1.2 集合间的基本关系-【精彩三年】2024-2025学年高中数学必修1课程探究与巩固Word教参（人教A版2019）

1.2　集合间的基本关系 1.理解集合之间的包含与相等的含义，能识别出集合的子集，在具体情境中，了解空集的含义.2.能使用Venn图表达集合间的关系，体会图形对理解抽象概念的作用． (见学生用书P6)　　　　　　　 若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． (请在括号中打“√”或“×”) 子集、真子集 (1)1⊆{1，2，3}．(　×　) (2)任何一个集合都有真子集．(　×　) (3)任意两个集合之间都有包含关系．(　×　) (4)设A是一个集合，则AA.(　×　) 集合相等 (5)相等集合中的元素一定是有限的．(　×　) (6)若A＝B，则A⊆B且B⊆A.(　√　) 空集 (7){0}＝∅.(　×　) (8) ∅和{∅}表示的意义不相同．(　√　) (见学生用书P7)　　　　　　　 类型一　集合间关系的判断 　　判断下列集合间的关系： (1)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}． (2)A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{y|y＝k＋2，k∈Z}． (3)若A＝，B＝，C＝. 解：(1)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB. (2)当k，n取整数时，A＝{…，－4，－2，0，2，4，6，…}，B＝{…，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，…}，故AB. (3)依题意，A＝＝，B＝，C＝＝，而{x|x＝k＋3，k∈Z}＝Z，{偶数}＝{x|x＝2k，k∈Z}， 因此集合C中的任意元素都是集合B中的元素，即有CB，集合B中的每一个元素都是集合A中的元素，即BA，所以CBA. 活学活用 判断下列各组中集合之间的关系． (1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}． (2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}， C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}． (3)A＝，B＝. 解：(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以AB. (2)由图形的特点可画出Venn图，如图所示，从而DBAC. (3)由题得A＝，B＝，而当k∈Z时，2k＋1是奇数，k＋2是整数，故AB. [题后感悟] 判断集合间关系的常用方法 1．列举观察法：当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． 2．集合元素特征法：首先确定集合的代表元素，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． 3．数形结合法：利用Venn图、数轴和平面直角坐标系等图示形象直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴． 类型二　求集合的子集和真子集 　　 (1)集合M＝{1，2，3}的真子集个数是(　B　) 　　　　 　　　　　　　　　　 A．6 B．7 C．8 D．9 (2)满足{1，2} M {1，2，3，4，5}的集合M有__7__个． 【解析】 (1)根据题意，M的真子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个． (2)根据题意，M可以为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个． 活学活用 2024·东莞中学高一已知集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|0<x<6，x∈N}，则满足ACB的集合C的个数为(　B　) A．4 B．8 C．7 D．16 【解析】 因为x2－5x＋6＝0的根为x＝2或x＝3，所以A＝{2，3}．又B＝{1，2，3，4，5}，且ACB，所以C中一定含有元素2，3，可能含有元素1，4，5，所以C的个数即为集合{1，4，5}的子集个数，即23＝8，故选B. [题后感悟] 求集合的子集、真子集时，要按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合．且注意两个特殊的集合，即空集和集合本身． 类型三　由集合间的关系求参数的取值范围 　　 已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}．若BA，求实数m的取值范围． 解：当B＝时，满足BA，则m＋1≥2m－1，所以m≤2； 当B≠时，因为BA，如图． 所以解得2<m≤4. 综上所述，实数m的取值范围是m≤4. 迁移探究 若将本例中“BA”改为“AB”，集合B改为B＝{x|m－4<x<10m＋1}，集合A不变，求m的取值范围． 解：由题意，得 解得<m<2.故实数m的取值范围是. 活学活用 已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}． (1)若AB，则a的取值范围为__{a|a>2}__． (2)若BA，则a的取值范围为__{a|1≤a≤2}__． 【解析】 (1)若AB，由图可知，a>2. 故实数a的取值范围为{a|a>2}． (2)若BA，由图可知，1≤a≤2. 故实数a的取值范围为{a|1≤a≤2}． 当 堂 自 评 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1．下列关系中错误的是(　C　) A．∅ B． C．∈ D． 2．下列说法中正确的是(　C　) ①若AB，则AB；②若AB，则AB； ③若A＝B，则AB；④若AB，则A＝B. A．①② B．②③ C．①③ D．①②③④ 3．已知集合S＝{(x2－5x＋6)＝0}，则集合S的真子集共有(　A　) A．7个 B．8个 C．15个 D．16个 4．[多选题]已知集合A＝，B＝，若BA，则实数a的值可能是(　ABC　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 5．[2024·丽水中学高一]已知集合A＝，B＝{x|x2＋2(m＋1)x＋m2－3＝0}．若BA，则实数m的取值范围是____． 【解析】 因为A＝＝. 由于BA. 所以可以分为以下几种情况： ①当B为空集时，Δ＝4－4<0，解得m<－2； ②当B不为空集时， 当Δ＝4－4＝0时，m＝－2， 此时B＝＝，满足题意． 当Δ＝4－4>0时，m>－2，由一元二次方程根与系数的关系得 此时m无解， 综上，实数m的取值范围是 m≤－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$