4.必修1 第四章 指数函数与对数函数(教师版)-【高中数学】5年(2021-2025)真题按章分类

【 高中数学 】 5年高考真题·按册按章分类 2021—2025 序号及章 单选题 多选题 填空题 解答题 1.必修1 第一章 集合与常用逻辑用语 36 1 2.必修1 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2 1 3 3.必修1 第三章 函数的概念与性质 13 6 1 4.必修1 第四章 指数函数与对数函数 22 1 4 5.必修1 第五章 三角函数 38 2 13 3 6.必修2 第六章 平面向量及其应用 23 13 20 7.必修2 第七章 复数 26 7 8.必修2 第八章 立体几何初步 25 4 10 12 9.必修2 第九章 统计 5 3 3 10.必修2 第十章 概率 5 1 1 11.选必1 第一章 空间向量与立体几何 4 2 24 12.选必1 第二章 直线和圆的方程 8 2 8 13.选必1 第三章 圆锥曲线的方程 27 7 19 22 14.选必2 第四章 数列 16 2 9 19 15.选必2 第五章 一次函数的导数及其应用 13 8 11 35 16.选必3 第六章 计数原理 8 13 17.选必3 第七章 随机变量及其分布 2 2 6 10 18.选必3 第八章 成对数据的统计分析 4 10 【高中数学人教A版(2019)】 5年高考真题-按章分类 ( 2021—2025 ) 必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 22个单选题 + 1个多选题 + 4个填空题 + 0个解答题 ---- 学 生 版 ---- 一、单选题 1.(2021高考·全国)下列函数中是增函数的为(  ) A. B. C. D. 2.(2021高考·全国)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足，已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为(  )() A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 3.(2021高考·天津)若，则(  ) A. B. C.1 D. 4.(2021高考·天津)函数的图像大致为(  ) A. B. C. D. 5.(2022高考·全国)已知，则(  ) A. B. C. D. 6.(2022高考·北京)已知函数，则对任意实数x，有(  ) A. B. C. D. 7.(2022高考·天津)化简的值为(  ) A.1 B.2 C.4 D.6 8.(2023高考·全国)已知是偶函数，则(  ) A. B. C.1 D.2 9.(2023高考·全国)设函数在区间上单调递减，则的取值范围是(  ) A. B. C. D. 10.(2023高考·北京)下列函数中，在区间上单调递增的是(  ) A. B. C. D. 11.(2023高考·天津)若，则的大小关系为(  ) A. B. C. D. 12.(2024高考·全国)设函数，若，则的最小值为( ) A. B. C. D.1 13.(2024高考·全国)已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 14.(2024高考·北京)已知，是函数的图象上两个不同的点，则( ) A. B. C. D. 15.(2024高考·北京)生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则( ) A. B. C. D. 16.(2024高考·天津)若，则的大小关系为( ) A. B. C. D. 17.(2024高考·天津)设，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 18.(2025高考·全国一卷)若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是(  ) A. B. C. D. 19.(2025高考·天津)函数的零点所在区间是(  ) A. B. C. D. 20.(2025高考·上海)设.下列各项中，能推出的一项是(  ) A.，且 B.，且 C.，且 D.，且 21.(2025高考·北京)已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 22.(2025高考·北京)一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间(单位：h)，其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加(  ) A.2h B.4h C.20h D.40h 二、多选题 23.(2023高考·全国)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则(  ) A. B. C. D. 三、填空题 24.(2022高考·天津)设，对任意实数x，记.若至少有3个零点，则实数的取值范围为__________. 25.(2023高考·北京)已知函数，则__________. 26.(2023高考·天津)若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为__________. 27.(2024高考·全国)已知且，则 . 【高中数学人教A版(2019)】 5年高考真题-按章分类 ( 2021—2025 ) 必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 参考答案及解析 一、单选题 1.D 对于A，为上的减函数，D不选。为上的减函数，B 不选。在为减函数，D不选。为上的增函数，D入选。 2.C 由，当时，，则。 3.C ，，。 4.B 设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除AC。当时， ，所以，排除D。 5.A 【方法一】：(指对数函数性质) 由可得，而，所以，即，所以，又，所以，即，所以综上，。 【方法二】： 由，可得，根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 ， 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 。 6.C ，A错误，C正确。，不是常数，BD错误。 7.B 原式。 8.D 因为为偶函数，则，又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得。 9.D 函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是。 10.C 对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，A错误。对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，B错误。对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，C正确。对于D，因为，，显然在上不单调，D错误。 11.D 由在R上递增，则，由在上递增，则，所以。 12.C 解法一：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得； 若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时；当时，可知，此时；可知若，符合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；综上所述：，即，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 解法二：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得；则当时，，故，所以；时，，故，所以；故， 则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 13.B 因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即a的范围是. 14.B 由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，B正确，A错误。对于选项D：例如，则，可得，即，D错误。对于选项C：例如，则，可得，即，C错误，B入选。 15.D 由题意得，则，即，所以. 16.B 因为在上递增，且，所以，所以，即，因为在上递增，且，所以，即，所以. 17.C 根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 18.B 法一：设，所以令，则，此时，A有可能。令，则，此时，C有可能。令，则，此时，D有可能，B入选。 法二：设，所以，根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，，B入选。 19.B 由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，所以在定义域上单调递减，显然，所以根据零点存在性定理可知的零点位于，B正确。 20.D ∵，∴，当时，定义域上严格单调递减，此时若，则一定有成立，故D正确，C错误；当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误，D入选。 21.A 若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，取，则，充分性成立；取，，则对任意，一定存在，使得，取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件，A正确。 22.B 设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为，由题意，，，，因为，所以，所以，所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时，B正确。 二、多选题 23.ACD 由题意可知：，可得，因为，则，即，所以且，可得，A正确。可得，因为，则，即，所以且，可得，当且仅当时，等号成立，B错误。因为，即，可得，即，C正确。由选项A可知：，且，则，即，可得，且，所以，D正确。 三、填空题 24. 设，，由可得要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，解得或。①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意；②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，，解得；③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；④当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，可得，解得，此时，综上所述，实数的取值范围是。 25. 函数，所以。 26. (1)当时， ，即，若时，，此时成立；若时，或，若方程有一根为，则，即且；若方程有一根为，则，解得：且；若时，，此时成立。 (2)当时， ，即，若时，，显然不成立；若时，或，若方程有一根为，则，即；若方程有一根为，则，解得：；若时，，显然不成立；综上，当时，零点为，；当时，零点为，；当时，只有一个零点；当时，零点为，；当时，只有一个零点；当时，零点为，；当时，零点为，所以，当函数有两个零点时，且。 27.64 由题，整理得，或，又，所以，故. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【 高中数学 】 5年高考真题·按册按章分类 2021—2025 序号及章 单选题 多选题 填空题 解答题 1.必修1 第一章 集合与常用逻辑用语 36 1 2.必修1 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2 1 3 3.必修1 第三章 函数的概念与性质 13 6 1 4.必修1 第四章 指数函数与对数函数 22 1 4 5.必修1 第五章 三角函数 38 2 13 3 6.必修2 第六章 平面向量及其应用 23 13 20 7.必修2 第七章 复数 26 7 8.必修2 第八章 立体几何初步 25 4 10 12 9.必修2 第九章 统计 5 3 3 10.必修2 第十章 概率 5 1 1 11.选必1 第一章 空间向量与立体几何 4 2 24 12.选必1 第二章 直线和圆的方程 8 2 8 13.选必1 第三章 圆锥曲线的方程 27 7 19 22 14.选必2 第四章 数列 16 2 9 19 15.选必2 第五章 一次函数的导数及其应用 13 8 11 35 16.选必3 第六章 计数原理 8 13 17.选必3 第七章 随机变量及其分布 2 2 6 10 18.选必3 第八章 成对数据的统计分析 4 10 【高中数学人教A版(2019)】 5年高考真题-按章分类 ( 2021—2025 ) 必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 22个单选题 + 1个多选题 + 4个填空题 + 0个解答题 ---- 教 师 版 ---- 一、单选题 1.(2021高考·全国)下列函数中是增函数的为(  ) A. B. C. D. 1.D 对于A，为上的减函数，D不选。为上的减函数，B 不选。在为减函数，D不选。为上的增函数，D入选。 2.(2021高考·全国)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足，已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为(  )() A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 2.C 由，当时，，则。 3.(2021高考·天津)若，则(  ) A. B. C.1 D. 3.C ，，。 4.(2021高考·天津)函数的图像大致为(  ) A. B. C. D. 4.B 设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除AC。当时， ，所以，排除D。 5.(2022高考·全国)已知，则(  ) A. B. C. D. 5.A 【方法一】：(指对数函数性质) 由可得，而，所以，即，所以，又，所以，即，所以综上，。 【方法二】： 由，可得，根据的形式构造函数 ，则， 令，解得 ，由 知 ， 在 上单调递增，所以 ，即 ， 又因为 ，所以 。 6.(2022高考·北京)已知函数，则对任意实数x，有(  ) A. B. C. D. 6.C ，A错误，C正确。，不是常数，BD错误。 7.(2022高考·天津)化简的值为(  ) A.1 B.2 C.4 D.6 7.B 原式。 8.(2023高考·全国)已知是偶函数，则(  ) A. B. C.1 D.2 8.D 因为为偶函数，则，又因为不恒为0，可得，即，则，即，解得。 9.(2023高考·全国)设函数在区间上单调递减，则的取值范围是(  ) A. B. C. D. 9.D 函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是。 10.(2023高考·北京)下列函数中，在区间上单调递增的是(  ) A. B. C. D. 10.C 对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，A错误。对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，B错误。对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，C正确。对于D，因为，，显然在上不单调，D错误。 11.(2023高考·天津)若，则的大小关系为(  ) A. B. C. D. 11.D 由在R上递增，则，由在上递增，则，所以。 12.(2024高考·全国)设函数，若，则的最小值为( ) A. B. C. D.1 12.C 解法一：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得； 若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；若，当时，可知，此时；当时，可知，此时；可知若，符合题意；若，当时，可知，此时，不合题意；综上所述：，即，则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 解法二：由题意可知：的定义域为，令解得；令解得；则当时，，故，所以；时，，故，所以；故， 则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 13.(2024高考·全国)已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 13.B 因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，即a的范围是. 14.(2024高考·北京)已知，是函数的图象上两个不同的点，则( ) A. B. C. D. 14.B 由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，B正确，A错误。对于选项D：例如，则，可得，即，D错误。对于选项C：例如，则，可得，即，C错误，B入选。 15.(2024高考·北京)生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则( ) A. B. C. D. 15.D 由题意得，则，即，所以. 16.(2024高考·天津)若，则的大小关系为( ) A. B. C. D. 16.B 因为在上递增，且，所以，所以，即，因为在上递增，且，所以，即，所以. 17.(2024高考·天津)设，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 17.C 根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 18.(2025高考·全国一卷)若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是(  ) A. B. C. D. 18.B 法一：设，所以令，则，此时，A有可能。令，则，此时，C有可能。令，则，此时，D有可能，B入选。 法二：设，所以，根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，，B入选。 19.(2025高考·天津)函数的零点所在区间是(  ) A. B. C. D. 19.B 由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，所以在定义域上单调递减，显然，所以根据零点存在性定理可知的零点位于，B正确。 20.(2025高考·上海)设.下列各项中，能推出的一项是(  ) A.，且 B.，且 C.，且 D.，且 20.D ∵，∴，当时，定义域上严格单调递减，此时若，则一定有成立，故D正确，C错误；当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误，D入选。 21.(2025高考·北京)已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 21.A 若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，取，则，充分性成立；取，，则对任意，一定存在，使得，取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件，A正确。 22.(2025高考·北京)一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间(单位：h)，其中k为常数.在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加(  ) A.2h B.4h C.20h D.40h 22.B 设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为，由题意，，，，因为，所以，所以，所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时，B正确。 二、多选题 23.(2023高考·全国)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则(  ) A. B. C. D. 23.ACD 由题意可知：，可得，因为，则，即，所以且，可得，A正确。可得，因为，则，即，所以且，可得，当且仅当时，等号成立，B错误。因为，即，可得，即，C正确。由选项A可知：，且，则，即，可得，且，所以，D正确。 三、填空题 24.(2022高考·天津)设，对任意实数x，记.若至少有3个零点，则实数的取值范围为__________. 24. 设，，由可得要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，解得或。①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意；②当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，所以，，解得；③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；④当时，设函数的两个零点分别为、，要使得函数至少有个零点，则，可得，解得，此时，综上所述，实数的取值范围是。 25.(2023高考·北京)已知函数，则__________. 25. 函数，所以。 26.(2023高考·天津)若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为__________. 26. (1)当时， ，即，若时，，此时成立；若时，或，若方程有一根为，则，即且；若方程有一根为，则，解得：且；若时，，此时成立。 (2)当时， ，即，若时，，显然不成立；若时，或，若方程有一根为，则，即；若方程有一根为，则，解得：；若时，，显然不成立；综上，当时，零点为，；当时，零点为，；当时，只有一个零点；当时，零点为，；当时，只有一个零点；当时，零点为，；当时，零点为，所以，当函数有两个零点时，且。 27.(2024高考·全国)已知且，则 . 27.64 由题，整理得，或，又，所以，故.. 5 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$