解析几何定值问题专项训练——2026届高三数学一轮复习

解析几何：定值问题专项训练 解析几何：定值问题专项训练 考点一 以线段长度为背景的定值问题 1．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，为定点. (1)若点为抛物线的焦点，求抛物线的方程； (2)若动圆过点，且圆心在抛物线上运动，点是圆与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线，使为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，4 【详解】（1）设抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为.由已知，， 即，故抛物线的方程是. （2）设圆心，点. 因为圆过点，则可设圆的方程为. 令，得，则 所以. 设抛物线的方程为， 因为圆心在抛物线上，则. 所以. 由此可得，当时，为定值. 故存在一条抛物线，使为定值4. 2．（24-25高二下·上海崇明·期末）如图，已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M， N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足且，线段PN交x轴于点Q． (1)求椭圆的离心率； (2)若点M的坐标为，求点P的坐标； (3)求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由条件可知，，，则， 所以椭圆的离心率； （2），，设，，， 因为，所以，即，即 设，，， 由题意可知，，得，， 则； （3）设，，设，，，， 由，所以，得， ，，， 由，所以，且， 化简得，又， 所以，即 所以，得， . 3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知双曲线的上下焦点分别为、，离心率为，点到渐近线的距离为，过点且斜率为的直线在第一象限交双曲线于点，过点且斜率为的直线在第四象限交双曲线于点，与交于点. (1)求双曲线的方程； (2)若，求的值； (3)证明：是定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得双曲线的一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离为， 又因为双曲线的离心率，，所以，， 则双曲线的方程为. （2）设、，关于原点的对称点记为，则，. 因为，，，所以， 又因为，即，故、、三点共线， 又因为与互相平分，所以四边形为平行四边形，故， 所以， 设的直线方程为， 代入双曲线方程整理得：， 所以，可得， 故，， 直线与双曲线只有两个交点，所以，解得. 由弦长公式得：， 则，即， 且由题意可知，可得，解得. （3）因为直线与直线斜率相等，所以，则， 所以，故，同理可得， 所以 因为. 所以，故为定值. 4．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，动点满足，动点的轨迹为曲线交于另外一点交于另外一点． (1)若是定值，求该定值； (2)求面积最大值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）令且，因为， 所以，整理可得， 所以的标准方程为． 法一：设，，， 设直线和直线的方程分别为，， 联立直线与椭圆方程，整理可得， 则，， 联立直线与椭圆方程，整理可得， 可得，， 又因为，， 所以， 所以，即， 同理可得，，即， 所以． 法二：设，，， 设，则有， 又， 消去可得，解得， 同理可得， 所以． （2）不妨设，于是， 因此， 又因为，所以， 设，， 则，， ， 所以在单调递增，当时取得最大值，，则的最大值为. 5．（2025·湖北黄冈·三模）定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆，已知椭圆的相似椭圆为（且）. (1)求证：椭圆与椭圆的离心率相等； (2)直线、与椭圆均有且只有一个公共点，且、的斜率之积为，求证：、的交点在椭圆的相似椭圆上； (3)若为椭圆上异于左、右顶点、的任意一点，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，试探究的值是否为定值，若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)是定值，且定值为 【详解】（1）对于椭圆，则，，， 所以，椭圆的离心率为， 对于椭圆（且），其标准方程为， 则，，，其离心率为. （2）设直线的斜率为，则直线的斜率为， 设点，直线的方程为， 联立可得， ， 化简得，即①， 用代换①中的得， ①②得，化简， 即点在椭圆上，故点在与椭圆的相似椭圆上. （3）椭圆的标准方程为，所以点、， 设点，易知直线、的斜率都存在且不为零， 所以， 因为点在椭圆上，所以，即， 所以. 设直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以直线的方程为， 联立得， ， 设点、，则，， 所以 ， 用代换可得， 所以，故的值为定值，且该定值为. 6．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知椭圆过，两点． (1)求椭圆的方程； (2)求椭圆上的动点到的最短距离； (3)直线与轴交于点，过点作与不重合的直线，与椭圆交于两点，直线分别交直线于两点，证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为椭圆过，两点， 所以，，所以，所以椭圆的方程为． （2）设，则点到的距离为 ： ， 因为，所以当时，最小， ，所以动点到的最短距离为． （3）因为，，所以直线的方程为， 令得，所以． 当直线的斜率不存在时，可得关于轴对称，则，即． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由消去得关于的方程， ， 设，，则，． 直线的方程为， 令，得， 所以点的纵坐标，同理． 方法一：， 所以为定值． 综上，为定值． 方法二： ， 所以点关于轴对称，则，即． 综上，为定值． 7．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率为为的左，右焦点，为的右顶点，为的上顶点，且周长为，直线交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率之积恒为，求证：直线恒过定点． (3)若直线恒过，则是否为定值？若成立，请求出该定值：若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)成立， 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由已知得，又，可得， 故，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设，根据题意，易知直线的斜率不为0，设， 联立与，消去得，整理得， 所以，，， 进而，， ， ， 解得，满足，即直线过定点. . （3）当直线的斜率为0时，此时，易得； 当直线的斜率不为0时，设，这样，由（2）知， ，， 所以， 从而， 即， 则，即， 综上，为定值. 8．（2025·海南·模拟预测）在直角坐标系中，已知点，，动点满足，记动点的轨迹为． (1)求的标准方程； (2)设直线与的另一个交点为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由，得，， 由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支， 且，则，，所以， 所以C的方程为； （2）设方程为，， ，消去x得， 则，，， 又， 由两点距离公式得， ， 所以 ，即证. 考点二 以面积为背景的定值问题 1．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知椭圆的图像经过点    (1)若椭圆的焦距为，求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与椭圆在第一象限交于点，点与点关于原点对称，连接，当取得最大值时，求椭圆的离心率； (3)若椭圆经过点，点是椭圆上的动点，直线与椭圆交于两点，为的中点，且满足，则的面积是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)； (3)是，定值. 【详解】（1）由已知条件可知， 从而， 所以椭圆的方程； （2）设，则， 则， 从而. 设直线的倾斜角分别为则 ， 当且仅当，即时取等号， 此时，即， 所以， 从而，解得（舍负）， 所以当取得最大值时，椭圆的离心率为； （3）由已知椭圆经过点可得， 从而椭圆的方程； ①当直线与轴不垂直时，设， 联立方程组， 得. 由题意可知. 设，则，所以 ， 由可知， 设，则有， ， 因为点，在椭圆上， 所以， 整理得， 此时，， 点到直线的距离， 所以的面积 ， ②当直线与轴垂直时，，， ， ， . 综上可和，的面积为定值.    2．（24-25高二下·上海青浦·期末）已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为的等边三角形. (1)写出椭圆的标准方程和离心率； (2)当直线的一个法向量是时，求以为直径的圆的标准方程； (3)设点满足:，求证:为定值. 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）因为是边长为的等边三角形，所以，， 又，所以，， 故椭圆的标准方程为，离心率为； （2）因为的一个法向量是且直线过点， 所以直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程，得，解得， 所以线段中点为，线段长度为， 故以为直径的圆的标准方程为； （3）由题意，点为直线过点的垂线与直线过点的垂线的交点， 设点，所以直线为:，直线为， 则直线为，直线为， 联立直线方程与直线方程，消去，得， 整理得，即，解得， 因为， 所以，得证. 3．（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）已知双曲线的渐近线与圆相切． (1)求双曲线的方程． (2)已知双曲线，（在轴上方，在轴下方）是右支上两个不同的点，直线与的一个交点为，，连接（为坐标原点）分别交于点． ①判断四边形的形状； ②证明的面积为定值，并求出这个定值． 【答案】(1) (2)①平行四边形；②证明见解析， 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，即， 圆的圆心为，半径为，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）①由（1）知双曲线的方程为， 设，，， 则直线的方程为，与联立，得，， 则，同理得，分别为的中点， 则，， 又，因此，， 所以四边形为平行四边形． ②方法一  显然直线的斜率不为0，设直线， 由得， ，， 设，则，， 由，得， 则，， 两式分别平方后作差得， 即，得， 因此，即， ，解得， ， 到直线的距离， ． 所以的面积为定值，此定值为. 方法二  由①知，设点， 则， 得，，即， 由点在上，则，即， 整理得，因此，即， 设，则 ， 则， 所以的面积为定值，此定值为. 4．（2025·江苏淮安·模拟预测）椭圆：过点，离心率为.过原点的直线交椭圆于A，B两点，点C，D在椭圆E上，且满足，设直线与交于点F. (1)求椭圆E的方程； (2)求F点的轨迹方程； (3)设直线与F点的轨迹交于M，N两点，求证：的面积为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆E的方程为. （2）由题意设，则 ∵，直线与交于点F. ∴C，D分别是的中点,设 则 ∵，在椭圆E：上， ∴， 由，得， 整理得 将①代入，得，即 所以F点的轨迹方程为. （3）若直线的斜率不存在，则，则, 若直线的斜率存在，设 设，，，则 由在椭圆上，在上 两式相减，整理得， 由（2）知、在椭圆上， 则， 两式相减，得 化简得 整理，得，∴ 由得，所以 到直线的距离 ∴. ∵，∴ 所以的面积为定值. 5．（2025·内蒙古包头·二模）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，点是上任意一点．抛物线的焦点到准线的距离是1． (1)求的方程； (2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形的面积为定值； (3)是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 【答案】(1)的方程为；的方程为 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则， 又因为离心率为，所以，代入得，解得， 所以双曲线的方程为． 因为抛物线焦点到准线的距离为1，所以， 所以抛物线的方程为． （2）证明：设，不妨设为渐近线为渐近线， 直线的方程为， 联立方程，解得， 所以 同理可得，所以 由于直线的斜率，因此，所以， 所以平行四边形的面积为， 因为点在双曲线上，所以，即， 所以平行四边形的面积为; （3）设， 因为函数的导数为，所以直线的方程为， 由于在直线上，则， 同理，所以均满足方程， 所以直线的方程为， 联立方程，得，所以， 则， 又因为到直线的距离， 所以面积， 又因为， 所以，当为时取最小值， 所以面积最小值为． 6．（2025·陕西汉中·二模）已知椭圆的离心率为，点在该椭圆上，均为该椭圆上的动点． (1)求该椭圆的方程； (2)若的重心是坐标原点，求直线的方程； (3)若的重心是坐标原点，证明：的面积是定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）因为，所以，可得． 又因为点在该椭圆上，所以，解得，所以， 故该椭圆的方程为． （2）设，则的中点． 因为的重心是坐标原点，所以，， 可得，，得的中点． 由得， 即，可得， 所以直线的方程为，即． （3）设，当直线的斜率不存在时，易得，直线的方程为， 或，直线的方程为． 将代入椭圆的方程，可得， 所以的面积. 当直线的斜率存在时，设，． 与（2）同理，可得，得的中点， 所以直线的方程为， 即． 令，可得直线在轴上的截距为，则． 将代入椭圆的方程，得， 即，则， 所以． 因为，所以，所以，所以． 又因为是的重心，所以． 综上，的面积是定值． 7．（24-25高二上·安徽黄山·期中）若椭圆：上的两个点满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，点M，N互为共轭点.显然，对于椭圆上任意一点，总有两个共轭点.已知椭圆，点是椭圆上一动点，点的两个共轭点分别记为. (1)当点坐标为时，求； (2)当直线斜率存在时，记其斜率分别为，其中，求的最小值； (3)证明：的面积为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）的共轭点分别记为， ， 直线的方程为， 联立得， ， ； （2）点在椭圆上， ，即， 由（1）知，直线的方程为，即， 当时，直线的方程为，代入， 得，即， ， ， 当时，易知，对应共轭点为， 此时，故也成立， ，当且仅当时等号成立； （3）由（2）知，对任意点，都有， ， 点到直线的距离为， 的面积， 故的面积为定值. 8．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）如图所示，椭圆中，是椭圆上任一点，是坐标原点，，过作直线交椭圆于两点，且，当在短轴端点时，．    (1)求的值，并证明直线的方程为； (2)探索的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)，；证明见解析 (2)是， 【详解】（1）在短轴端点时，   ，由，解得， 所以，得，． 此时椭圆方程为 因为，所以， 当，即时，，此时直线的方程为，即； 当，即时，，此时直线的方程为，即； 当，即时，，此时直线的方程为，即； 当，即时，，此时直线的方程为，即； 以上四种情况均符合直线的方程为. 当且时， ，由点差法得，所以， 又因为直线过点，所以直线方程为，即．① 因为点在椭圆上，所以， 代入①得，即． （2）设， 当时，，此时，代入椭圆方程得， 所以，，    同理，当时，，， 当时，    因为点在椭圆上，所以，② 联立得， 将②式代入得，得， 所以， ， 到的距离， 所以， 所以的面积为定值． 考点三 以倾斜角与斜率为背景的定值问题 1．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知双曲线经过，两点， (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，点（异于点，），的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）（方法1）当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 由题意得，，解得，双曲线方程为． 当双曲线焦点在轴上时，设双曲线方程为， 由题意得，，方程组无解． 综上，双曲线方程为． （方法2）设双曲线方程为，则， 解得，，所求双曲线方程为． （2）由已知得直线的斜率存在，设其方程为，设， 所以， 所以， 由题意知，，， 又因为的平分线与轴垂直，所以， 即，所以， 即， 所以， 即，所以或， 当时，直线的方程为， 即直线过点，不符合题意，所以，设倾斜角为， 即，，即直线的倾斜角为定值． 2．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知双曲线过点，，分别为圆的两条切线，且分别交双曲线于点. (1)证明：直线的斜率为定值； (2)当时，求的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 将的坐标代入，得， 所以双曲线的方程为. 由题意可知，直线的斜率均存在且不为0， 设直线的方程为，直线的方程为，，. 由消去，整理得. 由，得， 由，得. 由题意，解得，， 所以，同理. 由题意，，得.因为，所以， 故， 所以直线的斜率， 即直线的斜率为定值. （2）不妨设，因为，，所以， 由（1）知，，， 所以直线的方程为，即， 当时，， 所以. 3．（24-25高二下·河南周口·期末）已知椭圆过点，且离心率，过点的直线与交于，两点，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程. (2)记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. (3)是否存在实数，使得（表示面积）恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【详解】（1）因为过点，且离心率， 所以，且，           即解得，，           所以的方程为. （2） 如图，， 显然直线的斜率存在，设直线.           联立得，消去并整理，得，           所以，得. 设，，则，.（*）           因为，且时，，所以直线与相切， 由椭圆的对称性可知，，. ，       ，     将（*）代入，得为定值. （3）设存在实数，使得恒成立. 由，得，由得.           由（2）可知，           所以点，到直线的距离相等， 所以，即. 4．（24-25高二下·贵州黔南·期末）已知双曲线：的一条渐近线方程为，实轴长为4. (1)求双曲线的标准方程. (2)若直线：与双曲线交于不同的两点，（点，均在第一象限，且点在点上方），直线与直线交于点，为坐标原点，且，设直线，的斜率分别为，. （i）判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （ii）若，求的值. 【答案】(1) (2)（i）是定值，1；（ii） 【详解】（1）根据题意，得，， 解得，， 则双曲线的标准方程为. （2）（i）判断：为定值. 如图设， 则， 所以 所以的定值为1. （ii）联立直线与双曲线，得. 由题可知解得，且， 设，则 所以. 由（i）得，即，即， 所以，解得，可得. 因为两点均在第一象限， 所以，故， 综上，当时，. 5．（24-25高二下·湖南·期末）已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，以AB为直径的圆E过椭圆C的两个焦点，，且的面积为1． (1)求椭圆C的方程； (2)过点A的直线l分别交圆E、椭圆C于M，N两点（异于点A），若直线l的斜率存在． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时直线l的方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【详解】（1）因为以AB为直径的圆E过椭圆C的两个焦点，． 所以 解得，所以， 故椭圆C的方程为． （2）（ⅰ）    设直线，，， 直线l与椭圆C联立得，得， 所以，即，所以． 直线l与圆E联立得得， 所以，即，所以． ，为定值． （ⅱ）由于，． 所以． ． 从而，当且仅当时，取等号． 此时直线l的方程为． 6．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知双曲线过点分别为圆：的两条切线，且分别交双曲线于点． (1)求双曲线的离心率； (2)证明：直线的斜率为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：将的坐标代入，得， 所以双曲线的离心率． （2）证明：由题意知，直线的斜率都存在且不为0， 设直线的方程为，直线的方程为． 由消去，整理得． 由，得， 由，得． 由题意，解得，所以， 所以，同理． 由题意，，得． 因为，所以，故， 所以直线的斜率，即直线的斜率为定值． 7．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且点到的渐近线的距离为2． (1)求的方程； (2)记的左顶点为，过点的直线l与交于两点（异于点）． （ⅰ）证明：直线的斜率之积为定值； （ⅱ）过点E分别作直线垂线，垂足分别为，记，的面积分别为，求的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）由题意知，可得，解得， 因为点到直线的距离为2，可得， 又因为，可得，所以的方程为． （2）（ⅰ）由（1）知双曲线的左顶点为， 设，，由题意知直线l斜率不为0，设直线， 联立方程组，整理得， 所以，且，， 所以 ，故直线的斜率之积为定值． （ⅱ）由题意，直线斜率存在，且不为0，设直线，其中， 则直线PE的方程为， 联立方程组，解得， 用替换上式中的得点Q的纵坐标， 则， 因为，当且仅当时取等号，所以， 所以的最大值为．    8．（2025·辽宁·模拟预测）已知动圆E与x轴相切于点，过点，分别作动圆E的异于x轴的切线，，记，的交点M的轨迹为曲线C.过的直线与C交于A，B两点，直线与C交于另一点D，直线与C交于另一点R. (1)求C的方程； (2)证明：直线过定点； (3)若直线，的斜率，都存在，试判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是， 【详解】（1）如图，设两个切点分别为Q，P， 则，，， 所以，， 则， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆， 又圆的半径不能为0和无穷， 所以的方程为. （2）设，，，， 当直线的斜率存在时， 因为A，B，三点共线，所以， 化简得， 则直线的方程为，直线的方程为. 联立，整理得， 由根与系数的关系得， 所以，， 同理，. 又直线的方程为， 令，则 ， 所以直线过定点. 当直线的斜率不存在时，D，R关于x轴对称，不妨设，可求得点D的横坐标为，所以直线过定点. 综上，直线过定点. （3）是定值，证明如下： 由（2）得， 又 ， 所以. 考点四 以向量为背景的定值问题 1．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的标准方程． (2)点P、Q在椭圆上，O为坐标原点，且直线OP、OQ的斜率之积为，求证：为定值； (3)直线l过点且与椭圆交于A、B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【详解】（1）因为点T在椭圆上且，所以，； 将点代入椭圆得，解得， 所以椭圆的方程为． （2）设直线：，联立方程组，得， 所以， 又直线：，类似的可得， 故而，为定值． （3）当直线l与x轴不垂直时，设l：，设，，， 由得， ， 又， ， 令得，此时， 当l与x轴垂直时，l：，，， 又，有， 综上，，． 2．（2025·河北邢台·二模）已知双曲线的离心率为2，过点的直线与相交于两点，且当的斜率为0时，． (1)求的方程； (2)是否存在，使得两点关于直线对称？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由； (3)与直线交于点，设，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)为定值0 【详解】（1）解：设双曲线的焦距为， 因为的离心率为2，所以，即，所以， 当直线的斜率为0时，直线的方程为，代入，得， 所以，解得，所以的方程为． （2）解：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 设， 可得，且， 解得，且， 又由，，① 假设存在，使得两点关于直线对称，则与直线垂直，所以， 所以，且，则， 因此线段的中点坐标为， 又因为，即点不在直线上， 所以不存在，使得两点关于直线对称． （3）解：设， 由在直线上，可得，即；② 又由在直线上，可得，③ 因为，可得， 即，解得， 同理：由，可得， 结合①②③，得 ， 所以为定值0． 3．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）如图所示，已知抛物线的焦点为F，，过点F的直线l与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于两点，AC与BD交于点 (1)求取得最小值时直线l的方程； (2)若直线l与直线m相交于点Q，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题设，则，联立抛物线得，显然， 所以，，则，， 由， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以取最小值时，，则， 所以. （2）令，则且，可得，即， 将代入，可得，如下图，有， 由抛物线对称性，不妨令在轴上方， 由且在抛物线上，可设且，，则， 所以，则， 又可能重合，即可能重合， 可设，， 联立直线，可， 所以，则， 注意，否则，即两条直线没有交点，不合题设， 所以， 综上，，为定值. 4．（24-25高二下·上海金山·期中）已知双曲线的离心率为2，实轴长为4，过点的直线l与C相交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)是否存在l，使得P恰好是线段AB的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由； (3)l与直线交于点Q，设，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)为定值，定值为0 【详解】（1）因为的实轴长为4，所以，解得，又因为C的离心率为2，所以，所以，所以的方程为． （2）由题意直线l的斜率存在，假设存在直线l满足条件，设，， 则，，所以， 即， 因为P为线段AB的中点，所以，， 所以，所以，即直线l的斜率为3， 所以直线l的方程为y=3x－2． 联立，消去y并整理得， ， 所以直线l与C无公共点，这与直线l与C交于A，B两点矛盾， 故不存在直线l，使得P恰好是线段AB的中点． （3）由题可知直线l的斜率存在，    设直线的方程为，即， 联立得， ，且， 解得，且， 由韦达定理得，①， 设，由在直线上，得，即②， 由在直线l上，得③， 由，得， 即，解得， 同理，由，得， 结合①②③，得 ，故为定值0． 5．（24-25高三下·天津·阶段练习）已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点与点，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线BP，BQ分别交直线于E，F两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在，使为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【详解】（1）设椭圆的方程为, 且 ， 因为椭圆C过点与点，所以，解得. 所以椭圆C的标准方程为 （2）设直线，， 由，得， 即，则. 直线的方程分别为. 令，则. 则，， 所以 ， 当，即时，， 当，即（舍正）时，， 故要使为定值，则或 6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆：，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆上异于的任意一点. (1)证明：直线与直线的斜率之积为定值； (2)设经过且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线交于点，求证：为定值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：由题意，设点，，， 则直线的斜率为，直线的斜率为， 所以， 又由点在椭圆上，可得，即， 所以， 即直线与直线的斜率之积为定值． （2）证明：由直线过点，所以直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设,，,，则， 则，即， 又由直线，直线， 联立方程组，可得， 整理得， 解得，即点又由向量，， 所以（定值），即为定值． 7．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为、，右顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆的另外一个交点为，当的面积最大时，求直线的方程； (3)若点、是直线上不同的两点，则向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，当直线时，直线的方向向量称为直线的法向量．设、为实数，直线的一个法向量为，为直线上任一点，点为坐标平面内的定点，我们把称为点在直线上的投影数量．当与椭圆相切时，点、在直线上的投影数量的乘积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，且定值为 【详解】（1）由题意可得，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）易知点，直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 若的面积最大，则点到直线的距离取最大值， 设点，其中， 则点到直线的距离为， 因为，则， 故当时，即当时，取最大值，此时点， 所以，直线的斜率为，则直线的方程为， 故当的面积最大时，直线的方程为. （3）若直线的方程为，则该直线的斜率为，该直线的一个方向向量为， 该直线的一个法向量为， 设直线与椭圆相切于点，则， 首先证明椭圆在点处的切线方程为， 联立可得，解得， 所以，椭圆在点处的切线方程为，即， 所以，直线的一个法向量为， ，， 所以，点在直线上的投影为， 点在直线上的投影为， 所以，点、在直线上的投影数量的乘积为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解析几何：定值问题专项训练 解析几何：定值问题专项训练 考点一 以线段长度为背景的定值问题 1．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，为定点. (1)若点为抛物线的焦点，求抛物线的方程； (2)若动圆过点，且圆心在抛物线上运动，点是圆与轴的两交点，试推断是否存在一条抛物线，使为定值？若存在，求这个定值；若不存在，说明理由. 2．（24-25高二下·上海崇明·期末）如图，已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M， N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足且，线段PN交x轴于点Q． (1)求椭圆的离心率； (2)若点M的坐标为，求点P的坐标； (3)求证：为定值． 3．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知双曲线的上下焦点分别为、，离心率为，点到渐近线的距离为，过点且斜率为的直线在第一象限交双曲线于点，过点且斜率为的直线在第四象限交双曲线于点，与交于点. (1)求双曲线的方程； (2)若，求的值； (3)证明：是定值. 4．（2025·安徽蚌埠·三模）已知，动点满足，动点的轨迹为曲线交于另外一点交于另外一点． (1)若是定值，求该定值； (2)求面积最大值． 5．（2025·湖北黄冈·三模）定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆，已知椭圆的相似椭圆为（且）. (1)求证：椭圆与椭圆的离心率相等； (2)直线、与椭圆均有且只有一个公共点，且、的斜率之积为，求证：、的交点在椭圆的相似椭圆上； (3)若为椭圆上异于左、右顶点、的任意一点，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，试探究的值是否为定值，若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由. 6．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知椭圆过，两点． (1)求椭圆的方程； (2)求椭圆上的动点到的最短距离； (3)直线与轴交于点，过点作与不重合的直线，与椭圆交于两点，直线分别交直线于两点，证明：为定值． 7．（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知椭圆的离心率为为的左，右焦点，为的右顶点，为的上顶点，且周长为，直线交于两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线的斜率之积恒为，求证：直线恒过定点． (3)若直线恒过，则是否为定值？若成立，请求出该定值：若不成立，请说明理由． 8．（2025·海南·模拟预测）在直角坐标系中，已知点，，动点满足，记动点的轨迹为． (1)求的标准方程； (2)设直线与的另一个交点为，证明：为定值． 考点二 以面积为背景的定值问题 1．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知椭圆的图像经过点 (1)若椭圆的焦距为，求椭圆的方程； (2)为椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与椭圆在第一象限交于点，点与点关于原点对称，连接，当取得最大值时，求椭圆的离心率； (3)若椭圆经过点，点是椭圆上的动点，直线与椭圆交于两点，为的中点，且满足，则的面积是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由. 2．（24-25高二下·上海青浦·期末）已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为的等边三角形. (1)写出椭圆的标准方程和离心率； (2)当直线的一个法向量是时，求以为直径的圆的标准方程； (3)设点满足:，求证:为定值. 3．（24-25高三上·福建厦门·阶段练习）已知双曲线的渐近线与圆相切． (1)求双曲线的方程． (2)已知双曲线，（在轴上方，在轴下方）是右支上两个不同的点，直线与的一个交点为，，连接（为坐标原点）分别交于点． ①判断四边形的形状； ②证明的面积为定值，并求出这个定值． 4．（2025·江苏淮安·模拟预测）椭圆：过点，离心率为.过原点的直线交椭圆于A，B两点，点C，D在椭圆E上，且满足，设直线与交于点F. (1)求椭圆E的方程； (2)求F点的轨迹方程； (3)设直线与F点的轨迹交于M，N两点，求证：的面积为定值. 5．（2025·内蒙古包头·二模）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，点是上任意一点．抛物线的焦点到准线的距离是1． (1)求的方程； (2)过点作的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，求证：平行四边形的面积为定值； (3)是的两条切线，是切点，求面积的最小值． 6．（2025·陕西汉中·二模）已知椭圆的离心率为，点在该椭圆上，均为该椭圆上的动点． (1)求该椭圆的方程； (2)若的重心是坐标原点，求直线的方程； (3)若的重心是坐标原点，证明：的面积是定值． 7．（24-25高二上·安徽黄山·期中）若椭圆：上的两个点满足，则称M，N为该椭圆的一个“共轭点对”，点M，N互为共轭点.显然，对于椭圆上任意一点，总有两个共轭点.已知椭圆，点是椭圆上一动点，点的两个共轭点分别记为. (1)当点坐标为时，求； (2)当直线斜率存在时，记其斜率分别为，其中，求的最小值； (3)证明：的面积为定值. 8．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）如图所示，椭圆中，是椭圆上任一点，是坐标原点，，过作直线交椭圆于两点，且，当在短轴端点时，． (1)求的值，并证明直线的方程为； (2)探索的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 考点三 以倾斜角与斜率为背景的定值问题 1．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知双曲线经过，两点， (1)求的方程； (2)若直线交于，两点，点（异于点，），的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值． 2．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知双曲线过点，，分别为圆的两条切线，且分别交双曲线于点. (1)证明：直线的斜率为定值； (2)当时，求的面积. 3．（24-25高二下·河南周口·期末）已知椭圆过点，且离心率，过点的直线与交于，两点，直线，与直线分别交于点，. (1)求的方程. (2)记直线，的斜率分别为，，证明：为定值. (3)是否存在实数，使得（表示面积）恒成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 4．（24-25高二下·贵州黔南·期末）已知双曲线：的一条渐近线方程为，实轴长为4. (1)求双曲线的标准方程. (2)若直线：与双曲线交于不同的两点，（点，均在第一象限，且点在点上方），直线与直线交于点，为坐标原点，且，设直线，的斜率分别为，. （i）判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （ii）若，求的值. 5．（24-25高二下·湖南·期末）已知椭圆的上、下顶点分别为A，B，以AB为直径的圆E过椭圆C的两个焦点，，且的面积为1． (1)求椭圆C的方程； (2)过点A的直线l分别交圆E、椭圆C于M，N两点（异于点A），若直线l的斜率存在． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时直线l的方程． 6．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知双曲线过点分别为圆：的两条切线，且分别交双曲线于点． (1)求双曲线的离心率； (2)证明：直线的斜率为定值． 7．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且点到的渐近线的距离为2． (1)求的方程； (2)记的左顶点为，过点的直线l与交于两点（异于点）． （ⅰ）证明：直线的斜率之积为定值； （ⅱ）过点E分别作直线垂线，垂足分别为，记，的面积分别为，求的最大值． 8．（2025·辽宁·模拟预测）已知动圆E与x轴相切于点，过点，分别作动圆E的异于x轴的切线，，记，的交点M的轨迹为曲线C.过的直线与C交于A，B两点，直线与C交于另一点D，直线与C交于另一点R. (1)求C的方程； (2)证明：直线过定点； (3)若直线，的斜率，都存在，试判断是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 考点四 以向量为背景的定值问题 1．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且． (1)求椭圆的标准方程． (2)点P、Q在椭圆上，O为坐标原点，且直线OP、OQ的斜率之积为，求证：为定值； (3)直线l过点且与椭圆交于A、B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由． 2．（2025·河北邢台·二模）已知双曲线的离心率为2，过点的直线与相交于两点，且当的斜率为0时，． (1)求的方程； (2)是否存在，使得两点关于直线对称？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由； (3)与直线交于点，设，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 3．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）如图所示，已知抛物线的焦点为F，，过点F的直线l与抛物线C交于两点，直线与抛物线C交于两点，AC与BD交于点 (1)求取得最小值时直线l的方程； (2)若直线l与直线m相交于点Q，求证：为定值. 4．（24-25高二下·上海金山·期中）已知双曲线的离心率为2，实轴长为4，过点的直线l与C相交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)是否存在l，使得P恰好是线段AB的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由； (3)l与直线交于点Q，设，，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 5．（24-25高三下·天津·阶段练习）已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点与点，过点的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线BP，BQ分别交直线于E，F两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)是否存在，使为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 6．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆：，是椭圆的左、右顶点，点是椭圆上异于的任意一点. (1)证明：直线与直线的斜率之积为定值； (2)设经过且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线交于点，求证：为定值. 7．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为、，右顶点为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆的另外一个交点为，当的面积最大时，求直线的方程； (3)若点、是直线上不同的两点，则向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，当直线时，直线的方向向量称为直线的法向量．设、为实数，直线的一个法向量为，为直线上任一点，点为坐标平面内的定点，我们把称为点在直线上的投影数量．当与椭圆相切时，点、在直线上的投影数量的乘积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$