(3)二次函数与线段长、图形面积的综合-2025-2026学年九年级数学上册练专项（人教版）

null 专项 3 二次函数与线段长、图形面积的综合 类型 1 线段的最值问题 1.求斜线段𝑀𝑃，竖直线段𝑁𝑃 长的最值的步骤（如图）： ①设点𝑃(𝑡, 𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝑐)，𝑀(𝑝,𝑚𝑝 + 𝑛)，𝑁(𝑡,𝑚𝑡 + 𝑛) ; ②表示线段𝑀𝑃，𝑁𝑃的长：𝑀𝑃2 = (𝑡 − 𝑝)2 + (𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝑐 − 𝑚𝑝 − 𝑛)2 ， 𝑁𝑃 = 𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝑐 − 𝑚𝑡 − 𝑛 ； ③化简𝑀𝑃，𝑁𝑃 ，利用二次函数的性质求最值. 2.求线段之和（周长）最小：根据二次函数图象的对称性，作对称点，结合“将军饮马”模型求 最值. 3.求线段之差最大：将两定点转化到定线的同侧，当两定点与动点共线时，线段之差最大. 方法指导 8/40 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线𝑦 = −𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐与𝑥轴的交点分别为𝐴和𝐵(1,0)（点𝐴在 点𝐵的左侧），与𝑦轴交于点𝐶(0,3)，点𝑃 是直线𝐴𝐶 上方抛物线上一动点. （1）求抛物线的解析式； （2）过点𝑃作𝑥轴的平行线交𝐴𝐶于点𝐸，过点𝑃作𝑦轴的平行线交𝑥 轴于点𝐷，求𝑃𝐸 + 𝑃𝐷的最 大值及点𝑃 的坐标. 9/40 2.如图，已知抛物线过点𝑂(0,0)，𝐴(5,5) ，且它的对称轴为直线𝑥 = 2 . （1）求此抛物线的解析式； （2）若点𝐵是抛物线对称轴上的一点，且点𝐵在第一象限，当△𝑂𝐴𝐵 的面积为 15 时，求点𝐵 的坐标； （3）在（2）的条件下，若𝑃是抛物线上的动点，当𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 的值最大时，求点𝑃的坐标以及𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 的最大值. 10/40 类型 2 面积的最值问题 1.铅垂法：对于斜置于平面直角坐标系中的三角形，常将其进行“横切”或“竖切”（平行于坐标轴） 分割成两个三角形，再进行面积计算.如图 1，作𝐷𝐸 ⊥ 𝑥轴交𝐵𝐶 于点𝐸 ,则𝑆△𝐵𝐶𝐷 = 𝑆△𝐶𝐷𝐸 + 𝑆△𝐵𝐷𝐸 = 1 2 𝐷𝐸 ⋅ 𝐵𝑂 = 1 2 (𝑦𝐷 − 𝑦𝐸) ⋅ (𝑥𝐵 − 𝑥𝐶) . 2.割补法：将所求图形分割成以坐标轴为底的多个三角形或修补成矩形（边与坐标轴平行） ， 然后利用图形面积公式进行和（差）计算即可.如图 2，连接𝑂𝐷,则𝑆△𝐵𝐶𝐷 = 𝑆四边形𝐶𝐷𝐵𝑂 − 𝑆△𝐵𝑂𝐶 = 𝑆△𝐶𝐷𝑂 + 𝑆△𝑂𝐷𝐵 − 𝑆△𝐵𝑂𝐶 . 3.平移法：一般过三角形某顶点作与另外两点构成线段的平行线，利用 “平行线间的距离处处 相等”，转化为求同底等高的三角形的面积.如图 3，过点𝐷作𝑄𝐷//𝐵𝐶交𝑦轴于点𝑄，连接𝐵𝑄,则 𝑆△𝐵𝐶𝐷 = 𝑆△𝐵𝐶𝑄 .特别说明：当点𝐷的横坐标为 𝑥𝐵+𝑥𝐶 2 时，𝑆△𝐵𝐶𝐷 最大. 方法指导 11/40 3.如图，抛物线𝑦 = −𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点，与𝑦 轴交于点𝐶，其中𝐵(1,0)，𝐶(0,3) . （1）求抛物线的解析式. （2）在第二象限的抛物线上是否存在一点𝑃，使得△𝐴𝑃𝐶 的面积最大.若存在，请直接写出点 𝑃的坐标和△𝐴𝑃𝐶 的面积的最大值；若不存在，请说明理由. 4.已知平面直角坐标系中，𝑂 为坐标原点，抛物线𝑦 = − 1 2 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点， 与𝑦轴的正半轴交于点𝐶 ，且𝐵(4,0),𝐵𝐶 = 4 √2 . （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点𝑃是抛物线在第一象限内的一点，连接𝑃𝐵,𝑃𝐶，过点𝑃 作𝑃𝐷 ⊥ 𝑥轴于点𝐷，交𝐵𝐶 于点𝐾，记△𝑃𝐵𝐶,△𝐵𝐷𝐾的面积分别为𝑆1，𝑆2 ，求𝑆1 − 𝑆2 的最大值. 12/40