(5)函数图象信息题-2025-2026学年九年级数学上册练专项（人教版）

专项 5 函数图象信息题 1.根据抛物线开口方向判断𝑎：开口向上，𝑎 > 0；开口向下，𝑎 < 0 . 2.由𝑎和对称轴的位置判断𝑏：规律是“左同右异”，即对称轴在𝑦 轴左侧，𝑎，𝑏同号；对称轴在 𝑦轴右侧，𝑎，𝑏 异号. 3.由抛物线与𝑦轴的交点位置判断𝑐：交于正半轴，𝑐 > 0 ；交于负半轴，𝑐 < 0；交于原点，𝑐 = 0 . 4.特殊式子的判断：看到𝑎 + 𝑏 + 𝑐，令𝑥 = 1；看到𝑎 − 𝑏 + 𝑐，令𝑥 = −1 ；看到4𝑎 + 2𝑏 + 𝑐， 令𝑥 = 2；看到4𝑎 − 2𝑏 + 𝑐，令𝑥 = −2 .然后看纵坐标. 5.根据− 𝑏 2𝑎 > 1或− 𝑏 2𝑎 < 1判断2𝑎 + 𝑏的符号；根据− 𝑏 2𝑎 > −1或- 𝑏 2𝑎 < −1 判断2𝑎 − 𝑏 的符号. 6.知道抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0)与𝑥 轴的交点情况，可得Δ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 与 0的大小关系． 类型 1 函数图象的共存问题 1.一题多解 在同一平面直角坐标系中，一次函数𝑦 = 𝑎𝑥 + 2 与二次函数𝑦 = 𝑥2 + 𝑎 的图象可 能是( ) A. B. C. D. 方法指导 16/40 2.已知二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2(𝑎 ≠ 0) 和一次函数𝑦 = 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑏 ≠ 0) 的图象如图所示，则函数 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 − 𝑐 的图象可能是( ) A. B. C. D. 3.在同一平面直角坐标系中，二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑏(𝑎 ≠ 0) 与一次函数𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 的图 象可能是( ) A. B. C. D. 17/40 类型 2 二次函数图象与𝐚,𝐛,𝐜 之间的关系 4.如图是二次函数𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎 ≠ 0) 的部分图象，该函数图象的对称轴是直线𝑥 = 1， 图象与𝑦 轴交点的纵坐标是 2.有下列结论：①2𝑎 + 𝑏 = 0；②方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 一定有 一个根在−2和−1之间；③方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 − 3 2 = 0 一定有两个不相等的实数根；④𝑏− 𝑎 < 2 .其中，正确结论的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，已知抛物线𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐(𝑎，𝑏，𝑐为常数，且𝑎 ≠ 0) 的对称轴为直线𝑥 = −1，且 该抛物线与𝑥轴交于点𝐴(1,0)，与𝑦 轴的交点𝐵在(0, −2)，(0, −3) 之间（不含端点），则下列 结论正确的个数是( ) ①𝑎𝑏𝑐 > 0；②9𝑎 − 3𝑏 + 𝑐 > 0；③ 2 3 < 𝑎 < 1 ； ④若方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥 + 1的两根为𝑚,𝑛(𝑚 < 𝑛)，则−3 < 𝑚 < 1 < 𝑛 . A.1 B.2 C.3 D.4 18/40 专项 5 函数图象信息题 1.根据抛物线开口方向判断�：开口向上，� > 0；开口向下，� < 0 . 2.由�和对称轴的位置判断�：规律是“左同右异”，即对称轴在� 轴左侧，�，�同号；对称轴在 �轴右侧，�，� 异号. 3.由抛物线与�轴的交点位置判断�：交于正半轴，� > 0 ；交于负半轴，� < 0；交于原点，� = 0 . 4.特殊式子的判断：看到� + � + �，令� = 1；看到� − � + �，令� =− 1 ；看到 4� + 2� + �， 令� = 2；看到 4� − 2� + �，令� =− 2 .然后看纵坐标. 5.根据− � 2� > 1或− � 2� < 1判断 2� + �的符号；根据− � 2� >− 1或- � 2� <− 1 判断 2� − � 的符号. 6.知道抛物线� = ��2 + �� + �(� ≠ 0)与� 轴的交点情况，可得Δ = �2 − 4�� 与 0的大小关系． 类型 1 函数图象的共存问题 1.一题多解 在同一平面直角坐标系中，一次函数� = �� + 2 与二次函数� = �2 + � 的图象可 能是( ) A. B. C. D. 【解析】解法一 ∵ 二次函数� = �2 + �,∴ 抛物线开口向上，∴ 排除 B;∵ 一次函数� = �� + 2， ∴ 直线与�轴的正半轴相交，∴ 排除 D；由选项 A,C中抛物线的图象得� < 0，∴ 排除 A． 解法二 当� > 0时，一次函数� = �� + 2 的图象经过第一、第二、第三象限，二次函数� = �2 + �的图象开口向上，顶点坐标在� 轴的正半轴上；当� < 0时，一次函数� = �� + 2 的图象经 过第一、第二、第四象限，二次函数� = �2 + �的图象开口向上，顶点坐标在� 轴的负半轴上. 结合选项知 C项符合题意. 25/77 2.已知二次函数� = ��2(� ≠ 0) 和一次函数� = �� + �(� ≠ 0) 的图象如图所示，则函数 � = ��2 + �� − � 的图象可能是( ) A. B. C. D. 【解析】 ∵函数� = ��2的图象开口向上，∴ � > 0. ∵ 一次函数� = �� + � 经过第一、第二、 第三象限，∴ � > 0,� > 0，∴ 函数� = ��2 + �� − � 的图象开口向上.∵ � > 0，∴− � < 0，∴ 函数� = ��2 + �� − �的图象与� 轴交于负半轴.∵ � > 0，� > 0，∴ � =− � 2� < 0，即函数� = ��2 + �� − � 的图象的对称轴在�轴的负半轴，∴ 符合上述条件的是 C选项. 3.在同一平面直角坐标系中，二次函数� = ��2 + �� + �(� ≠ 0) 与一次函数� = �� + � 的图象 可能是( ) A. B. C. D. 【解析】 A项，由一次函数的图象，知� > 0，� > 0 ，则二次函数的图象应开口向上，对称 轴在� 轴左侧，故 A项不符合题意；B，C项，由一次函数的图象，知� > 0，� < 0，则二次 函数的图象应开口向上，对称轴在� 轴右侧，故 B项不符合题意，C项符合题意；D项，由 一次函数的图象，知� < 0，� = 0，则二次函数的图象应开口向下，对称轴为� 轴，故 D项不 符合题意. 26/77 类型 2 二次函数图象与�,�,� 之间的关系 4.如图是二次函数� = ��2 + �� + �(� ≠ 0) 的部分图象，该函数图象的对称轴是直线� = 1， 图象与� 轴交点的纵坐标是 2.有下列结论：①2� + � = 0；②方程��2 + �� + � = 0 一定有一 个根在−2和−1之间；③方程��2 + �� + � − 3 2 = 0 一定有两个不相等的实数根；④� − � < 2 .其中，正确结论的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 逐项分析如下，故选 B. 序号 分析 正误 ① ∵ 抛物线�=��2+��+�的对称轴为直线�=1， ∴− b 2a =1，∴�=−2�，∴2�+�=0 . √ ② ∵ 抛物线�=��2+��+�的对称轴为直线�=1， 且与�轴的一个交点的横坐标在 2和 3之间， ∴ 抛物线与�轴的另一个交点的横坐标在−1和 0之间， ∴ 方程��2+��+�=0在−2和−1之间无根. × ③ 易知抛物线�=��2+��+�与直线 �=3 2 有两个交点， ∴ 方程�=��2+��+�−3 2 =0一定有两个不相等的实数根. √ ④ ∵ 抛物线�=��2+��+�与�轴的另一个交点的横坐标 在−1和 0之间，且抛物线开口向下， ∴ 当�=−1时，�<0,即�−�+�<0. ∵ 抛物线与�轴交点的纵坐标是 2， ∴�=2，∴�−�+2<0，∴�−�>2 . × 5.如图，已知抛物线� = ��2 + �� + �(�，�，�为常数，且� ≠ 0) 的对称轴为直线� =− 1，且 该抛物线与�轴交于点�(1,0)，与� 轴的交点�在(0, − 2)，(0, − 3) 之间（不含端点），则下 列结论正确的个数是( ) 27/77 ①��� > 0；②9� − 3� + � > 0；③ 2 3 < � < 1 ；④若方程��2 + �� + � = � + 1的两根为�, �(� < �)，则−3 < � < 1 < � . A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 解题思路：根据题意及题图可得� > 0，� = 2� > 0 ，−3 < � <− 2 ，即可判断① 错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为( − 3,0)，即可判断②错误；将�和�用�表示， 即可得到−3 <− 3� <− 2 ，即可判断③正确；结合抛物线� = ��2 + �� + �和直线� = � + 1 与� 轴的交点，即可判断④正确. 由题图可知� > 0，∵ 抛物线� = ��2 + �� + � 的对称轴为直线� =− 1，∴ � =− � 2� =− 1，∴ � = 2� > 0，∵ 抛物线� = ��2 + �� + �与�轴的交点�在(0, − 2)，(0, − 3) 之间， ∴− 3 < � <− 2，∴ ��� < 0，故①错误；设抛物线与� 轴的另一个交点为(�, 0)，∵ 抛物线的对 称轴为直线� =− 1，且该抛物线与� 轴交于点�(1,0)，∴ 1 − ( − 1) =− 1 − �，解得� =− 3， ∴ 9� − 3� + � = 0 ，故②错误；∵ 抛物线与�轴交于点�(1,0)，∴ � + � + � = 0 ， ∵− 3 < � <− 2，� = 2� > 0，∴− 3 <− 3� <− 2，解得2 3 < � < 1 ，故③正确；根据抛物线� = ��2 + �� + �与�轴交于点�(1,0)和( − 3,0) ，直线� = � + 1过点( − 1,0)和(0,1) ，画出如图所 示的图象，由图象可知方程��2 + �� + � = � + 1的两根�,�满足−3 < � < 1 < � . 28/77