(4)二次函数的存在性问题-2025-2026学年九年级数学上册练专项（人教版）

专项 4 二次函数的存在性问题 1.二次函数� = ��2 + �� + �(� ≠ 0)的图象与� 轴分别交于点�( − 1,0)，�(3,0)，与�轴交于点 �(0, − 3)，�，� 为抛物线上的两点. （1）求二次函数的解析式； 解：把�( − �, �)，�(�, �)，�(�, − �) 的坐标分别代入 � = ��� + �� + � ， 得 � − � + � = �, �� + �� + � = �, � =− �, 解得 � = �, � =− �, � =− �, ∴ 二次函数的解析式为� = �� − �� − � . （2）当�，�两点关于抛物线的对称轴对称，△���是以点� 为直角顶点的直角三角形时，求 点� 的坐标. 如图，抛物线� = �� − �� − � 的对称轴为直线 � =− −� �×� = � . ∵ �，�两点关于抛物线的对称轴对称，�(�, − �) ， ∴ �(�, − �) ， 设�(�,�� − ��− �) . 19/77 ∵ △���是以点� 为直角顶点的直角三角形， ∴ ∠��� = ��∘ ，∴ ��� + ��� = ��� ， ∴ �� + ( − �)� + (� −�)� + ( − � −�� + ��+ �)� = �� + (�� − ��− �)� ， 解得�� = � � ，�� = �（舍去），∴ � = � � ， ∴ �( � � , − �� � ) . 2.如图，在平面直角坐标系��� 中，已知抛物线� = ��2 + �� + 3经过点�(3,0)，与�轴交于点 � ，且关于直线� = 1 对称. （1）求该抛物线的解析式. 解：∵ 抛物线� = ��� + �� + �经过点�(�, �)，与�轴交于点� ，且关于 直线� = � 对称， ∴ − � �� = �, �� + �� + � = �, 解得 � =− �, � = �, ∴ 该抛物线的解析式为� =− �� + �� + � . （2）当−1 ≤ � ≤ �时，�的取值范围是 0 ≤ � ≤ 2� − 1，求� 的值. ∵ 抛物线的开口向下，对称轴为直线� = � ， ∴ 抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越小. 当−� ≤ � ≤ �时，� ≤ � ≤ �� − � ， ①当� ≤ �时，则当� = �时，函数有最大值，即�� − � =− �� + �� + � ， 解得� =− �或� = � ，均不符合题意，舍去； ②当� > �时，则当� = � 时，函数有最大值，即 �� − � =− �� + � × � + � = �，解得� = � � . 综上，� = � � . 20/77 （3）点�是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点�作� 轴的垂线交直线��于点�，在�轴 上是否存在点�，使得以�，�，�，� 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长； 若不存在，说明理由. 存在. 令� =− �� + �� + � = �，解得�� = �,�� =− �，当� = �时，� = � ， ∴ �(�, �)，�(�, �) . 设直线��的解析式为� = �� + �，把�(�, �)的坐标代入，得� =− �，∴ 直线��的解析式为� =− � + � . 设�(�, −�� + ��+ �)(� < � < �)，则�(�, −�+ �) ， ∴ �� = ( −�� + ��+ �) − ( −�+ �) =−�� + �� ， �� = �� + ( −�+ � − �)� = ��，�� = �� + ( −�� + ��)� ， 当以�，�，�，� 为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当��为边时，�� = ��，即 �� =−�� + �� ， 解得� = �（舍去）或� = � − � ， 此时菱形的边长为 �� = � � − � ； ②当��为对角线时，�� = ��，即 �� + ( −�� + ��)� =−�� + �� ， 解得� = �或� = � （舍去）， 此时菱形的边长为− �� + � × � = � . 综上，存在点�,使得以�，�，�，� 为顶点的四边形是菱形，该菱形的边 长为� � − � 或 2. 21/77 3.如图，已知抛物线� = ��2 + �� + 4(� ≠ 0) 与�轴交于点�(1,0)和�，与�轴交于点� ，对称 轴为直线� = 5 2 ． （1）求抛物线的解析式. 解：根据题意，得 � + � + � = �, − � �� = � � , 解得 � = �, � =− �, ∴ 抛物线的解析式为� = �� − �� + � . （2）如图 1，若点�是线段��上的一个动点（不与点�，�重合），过点� 作�轴的平行线交抛 物线于点�，连接��，当线段�� 长度最大时，判断四边形���� 的形状并说明理由. 四边形���� 是平行四边形.理由如下： 由（1）易得�(�, �),�(�, �) , ∴ 直线��的解析式为� =− � + � . ∵ 点�在线段��上，∴ 可设�(�, − � + �)(� < � < �) . ∵ ��//�轴，∴ �(�, �� − �� + �) , ∴ �� = ( − � + �) − (�� − �� + �) =− �� + �� =− (� − �)� + � , ∵− � < �，∴ 当� = �时，线段�� 取最大值 4. ∵ �� = �,∴ �� = �� . 又∵ ��//�� , ∴ 当线段��长度最大时，四边形���� 是平行四边形. 22/77 （3）如图 2，在（2）的条件下，�是��的中点，过点� 的直线与抛物线交于点�，且∠��� = 2∠���．在�轴上是否存在点�，使得△��� 为等腰三角形？若存在，求点� 的坐标；若不存 在，请说明理由． 在�轴上存在点�，使得△��� 为等腰三角形. 连接��并延长交��于点� . ∵ �(�, �),�是��的中点，∴ �(�, �) . 如图，由（2）知�(�, − �),�(�, �) . ∵ ��//��,∴ ∠��� = ∠��� . 又∵ ∠��� = �∠���,∴ ∠��� = ∠��� . 设点�(�, �)关于��的对称点为�,则�(�, �) . 易知直线��过点�(�, �)和�(�, − �) , ∴ 直线��的解析式为� = �� − � . 由点�是直线��与抛物线� = �� − �� + � 的交点， 可得�(�, �) . 假设�轴上存在点�(�,�),使△��� 为等腰三角形. 若�� = ��,即��� = ���,则�� +�� = �� + (� −�)� , 解得� = �� � ,∴ �(�, �� � ) ； 若�� = ��,即��� = ���,则�� +�� = (� − �)� + �� , 解得� =± �,∴ �(�, �)或�(�, − �) ； 若�� = ��,即��� = ���,则�� + (� −�)� = (� − �)� + �� , 23/77 化简，得�� − ��+ �� = � . ∵ � = ( − �)� − � × � × �� =− �� < �,∴ 方程无实数根， 故在�轴上不存在点�，使�� = �� . 综上所述，在�轴上存在点�，使得△��� 为等腰三角形， 点�的坐标为(�, �� � )，(�, �)或(�, − �) . 24/77 专项 4 二次函数的存在性问题 1.二次函数� = ��2 + �� + �(� ≠ 0)的图象与� 轴分别交于点�( − 1,0)，�(3,0)，与�轴交于点 �(0, − 3)，�，� 为抛物线上的两点. （1）求二次函数的解析式； （2）当�，�两点关于抛物线的对称轴对称，△���是以点� 为直角顶点的直角三角形时，求 点� 的坐标. 13/40 2.如图，在平面直角坐标系��� 中，已知抛物线� = ��2 + �� + 3经过点�(3,0)，与�轴交于点 � ，且关于直线� = 1 对称. （1）求该抛物线的解析式. （2）当−1 ≤ � ≤ �时，�的取值范围是 0 ≤ � ≤ 2� − 1，求� 的值. （3）点�是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点�作� 轴的垂线交直线��于点�，在�轴 上是否存在点�，使得以�，�，�，� 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长； 若不存在，说明理由. 14/40 3.如图，已知抛物线� = ��2 + �� + 4(� ≠ 0) 与�轴交于点�(1,0)和�，与�轴交于点� ，对称 轴为直线� = 5 2 ． （1）求抛物线的解析式. （2）如图 1，若点�是线段��上的一个动点（不与点�，�重合），过点� 作�轴的平行线交抛 物线于点�，连接��，当线段�� 长度最大时，判断四边形���� 的形状并说明理由. （3）如图 2，在（2）的条件下，�是��的中点，过点� 的直线与抛物线交于点�，且∠��� = 2∠���．在�轴上是否存在点�，使得△��� 为等腰三角形？若存在，求点� 的坐标；若不存 在，请说明理由． 15/40