2.2 第2课时 基本不等式在实际问题中的应用-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

第2课时　基本不等式在实际问题中的应用 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决生活中简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决几何中的应用问题． (见学生用书P38)　　　　　　　 (见学生用书P38)　　　　　　　 类型一　基本不等式在生活中的应用 例1小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求此时所需围栏的长度． 解：设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x＋y)m. 由已知得，xy＝16， 由≥，可知x＋y≥2＝8， 所以2(x＋y)≥16， 当且仅当x＝y＝4时，等号成立，因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，此时所需围栏的长度为16 m． 迁移探究 如果小明的爸爸只有12 m长的围栏，如何设计，才能使游乐园的面积最大？ 解：由已知得2(x＋y)＝12，故x＋y＝6，面积为xy， 由≤＝＝3， 可得xy≤9，当且仅当x＝y＝3时，等号成立． 因此，当游乐园为边长是3 m的正方形时，面积最大，最大面积为9 m2. [题后感悟] 利用基本不等式解决实际问题的步骤 (1)理解题意．设变量，并理解变量的实际意义． (2)构造定值．利用基本不等式求最值． (3)检验．检验等号成立的条件是否满足题意． (4)结论． 类型二　基本不等式在几何中的应用 例22024·衢州一中高一如图所示，设矩形ABCD(AB>BC)的周长为24，把它沿AC翻折，翻折后AB′交DC于点P，设AB＝x. (1)用x表示DP，并求出x的取值范围． (2)求△ADP面积的最大值及此时x的值． 解：(1)矩形ABCD(AB>BC)的周长为24， ∵AB＝x，∴AD＝－x＝12－x， ∵AB>BC＝AD，得x>12－x， ∴6<x<12. 在△APC中，∠PAC＝∠PCA，所以AP＝PC，从而得DP＝PB′， ∴AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP.在Rt△ADP中，由勾股定理得(12－x)2＋DP2＝(x－DP)2， ∴DP＝12－(6<x<12). (2)在Rt△ADP中， S△ADP＝AD·DP＝(12－x)＝108－(6<x<12). ∵6<x<12，∴6x＋≥2＝72，当且仅当6x＝，即x＝6时，等号成立． ∴S△ADP＝108－≤108－72，∴当x＝6时，△ADP的面积取最大值108－72. 活学活用 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建为一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝4米，AD＝3米，当BM＝__4__米时，矩形花坛AMPN的面积最小． 【解析】 设BM＝x米(x>0)，则由DC∥AM得 ＝，解得ND＝， ∴矩形AMPN的面积为S＝(4＋x) ＝24＋3x＋≥24＋2＝48， 当且仅当3x＝，即x＝4时等号成立． ∴当BM＝4米时，矩形花坛AMPN的面积最小． [题后感悟] 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)“定”(不等式的另一边必须为定值)“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 当 堂 自 评 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1．用一段长为8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型的最大面积为(　C　) A．9 cm2 B．16 cm2 C．4 cm2 D．5 cm2 【解析】 设矩形模型的长和宽分别为x cm，y cm，则x>0，y>0， 由题意可得2(x＋y)＝8， 所以x＋y＝4， 所以矩形模型的面积S＝xy≤＝＝4，当且仅当x＝y＝2时，等号成立， 所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，为4 cm2. 2．2024·揭阳二中高一如图，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的(　B　) A．最小长度为8 B．最小长度为4 C．最大长度为8 D．最大长度为4 【解析】 设BC＝a，CD＝b，因为矩形的面积为4，所以ab＝4， 所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为2a＋b＝2a＋≥2＝4， 当且仅当2a＝，即a＝时，等号成立． 3．某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(　B　) A．x＝B．x≤C．x>D．x≥ 【解析】 由题意得，A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，则(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2， 因为(1＋a)(1＋b)≤， 所以1＋x≤＝1＋， 所以x≤，当且仅当a＝b时取等号． 4．2024·金华一中高一在下图所示的锐角三角形空地中，欲建一个内接矩形花园(阴影部分)，则矩形花园面积的最大值为__400__． 【解析】 由题意设矩形花园的长为x，宽为y，x>0，y>0，矩形花园的面积为xy，根据题意作图，如图，因为花园是矩形，则△ADE∽△ABC，所以＝.又因为AG＝BC＝40， 所以AF＝DE＝x，FG＝y，所以x＋y＝40， 由基本不等式x＋y≥2，得xy≤400， 当且仅当x＝y＝20时，矩形花园面积最大，最大值为400. 温馨提示：课后请完成高效作业13 学科网（北京）股份有限公司 $$