第1章 第一节 集 合（课件）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第一章 集合与常用逻辑用语、不等式 第一节 集 合 明确目标 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能用列举法或描述法表示集合. 2.理解集合之间的包含与相等，能识别给定集合的子集，了解全集与空集. 3.理解并会求两个集合的并、交、补集，能用Venn图表示集合的基本关系与运算. 目录 01.课前·“四基”落实 02.课堂·题点精研 03.课时跟踪检测 4 课前·“四基”落实 01 1.集合与元素 教材再回首 元素的特性 ________、________、________ 集合的表示法 ________、________、_________ 常见数集 自然数集(非负整数集)，记作_____；正整数集，记作_____或N+；整数集，记作______；有理数集，记作_____；实数集，记作______ 元素与集合 的关系 若a属于集合A，记作_______； 若b不属于集合A，记作_______ 确定性 互异性 无序性 列举法 描述法 图示法 N N* Z Q R a∈A b∉A 2.集合间的基本关系   文字语言 符号语言 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 ______或______ 真子集 集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A ______或______ 相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素 ________________⇔A=B 空集是任何集合的_____，任何非空集合的________ A⊆B B⊇A A⫋B B⫌A A⊆B且B⊆A 子集 真子集 3.集合的基本运算   语言表示 图形表示 符号语言 并集 所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B=_________________ 交集 所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B=_________________ 补集 若全集为U，则集合A的补集为∁UA ∁UA=_________________ {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质 交集 A∩B=_______，A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A=A，A∩∅=____，A⊆B⇔A∩B=_____ 并集 A∪B=_______，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A=_____，A∪∅=______，A⊆B⇔A∪B=_______ 补集 ∁U(∁UA)=_____，∁U∅=______，∁UU=∅，A∩(∁UA)= ∅，A∪(∁UA)=______ B∩A ∅ A B∪A A A B A U U 解题结论拓展 (1)(人B必修①P14“探索与研究”结论)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个. (2)集合关系的传递性：A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁UA⊇∁UB. (3)(人B必修①P19“探索与研究”结论)德·摩根定律：∁U(A∩B)= (∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). (4)(人A必修①P15“阅读与思考”结论) 容斥原理：对任意两个有限集合A，B，有 card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B). 典题细发掘 一、教材小题的导向训练 1.(苏教必修①P23T7)若M={-1，0，1，2，3，4，5，6，7}，N= {x|x2-2x-3=0，x∈R}，则∁MN=(　　) A.{-1，3} B.{-1，0，1，2，3，4，5，6，7} C.{0，1，2，4，5，6，7} D.{1，2，3，4，5，6，7} √ 2.(人A必修①P14T1改编)若集合A={x|2≤x<4}，B={x|3x-7≥8-2x}，则A∪B=　　 .  解析：易知B={x|x≥3}，故A∪B={x|x≥2}. {x|x≥2} 3.(人A必修①P9T5改编)已知集合A={x|0<x<a}，B={x|1<x<2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是　　　　　.  解析：由图可知a≥2. [2，+∞) 二、易错小题的警醒训练 1.已知集合A={y|y=x2}，B={x|y=}，则A∩B=(　　) A.[0，+∞) B.[-1，+∞) C.[-1，0] D.(-1，0) 解析：易知A=[0，+∞)，B=[-1，+∞)，故A∩B=[0，+∞). (易错点：混淆集合的代表元素) √ 2.已知集合A={m+2，2m2+m}，若3∈A，则m的值为 (　　) A.1 B.- C.1或- D.-1或 解析：当m+2=3时，m=1，此时，m+2=2m2+m=3，故舍去；当2m2+m=3时，解得m=-(m=1舍去). (易错点：忽视元素的互异性) √ 课堂·题点精研 02 1.(2025·沈阳模拟)下列四个命题正确的个数是 (　　) ①{0}是空集；②若a∈N，则-a∉N； ③集合{x∈R|x2-2x+1=0}有两个元素； ④集合是有限集. A.1 B.2 C.3 D.0 √ 题点一　集合的含义与表示(自主练通) 解析：对于①，{0}不是空集，空集中无任何元素，故①错误；对于②，若a∈N，当a=0时，-a∈N，故②错误；对于③，集合{x∈R|x2-2x+1=0}={1}，只有一个元素，故③错误；对于④，集合是无限集，故④错误.综上，正确的命题有0个. 2.(2024·济南二模)已知集合{x|(x-a2)(x-1)=0}的元素之和为1，则实数a所有取值的集合为 (　　) A.{0} B.{1} C.{-1，1} D.{0，-1，1} √ 解析：因为集合{x|(x-a2)(x-1)=0}的元素之和为1，所以一元二次方程(x-a2)(x-1)=0有相等实根时，可得x=a2=1，即a=±1，当方程有两个不相等实根时，x=a2=0，即a=0.综上，实数a所有取值的集合为{0，1，-1}. 3.已知集合A={x|ln x<1}，若a∉A，则a可能是 (　　) A. B.1 C.2 D.3 √ 解析：由ln x<1， 得0<x<e，则A={x|0<x<e}，∁RA={x|x≤0，或x≥e}.由a∉A，得a∈∁RA，故选D. 4.(2025·大连模拟)已知集合P={x|x=2k，k∈Z}，Q={x|x=2k+1，k∈Z}，M={x|x=4k+1，k∈Z}，且a∈P，b∈Q，则下列结论正确的是 (　　) A.a+b∈M B.a+b∈Q C.a-b∈P D.a·b∈Q 解析：因为a∈P，所以a=2k1，k1∈Z，因为b∈Q，所以b=2k2 +1，k2∈Z，所以a+b=2k1+2k2+1=2(k1+k2)+1∈Q，故A错误，B正确；所以a-b=2k1-2k2-1=2(k1-k2-1)+1∈Q，故C错误；所以a·b=2k1· (2k2+1)=2(2k1k2+k1)∈P，故D错误.故选B. √ 与集合概念有关问题的求解策略 (1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义. (2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 思维建模 [例1] (1)已知集合M=，N=，则下列表述正确的是(　　) A.M∩N=∅ B.M∪N=R C.M⊆N D.N⊆M 解析：因为M==，N==，且2n+1表示所有的奇数，n+2表示所有的整数，所以M⊆N. √ 题点二　集合间的基本关系 (2)(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A⊆B，则a= (　　) A.2 B.1 C. D.-1 解析：依题意有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不满足A⊆B；当2a-2=0时，解得a=1，此时A={0，-1}，B={-1，0，1}，满足A⊆B.所以a=1，故选B. √ 集合间基本关系解题策略 (1)一般利用数轴法、Venn图以及结构法判断两集合间的关系.如果集合中含有参数，需要对式子进行变形，有时需要进一步对参数分类讨论. (2)确定非空集合A的子集的个数，需要先确定集合A中的元素的个数.不能忽略任何非空集合是它自身的子集. (3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素满足的式子或区间端点间的关系，常用数轴法、Venn图求解. 思维建模 1.(2024·鹰潭三模)已知集合A={x||x-1|≤2}，B={-t，t}，且B⊆A，则实数t的取值范围是 (　　) A.[-1，1] B.[-3，3] C.[-1，0)∪(0，1] D.[-3，0)∪(0，3] 即时训练 √ 解析：根据题意得A={x|-1≤x≤3}，由B⊆A，得 解得-1≤t≤1且t≠0. 故实数t的取值范围是[-1，0)∪(0，1]. (易忽视排除t=0的情况) 绝对值不等式的解法 (1)|x|>a(a>0)⇔x>a或x<-a； (2)|x|<a(a>0)⇔-a<x<a； (3)|ax+b|≤c(c>0)⇔-c≤ax+b≤c； (4)|ax+b|≥c(c>0)⇔ax+b≤-c或ax+b≥c. 谨记结论 2.(2024·重庆三模)已知集合A={x|x2-5x+6=0}，B={x|-1<x<5，x∈N}，则满足A⊆C⫋B的集合C的个数为　　　.  解析：因为A={x|x2-5x+6=0}={2，3}，B={x|-1<x<5，x∈N}={0，1，2，3，4}，所以满足A⊆C⫋B的集合C中必有元素2，3，所以求满足A⊆C⫋B的集合C的个数，即求{0，1，4}集合的真子集个数，所以满足A⊆C⫋B的集合C的个数为23-1=7. 7 谨记结论 考法(一)　集合的运算 [例2] (1)(2024·全国甲卷)已知集合A={1，2，3，4，5，9}，B={x|∈A}，则∁A(A∩B)=(　　) A.{1，4，9} B.{3，4，9} C.{1，2，3} D.{2，3，5} 解析：由题意得B={1，4，9，16，25，81}，则A∩B={1，4，9}， 所以∁A(A∩B)={2，3，5}.故选D. √ 题点三　集合的基本运算 (2)已知集合A=，B={y||y|<2}，则A∪B=(　　) A.(-2，1) B.(-1，2) C.∅ D.(-2，5) 解析：因为A=={x|-1<x<5}，B={y||y|<2}={y|-2<y<2}，所以A∪B=(-2，5). (注意：用描述法表示集合时，一定要理解其表示的含义) √ 考法(二)　求参数的值或范围 [例3] (1)(2024·武汉二模)设集合A={x∈Z|x(x-4)<0}，B={x|x2-2x+m=0}，若A∩B={3}，则B=(　　) A.{-3，1} B.{-1，3} C.{1，3} D.{-3，-1} 解析：因为A∩B={3}，所以3∈B，9-6+m=0，所以m=-3，所以x2-2x-3=0，解得x=3或x=-1，所以B={-1，3}，又A={1，2，3}，满足A∩B={3}. √ (2)(2025·亳州模拟)已知集合A={x|1≤x<5}，B={x|-a<x≤a+4}，若B⊆(A∩B)，则a的取值范围为 (　 ) A.{a|-2<a<-1} B.{a|a<-2} C.{a|a≤-1} D.{a|a>-2} √ 解析：∵B⊆(A∩B)，又(A∩B)⊆B，∴A∩B=B，即B⊆A.① 当B=∅时，满足B⊆A，此时-a≥a+4，解得a≤-2；② 当B≠∅时，由B⊆A，得解得-2<a≤-1. 综上所述，a≤-1. 易忽略B为空集的情况，因为空集是任何集合的子集，所以在含参集合中若未指明集合非空，要考虑集合为空 集的情况，同时注意所得结果端点值的取舍. 易错提醒 解决集合运算问题的技巧 (1)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示. (2)根据集合运算的结果，利用集合运算的定义和数轴建立关于参数的方程(不等式)求解. 思维建模 3.(2025·德阳模拟)设全集U={x∈N|x2-5x≤0}，∁UA={2，5}，B={1，2，3}，则A∩B= (　　) A.{1} B.{2} C.{1，3} D.{2，3} 即时训练 √ 解析：由x2-5x≤0可得0≤x≤5，所以U={0，1，2，3，4，5}.又因为∁UA={2，5}，所以A={0，1，3，4}，所以A∩B={1，3}. 4.已知集合A={x|x>a}，B={x|1<x≤2}，且A∪∁RB=R，则实数a的取值范围是 (　　) A.{a|a≤1} B.{a|a<1} C.{a|a≥2} D.{a|a>2} 解析：因为B={x|1<x≤2}，所以∁RB={x|x≤1，或x>2}， 又A∪∁RB=R，所以a≤1. √ 5.已知全集U=R，集合A={x|-1≤x≤2}，B= {x|1≤x≤6}，如图所示，则图中阴影部分表示的 集合是 (　　) A.{x|-1≤x≤6} B.{x|x<-1} C.{x|x>6} D.{x|x<-1，或x>6} 解析：因为A={x|-1≤x≤2}，B={x|1≤x≤6}，所以A∪B={x|-1≤x≤6}，所以图中阴影部分表示的集合∁U(A∪B)={x|x<-1，或x>6}. √ 集合混合运算中的Venn图 习得方略 [例4]　若规定集合E={0，1，2，…，n}的子集{a1，a2，a3，…，am}为E的第k个子集，其中k=+++…+，则E的第211个子集的真子集个数是　　　.  快审准解：正确理解k的含义，k=211时，即要先求出满足2n<211，2n+1>211的n=7，即E的第211个子集应含有的元素，计算出211-27=83，再要求满足2n<83，2n+1>83的n=6，即E的第211个子集应含有的元素，如此类推即得. 31 题点四　集合的新定义问题 解析：法一　由27=128<211，28=256>211，则E的第211个子集必包含7，此时211-128=83.又26=64<83，27=128>83，则E的第211个子集必包含6，此时83-64=19.又24=16<19，25=32>19，则E的第211个子集必包含4，此时19-16=3.又21=2<3，22=4>3，则E的第211个子集必包含1.而20=1.综上所述，E的第211个子集是{0，1，4，6，7}.故真子集个数是25-1=31. 法二　因为211=20+21+24+26+27. 所以由题意，可知E的第211个子集为{0，1，4，6，7}， 故真子集个数是25-1=31. 集合新定义问题的“三定” 思维建模 定元素 确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素 定运算 根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题 定结果 根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素 6.定义：如果集合U存在一组两两不交(两个集合的交集为空集时，称为不交)的非空真子集A1，A2，…，Ak(k∈N*)，且A1∪A2∪…∪Ak=U，那么称子集族{A1，A2，…，Ak}构成集合U的一个k划分.已知集合I={x ∈N|x2-6x+5<0}，则集合I的所有划分的个数为 (　　) A.3 B.4 C.14 D.16 即时训练 √ 快审准解：解二次不等式得到集合I，由子集族的定义对集合I进行划分，即可得到所有划分的个数. 解析：依题意，I={x∈N|x2-6x+5<0}={x∈N|1<x<5}={2，3，4}，I的2划分为{{2，3}，{4}}，{{2，4}，{3}}，{{3，4}，{2}}，共3个，I的3划分为{{2}，{3}，{4}}，共1个，故集合I的所有划分的个数为4. 7.(2024·怀化二模)给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集T={|a-b||a，b∈S，a≠b}，如果min(T)=1，则称集合S为一个n元规范数集.(注：min(X)表示数集X中的最小数)对于集合M={-0.1，-1.1，2，2.5}，N={-1.5，-0.5，0.5，1.5}，则下列结论正确的是 (　　) A.M是规范数集，N不是规范数集 B.M是规范数集，N是规范数集 C.M不是规范数集，N是规范数集 D.M不是规范数集，N不是规范数集 √ 解析：集合M={-0.1，-1.1，2，2.5}中，2∈M，2.5∈M，则|2-2.5|=0.5<1，即M的相伴数集中的最小数不是1，因此M不是规范数集；集合N={-1.5，-0.5，0.5，1.5}，|-1.5-(-0.5)|=1，|-0.5-0.5|=1，|0.5-1.5|=1，|-1.5-0.5|=|-0.5-1.5|=2，|-1.5-1.5|=3，即N的相伴数集中的最小数是1，因此N是规范数集. 数智赋能: 电子版随堂训练（Venn图的应用）根据课堂情况灵活选用 课时跟踪检测 03 (标★题目难度稍大，可据自身学情选做) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 一、单选题 1.(2024·全国甲卷)若集合A={1，2，3，4，5，9}，B={x|x+1∈A}，则A∩B=(　　) A.{1，3，4} B.{2，3，4} C.{1，2，3，4} D.{0，1，2，3，4，9} 解析：因为B={x|x+1∈A}，分别令x+1=1，x+1=2，x+1=3，x+1=4，x+1=5，x+1=9，得x=0，1，2，3，4，8，所以B={0，1，2，3，4，8}，于是A∩B={1，2，3，4}，故选C. 17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 2.(2024·北京高考)已知集合M={x|-3<x<1}，N={x|-1≤x<4}，则M∪N= (　　) A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3} C.{x|-3<x<4} D.{x|x<4} 解析：由集合的并运算，得M∪N={x|-3<x<4}. 17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 3.(2024·成都三模)设全集U={1，2，3，4，5}，若集合M满足{1，4}⊆∁UM，则 (　　) A.4∈M B.1∉M C.2∈M D.3∉M 解析：全集U={1，2，3，4，5}，由{1，4}⊆∁UM，知1∈∁UM，4∈∁UM，则1∉M，4∉M，A错误，B正确；不能判断2∈M，也不能判断3∉M，C、D错误. 17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 4.(2025·内江模拟)已知集合A=，集合B={(x，y)|y=-x}，则A∩B的真子集的个数为(　　) A.3 B.4 C.7 D.8 解析：由得或 所以A∩B={(，-)，(-)}，则A∩B中有2个元素， 所以A∩B的真子集的个数为22-1=3. 17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 5.(2025·宁德质量检测)已知集合A={-2，0，2，4}，B={x||x-3|≤m}.若A∩B=A，则m的取值范围是 (　　) A.(1，+∞) B.[1，+∞) C.(5，+∞) D.[5，+∞) 解析：易知m≥0，由|x-3|≤m得3-m≤x≤3+m.因为A∩B=A，所以A⊆B，则解得m≥5. 17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 6.(2025·大理模拟)已知{x|ax2-4x+1=0}={b}，其中a，b∈R，则b= (　　) A.0 B.或 C. D. 17 解析：由题意知，b为方程ax2-4x+1=0的根，当a=0时，b=； 当a≠0时，二次方程有两个相同的根，则有 此时b=. (易错提醒：易忽视对a的讨论，而造成漏解) 故b=或b=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 7.已知集合A={x|x2-2x-3<0}，B={y|y=ex+1}， 则图中阴影部分表示的集合为 (　　) A.{x|-1<x<1} B.{x|-1<x≤1} C.{x|-1<x<3} D.{x|-1<x≤3} 解析：由x2-2x-3<0，解得-1<x<3，则A={x|-1<x<3}.B={y|y=ex+1} ={y|y>1}.又A∩B={x|1<x<3}，所以阴影部分表示的集合为∁A(A∩B)={x|-1<x≤1}. 17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 8.(2025·广州一模)设集合A={1，3，a2}，B={1，a+2}，若B⊆A，则a= (　　) A.2 B.1 C.-2 D.-1 解析：因为B⊆A，所以a+2=3或a2=a+2，解得a=1或a=2或a=-1.当a=1时，A={1，3，1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；当a=2时，A={1，3，4}，B={1，4}，B⊆A，符合题意；当a=-1时，A={1，3，1}，与集合中元素的互异性矛盾，舍去.综上，a=2. 易错提醒：本题中两个集合都含有参数，故求出参数值后，要根据集合中元素的互异性检验参数值是否满足要求. 17 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 9.(2024·成都三模)设全集U={x∈N|x≤7}，集合M，N满足M= {3，7}，(∁UM)∩N={4，5}，则{0，1，2，6}= (　　) A.M∪(∁UN) B.(∁UM)∪(∁UN) C.M∩(∁UN) D.(∁UM)∩(∁UN) 17 解析：U={0，1，2，3，4，5，6，7}，M={3，7}，故∁UM={0，1，2，4，5，6}.又(∁UM)∩N={4，5}，故4∈N，5∈N，0，1，2，6∉N.由题意得3，7∈M∪(∁UN)，故A错误；由于∁UM={0，1，2，4，5，6}，故4，5∈(∁UM)∪(∁UN)，B错误；由于0，1，2，6∉M，故0，1，2，6∉M∩(∁UN)，C错误；由于0，1，2，6∉N，故0，1，2，6∈∁UN，且4∉∁UN，5∉∁UN，又∁UM={0，1，2，4，5，6}，故(∁UM)∩(∁UN)={0，1，2，6}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 √ 10.已知集合A={x∈Z|x2<3}，B=，若A∩B有2个元素，则实数a的取值范围是(　　) A. B.∪ C. D.∪(1，+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 解析：A={x∈Z|x2<3}={-1，0，1}，B=，若A∩B有2个元素，则或 (集合A中有3个元素，而A∩B有2个元素，故需分两种情况讨论) 解得-<a<-1或-<a<0， 所以实数a的取值范围是∪.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 √ 二、多选题 11.设集合A={x|x2-x≤6}，B={xy|x∈A，y∈A}，则下列结论正确的是(　　) A.A∩B=B B.B∩Z的元素个数为16 C.A∪B=B D.A∩Z的子集个数为64 √ √ 解析：对于A、B、C，因为A={x|x2-x≤6}={x|-2≤x≤3}，所以B={xy|x∈A，y∈A}={x|-6≤x≤9}，即A⊆B.所以A∩B=A，A∪B=B，B∩Z有6+1+9=16个元素，故A错误，B、C正确；对于D，因为A∩Z有2+1+3=6个元素，所以A∩Z的子集个数为26=64，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 解析：对于A，当x=-1，0，1，2，3时，2-x∈{-1，0，1，2，3}，故A正确；对于B，{x|x=2k-1，k∈Z}为全体奇数构成的集合，当x为奇数时，2-x也为奇数，故B正确；对于C，={y|y≠0}，则2∈{y|y≠0}，但2-2=0∉{y|y≠0}，故C错误；对于D，{y|y=1+sin x} =[0，2]，当x∈[0，2]时，2-x∈[0，2]，故D正确. √ 12.(2025·长春模拟)对于集合A，若∀x∈A，2-x∈A，则称A为对偶互存集，则下列为对偶互存集的是 (　　) A.{-1，0，1，2，3} B.{x|x=2k-1，k∈Z} C. D.{y|y=1+sin x} √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 √ 13.对任意A，B⊆R，记A⊕B={x|x∈A∪B，x∉A∩B}，并称A⊕B为集合A，B的对称差.例如：若A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A⊕B ={1，4}.下列命题为真命题的是(　　) A.若A，B⊆R且A⊕B=B，则A=∅ B.若A，B⊆R且A⊕B=∅，则A=B C.若A，B⊆R且A⊕B⊆A，则A⊆B D.存在A，B⊆R，使得A⊕B≠∁RA⊕∁RB √ 解析：因为A⊕B=B，所以B={x|x∈A∪B，x∉A∩B}，所以A⊆B，且B中的元素不能出现在A∩B中，因此A=∅，即A正确；因为A⊕B=∅，所以∅={x|x∈A∪B，x∉A∩B}，即A∪B与A∩B是相同的，所以A=B，即B正确；因为A⊕B⊆A，所以{x|x∈A∪B，x∉A∩B}⊆A，所以B⊆A，即C错误；由于∁RA⊕∁RB={x|x∈∁RA∪∁RB，x∉∁RA∩∁RB}={x|x∈∁R(A∩B)，x∉∁R(A∪B)}={x|x∈A∪B，x∉A∩B}，而A⊕B={x|x∈A∪B，x∉A∩B}，故A⊕B=∁RA⊕∁RB，即D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 三、填空题 14.设集合A={x|1≤x≤3}，集合B={x|y=}，若A⫋C⫋B，写出一个符合条件的集合C=　　 　　.  解析：因为A={x|1≤x≤3}，B={x|x≥1}，所以若A⫋C⫋B，则可有C=[1，4]. [1，4](答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 15.已知集合A={x|x2-3x<0}，B={x|-2<x<2}，C={x|x<a}，且(A∩B)⊆C，则实数a的取值范围是　　　　　.  解析：依题意，A={x|x2-3x<0}={x|0<x<3}，则A∩B={x|0<x<2}，由(A∩B)⊆C，得a≥2，所以a的取值范围是[2，+∞). [2，+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 16.(2024·南京二模)已知集合A={1，2，4}，B={(x，y)|x∈A，y∈A，x-y∈A}，则集合B的元素个数为　　　.  解析：当x=1时，y=1，2，4，x-y=0，-1，-3，不符合(x-y)∈A，舍去；当x=2时，y=1，2，4，x-y=1，0，-2，则x=2，y=1；当x=4时，y=1，2，4，x-y=3，2，0，则x=4，y=2.故B={(x，y)|(2，1)，(4，2)}，共2个元素. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17.设集合A为含有n个元素的有限集.若集合A的m个子集A1，A2，…，Am满足以下3个条件： ①A1，A2，…，Am均非空；②A1，A2，…，Am中任意两个集合交集为空集；③A1∪A2∪…∪Am=A.则称A1，A2，…，Am为集合A的一个m阶分拆. 若A={1，2，3，…，2 024}，A1，A2为A的2阶分拆，集合A1所有元素的平均值为P，集合A2所有元素的平均值为Q，则|P-Q|的最小值等于　　　，最大值等于　　　 .  0 1 012 17 解析：由题意，取A1={1，4，5，8，9，12，…，2 021，2 024}，A2={2，3，6，7，…，2 022，2 023}，因为1+4=2+3，5+8=6+7，…，2 021+2 024=2 022+2 023，所以P=Q，则|P-Q|=0为最小值；取A1={2，3，4，5，…，2 023，2 024}，A2={1}，|P-Q|=-1= -1=1 012为最大值. (注意：等差数列前n项和的应用) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 $$