(x)的关系 计算f(−x)：f(−x)=3×(−x)=−3x；而−f(x)=−(3x)=−3x，因此有：f(−x)=−f(x)。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 5．函数f(x)=x2+1的奇偶性是（　　） A.奇函数 B.偶函数​ C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 【答案】B 【分析】二次函数奇偶性判断。 【详解】步骤1：判断定义域是否关于原点对称 函数f(x)=x2+1的定义域为R（全体实数），对于任意x∈R，−x也一定属于R，因此定义域关于原点对称，满足奇偶性判断的前提条件。 步骤2：验证f(−x)与f(x)的关系 计算f(−x)：f(−x)=(−x)2+1=x2+1；而f(x)=x2+1，因此有：f(−x)=f(x)。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，符合上述求解结果，故B正确； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：B. 6．函数f(x)=的定义域是[0,+∞)，则该函数的奇偶性是（　　） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇又是偶函数 【答案】C 【分析】奇偶性与定义域关系判断。 【详解】步骤1：判断定义域是否关于原点对称 已知函数f(x)=的定义域是[0,+∞)。对于定义域内的元素x=1（属于[0,+∞)），其相反数−x=−1并不在定义域[0,+∞)内。因此，该函数的定义域不关于原点对称。 步骤2：奇偶性的核心前提 根据奇偶函数的定义，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件（即若定义域不关于原点对称，函数一定不是奇函数也不是偶函数）。由于f(x)=的定义域[0,+∞)不关于原点对称，因此无需进一步验证f(−x)与f(x)的关系，可直接判断其为非奇非偶函数。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 二、填空题 7．已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=2x−1，则当x<0时，f(x)= 。 【答案】2x+1 【分析】奇函数性质应用。 【详解】转化自变量范围：当x<0时，−x>0（即−x落在已知解析式的定义域x>0内）。 利用已知解析式求f(−x)：因−x>0，代入x>0时的解析式f(x)=2x−1，得：f(−x)=2(−x)−1=−2x−1。 结合奇函数性质求f(x)：由于f(x)是奇函数，满足f(−x)=−f(x)，因此：−f(x)=f(−x)=−2x−1。两边同时乘以−1，得：f(x)=2x+1. 故答案：2x+1. 8．函数f(x)=x2+ax+3是偶函数，则实数a= 。 【答案】0 【分析】偶函数性质应用。 【详解】计算f(−x)：将−x代入函数解析式：f(−x)=(−x)2+a(−x)+3=x2−ax+3。 利用偶函数定义建立等式：因f(x)是偶函数，故f(−x)=f(x)，即：x2−ax+3=x2+ax+3。 化简等式求解a：两边同时减去x2+3，得：−ax=ax。移项整理得：2ax=0。该等式需对定义域内任意x恒成立，因此系数2a必须为0，即：2a=0⟹ a=0. 故答案：0. 三、解答题 9．判断下列函数的奇偶性，并说明理由： （1）f(x)=x2−2； （2）f(x)=3x+1。 【答案】（1）根据偶函数定义，f(x)=x2−2是偶函数；（2）f(x)=3x+1既不是奇函数也不是偶函数，是非奇非偶函数。 【分析】函数奇偶性的判断。 【详解】（1）判断f(x)=x2−2的奇偶性 步骤1：判断定义域是否关于原点对称 函数f(x)=x2−2的定义域为R（全体实数），对于任意x∈R，−x也属于R，因此定义域关于原点对称。 步骤2：验证f(−x)与f(x)的关系 计算f(−x)：f(−x)=(−x)2−2=x2−2。而f(x)=x2−2，因此：f(−x)=f(x)。结论：根据偶函数定义，f(x)=x2−2是偶函数。 故答案：根据偶函数定义，f(x)=x2−2是偶函数. （2）判断f(x)=3x+1的奇偶性 步骤1：判断定义域是否关于原点对称 函数f(x)=3x+1的定义域为R，关于原点对称，满足奇偶性判断的前提。 步骤2：验证f(−x)与f(x)、−f(x)的关系 计算f(−x)：f(−x)=3(−x)+1=−3x+1。对比f(x)=3x+1，显然f(−x)≠f(x)（不满足偶函数定义）；对比−f(x)=−(3x+1)=−3x−1，显然f(−x)≠−f(x)（不满足奇函数定义）。结论：f(x)=3x+1既不是奇函数也不是偶函数，是非奇非偶函数。 故答案：f(x)=3x+1既不是奇函数也不是偶函数，是非奇非偶函数. 10．已知函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数，且f(0)=5，f(1)=6。 （1）求a、b、c的值； （2）判断f(2)与f(−2)的大小关系。 【答案】（1）a=1，b=0，c=5；（2）f(2)与f(−2)的大小关系为f(2)=f(−2)。 【分析】偶函数定义应用与解析式求解。 【详解】（1）求a、b、c的值 步骤1：利用f(0)=5求c 将x=0代入函数f(x)=ax2+bx+c：f(0)=a⋅02+b⋅0+c=c。已知f(0)=5，故c=5。此时函数为f(x)=ax2+bx+5。 步骤2：利用偶函数定义求b 因f(x)是偶函数，根据偶函数定义，对任意x，有f(−x)=f(x)。计算f(−x)：f(−x)=a(−x)2+b(−x)+5=ax2−bx+5。由f(−x)=f(x)，得：ax2−bx+5=ax2+bx+5。化简后：−bx=bx，即2bx=0对任意x恒成立，因此b=0。此时函数为f(x)=ax2+5。 步骤3：利用f(1)=6求a 将x=1代入f(x)=ax2+5：f(1)=a⋅12+5=a+5。已知f(1)=6，故a+5=6，解得a=1。 结论：a=1，b=0，c=5。 故答案：a=1，b=0，c=5. （2）判断f(2)与f(−2)的大小关系 步骤1：利用偶函数性质分析 因f(x)是偶函数，根据偶函数定义，对任意x，有f(−x)=f(x)。当x=2时，f(−2)=f(2)。 结论：f(2)=f(−2)。 故答案：f(2)与f(−2)的大小关系为f(2)=f(−2). 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$