素养微专题 指、对、幂大小的比较-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

素养微专题　指、对、幂大小的比较 指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在第8题或第11题的位置． (见学生用书P118)　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　 类型一　依据函数的单调性比较大小 　　(1)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　C　) A．a>c>b B．a>b>c C．c>b>a D．b>c>a (2)已知a＝2，b＝4，c＝25，则(　A　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 【解析】 (1)因为函数y＝是增函数，所以<，即a<b. 又因为函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以<， 所以b<c，故c>b>a. (2)因为a＝2＝16，b＝4＝16，c＝25，而幂函数y＝x在R上单调递增，所以a<c，指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b<a，故b<a<c. 活学活用 2024·平湖中学高一已知a＝，b＝log34，c＝3－0.1，则a，b，c的大小关系为(　A　) A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．a>c>b 【解析】 因为a＝＝log33，(3)3＝34＝81>43＝64，且函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，所以log33>log34，即a>b.又因为b＝log34>log33＝1，c＝3－0.1<30＝1，即b>c，所以a>b>c. [题后感悟] 对于底数相同的指数幂或者对数式，可以通过指数函数或者对数函数的单调性比较大小；底数不同，指数相同的指数幂则可通过幂函数的单调性比较大小． 类型二　中间量传递法 例2　(1)设a＝0.50.4，b＝log0.40.3，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是(　C　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<c<a (2)2024·邢台五中高一已知a＝log53，b＝2，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为(　C　) A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>b>a 【解析】 (1)∵0<a＝0.50.4<0.50＝1， b＝log0.40.3>log0.40.4＝1，c＝log80.4<log81＝0， ∴a，b，c的大小关系是c<a<b. (2)因为1＝log55>log53>log5＝log55＝，即<a<1，b＝2>20＝1， 7－0.5＝<＝，即0<c<，所以b>a>c. 活学活用 已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　B　) A．a＝b<c B．a＝b>c C．a<b<c D．a>b>c 【解析】 因为a＝log23＋log2＝log23＝log23>1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log32<log33＝1，所以a＝b>c. [题后感悟] 对于底数和指数(或真数)都不相同的指数幂(或对数)的大小比较问题，一般可以通过与1或0的比较传递出大小关系． 类型三　比差或比商法 例3 2024·岳阳一中高一设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　D　) A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z 【解析】 令t＝2x＝3y＝5z， ∵x，y，z为正数，∴t>1. 则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝. ∴2x－3y＝－＝＝>0， ∴2x>3y. 又∵2x－5z＝－＝＝<0， ∴2x<5z. ∴3y<2x<5z. 活学活用 设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则a，b，c的大小关系是__a>b>c__．(用“＞”连接) 【解析】 因为a＝log3π>log33＝1，b＝log2<log22＝1，所以a>b. 又＝＝(log23)2>1，c>0， 所以b>c， 故a>b>c. [题后感悟] 对于底数不同，指数或真数也不相同的指数幂或对数式比较大小问题，除了借助于中间量传递大小之外，还可以通过比商法(两个数同正或同负)或比差法比较大小． 温馨提示：课后请完成高效作业43 学科网（北京）股份有限公司 $$