第二章 函 数（教师用书）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第二章 函　数 第一节　函数的概念及表示 明确目标 1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A. (2)在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集. 2.构成函数的三要素 (1)函数的三要素:函数由定义域、值域和对应关系三个要素构成，在函数y=f(x)，x∈A中，自变量的取值范围(即数集A)称为这个函数的定义域.所有函数值组成的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (2)同一个函数:如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. (2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集. 　　[微点提醒] (1)直线x=a与函数y=f(x)的图象至多有1个交点. (2)注意以下几种特殊函数的定义域: ①分式型函数，分母不为零的实数集合. ②偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合. ③f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. ④若f(x)=x0，则定义域为{x|x≠0}. 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数. (　　) (2)任何一个函数都可以用图象法表示. (　　) (3)直线y=a与函数y=f(x)的图象可以有多个交点. (　　) (4)函数f(x)=的定义域为R. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(北师大必修①P59T3改编)函数y=2x-1(x∈{1，2，3})的值域为 (　　) A.[1，5] B.{1，3，5} C.[2，6] D.{2，4，6} 答案:B 3.(人B必修①P97T6改编)下列四个图象中，不是函数图象的是 (　　) 解析:选B　根据函数的定义知，若y是x的函数，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上:图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点.对照选项，可知只有B不符合此条件. 4.(苏教必修①P115T7改编)已知函数f(x)=则f(f(2))= (　　) A. B. C.2 D.-2 解析:选B　由题意得f(2)=-2，f(-2)=，故选B. 5.(人A必修①P65例2改编)已知函数f(x)=x+3+，若f(a)=，则a=　　　　.  解析:由a+3+=，化简得，3a2+2a-5=0，解得a=1或a=-，均符合题意，所以a=1或a=-. 答案:1或- 题点一　函数的概念 [例1] (1)[多选]下列说法正确的有 (　　) A.f(x)=与g(x)=表示同一个函数 B.函数f(x)=-的定义域是[-1，0)∪(0，+∞) C.f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1是同一个函数 D.若f(x)=|x-1|-x，则f=0 解析:选BC　函数f(x)=的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，函数g(x)=的定义域为R，两函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故A错误;由题意，在f(x)=-中，解得x≥-1且x≠0，故B正确;因为函数f(x)=x2-2x+1与g(t)=t2-2t+1的定义域与对应关系都相同，所以两函数是同一个函数，故C正确;由f(x)=|x-1|-x，可得f=0，所以f=f(0)=1，故D错误. (2)(2025·扬州开学考试)已知函数y=f(x)的定义域为[-1，4]，则y=的定义域为 (　　) A.[-5，5] B. C.(1，5] D. 解析:选B　因为y=f(x)的定义域为[-1，4]，所以解得1<x≤， 所以y=的定义域为. 易错提醒:求解复合函数的定义域问题时，易搞不清函数的自变量是哪一个而致误.解决抽象函数与复合函数的定义域问题要谨记定义域指的是x的范围，同一个“f”下括号内的范围是一样的. |思维建模|　 (1)判断两个函数是否为同一个函数，关键有两点:定义域是否相同，对应关系即解析式是否相同. (2)求具体函数的定义域即求使解析式有意义的自变量x的取值集合，如分式的分母不等于0、对数的真数大于0且不等于1等，所以往往归结为求解自变量满足的不等式(组)，不等式(组)的解集即为定义域. (3)对于抽象函数，若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数y=f(g(x))的定义域由不等式组a≤g(x)≤b求出;若复合函数y=f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)(x∈[a，b])的值域. [即时训练] 1.(2025·晋中阶段练习)下列函数与y=是相等函数的是 (　　) A.y= B.y= C.y=(a>0且a≠1) D.y=logaax(a>0且a≠1) 解析:选D　因为y==x，且定义域为R，y==|x|，可知两个函数的对应关系不同，所以函数不相等，故A错误;y=的定义域为{x|x≠0}，可知两个函数的定义域不同，所以函数不相等，故B错误;y=的定义域为{x|x>0}，可知两个函数的定义域不同，所以函数不相等，故C错误;y=logaax=x，且定义域为R，所以两个函数是相等函数，故D正确. 2.已知函数y=f(x)的定义域为[1，10]，则y=(x-3)0f(3x)的定义域为 (　　) A.[1，3)∪(3，30] B.∪ C.[1，3)∪(3，10] D.[1，3)∪ 解析:选B　因为函数y=f(x)的定义域为[1，10]，所以要使函数y=(x-3)0f(3x)有意义，需满足解得x∈∪. 题点二　函数的解析式 [例2] (1)(换元法或配凑法)若函数f(x)满足f(x-1)=x2，求f(x)的解析式; (2)(待定系数法)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求f(x)的解析式; (3)(方程组法)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x，求f(x)的解析式. 解:(1)法一:换元法 设x-1=t，则x=t+1，f(t)=(t+1)2， 故函数f(x)的解析式为f(x)=(x+1)2=x2+2x+1. 法二:配凑法 ∵f(x-1)=(x-1)2+2x-1=(x-1)2+2(x-1)+1， ∴函数f(x)的解析式为f(x)=x2+2x+1. (2)∵f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)， ∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴解得 ∴f(x)的解析式为f(x)=2x+7. (3)∵2f(x)+f(-x)=3x，　① ∴将x用-x替换，得2f(-x)+f(x)=-3x，　② 由①②解得f(x)=3x. |思维建模|　函数解析式的求法 (1)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. (2)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式. (3)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法. (4)方程组法:已知关于f(x)与f或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). [即时训练] 3.若函数f(x)满足f(g(x))=9x+3，g(x)=3x+1，则f(x)= (　　) A.3x B.3 C.27x+10 D.27x+12 解析:选A　因为f(g(x))=9x+3，g(x)=3x+1，所以f(3x+1)=9x+3=3(3x+1)，则f(x)=3x. 4.已知函数f(1-x)=(x≠0)，则f(x)= (　　) A.-1(x≠0) B.-1(x≠1) C.-1(x≠0) D.-1(x≠1) 解析:选B　令1-x=t(t≠1)，则x=1-t， 所以f(t)==-1， 所以f(x)=-1(x≠1). 易错提醒:注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域. 5.已知f(x)满足2f(x)+f=3x，则f(x)的解析式为　　　　　　　　.  解析:由2f(x)+f=3x，　① 用替换x，得2f+f(x)=，② 由①②得f(x)=2x-(x≠0). 答案:f(x)=2x-(x≠0) 题点三　分段函数 考法(一)　分段函数求值 [例3]　设函数f(x)=则f= (　　) A. B. C. D.-1 解析:选A　易知f=2=， 所以f=f==. 考法(二)　分段函数与方程结合 [例4]　(2024·大兴三模)已知f(x)=若f(m)=8，则m=　　　　.  解析:因为f(x)=且f(m)=8， 所以或解得m=-3或m=. 答案:-3或 考法(三)　分段函数与不等式结合 [例5]　设函数f(x)=则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是　　　　.  解析:法一　当x<1时，由f(x)≤2，得2x-1≤2，所以x-1≤1，解得x≤2.又因为x<1，所以x<1;当x≥1时，由f(x)≤2，得≤2，所以x≤4.又因为x≥1，所以1≤x≤4.综上，满足f(x)≤2成立的x的取值范围为 (-∞，4]. 法二　画出f(x)的图象，由图象知f(x)是R上的增函数，又因为f(4)=2，所以f(x)≤2，可化为f(x)≤f(4)，故x≤4. 答案:(-∞，4] |思维建模|　 (1)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值. (2)若是求自变量的值，则需要结合分段区间的范围对自变量进行分类讨论，再求值. (3)涉及与分段函数有关的不等式问题，主要是解不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解，有时可以数形结合求解. [即时训练] 6.(2025·武汉模拟)已知f(x)=则f= (　　) A.2 B. C. D.1 解析:选D　因为函数f(x)= 所以f=2f=2× =1.故选D. 7.[多选]已知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论正确的是 (　　) A.f(f(-1))=1 B.若f(x)=3，则x的值是 C.f(x)<1的解集为(-∞，1) D.f(x)的值域为(-∞，4) 快审准解:将x=-1代入f(x)=x+2，得f(-1)=1，将x=1代入f(x)=x2，可知A正确;分别在x≤-1和-1<x<2的情况下，根据解析式构造方程和不等式可判断B、C的正误;分别在x≤-1和-1<x<2的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知D正确. 解析:选ABD　由题意，得f(-1)=-1+2=1，所以f(f(-1))=f(1)=12=1，故A正确;当x≤-1时，f(x)=x+2=3，解得x=1(舍去);当-1<x<2时，f(x)=x2=3，解得x=-(舍去)或x=.所以f(x)=3的解为x=， 故B正确;当x≤-1时，f(x)=x+2<1，解得x<-1;当-1<x<2时，f(x)=x2<1，解得-1<x<1，所以f(x)<1的解集为(-∞，-1)∪(-1，1)，故C错误;当x≤-1时，f(x)=x+2≤-1+2=1;当-1<x<2时，f(x)=x2∈[0，4)，所以f(x)的值域为(-∞，4)，故D正确. 数智赋能:电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)+f(y)=x+y，则f(2)= (　　) A.0 B. C.1 D.2 解析:选D　令x=y=2，则f(2)+f(2)=4，所以f(2)=2，故选D. 2.函数f(x)=+lg(x-1)的定义域为 (　　) A.{x|x≥3} B.{x|x<1} C.{x|1≤x≤3} D.{x|1<x≤3} 解析:选D　由⇒所以函数f(x)=+lg(x-1)的定义域为{x|1<x≤3}. 价值发掘:求函数的定义域常用的结论 (1)分式型要满足f(x)≠0; (2)偶次根式型(n∈N*)要满足f(x)≥0; (3)[f(x)]0要满足f(x)≠0; (4)对数型logaf(x) (a>0，且a≠1)要满足f(x)>0; (5)正切型tanf(x)要满足f(x)≠+kπ，k∈Z. 3.(2025·济南模拟)已知函数y=f(x)的对应值如表所示，则f(f(2))等于 (　　) x 0 1 2 3 4 5 y 3 6 5 4 2 7 A.4 B.5 C.6 D.7 解析:选D　由表可知f(2)=5，f(5)=7， 所以f(f(2))=f(5)=7. 4.已知函数f(x)=则f(-3)= (　　) A.2 B.3 C.4 D.8 解析:选A　依题意，得f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=21=2. 5.已知函数f(x)是一次函数，且f(f(x)-2x)=3，则f(5)= (　　) A.11 B.9 C.7 D.5 解析:选A　设f(x)=ax+b(a≠0)，则f(f(x)-2x)=f(ax+b-2x)=a(ax+b-2x)+b=3，整理得(a2-2a)x+ab+b-3=0，所以解得所以f(x)=2x+1，所以f(5)=2×5+1=11. 6.(2024·德阳三模)已知f=2x-5，且f(a)=3，则a= (　　) A.3 B. C.1 D. 解析:选C　∵f=2x-5， 且f(a)=3，∴f=2x-5=f(a)=3，∴2x-5=3，解得x=4.∴f=2×4-5=f(a)=3，即f(1)=f(a)，∴a=1. 7.设函数f(x)=若f(m)=18，则m= (　　) A.9 B.4 C.9或-4 D.9或4 解析:选C　因为f(x)=f(m)=18，所以或解得m=-4或m=9. 8.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2.若当x>2时，f(x)>0，则a的取值范围是 (　　) A.(-∞，1] B.[-2，1] C.[-1，2] D.[-1，+∞) 解析:选B　当a>2，x>2时，f(x)=x|x-a|-2a2=当2<x<a时，f(x)=-x2+ax-2a2，此时Δ=a2-4×2a2=-7a2<0，所以f(x)<0，不满足当x>2时，f(x)>0，故a>2不符合题意;当0<a≤2，x>2时，f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)·(x+a)>0，解得x>2a，由于x>2时，f(x)>0，故2a≤2，解得0<a≤1;当a=0，x>2时，f(x)=x2>0恒成立，符合题意;当a<0，x>2时，f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0，解得x>-a，由于x>2时，f(x)>0，故-a≤2，解得-2≤a<0.综上-2≤a≤1.故选B. 9.(2025·德阳模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)-2f(x-y)+f(x)-2f(y)=y-2，则f(2 024)= (　　) A.0 B.1 C.2 024 D.2 025 解析:选D　令x=y=0可得-2f(0)=-2，所以f(0)=1，再令x=0可得f(y)-2f(-y)+f(0)-2f(y)=y-2，即-f(y)-2f(-y)=y-3　①，将上式中的y全部换成-y可得-f(-y)-2f(y)=-y-3　②，联立①②可得f(y)=y+1，所以f(2 024)=2 024+1=2 025. 习得方略:求解抽象函数解析式问题的方法 (1)若根据已知可推知函数模型时，可利用待定系数法求解; (2)若无法推知函数模型，一般结合赋值法，通过解方程(组)法求解.其中，方程或者是已知的，或者是利用已知的抽象函数性质列出的，或者是利用已知方程变换出来的. 二、多选题 10.下列各组函数为同一个函数的是 (　　) A.f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1 B.f(x)=x0与g(x)=1 C.f(x)=与g(x)= D.f(x)=·与g(x)= 解析:选AC　因为可以用不同的字母表示变量，所以f(x)与g(t)是同一个函数，故A正确;因为函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，函数g(x)的定义域为R，所以f(x)与g(x)不是同一个函数，故B错误;因为函数f(x)与g(x)的定义域都是(-∞，0)∪(0，+∞)，对应关系一样，所以它们是同一个函数，故C正确;因为函数f(x)=·的定义域是[1，+∞)，函数g(x)的定义域是(-∞，-1]∪[1，+∞)，定义域不一样，所以它们不是同一个函数，故D错误. 11.已知函数f(x)=下列关于函数f(x)的结论正确的是 (　　) A.f(x)的定义域是R B.f(x)的值域是(-∞，5) C.若f(x)=3，则x= D.f(x)的图象与直线y=2有一个交点 解析:选BCD　f(x)的定义域是(-∞，2)，A错误.当x≤-1时，x+2≤1，当-1<x<2时，0≤x2<4，1≤x2+1<5，所以f(x)的值域是(-∞，5)，B正确.由B的分析可知，若f(x)=3，则 解得x=，C正确.画出f(x)的图象如图所示， 由图可知，D正确. 12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数f(x)=称为狄利克雷函数，则关于f(x)，下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的值域为[0，1] 　B.f(x)的定义域为R C.∀x∈R，f(f(x))=1 　D.f(x)为偶函数 解析:选BCD　因为函数f(x)=所以函数f(x)的定义域为R，值域为{0，1}，故A错误，B正确;因为f(x)=0或f(x)=1，且0与1均为有理数，所以f(f(x))=f(0)=1或f(f(x))=f(1)=1，故C正确;因为函数f(-x)===f(x)，所以f(x)为偶函数，故D正确. 三、填空题 13.设函数f(x)=若f(1)=2f(0)，则实数a可以为　　　　.  解析:若a<0，则f(0)=1，f(1)=2，f(1)=2f(0)成立;若0≤a<1，则f(0)=1，f(1)=2，f(1)=2f(0)成立;若a≥1，则f(0)=1，f(1)=0，f(1)=2f(0)不成立.综上所述，实数a的取值范围是(-∞，1). 答案:0(答案不唯一，满足a∈(-∞，1)即可) 14.已知函数f(x)的定义域为(0，1)，g(x)=f(x+c)+f(x-c)，当0<c<时，g(x)的定义域为　　　　.  解析:要使函数g(x)有意义，需即因为0<c<，所以c<x<1-c， 即g(x)的定义域为(c，1-c). 答案:(c，1-c) 15.已知函数f(x)满足2f-f=x，则f(x)=　　　　.  解析:由2f-f=x　①， 得2f-f=-x　②，由①②得3f=x，则f=x(x≠0)， 令1+=t，则x=(t≠1)，所以f(t)=(t≠1)，故f(x)=(x≠1). 答案:(x≠1) 第二节　函数的单调性与最大(小)值 明确目标 1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性，掌握求函数单调区间的基本方法. 2.理解函数最大值、最小值的概念，理解它们的作用和实际意义，会求简单函数的最值. 3.能够利用函数的单调性解决有关问题. 教材再回首 1.函数的单调性 (1)单调性 定　义 设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 图 象 描 述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ∀x∈D，都有f(x)≤M;∃x0∈D，使得f(x0)=M ∀x∈D，都有f(x)≥M;∃x0∈D，使得f(x0)=M 结论 M为最大值 M为最小值 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若函数f(x)满足f(-3)<f(2)，则f(x)在[-3，2]上单调递增. (　　) (2)若f(x)在R上是减函数，则f(0)>f(1). (　　) (3)函数的最小值一定比最大值小. (　　) (4)若函数f(x)≤1恒成立，则f(x)的最大值为1. (　　) (5)若函数f(x)在(-2，3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(-2，3). (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)× 2.(人A必修①P77“思考”改编)下列函数是增函数的为 (　　) A.f(x)=|x| B.f(x)= C.f(x)=x2 D.f(x)= 解析:选D　对于A，f(x)=|x|在R上不具有单调性，不合题意.对于B，f(x)=为R上的减函数，不合题意.对于C，f(x)=x2在R上不具有单调性，不合题意.对于D，f(x)=为R上的增函数，符合题意，故选D. 3.(人A必修①P81例5改编)已知函数f(x)=(x∈[2，6])，则f(x)的最小值为　　　　，最大值为　　　　.  解析:由于f(x)=在[2，6]上单调递减，故f(x)的最大值为f(2)=2，最小值为f(6)=. 答案:　2 4.(苏教必修①P134T6)设m为实数，若函数f(x)=x2+mx-2在区间(-∞，2)上单调递减，则m的取值范围为　　　　.  解析:由题意得-≥2，解得m≤-4. 答案:(-∞，-4] 题点一　确定函数的单调性 考法(一)　求函数的单调区间 [例1]　函数f(x)=的单调递增区间为 (　　) A. B.(-∞，-1] C. D. 解析:选C　由题意可得2x2-x-3≥0， 即(2x-3)(x+1)≥0，解得x≤-1或x≥. 令t=2x2-x-3，则y=，因为t=2x2-x-3图象的对称轴为x=，所以t=2x2-x-3在(-∞，-1]上单调递减，在上单调递增，因为y=在定义域内单调递增，所以f(x)=在(-∞，-1]上单调递减，在上单调递增.故选C. 习得方略:(1)在公共定义域内，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数. (2)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和u=g(x)的单调性的关系是“同增异减”. (3)函数y=f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y=-f(x)，y=的单调性相反. 考法(二)　判断或证明函数的单调性 [例2]　试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1，1)上的单调性. 解:法一:定义法　设-1<x1<x2<1，因为f(x)=a=a，所以f(x1)-f(x2)=a- a=. 因为-1<x1<x2<1，所以x2-x1>0，x1-1<0，x2-1<0，故当a>0时，f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(-1，1)上单调递减; 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(-1，1)上单调递增. 综上，当a>0时，f(x)在(-1，1)上单调递减，当a<0时，f(x)在(-1，1)上单调递增. 法二:导数法　f'(x)===-. 当a>0时，f'(x)<0，函数f(x)在(-1，1)上单调递减;当a<0时，f'(x)>0，函数f(x)在(-1，1)上单调递增. |思维建模|　 1.已知函数解析式求单调区间的策略 注意函数的定义域，复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 2.确定函数单调性的方法 (1)定义法:先求定义域，再利用单调性定义求解. (2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象直接写出它的单调区间. (3)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间. [即时训练] 1.函数y=的单调递减区间是　　　　　.  解析:令u=|x-1|，则y=. ∵0<<1，∴y=在(-∞，+∞)上单调递减.作出u=|x-1|的图象如图所示，由图象可知u=|x-1|在(-∞，1]上单调递减，在[1，+∞)上单调递增，∴y=在(-∞，1]上单调递增，在[1，+∞)上单调递减. 答案:[1，+∞) 习得方略:复合函数的单调性 　　函数f(x)=h(g(x))，设u=g(x)，叫做内函数，f(x)=h(u)叫做外函数，则 ⇒结论:同增异减. 2.已知函数f(x)=x+，且f(1)=2. (1)求m的值; (2)判断函数f(x)在(1，+∞)上单调递增还是单调递减，并证明. 解:(1)∵f(1)=2，∴1+m=2，∴m=1. (2)函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，证明如下: 设x1，x2是(1，+∞)上的任意两个实数，且1<x1<x2，则f(x1)-f(x2)=x1+-=x1-x2+=x1-x2-=(x1-x2). 当1<x1<x2时，x1x2-1>0，x1-x2<0， 从而f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴函数f(x)=+x在(1，+∞)上单调递增. 题点二　函数单调性的应用 考法(一)　比较大小 [例3]　(北师大必修①P65T3改编)已知函数f(x)在R上是减函数，a，b∈R，且a+b<0，则有 (　　) A.f(a)+f(b)<0 B.f(a)+f(b)>0 C.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) 解析:选D　∵f(x)是减函数，a+b<0，∴a<-b，b<-a，∴f(a)>f(-b)，f(b)>f(-a)，f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b). |思维建模|　 比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决. 考法(二)　解不等式 [例4]　定义在[-2，2]上的函数f(x)满足(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(x1≠x2)，且f(x)>f(2x-1)，则实数x的取值范围为 (　　) A.(-∞，1) 　　　B. C. 　　　D.[-1，1) 解析:选C　由题意知，f(x)在[-2，2]上单调递增，则f(x)>f(2x-1)⇔解得-≤x<1. 故选C. |思维建模| 　　利用函数的单调性解不等式的关键是利用函数的单调性“脱去”函数符号“f”，从而转化为关于自变量的不等式.需要注意的是不要忘记函数的定义域. 考法(三)　求参数范围 [例5]　(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增，则a的取值范围是 (　　) A.(-∞，0] 　　B.[-1，0] C.[-1，1] 　　D.[0，+∞) 解析:选B　若函数f(x)在R上单调递增，则需满足　(易忽视分界点处函数值大小的比较) 解得-1≤a≤0，即a的取值范围是[-1，0].故选B. 谨记结论:(1)若∀x1，x2∈I(x1≠x2)，则>0(<0)或(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减). (2)若函数在区间[a，b]上具有单调性，则该函数在此区间的任意子集上也具有单调性. |思维建模|　利用单调性求参数的策略 (1)依据函数的单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较. (2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值. [即时训练] 3.已知f(x)=2x-，a=f()，b=f()，c=f()，则 (　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 解析:选D　易知f(x)=2x-在(1，+∞)上单调递增，又>>>1，故f()>f()>f()，即c>b>a. 4.(2025·广州模拟)函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1，+∞)上不具有单调性，则a的取值范围是 (　　) A.[1，+∞) B.(1，+∞) C.(-∞，1) D.(-∞，1] 解析:选B　函数f(x)=2|x-a|+3的大致图象如图所示，其形状如一个“V”，开口向上，顶点坐标为(a，3)，由于函数f(x)=2|x-a|+3在区间[1，+∞)上不具有单调性，因此需满足顶点在直线x=1的右侧，则a>1，故选B. 习得方略:函数f(x)=a|x-b|+c(a≠0)图象的形状如一个“V”，顶点为(b，c)，若a>0，则开口向上，若a<0，则开口向下. 5.(2025·青岛部分学校联考)已知函数f(x)=若f(a2-4)>f(3a)，则实数a的取值范围是 (　　) A.(-1，4) B.(-∞，-1)∪(4，+∞) C.(-4，1) D.(-∞，-4)∪(1，+∞) 解析:选B　由题意知f(x)= 易知函数f(x)在(-∞，m)，(m，+∞)上单调递增，且m-m=-(m-m)2，所以函数f(x)在R上单调递增.由f(a2-4)>f(3a)，得a2-4>3a，解得a>4或a<-1，所以实数a的取值范围是(-∞，-1)∪(4，+∞)，故选B. 题点三　函数的最值 [例6] (1)(单调性)函数f(x)=x-+1在[1，4]上的值域为 (　　) A. B.[0，1] C. D. 解析:选C　由y=x在[1，4]上单调递增，且y=在[1，4]上单调递减，可得f(x)=x-+1在[1，4]上单调递增.又f(1)=0，f(4)=，故函数f(x)在[1，4]上的值域为. (2)(利用单调性和基本不等式)已知函数f(x)=则f(x)的最小值是　　　　.  解析:因为函数y=x2在(-∞，0)上单调递减，在[0，+∞)上单调递增，所以当x≤1时，f(x)min=f(0)=0.当x>1时，y=x+≥2，当且仅当x=时，等号成立，此时f(x)min=2-6.又2-6<0，所以f(x)min=2-6. 答案:2-6 (3)(换元法)函数f(x)=2x2-的最小值为　　　　.  解析:令=t，t≥1，则x2=t2-1，所以y=2(t2-1)-t=2t2-t-2(t≥1). 因为y=2t2-t-2的对称轴为t=，所以当t≥1时，ymin=2×12-1-2=-1， 所以函数f(x)的最小值为-1. 答案:-1 |思维建模|　求函数最值的4种基本方法 (1)单调性:先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)基本不等式:先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. (3)换元法:将解析式化归为熟悉的函数，进而解出最值(值域). (4)图象法:先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. [即时训练] 6.函数f(x)=在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是 (　　) A. B.5，2 C.2，1 D.1， 解析:选A　∵y=x2+1在(0，+∞)上单调递增，且y>1，∴f(x)=在区间[1，2]上单调递减， ∴函数f(x)=在区间[1，2]上的最大值与最小值分别是f(1)==，f(2)==. 7.函数f(x)=的值域为　　　　.  解析:法一:图象法　作出函数f(x)=的图象(如图所示)， 由函数图象可知，f(x)max=f(0)=2，所以f(x)的值域为(-∞，2]. 法二:单调性　当x≥1时，函数f(x)=单调递减，所以f(x)在x=1处取得最大值，为f(1)=1;当x<1时，函数f(x)=-x2+2在(-∞，0)上单调递增，在(0，1)上单调递减，所以函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值，为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.所以f(x)的值域为(-∞，2]. 答案:(-∞，2] 数智赋能:电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.函数f(x)=-|x-2|的单调递减区间为 (　　) A.(-∞，2) B.(2，+∞) C.(0，2) D.(0，+∞) 解析:选B　∵y=|x-2|= ∴函数y=|x-2|的单调递增区间为(2，+∞)，∴f(x)的单调递减区间为(2，+∞). 2.已知定义域为R的函数f(x)，∀x1，x2∈R，x1≠x2，都有<0，则 (　　) A.f(3)>f(π)>f(2) B.f(π)<f(3)<f(2) C.f(2)>f(π)>f(3) D.f(π)>f(2)>f(3) 解析:选B　易知f(x)是R上的减函数，又π>3>2，故f(π)<f(3)<f(2). 3.函数f(x)=-x+在上的最大值是 (　　) A. B.- C.-2 D.2 解析:选A　因为函数y=-x和y=在上均单调递减，所以f(x)=-x+在上单调递减，所以f(x)max=f(-2)=2-=. 4.已知函数f(x)=+2x，若f(2a2-5a+4)<f(a2+a+4)，则实数a的取值范围是 (　　) A.∪(2，+∞) 　　B.[2，6) C.∪[2，6) 　　D.(0，6) 解析:选C　由题意可知，函数f(x)在[2，+∞)上单调递增，∵f(2a2-5a+4)<f(a2+a+4)， ∴2≤2a2-5a+4<a2+a+4， (易错提醒:没注意定义域，丢失2a2-5a+4≥2的情况)解得2≤a<6或0<a≤.故选C. 5.已知函数y=f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>-1，则下列说法正确的是 (　　) A.y=f(x)+x是增函数 B.y=f(x)+x是减函数 C.y=f(x)是增函数 D.y=f(x)是减函数 解析:选A　不妨令x1<x2，∴x1-x2<0， ∵>-1⇔f(x1)-f(x2)<-(x1-x2)⇔f(x1)+x1<f(x2)+x2， 令g(x)=f(x)+x，∴g(x1)<g(x2)， 又x1<x2，∴g(x)=f(x)+x是增函数. 6.设f(x)=若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为 (　　) A.[-1，0] B.[-1，2] C.[-2，-1] D.[-2，0] 解析:选A　因为f(x)=当x=0时，f(0)=a2，由于f(0)是f(x)的最小值，所以(-∞，0]为f(x)的单调递减区间，即有a≤0，则a2≤x++a对x>0恒成立. 因为x+≥2=2，当且仅当x=1时取等号，所以 a2≤2+a，解得-1≤a≤2. 所以a的取值范围为[-1，0]. 二、多选题 7.已知函数y=f(x)的定义域为[-1，5]，其图象如图所示，则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的单调递减区间为(0，2) B.f(x)的最大值为2 C.f(x)的最小值为-1 D.f(x)的单调递增区间为(-1，0)和(2，5) 解析:选ACD　由题图可知f(x)的单调递减区间为(0，2)，A正确; 当x=0时，f(x)max=3，B错误; 当x=2时，f(x)min=-1，C正确; 由题图可知f(x)的单调递增区间为(-1，0)和(2，5)，D正确. 8.已知函数f(x)=则下列结论正确的是 (　　) A.f(x)在R上为增函数 B.f(e)>f(2) C.若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则a≤-1或a≥0 D.当x∈[-1，1]时，f(x)的值域为[1，2] 解析:选BC　f(-1)=1，f=-1+<-1+21=1，A错误;e>2，f(e)>f(2)，B正确;若f(x)在(a，a+1)上单调递增，则a≥0或a+1≤0，即a≤-1或a≥0，C正确;当x∈[-1，0]时，f(x)∈[1，2]，当x∈(0，1]时，f(x)∈(-∞，2]，故x∈[-1，1]时，f(x)的值域为(-∞，2]，D错误. 9.(2025·齐齐哈尔模拟)已知函数f(x)=x+1，g(x)=(x+1)2，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x)，g(x)}，则下列说法正确的是 (　　) A.M(2)=3 B.∀x≥1，M(x)≥4 C.M(x)有最大值 D.M(x)最小值为0 解析:选BD　令g(x)>f(x)，即(x+1)2>x+1，解得x<-1或x>0， 所以M(x)=max{f(x)，g(x)}= 所以M(2)=(2+1)2=9，故A错误; 对∀x≥1，M(x)=(x+1)2≥(1+1)2=4，故B正确; 当x<-1或x>0时，M(x)=(x+1)2，易知函数M(x)无最大值，故C错误; 当x<-1或x>0时，M(x)>0，当-1≤x≤0时，0≤M(x)≤1， 所以M(x)的最小值为0，故D正确. 三、填空题 10.函数f(x)=的单调递增区间为　　　　.  解析:要使函数f(x)有意义，则-x2+2x+3≥0，解得-1≤x≤3. 令y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，根据复合函数的单调性可知， 函数f(x)的单调递增区间为[-1，1]. 答案:[-1，1] 11.函数f(x)=2x-1+的最小值是　　　　.  解析:设=t，t≥0，则x=t2+2，∴函数f(x)=2x-1+等价于y=2t2+t+3，t≥0. ∵y=2t2+t+3在[0，+∞)上单调递增，ymin=2×02+0+3=3， ∴函数f(x)=2x-1+的最小值是3. 答案:3 12.已知定义在R上的函数f(x)满足对任意实数a，b都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，且当x>0时，f(x)>1.若f(2)=3，则不等式f(x2-x-1)<2的解集为　　　.  快审准解:根据抽象函数的条件，结合函数的单调性的定义证明函数的单调性，结合函数的单调性将不等式进行转化求解即可. 解析:由题意，设x1>x2，则x1-x2>0，f(x1-x2)>1.所以f(x1)-f(x2)=f((x1-x2)+x2)-f(x2)=f(x1-x2)-1>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)是增函数.因为f(2)=3，即f(2)=f(1)+f(1)-1=3，所以f(1)=2.所以原不等式f(x2-x-1)<2等价为f(x2-x-1)<f(1)， 则x2-x-1<1，即x2-x-2<0，则(x-2)(x+1)<0，解得-1<x<2， 故不等式的解集为(-1，2). 答案:(-1，2) 四、解答题 13.(10分)已知函数f(x)=x|x-4|. (1)把f(x)写成分段函数，并在平面直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象;(6分) (2)写出函数f(x)的单调递减区间.(4分) 解:(1)f(x)=x|x-4|= 函数图象如图所示. (2)由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2，4). 14.(10分)已知函数f(x)=ax-(a，b∈R)，图象经过点，且f(1)=. (1)求a，b的值;(4分) (2)用定义法证明函数y=f(x)在区间(-1，+∞)上单调递增.(6分) 解:(1)由题意得解得 (2)证明:由(1)可知f(x)=x-， 设∀x1，x2∈(-1，+∞)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=x1--x2+=x1-x2+-=x1-x2+=(x1-x2). 因为x1<x2，所以x1-x2<0， 又x1，x2∈(-1，+∞)，所以1+>0， 所以(x1-x2)<0， 即f(x1)-f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2)， 所以函数y=f(x)在区间(-1，+∞)上单调递增. 第三节　函数的奇偶性与周期性 1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义. 2.会依据函数的奇偶性、周期性解决一些简单的问题. 教材再回首 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有-x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数:一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数y=f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 3.函数周期性的3个常用结论 对于f(x)定义域内任一自变量的值x， (1)若f(x+a)=-f(x)，则2a(a>0)是f(x)的一个周期; (2)若f(x+a)=，则2a(a>0)是f(x)的一个周期; (3)若f(x+a)=-，则2a(a>0)是f(x)的一个周期. 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)=0. (　　) (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数. (　　) (3)对于函数y=f(x)，若f(-2)=-f(2)，则函数y=f(x)是奇函数. (　　) (4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数f(x)的一个周期. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(人A必修①P84例6改编)[多选]给出下列函数，其中为奇函数的是 (　　) A.f(x)=x4 B.f(x)=x5 C.f(x)=x+ D.f(x)= 解析:选BC　对于f(x)=x4，f(x)的定义域为R，由f(-x)=(-x)4=x4=f(x)，可知f(x)=x4是偶函数，同理可知f(x)=x5，f(x)=x+是奇函数，f(x)=是偶函数. 3.(苏教必修①P134T8)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若f(x)在区间(-∞，0)上单调递增，则下列关系式中成立的是 (　　) A.f(-1)<f(-2) B.f(1)<f(2) C.f(-1)<f(2) D.f(-1)>f(2) 解析:选D　因为f(x)是偶函数，所以f(1)=f(-1)，f(-2)=f(2)，又f(x)在(-∞，0)上单调递增，所以f(-1)>f(-2)，f(1)>f(2)，f(-1)>f(2).故选D. 4.(北师大必修②P4T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(-1)=2f(10)+3，则f(2 023)=　　　　.  解析:由题意知f(2 023)=f(3×674+1)=f(1)，而f(-1)=2f(10)+3，所以f(-1)=2f(3×3+1)+3=2f(1)+3=-2f(-1)+3，即3f(-1)=3，解得f(-1)=1，故f(2 023)=f(1)=-1. 答案:-1 题点一　函数奇偶性的判断 [例1] (1)(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是 (　　) A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 解析:选B　法一:通解　对于A，f(-x)==≠f(x)，故f(x)不是偶函数;对于B， f(-x)===f(x)，故f(x)是偶函数;对于C，f(x)的定义域为{x|x≠-1}，不关于原点对称，故f(x)不是偶函数;对于D，f(-x)===-=-f(x)，故f(x)是奇函数.故选B. 法二:性质法　易知y=x2+1与y=e|x|均为偶函数，且恒为正.对于A，由于y=ex-x2是非奇非偶函数，所以f(x)也是非奇非偶函数;对于B，y=cos x+x2是偶函数，所以f(x)是偶函数;对于C，易知f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)是非奇非偶函数;对于D，y=sin x+4x是奇函数，所以f(x)是奇函数，故选B. 借题发挥:记住一些常见函数的奇偶性，对我们提高解题速度很有帮助.常见的偶函数有y=ax+a-x(a>0且a≠1)，y=cos x，y=x2n(n∈Z)，y=|x|等;常见的奇函数有y=ax-a-x，y=sin x，y=tan x，y=x2n+1(n∈Z)，y=loga，y=loga(x+ )等，其中a>0且a≠1. (2)(人B必修①P115T4改编)[多选]已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R，则 (　　) A.f(x)+g(x)是奇函数 B.f(x)|g(x)|是奇函数 C.f(x)g(x)是偶函数 D.f(g(x))是偶函数 解析:选BD　因为f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠f(x)+g(x)且f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)≠-[f(x)+g(x)]，所以f(x)+g(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误;因为f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故B正确;因为f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)≠f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，不是偶函数，故C错误;因为f(g(-x))=f(g(x))，所以f(g(x))是偶函数，故D正确. |思维建模|　判断函数奇偶性的方法 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再判断f(x)与f(-x)的关系 取特殊值 排除法 比如若根据函数得到f(1)≠f(-1)，则排除f(x)是偶函数，适用于选择题 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数;两个奇函数的商(分母不为0)为偶函数;一个奇函数与偶函数的积为奇函数 [即时训练] 1.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=x3-; (2)f(x)=; (3)f(x)=+; (4)f(x)= 解:(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有f(-x)=(-x)3-=-=-f(x)， 从而函数f(x)为奇函数. (2)由得-2<x<2， 即函数f(x)的定义域是{x|-2<x<2}，关于原点对称. 因此f(x)==lg(4-x2)，所以f(-x)=f(x)，因此函数f(x)是偶函数. (3)f(x)的定义域为{-1，1}，关于原点对称. 又f(-1)=f(1)=0，f(-1)=-f(1)=0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数. (4)如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数. 题点二　函数奇偶性的应用 考法(一)　利用奇偶性求解析式 [例2]　(人A必修①P86T11改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1-x)，则f(x)的解析式为　　　　　　　　　　.  解析:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(1-x)，当x<0时，-x>0，f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x)， 所以f(x)的解析式为f(x)= 答案:f(x)= 考法(二)　利用奇偶性求值 [例3] (1)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)=(x+a)ln为偶函数，则a= (　　) A.-1 B.0 C. D.1 解析：选B　(1)法一　设g(x)=ln，易知g(x)的定义域为∪，且g(-x)=ln=ln=-ln=-g(x)，所以g(x)为奇函数.若f(x)=(x+a)ln为偶函数，则y=x+a也应为奇函数，所以a=0，故选B. 法二　因为f(x)=(x+a)ln为偶函数，f(-1)=(a-1)·ln 3，f(1)=(a+1)ln=-(a+1)ln 3，所以(a-1)ln 3=-(a+1)ln 3，解得a=0，故选B. (2)设函数f(x)=x5+2x3+3x+1在区间[-2 025，2 025]上的最大值为M，最小值为m，则M+m等于 (　　) A.0 B.2 C.1 D.3 解析:选B　由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，令g(x)=f(x)-1=x5+2x3+3x，则函数g(x)为奇函数，所以g(x)在区间[-2 025，2 025]上的最大值与最小值之和为0，即M-1+m-1=0，所以M+m=2. 谨记结论:偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. |思维建模|　 (1)将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出. (2)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)=0. (3)利用函数的奇偶性可求函数值或参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. 考法(三)　利用奇偶性解不等式 [例4]　(2025·大连模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞)上的图象如图所示，则不等式x2f(x)>3f(x)的解集为 (　　) A.(-，0)∪(，2) B.(-2，-)∪(0，)∪(2，+∞) C.(-∞，-2)∪(-，0)∪(，2) D.(-2，-)∪(，2) 解析:选D　根据偶函数的图象特征，可知当x∈(-2，0)∪(0，2)时，f(x)>0，当x∈(-∞，-2)∪(2，+∞)时，f(x)<0.由x2f(x)>3f(x)，得(x2-3)f(x)>0，等价于或解得<x<2或-2<x<-.所以不等式的解集为(-2，-)∪(，2). |思维建模|　 　　解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组). [即时训练] 2.已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且满足f(x)+g(x)=ex+x，则g(x)= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　由题意知，f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)， 所以 即解得g(x)=. 3.已知函数f(x)=a-为奇函数，则a= (　　) A.2 B.1 C. D.-1 解析:选D　∵函数f(x)=a-为奇函数，∴f(-x)=-f(x)，即a-=-a+，∴2a=+=+=2=-2，∴a=-1.经检验，a=-1满足题意. 题点三　函数的周期性及应用 [例5]　设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(2+x)=f(-x)，f=，则f等于 (　　) A.- B.- C. D. 解析:选C　因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(-x)=f(x)，故f(2+x)=f(-x)=f(x)， 所以f(x)的一个周期为2，故f=f=f=f=. |思维建模|　与周期性有关的解题策略 (1)求解与函数周期有关的问题，应根据题目特征及周期的定义，求出函数的周期. (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题. [即时训练] 4.设f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，已知当x∈[2，3]时，f(x)=x，则当x∈[-2，0]时，f(x)= (　　) A.x+4 B.2-x C.3-|x+1| D.2+|x+1| 解析:选C　当x∈[-2，-1]时，x+4∈[2，3]，f(x)=f(x+4)=x+4=3+(x+1). 当x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，2-x∈[2，3]，因为函数f(x)为偶函数，所以f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x=3-(x+1).综上所述，当x∈[-2，0]时，f(x)=3-|x+1|. 5.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+2)f(x)=1，若f(0)∈(1，2)，则f(2 026)的取值范围为　　　　.  解析:因为f(x+2)f(x)=1， 所以f(x+2)=， 所以f(x+4)===f(x)， 即f(x+4)=f(x)， 所以4是函数f(x)的一个周期， 所以f(2 024)=f(0). 因为f(0)∈(1，2)，所以f(2 026)==∈. 答案: 数智赋能:电子版随堂训练(集训真题)，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，则f(2 024)等于 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:选B　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，又f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期为2的周期函数，所以f(2 024)=f(0)=0. 2.(2025·杭州一模)函数f(x)=是 (　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既非奇函数也非偶函数 D.既是奇函数也是偶函数 解析:选B　当x≥0时，f(x)=x-1，则f(-x)=-x-1=f(x)， 当x<0时，f(x)=-x-1，则f(-x)=x-1=f(x).综上可得，f(-x)=f(x)，即函数f(x)为偶函数. 3.(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)=cos x-a(x2+1)，若f(x)在(-1，1)内有唯一的零点，则a= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选A　由于f(-x)=cos(-x)-a[(-x)2+1]=cos x-a(x2+1)=f(x)， 所以f(x)是偶函数，要使f(x)在(-1，1)内有唯一的零点，则f(0)=0，即f(0)=1-a=0，解得a=1. 4.(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数，则a= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析:选D　法一　f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)-f(-x)=-==0.因为x不为0，所以ex-e(a-1)x=0.所以a-1=1，a=2. 法二　因为f(x)==，f(x)是偶函数，且y=x是奇函数，所以y=e(a-1)x-e-x是奇函数，故a-1=1，即a=2，故选D. 5.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=x(x+2).若f(3+m)+f(3m-7)>0，则m的取值范围为 (　　) A.(-∞，0) B.(0，+∞) C.(-∞，1) D.(1，+∞) 快审准解:根据二次函数的单调性，结合奇函数的性质可得f(x)在R上单调递增，即可得3+m>7-3m求解. 解析:选D　当x≥0时，由函数f(x)=x(x+2)图象的对称轴为x=-1，知f(x)在[0，+∞)上单调递增.又函数f(x)在x=0处连续，且f(x)是定义域为R的奇函数，故f(x)在R上单调递增.因为f(-x)=-f(x)，由f(3+m)+f(3m-7)>0，可得f(3+m)>f(7-3m)，又f(x)在R上单调递增，所以3+m>7-3m，解得m>1. 6.若定义在R上的函数f(x)满足对任意x1，x2∈R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2 016，且x>0时，f(x)>2 016，记f(x)在[-2 017，2 017]上的最大值和最小值分别为M，N，则M+N的值为 (　　) A.2 016 B.2 017 C.4 032 D.4 034 解析:选C　令x1=x2=0，得f(0)=2f(0)-2 016，∴f(0)=2 016， 令x1=-x2，得f(0)=f(-x2)+f(x2)-2 016=2 016，∴f(-x2)+f(x2)=4 032.令g(x)=f(x)-2 016，-2017≤x≤2017，则g(x)max=M-2 016，g(x)min=N-2 016，∵g(-x)+g(x)=f(-x)+f(x)-4 032=0，∴g(x)是奇函数， ∴g(x)max+g(x)min=0，即M-2 016+N-2 016=0，∴M+N=4 032. 二、多选题 7.已知奇函数f(x)的定义域为R，若f(x)=f(2-x)，则 (　　) A.f(0)=0 B.f(x)的图象关于直线x=2对称 C.f(x)=-f(x+4) D.f(x)的一个周期为4 解析:选AD　由函数f(x)为奇函数，得f(0)=0，A正确;由f(x)=f(2-x)，得f(x+1)=f(1-x)，则函数f(x)的图象关于直线x=1对称，B错误;由f(x)=f(2-x)可知f(2-x)=f(4+x)，即f(x)=f(4+x)，函数f(x)的一个周期为4，C错误，D正确. 8.f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=4x-x2，则下列说法正确的是 (　　) A.f(x)的单调递增区间为(-∞，-2]和[0，2] B.f(-π)<f(5) C.f(x)的最大值为4 D.当x<0时，f(x)=-4x-x2 解析:选ACD　当x≥0时，f(x)=4x-x2=-(x-2)2+4，故当0≤x≤2时，f(x)单调递增，当x≥2时，f(x)单调递减，又f(x)是定义在R上的偶函数，故当x≤-2时，f(x)单调递增.综上，f(x)的单调递增区间为(-∞，-2]和[0，2]，A正确;当x≥2时，f(x)单调递减，f(-π)=f(π)>f(5)，B错误;f(x)在(-∞，-2]和[0，2]上单调递增，在[-2，0]和[2，+∞)上单调递减，故当x=-2和x=2时，f(x)取得最大值，最大值为f(2)=-(2-2)2+4=4，C正确;当x<0时，-x>0，故f(x)=f(-x)=-4x-(-x)2=-4x-x2，D正确. 9.已知函数f(x)和g(x)的定义域为R，若f(x)的最小正周期为a，g(x)的最小正周期为b，则 (　　) A.f(x)+g(x)为周期函数 B.f(x)g(x)为周期函数 C.f+g为周期函数 D.fg为周期函数 解析:选CD　当是无理数时，两个函数周期不存在最小整数公倍数，f(x)+g(x)和f(x)g(x)可能不为周期函数，故A、B错误;f=f=f，g=g=g，f和g的周期均为ab，因此fg和f+g均有为ab的周期，故C、D正确. 三、填空题 10.(2024·榆林三模)若奇函数f(x)=x3+(a-5)x2+ax(x∈R)，则f(1)=　　　　.  解析:依题意f(x)=x3+(a-5)x2+ax(x∈R)为奇函数，得-x3+(a-5)x2-ax=-x3-(a-5)x2-ax，即(a-5)x2=0，可得a-5=0，即a=5，故f(x)=x3+5x，则f(1)=13+5=6. 答案:6 11.(2025·安康模拟)已知奇函数f(x)满足f(x-1)=f(-x+3)，当x∈[0，2]时，f(x)=x2-2x，则f(23)=　　　　.  解析:由题意，得f(-x)=-f(x)，在f(x-1)=f(-x+3)中，以x+1替换x，得f(x)=f(-x+2)(*)，以x+2替换(*)式中的x，得f(x+2)=f(-x)=-f(x)，所以f(x+4)=f(x)，故4为函数f(x)的一个周期.所以f(23)=f(4×6-1)=f(-1)=-f(1)=-(1-2×1)=1. 答案:1 四、解答题 12.(10分)已知定义在N上的函数f(n)满足f(n+2)=f(n+1)-f(n). (1)求证:f(n)是周期函数，并求出其周期;(6分) (2)若f(1)=1，f(2)=3，求f(800)的值.(4分) 解:(1)证明:∵f(n+2)=f(n+1)-f(n)， ∴f(n+3)=f(n+2)-f(n+1)=[f(n+1)-f(n)]-f(n+1)=-f(n)， ∴f(n+6)=-f(n+3)=-[-f(n)]=f(n)， ∴f(n)是周期函数，周期为6. (2)∵f(n)是周期为6的函数，且f(1)=1，f(2)=3，∴f(800)=f(133×6+2)=f(2)=3. 13.(10分)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值;(2分) (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;(4分) (3)如果f(4)=1，f(x-1)<2，且f(x)在(0，+∞)上单调递增，求x的取值范围.(4分) 解:(1)因为对于任意x1，x2∈D，有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，所以令x1=x2=1，得f(1)=2f(1)，所以f(1)=0. (2)f(x)为偶函数.证明如下: 令x1=x2=-1，有f(1)=f(-1)+f(-1)，所以f(-1)=f(1)=0.令x1=-1，x2=x， 有f(-x)=f(-1)+f(x)，所以f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数. (3)依题意有f(4×4)=f(4)+f(4)=2，由(2)知，f(x)是偶函数，所以f(x-1)<2⇔f(|x-1|)<f(16). (注意:如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x|)) 又f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以0<|x-1|<16，解得-15<x<17且x≠1.所以x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}. 第四节　函数的对称性 明确目标 能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称的公式和推论. 会利用对称公式解决问题. 题点一　轴对称问题 [例1]　(2023·全国乙卷，节选)已知函数f(x)=ln(1+x)，是否存在a，b，使得曲线y=f关于直线x=b对称?若存在，求a，b的值;若不存在，说明理由. 解:假设存在a，b，使得曲线y=f关于直线x=b对称. 令g(x)=f=(x+a)ln=(x+a)·ln， 因为曲线y=g(x)关于直线x=b对称， 所以g(x)=g(2b-x)， 即(x+a)ln=(2b-x+a)ln=(x-2b-a)ln， 于是解得 当a=，b=-时，g(x)=ln，g(-1-x)=ln=ln=ln= ln=g(x)， 所以曲线y=g(x)关于直线x=-对称，满足题意. 故存在a，b，使得曲线y=f关于直线x=b对称，且a=，b=-. |思维建模| 　　函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(a-x)=f(a+x);若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=对称. [即时训练] 1.已知函数f(x)(x∈R)满足f(4+x)=f(-x)，若函数y=|x2-4x-5|与y=f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则所有交点的横坐标之和为 (　　) A.0 B.m C.2m D.4m 解析:选C　依题意函数f(x)(x∈R)满足f(4+x)=f(-x)，得y=f(x)的图象关于直线x=2对称.因为函数y=|x2-4x-5|的图象也关于直线x=2对称，所以若函数y=|x2-4x-5|与y=f(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则x1+x2+…+xm=4×=2m. 习得方略:(1)若f(x)与g(x)关于x=a对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和为am; (2)若f(x)与g(x)关于(a，b)对称，且它们有m个交点，则所有交点横坐标之和为am，纵坐标之和为bm. 题点二　中心对称问题 [例2]　(2024·新课标Ⅰ卷，节选)已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3，证明:曲线y=f(x)是中心对称图形. 证明:法一　 (没给对称中心，需要自己找到对称中心，再证明，怎么找?由于对称函数定义域必定也对称，故不妨先求定义域，从定义域出发寻找对称中心) 由>0，可得x(2-x)>0，所以x(x-2)<0， 解得0<x<2，故f(x)的定义域是(0，2). (定义域关于x=1对称，那么曲线y=f(x)的对称中心的横坐标只能是1，故要证结论成立，接下来只需计算f(2-x)+f(x)，得出其为与x无关的常数) 因为f(2-x)+f(x)=ln+a(2-x)+b(2-x-1)3+ln+ax+b(x-1)3=ln+a(2-x)+b(1-x)3+ln+ax+b(x-1)3=ln+2a=ln 1+2a=2a，所以曲线y=f(x)关于点(1，a)中心对称. 法二　因为f(x)=ln+ax+b(x-1)3， 所以f(x+1)=ln+a(x+1)+bx3=ln+ax+bx3+a.因为y=ln+ax+bx3是奇函数，其图象关于原点对称，所以曲线f(x+1)关于点(0，a)中心对称，所以曲线f(x)关于点(1，a)中心对称. |考|教|衔|接| [例2]源自人教A版必修①P87T13:我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数. (1)求函数f(x)=x3-3x2图象的对称中心; (2)类比上述推广结论，写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论. 启示:只要掌握了教材题，例1，例2的解题思路就非常清晰了.由教材和高考题，我们不难发现，函数与导数中的解答题不再局限于导数问题，纯函数问题成为新的命题导向，这一变化趋势请关注.   |思维建模| 　　函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b⇔2b-f(x)=f(2a-x);若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点中心对称. [即时训练] 2.[多选]下列说法中，正确的是 (　　) A.函数f(x)=的图象关于点(-2，2)中心对称 B.函数f(x)满足f(2x-1)为奇函数，则函数f(x)关于点(-1，0)中心对称 C.若函数y=f(x)过定点(0，1)，则函数y=f(x-1)+1过定点(1，2) D.函数y=的图象关于点(3，c)中心对称，则b+c=2 解析:选ABC　f(x)===2-，其图象可以由y=-的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y=-的图象关于原点对称，故f(x)=的图象关于点(-2，2)中心对称，A正确;因为f(2x-1)为奇函数，所以f(2x-1)=-f(-2x-1)，所以f(x-1)=-f(-x-1)，f(x)=-f(-x-2)，所以函数f(x)关于点(-1，0)中心对称，B正确;函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y=f(x-1)+1的图象，由于y=f(x)过定点(0，1)，故函数y=f(x-1)+1过定点(1，2)，C正确;函数y===1+的图象关于点(3，c)中心对称，所以解得b=3，c=1，所以b+c=4，D不正确. 习得方略:f(mx+a)+b是偶函数⇒f(x)关于x=a对称，f(mx+a)+b是奇函数⇒f(x)关于(a，b)对称. 题点三　两个函数图象的对称 [例3]　已知函数y=f(x)是定义域为R的函数，则函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象 (　　) A.关于直线x=1对称 B.关于直线x=3对称 C.关于直线y=3对称 D.关于点(3，0)对称 解析:选A　设P(x0，y0)为y=f(x+2)图象上任意一点，则y0=f(x0+2)=f(4-(2-x0))，所以点Q(2-x0，y0)在函数y=f(4-x)的图象上.而点P(x0，y0)与点Q(2-x0，y0)关于直线x=1对称，所以函数y=f(x+2)与y=f(4-x)的图象关于直线x=1对称. |思维建模| 　　函数y=f(a+x)的图象与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=对称. [即时训练] 3.下列函数中，其图象与函数y=f(2x-1)的图象关于直线x=1对称的是 (　　) A.y=f(-2x-1) B.y=f(-2x+1) C.y=f(-2x+3) D.y=2-f(2x-1) 解析:选C　设函数y=f(2x-1)的图象为曲线C1，该曲线关于x=1对称的曲线为C2，设曲线C1上任意一点的坐标为(x0，y0)，该点关于直线x=1对称的点的坐标为(x，y)，则有y0=f(2x0-1)，因此有⇒代入y0=f(2x0-1)中，得y=f(2(2-x)-1)⇒y=f(3-2x).故选C. 数智赋能:电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.函数y=f(x)与函数y=2x+1-1图象关于直线x=2对称，则f(4)的值为 (　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 解析:选A　设g(x)=2x+1-1，因为函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象关于直线x=2对称，所以f(4)=g(0)=2-1=1. 2.已知函数f(x)=，则函数f(x)图象的对称中心的坐标为 (　　) A.(-1，-3) B.(-1，3) C.(-1，-2) D.(-1，2) 解析:选C　因为f(-1+x)+f(-1-x)=+=-=-4，所以函数f(x)的图象关于点(-1，-2)对称. 3.设函数y=f(3x+1)是偶函数，则下列直线中，一定是函数y=f(3x)图象的对称轴的是 (　　) A.x=0 B.x= C.x=- D.x=-1 解析:选B　由y=f(3x+1)是偶函数，得y=f(3x+1)的图象关于y轴对称，而函数y=f(3x)的图象可由y=f(3x+1)的图象向右平移个单位长度得到，所以函数y=f(3x)图象的对称轴是x=. 4.已知函数f(x)=x3+ax2+x+b的图象关于点(1，0)对称，则b= (　　) A.-3 B.-1 C.1 D.3 解析:选C　法一　∵函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，∴f(x)+f(2-x)=0，即x3+ax2+x+b+(2-x)3+a(2-x)2+2-x+b=(2a+6)x2-(4a+12)x+10+4a+2b=0， ∴解得故选C. 法二　由题意可得，解得 习得方略:三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称中心为点. 5.已知函数f(1-x)的图象与函数f(2+x)的图象关于直线x=m对称，则m等于 (　　) A.3 B. C.-1 D.- 解析:选D　设点P(x，y)在函数y=f(1-x)的图象上，点P关于直线x=m的对称点Q(x'，y')，则(中点坐标公式)所以则y'=f(1-2m+x')，即y=f(1-2m+x)与y=f(1-x)的图象关于直线x=m对称，则1-2m=2，解得m=-. 6.已知定义在R上的函数f(x)，对∀x∈R，都有f(x+4)=-f(x)+4，若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称，则f(4 050)= (　　) A.-2 B.-1 C.2 D.1 解析:选C　因为函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称，又f(x)的图象由f(x-1)的图象向左平移一个单位长度得到，所以f(x)的图象关于直线x=0对称，故f(x)为偶函数.因为f(x+4)=-f(x)+4，所以f(x+8)=-f(x+4)+4=-[-f(x)+4]+4=f(x)，故f(x)是以8为一个周期的偶函数，所以f(4 050)=f(8×506+2)=f(2).由f(2)=f(-2+4)=-f(-2)+4=-f(2)+4，得f(2)=2，则f(4 050)=2. 7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，则以下函数图象一定关于点(-1，0)成中心对称的是 (　　) A.y=(x-1)2f(x-1) 　B.y=(x+1)2f(x+1) C.y=x[f(x)]2+1 　D.y=x[f(x)]2-1 解析:选B　设m(x)=x2f(x)，则m(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-m(x)，所以m(x)为奇函数，对称中心为(0，0). 因为y=(x-1)2f(x-1)的图象是由m(x)=x2f(x)的图象向右平移1个单位长度所得，故其对称中心为(1，0)，所以A错误;因为y=(x+1)2f(x+1)的图象是由m(x)=x2f(x)的图象向左平移1个单位长度所得，故其对称中心为(-1，0)，所以B正确;设n(x)=x[f(x)]2，则n(-x)=(-x)[f(-x)]2=-x[f(x)]2=-n(x)，所以n(x)为奇函数，对称中心为(0，0).因为y=x[f(x)]2+1的图象是由n(x)=x[f(x)]2的图象向上平移1个单位长度所得，故其对称中心为(0，1)，所以C错误;因为y=x[f(x)]2-1的图象是由n(x)=x[f(x)]2的图象向下平移1个单位长度所得，故其对称中心为(0，-1)，所以D错误. 二、多选题 8.设函数f(x)=2x-1+21-x，则下列说法错误的是 (　　) A.f(x)在(0，+∞)上单调递增 B.f(x)为奇函数 C.f(x)的图象关于直线x=1对称 D.f(x)的图象关于点(1，0)对称 解析:选ABD　∵f(x)=2x-1+21-x，∴f(2-x)=2(2-x)-1+21-(2-x)=21-x+2x-1=f(x)， 即f(x)=f(2-x)，f(x)的图象关于直线x=1对称，故C正确，A、D错误;∵f(-1)≠-f(1)， ∴f(x)不是奇函数，故B错误. 9.已知定义在R上的函数f(x)，若f(x+1)的图象关于点(-1，0)对称，恒有f(x-1)=f(3-x)，且f(x)在[1，2]上单调递减，则下列结论正确的是 (　　) A.直线x=1是f(x)图象的对称轴 B.周期T=2 C.函数f(x)在[4，5]上单调递增 D.f(5)=0 解析:选AC　因为f(x-1)=f(3-x)，所以直线x=1是f(x)图象的对称轴，故A正确;因为f(x+1)的图象关于点(-1，0)对称，所以函数f(x)的图象关于点(0，0)对称，又因为f(x)图象的对称轴为x=1，所以f(x)的周期T=4，故B错误;直线x=1是f(x)图象的对称轴，且函数f(x)在[1，2]上单调递减，所以函数f(x)在[0，1]上单调递增，又f(x)的周期T=4，所以函数f(x)在[4，5]上单调递增，故C正确;因为f(x)的周期T=4，f(4)=f(0)=0，则f(5)>f(4)=0，故D错误. 三、填空题 10.设函数y=f(x)的定义域为R，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于　　　　对称.  解析:由于x∈R，恒有y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称，又y=f(x)的图象向右平移一个单位长度得到y=f(x-1)的图象，y=f(-x)的图象向右平移一个单位长度得到y=f(1-x)的图象，故函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于x=1对称. 答案:x=1 11.曲线f(x)=的对称中心为　　　　　　 .  快审准解:根据给定的函数，利用对称中心的定义求解即得. 解析:易知函数f(x)=的定义域为R，设曲线f(x)=的对称中心为，则f(x)+f(a-x)=+ = =， 要使f(x)+f(a-x)为常数2b，当且仅当2·3a-36=-(3a+9)，即3a=9，解得a=2，此时f(x)+f(a-x)=-1，b=-，所以曲线f(x)=的对称中心为. 答案: 12.(2025·巴中模拟)已知函数f(x)=x++3的图象与直线y=k(x-1)+4有两个交点(x1，y1)，(x2，y2)，则x1+x2+y1+y2=　　　　.  解析:由题意可得直线y=k(x-1)+4恒过点(1，4)，且直线与函数f(x)的图象有两个交点.又函数f(x)=x++3=x-1++4图象的对称中心为(1，4)，因此两个交点关于(1，4)对称，所以x1+x2=2，y1+y2=8，所以x1+x2+y1+y2=10. 答案:10 四、解答题 13.(10分)已知函数f(x)=log2|x-2|+x2-4x. (1)判断并证明函数f(x)的对称性;(5分) (2)求f(x)的单调区间.(5分) 解:(1)f(x)的图象关于直线x=2对称.证明如下: 由|x-2|>0，得x≠2，所以f(x)的定义域为(-∞，2)∪(2，+∞).因为f(2-x)=log2|x|+(2-x)2-4(2-x)=log2|x|+x2-4，f(2+x)=log2|x|+(2+x)2-4(2+x)=log2|x|+x2-4， 所以f(2+x)=f(2-x)，所以f(x)的图象关于直线x=2对称. (2)设y1=log2|x-2|，y2=x2-4x，当x>2时，y1=log2|x-2|=log2(x-2)单调递增，y2=x2-4x 也单调递增，故f(x)=log2|x-2|+x2-4x在(2，+∞)上单调递增.又f(x)的图象关于直线x=2对称，故f(x)的单调递增区间为(2，+∞)，单调递减区间为(-∞，2). 14.(13分)给定函数f(x)=x-. (1)求函数f(x)图象的对称中心;(3分) (2)用定义证明f(x)在区间(-1，+∞)上的单调性，并求f(x)在[1，5]上的值域；(5分) (3)已知函数g(x)的图象关于点(1，1)对称，且当x∈[0，1]时，g(x)=x2.若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[1，5]，使得g(x1)=f(x2)+m，求实数m的取值范围.(5分) 快审准解:(1)设函数f(x)图象的对称中心为(a，b)，根据函数图象关于点对称的性质得到f(a+x)+f(a-x)-2b=0，代入求解即可得到a，b的值，从而得到对称中心； (2)根据单调性定义证明，再根据所得单调性结合定义域求f(x)值域即可； (3)由题意可知函数g(x)的值域是f(x)+m值域的子集，由(2)可知f(x)的值域，g(x)的值域可对二次函数分析得到，最终整合得到实数m的取值范围. 解:(1)设函数f(x)图象的对称中心为(a，b)，则f(a+x)+f(a-x)-2b=0，即(x+a)-+(-x+a)--2b=0， 整理得(a-b)x2=(a-b)(a+1)2-6(a+1)， 于是a-b=(a-b)(a+1)2-6(a+1)=0， 解得a=b=-1， 所以f(x)图象的对称中心为(-1，-1). (2)任取x1，x2∈(-1，+∞)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=x1--=(x1-x2)， 因为x1-x2<0且1+>0， 所以f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)=x-在(-1，+∞)上单调递增. 所以f(x)在[1，5]上单调递增，故f(x)的值域为[-2，4]. (3)由于对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[1，5]，使得g(x1)=f(x2)+m，于是问题转化为g(x)在[0，2]上的值域是f(x)+m在[1，5]上值域的子集， 由g(x)在[0，1]上单调递增，图象又关于点(1，1)对称且经过点(1，1)，可知g(x)在(1，2]上也单调递增，故g(x)在[0，2]上单调递增， 又g(0)=0，g(2)=2，所以g(x)在[0，2]上的值域为[0，2]. 又f(x)+m在[1，5]上的值域为[-2+m，4+m]， 所以[0，2]⊆[-2+m，4+m]，所以解得-2≤m≤2，则m的取值范围是[-2，2]. 第五节　函数性质的综合应用　　 题点一　单调性与奇偶性相结合 [例1] (1)设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x总有f(-x)=f(x)，当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，则f(-2)，f(π)，f(-3)的大小关系是 (　　) A.f(π)>f(-3)>f(-2) B.f(π)>f(-2)>f(-3) C.f(π)<f(-3)<f(-2) D.f(π)<f(-2)<f(-3) 解析:选A　∵函数f(x)的定义域为R且f(-x)=f(x)，∴f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(-2)=f(2)，f(-3)=f(3)，又∵f(x)在[0，+∞)上单调递增，且2<3<π，∴f(2)<f(3)<f(π)，即f(π)>f(-3)>f(-2). (2)(2025·淄博模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(3)=0，则满足(x+1)f(x)≥0的x的取值范围是 (　　) A.[-3，-1]∪[0，+∞) B.[-3，0]∪[0，+∞) C.[-3，-1]∪[0，3] D.(-∞，-3]∪[0，3] 解析：选C　因为定义域为R的奇函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，且f(3)=0，所以f(x)在(0，+∞)上也单调递减，且f(-3)=0，f(0)=0，所以当x∈(-∞，-3)∪(0，3)时，f(x)>0，当x∈(-3，0)∪(3，+∞)时，f(x)<0，所以由(x+1)f(x)≥0，可得或或x=0，解得0≤x≤3或-3≤x≤-1，所以满足(x+1)f(x)≥0的x的取值范围是[-3，-1]∪[0，3]. 价值发掘:(1)若奇函数f(x)在[a，b]上具有单调性，则f(x)在[-b，-a]上也具有单调性，且单调性相同; (2)若偶函数f(x)在[a，b]上具有单调性，则f(x)在[-b，-a]上也具有单调性，且单调性相反. |思维建模|　奇偶性与单调性综合的2种题型及解法 (1)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小. (2)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组). [即时训练] 1.设函数f(x)=2|x|，则下列结论正确的是 (　　) A.f(-1)<f(2)<f(-) B.f(-)<f(-1)<f(2) C.f(2)<f(-)<f(-1) D.f(-1)<f(-)<f(2) 解析:选D　因为f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x)， 所以函数f(x)是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，所以f(1)<f()<f(2)，即f(-1)<f(-)<f(2). 2.(2024·资阳二模)若定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递增，则不等式f(2x+1)-f(x-1)>-3x2-6x的解集为 (　　) A.(-∞，-2)∪(0，+∞) B.(-∞，-1)∪(0，+∞) C.(-2，0) D.(-1，0) 解析:选A　由f(2x+1)-f(x-1)>-3x2-6x，可得f(2x+1)+(2x+1)2>f(x-1)+(x-1)2. (此处不能直接去“f”，故观察式子结构构造函数求解) 令g(x)=f(x)+x2，因为f(x)是偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，所以g(x)也是偶函数，且在[0，+∞)上单调递增，从而|2x+1|>|x-1|，解得x<-2或x>0. 习得方略:偶函数单调性改变 当函数f(x)为定义在R上的偶函数时， ①若x≥0时，f(x)单调递增，则x<0时，f(x)单调递减，即f(m)>f(n)⇒|m|>|n|，f(x)+f(-x)>2f(m)⇒|x|>|m|. ②若x≥0时，f(x)单调递减，则x<0时，f(x)单调递增，即f(m)>f(n)⇒|m|<|n|，f(x)+f(-x)>2f(m)⇒|x|<|m|. 题点二　奇偶性、对称性与周期性相结合 [例2]　(2025·河源模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)为奇函数，且y=f(2x)的图象关于直线x=1对称，若f(0)=-1，则f(i)= (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 快审准解:函数的对称性求得f(1)=f(3)=0，f(2)=1，f(4)=-1，从而有f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，再确定f(x)的周期，利用周期性求函数值的和. 解析:选C　由f(x+1)为奇函数，知f(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(1)=0， 由f(0)=-1，得f(2)=-f(0)=1. 由y=f(2x)的图象关于直线x=1对称，则f(x)的图象关于直线x=2对称， 所以f(4)=f(0)=-1，f(1)=f(3)=0. 综上，f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0， 由上f(x)+f(2-x)=0，f(2-x)=f(2+x)，得f(x)=-f(2+x)， 所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x)，则4为f(x)的一个周期， 所以f(i)=0×12+f(1)+f(2)=1. 关键点拨:根据函数的奇偶性、对称性求函数值，并确定周期为关键. |思维建模| 　　解决函数奇偶性与图象的对称性的综合问题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再判断函数图象的对称轴或对称中心;也可利用图象变换关系得出函数图象的对称性.总之，要充分利用已知条件进行适当转化. [即时训练] 3.已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x+1)为奇函数，f(2x+4)=f(2x)，则下列结论一定正确的是 (　　) A.f(x)的周期为2 B.f(x)图象关于直线x=1对称 C.f(x+1)为偶函数 D.f(x+3)为奇函数 解析:选D　由f(2x+1)为奇函数，得f(2x+1)+f(-2x+1)=0， 即f(x+1)+f(-x+1)=0，则f(x+1)为奇函数，故C错误; 由上知f(x)图象关于点(1，0)中心对称，故B错误; 由f(2x+4)=f(2x)，可知函数f(x)周期为4，故A错误; 由上知f(x)=f(x+4)，又f(x)图象关于点(1，0)中心对称，知f(x)=-f(2-x)，所以f(x+4)=-f(2-x)，得f(x)关于点(3，0)对称，则f(x+3)关于点(0，0)对称，所以f(x+3)为奇函数，故D正确. 题点三　函数性质的综合应用 [例3]　(多选)已知函数f(x)对∀x∈R都有f(x)=f(x+4)+f(2)，若函数f(x+3)的图象关于直线x=-3对称，且对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0，则下列结论正确的是 (　　) A.f(2)=0 B.f(x)是偶函数 C.f(x)是周期为4的周期函数 D.f(3)<f(-4) 解析:选ABC　由f(x+3)的图象关于直线x=-3对称，故f(x)的图象关于y轴对称，f(x)是偶函数，B正确;f(x)=f(x+4)+f(2)中，令x=-2得f(-2)=2f(2)， 因为f(-2)=f(2)，所以f(2)=2f(2)，解得f(2)=0，A正确;由f(x)=f(x+4)，得f(x)是周期为4的周期函数，C正确;对∀x1，x2∈[0，2]，当x1≠x2时，都有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0， 故f(x)在[0，2]上单调递增，又f(x)是周期为4的周期函数，且f(x)是偶函数， 故f(0)=f(-4)，f(3)=f(-1)=f(1)， 因为f(1)>f(0)，所以f(3)>f(-4)，D错误. |思维建模| 　　对于函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律.因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题. [即时训练] 4.[多选]已知定义在R上的函数f(x)在(-∞，2]上单调递增，且f(x+2)为偶函数，则 (　　) A.f(x)图象的对称中心为(2，0) B.f(x)图象的对称轴为直线x=2 C.f(-1)>f(4) D.不等式f(x+3)>f(4x)的解集为∪(1，+∞) 解析:选BD　因为f(x+2)为偶函数，其图象关于y轴对称，所以f(x)图象的对称轴为直线x=2，故A错误，B正确;又f(x)在(-∞，2]上单调递增，所以f(x)在[2，+∞)上单调递减，所以f(-1)=f(5)<f(4)，故C错误;由不等式f(x+3)>f(4x)结合f(x)的对称性及单调性，得|x+3-2|<|4x-2|，即(x+3-2)2<(4x-2)2，即(5x-1)(3x-3)>0，解得x<或x>1，所以不等式f(x+3)>f(4x)的解集为∪(1，+∞)，故D正确. 数智赋能:电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.(2025·芜湖模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x)，当2<x<4时，f(x)=2x-2，则f(1)= (　　) A.-4 B.-2 C.2 D.4 解析:选C　由当2<x<4时，函数f(x)=2x-2，可得f(3)=2， 因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x+4)=f(x)， 所以f(1)=f(-1)=f(3)=2. 2.定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2-x)，若f(x)在区间[1，2]上单调递减，则函数f(x) (　　) A.在区间[0，1]上单调递增，在区间[-2，-1]上单调递减 B.在区间[0，1]上单调递增，在区间[-2，-1]上单调递增 C.在区间[0，1]上单调递减，在区间[-2，-1]上单调递减 D.在区间[0，1]上单调递减，在区间[-2，-1]上单调递增 解析:选B　∵f(x)=f(2-x)， ∴f(x)的图象关于直线x=1对称， ∵f(x)在区间[1，2]上单调递减， ∴f(x)在区间[0，1]上单调递增. 又∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)， ∴f(2-x)=f(-x)，∴f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)在区间[-2，-1]上也单调递增. 3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2-x)+f(x)=，则f(2 023)= (　　) A.- B. C.0 D.1 解析:选B　由题意知f(x)的图象关于点对称，即f(1)=，因为f(-x)=f(x)，所以f(2-x)+f(-x)=，即f(2+x)+f(x)=，所以f(2+x)-f(2-x)=0，即f(2+x)=f(2-x)=f(x-2)，所以f(x)=f(x+4)，故f(x)的周期为4，则f(2 023)=f(506×4-1)=f(-1)=f(1)=，故选B. 结论:若f(x)的图象关于直线x=a和点(b，t)对称，则f(x)的周期为4|a-b|. 4.已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x+2)=f(x)，且f(x)在区间[0，1]上单调递增，则f(-6.5)，f(-1)，f(0)的大小关系是 (　　) A.f(-1)<f(0)<f(-6.5) B.f(-6.5)<f(0)<f(-1) C.f(-1)<f(-6.5)<f(0) D.f(0)<f(-6.5)<f(-1) 解析:选D　∵f(x)对于任意x∈R都有f(x+2)=f(x)，∴f(x)的周期为2，∵偶函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，f(-6.5)=f(6.5)=f(0.5)，f(-1)=f(1)，∴f(0)<f(0.5)<f(1)，即f(0)<f(-6.5)<f(-1). 5.已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x-1)为奇函数，f(x+1)为偶函数，当x∈[-1，1]时，f(x)=ax+1，则f(2 025)= (　　) A.0 B.1 C.2 D.2 025 解析:选C　∵f(2x-1)为奇函数，∴f(x)的图象关于点(-1，0)中心对称，又f(x+1)为偶函数，∴f(x)的图象关于直线x=1对称，则f(x)为周期函数且周期T=4×|1-(-1)|=8，∴f(2 025)=f(8×253+1)=f(1)=a+1.∵f(-1)=-a+1=0，∴a=1，∴f(2 025)=a+1=2. 6.(2025·大连期末)已知函数f(x)是定义在[-2，2]上的奇函数，且f(x)在[-2，0]上单调递增.若f(2t-1)+f(t)<0，则实数t的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　因为f(x)是定义在[-2，2]上的奇函数，且f(x)在[-2，0]上单调递增， 所以f(x)在[-2，2]上单调递增. (提示:奇函数在对称区间上的单调性相同) 又f(2t-1)+f(t)<0，则f(2t-1)<-f(t)，所以f(2t-1)<f(-t)，所以解得-≤t<，故实数t的取值范围为. 特别提醒:在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0=f(1)，f(x-1)<0，则f(x-1)<f(1). 7.已知f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)=-3x2+2，则f= (　　) A.- B. C.- D. 解析:选B　第1步:求f(x)的周期 因为f(x+1)为奇函数，所以f(x+1)的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，f(2-x)=-f(x). (点拨:根据函数f(x)的图象关于点(1，0)对称得出) 因为f(x+2)为偶函数，所以f(x+2)的图象关于y轴对称，则f(x)的图象关于直线x=2对称，f(2-x)=f(2+x)， (点拨:根据函数f(x)的图象关于直线x=2对称得出) 所以f(2+x)=-f(x)，故f(2+2+x)=-f(2+x)=f(x)，即f(x)=f(x+4)，所以f(x)是以4为周期的周期函数. 第2步:利用周期性求函数值 又当x∈[1，2]时，f(x)=-3x2+2，所以f=f=f=-f=-f=.故选B. 借题发挥:(1)f(x+a)(a为常数)为偶函数⇒f(x)的图象关于直线x=a对称; (2)f(x+a)(a为常数)为奇函数⇒f(x)的图象关于点(a，0)对称; (3)f(kx+a)(k>0，a为常数)为偶函数⇒f(x)的图象关于直线x=a对称，f(kx)的图象关于直线x=对称; (4)f(kx+a)(k>0，a为常数)为奇函数⇒f(x)的图象关于点(a，0)对称，f(kx)的图象关于点对称. 8.已知函数f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x)，对任意x1，x2∈(-∞，-2]，且x1≠x2，都有>0成立，且f(0)=0，则f(x)>0的解集是 (　　) A.(-∞，-2)∪(2，+∞) 　　　B.(-2，2) C.(-∞，-4)∪(0，+∞) 　　　D.(-4，0) 解析:选D　因为函数f(x)满足f(-2-x)=f(-2+x).所以f(x)的图象关于x=-2对称.因为函数f(x)对任意x1，x2∈(-∞，-2]，且x1≠x2，都有>0成立，所以f(x)在(-∞，-2]上单调递增.又因为f(x)的图象关于x=-2对称，f(0)=0，所以f(x)在(-2，+∞)上单调递减，且f(-4)=0.用折线图表示函数f(x)的单调性，如图所示，由图知f(x)>0⇒-4<x<0. 二、多选题 9.已知函数f(x)是R上的奇函数，对于任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)成立，当x∈[0，2)时，f(x)=2x-1，给出下列结论，其中正确的是 (　　) A.f(2)=0 B.点(4，0)是函数f(x)图象的一个对称中心 C.函数f(x)在[-6，-2]上单调递增 D.函数f(x)在[-6，6]上有3个零点 解析:选AB　因为f(x+4)=f(x)，所以f(x)的周期为4，f(2)=f(-2)，又函数f(x)是R上的奇函数，故f(2)=-f(-2)，所以f(2)=f(-2)=0，故A正确;因为点(0，0)是f(x)图象的对称中心，f(x)的周期为4，所以点(4，0)也是函数f(x)图象的一个对称中心，故B正确; 作出函数f(x)的部分图象如图所示，易知函数f(x)在[-6，-2]上不具有单调性，故C不正确;函数f(x)在[-6，6]上有7个零点，故D不正确. 10.(2025·湖南师大附中模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0，且y=f(2-x)为偶函数，则下列说法一定正确的是 (　　) A.函数f(x)的周期为2 B.函数f(x)的图象关于(1，0)对称 C.函数f(x)为偶函数 D.函数f(x)的图象关于x=3对称 解析:选BC　依题意，定义在R上的函数f(x)，f(x+2)=-f(x)，则f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，函数f(x)的周期为4，A错误; 因为函数y=f(2-x)是偶函数，所以f(2-x)=f(2+x)，函数f(x)的图象关于x=2对称， 且f(2-x)=-f(x)，即f(2-x)+f(x)=0，函数f(x)的图象关于(1，0)对称，B正确; 由f(2-x)=f(2+x)，得f(-x)=f(4+x)=f(x)，则函数f(x)为偶函数，C正确; 由f(x+2)+f(x)=0，得f(x+3)+f(1+x)=0，由f(2-x)=f(2+x)，得f(3-x)=f(1+x)， 因此f(x+3)+f(3-x)=0，函数f(x)的图象关于(3，0)对称，D错误. 11.已知定义域为R的奇函数f(x)，满足f(x)-f(2-x)=0，记g(x)=f(2x-2)，则下列对函数g(x)的描述正确的是 (　　) A.图象关于直线x=对称 　　　B.g(1)=0 C.g(x+3)=g(x) 　　　D.g(2 023)=0 解析:选ABD　定义域为R的奇函数f(x)，则f(-x)=-f(x)且f(0)=0，又f(x)-f(2-x)=0，即f(x)=f(2-x)，所以-f(-x)=f(2-x)，即-f(x)=f(2+x)，所以f(x+4)=f(x).又g(x)=f(2x-2)，所以g(1)=f(0)=0，故B正确;又g(x+3)=f(2x+6-2)=f(2x+4)=f(2x)=f(2(x+1)-2)=g(x+1)，所以g(x+2)=g(x)，则g(x)是以2为周期的周期函数，则g(2 023)=g(1)=0，故C错误，D正确;又g(3-x)=f(6-2x-2)=f(4-2x)=f(2-(4-2x))=f(2x-2)=g(x)，所以g(x)的图象关于直线x=对称，故A正确. 三、填空题 12.(2025·六安模拟)若偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=-f(1-x)，且当x∈[0，1]时，f(x)=4x， 则f(2 024)=　　　　.  解析:由f(x+2)=-f(1-x)，且当x∈[0，1]时，f(x)=4x，f(x)=f(-x)，得f(1)=4，f(2)=-4，f(3)=0，f(4)=-4，f(5)=4，f(6)=0，f(7)=4，f(8)=-4，…，则f(x)是以6为周期的函数，所以f(2 024)=f(6×337+2)=f(2)=-4. 答案:-4 13.(2024·佛山二模)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，且f(1)=2，则满足f(x)+f(-x)>4的实数x的取值范围为　　　　.  解析:由f(x)为偶函数且在[0，+∞)上单调递减，得f(x)在(-∞，0)上单调递增，又f(1)=2，故当f(x)>2时，x∈(-1，1).又f(-x)=f(x)，故f(x)+f(-x)>4等价于f(x)>2，即f(|x|)>f(1)，∴|x|<1，故x的取值范围为(-1，1). 答案:(-1，1) 14.(2024·日照二模)已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(5.5)=4，g(x)=(x-1)f(x)，若g(x+1)是偶函数，则g(-0.5)　　　　.  解析:因为g(x+1)是偶函数，所以g(x)的图象关于直线x=1对称，故g(x)=g(2-x)，即(x-1)f(x)=(1-x)f(2-x)，所以f(x)+f(2-x)=0.所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称.又f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(x)=-f(2-x)=-f(x-2)，所以f(x-4)=f((x-2)-2)=-f(x-2)=f(x)，即f(x-4)=f(x)，所以函数f(x)的周期为4.所以f(5.5)=f(1.5)=f(-2.5)=f(2.5)=4，所以g(-0.5)=g(2.5)=1.5×f(2.5)=6. 答案:6 规律结论:函数双对称出周期结论 (1)若函数y=f(x)的相邻两条对称轴方程分别为x=a，x=b，则函数的一个周期为T=2|a-b|; (2)若函数y=f(x)的相邻两个对称中心分别为(a，0)，(b，0)，则函数的一个周期为T=2|a-b|; (3)若函数y=f(x)的相邻一条对称轴方程为x=a，一个对称中心为(b，0)，则函数的一个周期为T=4|a-b|. 第六节　幂函数与二次函数 明确目标 1.结合函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的图象，了解它们的变化情况;了解幂函数的概念. 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 教材再回首 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象 ①幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限. ②幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，+∞)上都有定义; ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，+∞)上单调递增; ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，+∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 顶点式 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0)，顶点坐标为(m，n) 零点式 f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点 (2)二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x=- 顶点坐标 奇偶性 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减; 在上单调递增 在上单调递增; 在上单调递减 解题结论拓展 (1)若幂函数y=xα在(0，+∞)上单调递增，则α>0;若在(0，+∞)上单调递减，则α<0. (2)二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. (3)根与系数的关系:x1+x2=-，x1x2=. (4)二次函数在某种特殊条件下也能具有奇偶性:当b=0时，二次函数为偶函数. 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y=2是幂函数. (　　) (2)当n>0时，幂函数y=xn在(0，+∞)上单调递增. (　　) (3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数. (　　) (4)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[a，b])的最值一定是. (　　) (5)在y=ax2+bx+c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2.(人A必修①P91T1改编)已知幂函数f(x)的图象过点，则f(4)的值是 (　　) A.64 B.4 C. D. 解析:选D　设幂函数f(x)=xα，则由f(x)的图象过点，得f(2)=2α=，即α=-1，所以f(x)=x-1，则f(4)=. 3.(人B必修①P98T7改编)函数f(x)=-2x2+4x，x∈[-1，2]的值域为 (　　) A.[-6，2] B.[-6，1] C.[0，2] D.[0，1] 答案:A 4.(人A必修①P58T6改编)已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方，则a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由题意知即解得a>. 5.(苏教必修①P140例2改编)已知a=0.40.3，b=0.30.3，c=0.30.4，则a，b，c的大小关系是　　 　.(用“<”连接)  解析:由指数函数、幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a. 答案:c<b<a 题点一　幂函数的图象与性质 [例1] (1)已知a=110.3，b=，c=21.2，则a，b，c的大小关系为 (　　) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.b<a<c 解析:选A　由题可知，a=110.3<1，b==，c=21.2>，则a6<112=121，b6=()6=125，c6>()6=27=128.因为y=x6在(0，+∞)上单调递增，且121<125<128，所以a<b<c. (2)如图，曲线C1和C2分别是函数y=xa和y=xb在第一象限内的图象，则下列结论错误的是 (　　) A.< 　　　B.a2<ab C.a3>b3 　　　D.a2>b2 解析:选D　观察题图知，幂函数y=xa和y=xb在第一象限的图象是下降的，即在(0，+∞)单调递减，因此a<0，b<0. 当x>1时，函数y=xa的图象在y=xb的图象上方，取x=2，有2a>2b，由指数函数单调性知a>b， 于是b<a<0，则<，a2<ab，a3>b3，A、B、C正确;而a2<b2，D错误. |思维建模| (1)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，+∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. [即时训练] 1.幂函数y=(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:选C　从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2-2m-3<0，即-1<m<3;又从图象看，函数是偶函数，故m2-2m-3为负偶数，将m=0，1，2分别代入，可知当m=1时，m2-2m-3=-4，满足要求. 2.[多选]已知函数f(x)=xα的图象经过点(4，2)，则下列说法正确的是 (　　) A.函数f(x)为偶函数 B.函数f(x)在其定义域内为增函数 C.当x>1时，f(x)>1 D.当0<x1<x2时，<f 解析:选BCD　由于函数f(x)=xα的图象经过点(4，2)，故有4α=2，∴α=，故f(x)=.显然，函数f(x)为非奇非偶函数，故A错误;函数f(x)在其定义域内为增函数，故B正确;当x>1时，f(x)=>1，故C正确;由于函数f(x)为上凸型函数，故有当0<x1<x2时，<f，故D正确. 题点二　二次函数的解析式 [例2]　已知二次函数f(x)满足f(2)=-1，f(-1)=-1，且f(x)的最大值是8，求f(x)的解析式. 解:法一:利用二次函数的一般式 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得 故所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 法二:利用二次函数的顶点式 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ∵f(2)=f(-1)， ∴抛物线的对称轴为x==. ∴m=，又根据题意函数有最大值8， ∴n=8，∴f(x)=a+8. ∵f(2)=-1，∴a+8=-1，解得a=-4，∴f(x)=-4+8=-4x2+4x+7. 法三:利用二次函数的零点式 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2，x2=-1， 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0)，即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数f(x)有最大值8，∴=8. 解得a=-4或a=0(舍去)，故所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. |思维建模|　求二次函数解析式的3个策略 (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式; (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式; (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式. [即时训练] 3.已知函数f(x)为二次函数，f(x)的图象过点(0，2)，对称轴为x=-，函数f(x)在R上的最小值为，则f(x)的解析式为　　　　　　　　.  解析:因为f(x)图象的对称轴为x=-，函数f(x)在R上的最小值为，所以可设f(x)=a+，a>0，将(0，2)代入f(x)，得a+=2，解得a=1， 故f(x)=+. 答案:f(x)=+ 4.已知二次函数f(x)=x2+bx+c的图象经过点(1，13)，且函数y=f是偶函数，则函数f(x)的解析式为　　　　　　　　.  解析:∵y=f是偶函数，有f=f，∴f(x)关于x=-对称，即-=-，故b=1.又图象经过点(1，13)， ∴f(1)=13，可得c=11.故f(x)=x2+x+11. 答案:f(x)=x2+x+11 题点三　二次函数的图象与性质 考法(一)　二次函数的图象 [例3]　（多选）如图，若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴是直线x=-1，则下列四个结论中，错误的是 (　　) A.abc>0 　　　B.2a-b≠0 C.4ac-b2<0 　　　D.4a+c<2b 解析:选BD　∵抛物线的开口向下，∴a<0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∵抛物线的对称轴为直线x=-1，∴-=-1，∴b=2a<0，∴abc>0，2a-b=0，故A正确，B错误;∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac>0，∴4ac-b2<0，故C正确;∵抛物线的对称轴为直线x=-1，∴x=-2和x=0时，y的值相等，∴当x=-2时，y>0， ∴4a-2b+c>0，即4a+c>2b，故D错误. 考法(二)　二次函数的单调性与最值 [例4] (1)若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1，+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是 (　　) A.[-3，0) B.(-∞，-3] C.[-2，0] D.[-3，0] 解析:选D　当a=0时，f(x)=-3x+1，在[-1，+∞)上单调递减，满足题意; 当a≠0时，f(x)图象的对称轴为直线x=， 由f(x)在[-1，+∞)上单调递减，知 解得-3≤a<0.综上，a的取值范围为[-3，0]. (2)已知函数f(x)=-x2+2x+5在区间[0，m]上有最大值6，最小值5，则实数m的取值范围是 (　　) A.(0，2] 　　B.[1，2) C.[1，2] 　　D.(0，1] 解析:选C　因为f(x)=-x2+2x+5=-(x-1)2+6，所以当x=1时，f(x)max=6，令f(x)=5，解得x=0或x=2. 又因为f(x)在[0，1)上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以若f(x)在区间[0，m]上有最大值6，最小值5，则有1≤m≤2，即m∈[1，2]，故选C. |思维建模|　二次函数单调性与最值问题的解题策略 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系.当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. (2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解. [即时训练] 5.已知函数f(x)=ax2+bx+c，若a<b<c，且a+b+c=0，则f(x)的图象可能是 (　　) 解析:选A　若a<b<c，且a+b+c=0，则a<0<c，故f(x)=ax2+bx+c开口向下，故B、D错误;又f(0)=c>0，故C错误，A正确. 6.已知函数f(x)=x2+2x-4. (1)若f(x)在区间[a，a+1]上不具有单调性，求实数a的取值范围; (2)若t>-2，求f(x)在区间[-2，t]上的最小值g(t). 解:(1)因为函数f(x)=x2+2x-4在[a，a+1]上不具有单调性，对称轴为x=-1， 所以a<-1<a+1，即解得-2<a<-1，故实数a的取值范围为(-2，-1). (2)因为f(x)=x2+2x-4的图象开口向上，对称轴为x=-1，当-2<t≤-1时，函数f(x)在[-2，t]上单调递减，所以f(x)min=f(t)=t2+2t-4; 当t>-1时，函数f(x)在[-2，-1)上单调递减，在(-1，t]上单调递增，所以f(x)min=f(-1)=-5. 综上，g(t)= 数智赋能:电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.若二次函数g(x)满足g(1)=1，g(-1)=5，且图象过原点，则g(x)的解析式为 (　　) A.g(x)=2x2-3x B.g(x)=3x2-2x C.g(x)=3x2+2x D.g(x)=-3x2-2x 解析:选B　由题意，设二次函数为g(x)=ax2+bx(a≠0)，则解得a=3，b=-2，故所求的二次函数为g(x)=3x2-2x. 2.已知函数f(x)=x-3，若a=f(0.60.6)，b=f(0.60.4)，c=f(0.40.6)，则a，b，c的大小关系是 (　　) A.a<c<b B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 解析:选B　∵0.40.6<0.60.6<0.60.4，又f(x)=x-3在(0，+∞)上单调递减，∴b<a<c. 3.已知幂函数f(x)=(m2-6m+9)在(0，+∞)上单调递增，若f(2x-1)≥1，则x的取值范围是 (　　) A.(-∞，0] B.[1，+∞) C.[0，1] D.(-∞，0]∪[1，+∞) 解析:选D　因为f(x)=(m2-6m+9)是幂函数，所以m2-6m+9=1，解得m=2或m=4.当m=2时，f(x)=x-4，在(0，+∞)上单调递减，不满足题意;当m=4时，f(x)=x2，在(0，+∞)上单调递增，满足题意，所以f(x)=x2，且f(x)是偶函数.因为f(2x-1)≥1=f(1)，所以|2x-1|≥1，解得x≤0或x≥1，故选D. 4.已知幂函数y=(p，q∈Z且p，q互质)的图象关于y轴对称，如图所示，则 (　　) A.p，q均为奇数，且>0 B.q为偶数，p为奇数，且<0 C.q为奇数，p为偶数，且>0 D.q为奇数，p为偶数，且<0 解析:选D　因为函数y=的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，且在(0，+∞)上单调递减，所以<0.因为函数y=的图象关于y轴对称，所以函数y=为偶函数，即p为偶数，又p，q互质，所以q为奇数，所以D正确. 5.函数f(x)=ax2+2x+1与g(x)=xa在同一平面直角坐标系中的图象不可能为 (　　) 解析:选B　当a<0时，g(x)=xa为奇函数，定义域为{x|x≠0}，且在(0，+∞)上单调递减，而f(x)=ax2+2x+1的图象开口向下，且对称轴为x=->0，f(0)=1，故A符合;当a=2n(n∈N*)时，g(x)=xa为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增，f(x)=ax2+2x+1的图象开口向上，且对称轴为x=-<0，Δ=4-4a<0，其图象和x轴没有交点，故D符合;当a=(n∈N*)时，g(x)=xa的定义域为[0，+∞)，且在[0，+∞)上单调递增，f(x)=ax2+2x+1的图象开口向上，且对称轴为x=-<0，Δ=4-4a>0，图象和x轴有两个交点，故C符合;B中二次函数的图象与x轴只有一个交点，则Δ=4-4a=0，解得a=1，此时g(x)=x，为一条过原点的直线，故B明显不符合题意.故选B. 6.“a<2”是“函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在(-∞，-3]上单调递增”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A　f(x)=-x2-2(a+1)x+3的图象开口向下，对称轴为x=-=-a-1，要想f(x)=-x2-2(a+1)x+3在(-∞，-3]上单调递增，则-a-1≥-3，解得a≤2.由于{a|a<2}是{a|a≤2}的真子集，故“a<2”是“函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在(-∞，-3]上单调递增”的充分不必要条件. 7.已知幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2是R上的偶函数，且函数g(x)=f(x)-(2a-6)x在区间[1，3]上单调递减，则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞，4) B.(-∞，4] C.[6，+∞) D.(-∞，4]∪[6，+∞) 解析:选C　因为幂函数f(x)=(m2-5m+5)xm-2是R上的偶函数，所以m2-5m+5=1，解得m=1或m=4.当m=1时，f(x)=x-1，该函数是定义域为{x|x≠0}的奇函数，不符合题意;当m=4时，f(x)=x2，该函数是定义域为R的偶函数，符合题意.所以f(x)=x2，则g(x)=x2-(2a-6)x，其对称轴方程为x=a-3，由g(x)在区间[1，3]上单调递减，得a-3≥3，解得a≥6. 二、多选题 8.已知幂函数f(x)=(2m2+m-2)xm-3，m∈N*，则下列结论正确的是 (　　) A.m=1 B.函数f(x)在定义域内单调递减 C.f(-2)<f(3) D.函数f(x)的值域为(0，+∞) 解析:选AD　由f(x)=(2m2+m-2)xm-3为幂函数可得2m2+m-2=1，解得m=1或m=-，又m∈N*，所以m=1.所以f(x)=x-2=，故A正确;因为函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称，由f(-x)===f(x)，知函数f(x)为偶函数，由于-2<0，故f(x)=x-2在区间(0，+∞)上单调递减，根据偶函数性质知f(x)=x-2在区间(-∞，0)上单调递增，故B错误;f(-2)==>==f(3)，故C错误;因为f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，则x2>0，所以f(x)=的值域为(0，+∞)，故D正确. 9.已知f(x)=x2-2x+a(a>0)，若f(t)<0，则 (　　) A.f(t-2)>0 B.f(t-1)<0 C.f(2-t)<0 D.f(4-t)>f(2) 解析:选ACD　函数f(x)的图象关于x=1对称，在(-∞，1)上单调递减，(1，+∞)上单调递增.由f(t)<0，f(0)=f(2)=a>0可得，存在x1∈(0，1)，x2∈(1，2)，使得f(x1)=f(x2)=0，其中t∈(x1，x2)，则t-2<0，所以f(t-2)>f(0)>0，故A正确;t∈(x1，x2)，则t-1可能小于0，也可能属于(x1，x2)，故f(t-1)的符号不确定，故B错误;根据对称性可得f(2-t)=f(t)<0，故C正确;由于t∈(x1，x2)，且x2∈(1，2)，所以4-t>2，又f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以f(4-t)>f(2)，故D正确. 三、填空题 10.已知幂函数f(x)=(p∈N*)的图象关于y轴对称，且f(x)在(0，+∞)上单调递减，实数a满足(a2-1<(3a+3，则实数a的取值范围是　　　　.  解析:∵幂函数f(x)=(p∈N*)在(0，+∞)上单调递减，∴p2-2p-3<0，解得-1<p<3. (点拨:对于幂函数f(x)=xα，当α>0时，f(x)=xα在(0，+∞)上单调递增，当α<0时，f(x)=xα在(0，+∞)上单调递减) ∵p∈N*，∴p=1或p=2.当p=1时，f(x)=x-4为偶函数，满足条件，当p=2时，f(x)=x-3为奇函数，不满足条件，则p=1.∴不等式(a2-1<(3a+3，即为(a2-1<(3a+3. ∵y=在R上为增函数， ∴a2-1<3a+3，解得-1<a<4. 答案:(-1，4) 11.函数f(x)=x2-4x+2在区间[a，b]上的值域为[-2，2]，则b-a的取值范围是　　　　.  解析:解方程f(x)=x2-4x+2=2，得x=0或x=4，解方程f(x)=x2-4x+2=-2，得x=2，由于函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[-2，2]， 若函数f(x)在区间[a，b]上具有单调性，则[a，b]=[0，2]或[a，b]=[2，4]，此时b-a取得最小值2;若函数f(x)在区间[a，b]上不具有单调性，且当b-a取最大值时，[a，b]=[0，4]，所以b-a的最大值为4，所以b-a的取值范围是[2，4]. 答案:[2，4] 12.已知f(x)=4x-x2+2，则g(x)=f(f(x))的单调递增区间为　　　　　　.  解析:令t=f(x)=4x-x2+2=-(x-2)2+6，故t=f(x)在(-∞，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减.令4x-x2+2=2，得x=0或x=4，当x∈(0，4)时，f(x)>2，当x∈(-∞，0)∪(4，+∞)时，f(x)<2.当x∈(-∞，0)时，t<2，且t=f(x)单调递增，又f(t)在(-∞，2)上单调递增，由复合函数的单调性满足同增异减可知，g(x)=f(f(x))单调递增;当x∈(2，4)时，t>2，且t=f(x)单调递减，又f(t)在(2，+∞)上单调递减，由复合函数的单调性满足同增异减可知，g(x)=f(f(x))单调递增，其他区间不满足要求. 答案:(-∞，0)，(2，4) 四、解答题 13.(10分)已知幂函数f(x)=(m2+m-1)xm+1(m∈Z)的图象关于y轴对称. (1)求m的值及函数f(x)的解析式;(4分) (2)设函数g(x)=f(x)-4x+5，求g(x)在区间[1，4]上的值域.(6分) 解:(1)因为f(x)=(m2+m-1)xm+1(m∈Z)为幂函数，所以m2+m-1=1，解得m=1或m=-2. 当m=1时，f(x)=x2，函数图象关于y轴对称，符合题意;当m=-2时，f(x)=x-1，函数图象关于原点对称，不符合题意.综上，m=1，f(x)=x2. (2)由(1)得g(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1， 所以g(x)在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增.又g(2)=1，g(1)=2，g(4)=5，所以g(x)∈[1，5]，即g(x)在区间[1，4]上的值域为[1，5]. 14.(10分)已知二次函数f(x)=x2-2ax+1. (1)当a=1时，若f(x)在[0，m]上的值域为[0，1]，求m的取值范围;(5分) (2)求f(x)在[0，1]上的最小值g(a)的解析式.(5分) 解:(1)当a=1时，f(x)=x2-2x+1=(x-1)2，所以f(0)=1， 又因为f(x)min=f(1)=0，f(2)=1， 所以当f(x)在[0，m]上的值域为[0，1]时，1≤m≤2.故m的取值范围为[1，2]. (2)由题意可知，f(x)=x2-2ax+1图象的对称轴为x=a，且f(x)图象开口向上， ①当a≤0时，f(x)在[0，1]上单调递增， 故f(x)min=f(0)=1=g(a); ②当0<a<1时，f(x)在[0，a]上单调递减，在[a，1]上单调递增， 故f(x)min=f(a)=1-a2=g(a); ③当a≥1时，f(x)在[0，1]上单调递减， 故f(x)min=f(1)=2-2a=g(a). 综上所述，g(a)= 第七节　指数与对数的运算 明确目标 1.通过对有理数指数幂(a>0，m，n为正整数，且n>1)、实数指数幂ax(a>0，x∈R)含义的理解，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 2.理解对数的概念与运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数. 教材再回首 1.根式 (1)概念 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质 ①负数没有偶次方根; ②0的任何次方根都是0，记作=0; ③()n=a(n∈N*，且n>1); ④ =a(n为大于1的奇数); ⑤ =|a|=(n为大于1的偶数). 2.分数指数幂 (1)正分数指数幂:= (a>0，m，n∈N*，n>1). (2)负分数指数幂:==(a>0，m，n∈N*，n>1). (3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 (1)aras=ar+s(a>0，r，s∈R). (2)(ar)s=ars(a>0，r，s∈R). (3)(ab)r=arbr(a>0，b>0，r∈R). 4.对数的概念 定义 一般地，如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 性质 loga1=0，logaa=1，logaax=x，其中a>0，且a≠1;负数和0没有对数 5.对数的运算 运算 性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 loga(MN)=logaM+logaN; loga=logaM-logaN; logaMn=nlogaM(n∈R) 换底 公式 logab=(a>0，且a≠1;b>0;c>0，且c≠1) 解题结论拓展 1.换底公式的变形 (1)logab·logba=1，即logab=(a，b均大于0且不等于1); (2)lobn=logab(a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R); (3)logNM==(a，b，N均大于0且不等于1，M>0). 2.换底公式的推广 logab·logbc·logcd=logad(a，b，c均大于0且不等于1，d>0). 3.对数恒等式 =N(a>0且a≠1，N>0). 典题细发掘 1.(人A必修①P109T1改编)下列运算正确的是 (　　) A.=2-π B.a= C.= D.(=x9 解析:选C　对于A，2-π<0，所以=π-2，错误;对于B，因为->0，所以a<0， 则a=-(-a)·=-，错误;对于C，==，正确;对于D，(=x9-2=x7，错误. 2.(人A必修①P127T5改编)设lg 2=a，lg 3=b，则log1210= (　　) A. B. C.2a+b D.2b+a 解析:选A　log1210===. 3.(人A必修①P127T6改编)若xlog34=1，则4x+4-x= (　　) A.1 B.2 C. D. 快审准解:条件可化为x=log43，运用对数恒等式，即可. 解析:选D　∵xlog34=1，∴x=log43，∴4x=3， ∴4x+4-x=3+=.故选D. 4.(苏教必修①P86T8改编)已知+=3，则a+a-1=　　　　;a2+a-2=　　　　.  解析:由+=3，得a+a-1+2=9，即a+a-1=7，则a2+a-2+2=49，即a2+a-2=47. 答案:7　47 题点一　指数幂的运算 [例1] (1)计算: -+0.2; (2)化简:4÷(a，b>0); (3)已知-=2，求的值. 解:(1) -+0.2=-4-1+=-. (2)4÷=-6=-6ab. (3)由-=2，得x+x-1=+2=6，x2+x-2=(x+x-1)2-2=34， 所以==. |思维建模|　指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数，先确定符号;底数是小数，先化成分数;底数是带分数，先化成假分数. (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答. (5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数，形式力求统一. [即时训练] 1.(2025·盐城开学考试)[多选]下列选项正确的有 (　　) A.=a B.若a∈R，则(a2-a+1)0=1 C.=+y D.= 解析:选BD　当n为偶数时， =|a|，故=a不一定成立，故A错误; a2-a+1=+≠0，故(a2-a+1)0=1，故B正确; 当x=y=1时，左边为，右边为2，显然不成立，故C错误;==，故D正确.故选BD. 2.计算: -+=　　　　.  解析:由题意得-+=[(-2)4-+=|-2|-+=2--+=-. 答案:- 题点二　对数的运算 [例2] (1)计算:lg-lg+lg; (2)已知log23=a，log37=b，试用a，b表示log1456. 解:(1)原式=(5lg 2-2lg 7)-×lg 2+(2lg 7+lg 5)=lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+lg 5=(lg 2+lg 5)=lg 10=. (2)因为log27=log23·log37=ab， 所以log1456=log1414+log144=1+=1+=1+=. |思维建模|　对数式化简与求值的策略 策略一 将真数化为底数的指数幂的形式 策略二 将同底对数的和、差、倍合并 策略三 利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用 策略四 利用常用对数中的lg 2+lg 5=1 [即时训练] 3.[多选]下列命题正确的是 (　　) A.已知2a=5，log83=b，则4a-3b= B.2(lg 2)2+3lg 2lg 5+(lg 5)2-lg 2的值为1 C.+lo=0 D.若2m=3n=k且+=2，则k=6 解析:选ABC　因为2a=5，则a=log25，且b=log83=log23，所以a-3b=log25-log23=log2， 则4a-3b=22(a-3b)===，故A正确; 2(lg 2)2+3lg 2lg 5+(lg 5)2-lg 2=(2lg 2+lg 5)(lg 2+lg 5)-lg 2=2lg 2+lg 5-lg 2 =lg 2+lg 5=1，故B正确; 原式=+lo()-1=1-1=0，故C正确; 因为2m=3n=k，则m=log2k，n=log3k，则=logk2，=logk3，所以+=logk2+logk3=logk6=2，所以k=，故D错误.故选ABC. 4.(2024·全国甲卷)已知a>1且-=-，则a=　　　　.  解析:根据题意有-=-，即3loga2-=-.设t=loga2(a>1)，则t>0，故3t-=-，解得t=(舍负)，所以loga2=，所以=2，解得a=64. 答案:64 5.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知函数f(x)=ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)=8，则a=　　　　.  解析:由f(ln 2)f(ln 4)=8，得aln 2·aln 4=8，即aln 2+ln 4=a3ln 2=8，也即(aln 2)3=23，∵a>0且a≠1，∴aln 2=2，两边取对数得ln 2·ln a=ln 2，解得a=e. 答案:e 题点三　指数与对数运算的实际应用 [例3]　假设某水果店销售的大荔冬枣的单价y(单位:元/斤)与单果的直径x(单位: mm)满足关系式y=eax+b.当单果的直径为16 mm时，大荔冬枣的单价为8元/斤;当单果的直径为40 mm时，大荔冬枣的单价为24元/斤.当单果的直径为24 mm时，大荔冬枣的单价约为(参考数据:≈2.08，≈1.44) (　　) A.11.5元/斤 B.12.5元/斤 C.10元/斤 D.14元/斤 解析:选A　根据题意有当单果的直径为16 mm时，大荔冬枣的单价为8元/斤; 当单果的直径为40 mm时，大荔冬枣的单价为24元/斤，所以8=e16a+b，24=e40a+b，两式相除可得e24a=3，所以ea=，所以8=eb=eb，解得eb=，当单果的直径为24 mm时，大荔冬枣的单价为e24a+b=eb=3×=8×≈8×1.44≈11.5(元/斤). |思维建模|　解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 (1)理解题意，弄清楚题目条件与所求之间的关系; (2)运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求. [即时训练] 6.(2025·济南模拟)[多选]某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(单位: ppm)与排气时间t(单位:分钟)之间满足函数关系y=aeRt(a，R为常数，e是自然对数的底数).若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm，人就可以安全进入车库了，则下列说法正确的是 (　　) A.a=128 B.R=ln 2 C.排气12分钟后浓度为16 ppm D.排气32分钟后，人可以安全进入车库 快审准解:由题意列式，求出a=128，R=-ln 2，即可判断A，B;可得函数解析式，将t=12代入，即可判断C;结合解析式列出不等关系，求出人可以安全进入车库的排气时间，判断D. 解析:选ACD　设f(t)=aeRt， 代入(4，64)，(8，32)，得 解得a=128，R=-ln 2，A正确，B错误. 此时f(t)=128(eR)t=27·()t=，所以f(12)=24=16(ppm)，C正确. 当f(t)≤0.5时，≤0.5=2-1，得7-≤-1，所以t≥32，所以排气32分钟后，人可以安全进入车库，D正确.故选ACD. 数智赋能:电子版随堂训练(指、对换算的应用)，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.(2025·肇庆一模)log318-log32= (　　) A.4 B.2log32 C.log32 D.2 解析:选D　log318-log32=log39=2. 2.若a≥0，b∈R，则化简++的结果是 (　　) A.3+a+b B.3+a+|b| C.2+a+b D.2+a+|b| 解析:选B　由=3，()2=a，=|b|可知，++=3+a+|b|. 3.若a，b是正整数，且满足=，则a与b的关系正确的是 (　　) A.a+3=8b B.3a=8b C.a+3=b8 D.3a=8+b 解析:选A　由题意知，正整数a，b，且满足=，可得8×2a=，即23×2a=28b，所以3+a=8b. 4.若·t=6×，则t= (　　) A.60 B.45 C.30 D.15 解析:选C　因为·t=6×，所以t====3×=3×=30. 故选C. 5.若log2m+log4n=2，则m2n= (　　) A.3 B.4 C.9 D.16 解析:选D　因为log2m+log4n=2，所以log2m+log2n=2，故得log2m+log2=log24，化简得log2(m)=log24，所以m=4，故m2n=16，故D正确. 6.(2024·南平二模)对任意非零实数α，当|x|充分小时，(1+x)α≈1+α·x， 如==2≈2×=2.25，用这个方法计算的近似值为 (　　) A.1.906 B.1.908 C.1.917 D.1.919 解析:选C　===2=2×=2×≈2×≈1.917. 7.放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为M0，质量M与时间T(单位:天)的函数关系式为M=M0·(其中H为常数)，若锶89的半衰期(质量衰减一半所用时间)约为50天，则质量为M0的锶89经过30天衰减后质量约变为(参考数据:20.6≈1.516) (　　) A.0.72M0 B.0.70M0 C.0.67M0 D.0.66M0 解析:选D　由题意，锶89半衰期(质量衰减一半所用的时间)所用时间为50天， 即M0=M0·，则H=50，所以质量为M0的锶89经过30天衰减后，质量大约为M0·=M0·=M0·≈M0×≈0.66M0. 二、多选题 8.已知2log3+log3b=0，则下列等式一定正确的是 (　　) A.(2a)2=2b B.a·eln a=b C.b=2a D.log2a=log8ab 快审准解:根据2log3+log3b=0可推出b=a2，依此并结合对数运算，一一判断各选项，即可得答案. 解析:选BD　由2log3+log3b=0，得a>0，b>0，且log3a-2+log3b=0， 即log3a-2b=0，∴a-2b=1，b=a2，而此时b=2a不总是成立，故C错误; 由于(2a)2=2b，即22a=2b，∴b=2a，结合以上分析可知A错误; 由于a·eln a=b，即为a·a=a2=b，故B正确; 又log8ab=log8a3=loa3=log2a，故D正确，故选BD. 9.在实际应用中，通常用吸光度A和透光率T来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为A=lg ，下表为不同玻璃材料的透光率: 玻璃材料 材料1 材料2 材料3 T 0.7 0.8 0.9 设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为A1，A2，A3，则下列结论正确的是 (　　) A.A1>A2 B.A2>3A3 C.A1+A3>2A2 D.A2+A3>A1 解析:选AC　由换算公式和题表可知，A1=lg =lg ，A2=lg =lg ，A3=lg =lg ，又因为函数y=lg x在(0，+∞)上单调递增， 所以对于A，A1=lg >lg =A2，说法正确;对于B，3A3=3lg =lg =lg >lg =A2，说法错误;对于C，A1+A3=lg +lg =lg ，2A2=2lg =lg =lg ，A1+A3>2A2，说法正确; 对于D，A2+A3=lg +lg =lg <lg =A1，说法错误. 10.已知2a=5b=10，则下列关系正确的是 (　　) A.ea-b>1 B.a+b<ab C.a+4b<9 D.+>8 快审准解:利用对数的运算法则化简，结合作差法和基本不等式比较大小，依次判断各选项. 解析:选AD　因为2a=5b=10， 所以a=log210=，b=log510=， a-b=-=>0，所以ea-b>e0=1，故A正确; a+b-ab=+-·===0， 所以a+b=ab，故B不正确; 因为a>0，b>0，+=lg 2+lg 5=1， 所以a+4b=(a+4b)=++5≥2+5=9，而a≠2b，故上述不等式等号不成立，则a+4b>9，故C不正确; +=(lg 2+1)2+(lg 5+2)2=(lg 2+1)2+(1-lg 2+2)2=2(lg 2)2-4lg 2+10=2(lg 2-1)2+8>8，故D正确. 11.(2025·永州一模)苏格兰数学家纳·皮尔在研究天文的过程中，找到了简化大数运算的有效工具，发明了对数，这是数学史上的大事件.他的朋友布里格斯构造了以10为底的常用对数lg x，并出版了常用对数表.瑞士数学家欧拉则在1770年指出了“对数源于指数”.根据给出的参考数据和指对数之间的关系，判断下面的结论正确的是 (　　) A.410在区间(106，107)内 B.250是15位数 C.若3-20=k×10m(1≤k< 10，m∈Z)，则m=-9 D.若m100 (m∈N*)是一个70位正整数，则m=5 参考数据: x 2 3 5 7 11 13 17 19 lg x (近似值) 0.301 0.477 0.699 0.845 1.041 1.114 1.230 1.279 解析:选AD　因为410=220①， 所以lg 410=lg 220=20lg 2≈20×0.301=6.02，所以410∈(106，107)，故A正确; 因为lg 250=50lg 2≈50×0.301=15.05②，  所以250∈(1015，1016)，即250是16位数，故B错误; 因为lg 3-20=-20lg 3≈-20×0.477=-9.54，所以3-20≈10-9.54=100.46×10-10，所以m=-10，故C错误; 因为lg m100=100lg m，所以69≤100lg m<70③，  所以0.69≤lg m<0.7，所以m=5，故D正确.故选AD. 习得方略: ①处，由于附有对数的参考数据表，故只需对此等式两边取对数. ②处，要判断250的位数，只需求出lg 250的近似值. ③处，根据“m100(m∈N*)是一个70位正整数”，得m所需要满足的不等式. 三、填空题 12.(2024·北京丰台二模)已知函数f(x)=2x，g(x)=log2(x+1)，那么f(g(0))=　　　　.  解析:易知g(0)=log2(0+1)=0，故f(g(0))=f(0)=20=1. 答案:1 13.(2025·太原模拟)-log37·log79+log153+log155的值为　　　.  解析:-log37·log79+log153+log155=-·+log15(3×5) =32-·+log1515=9-2+1=8. 答案:8 14.(2025·广州模拟)若xy=3，则x+y=　　　　.  解析:当x>0，y>0时，x+y=+=2， 当x<0，y<0时，x+y=-+-=-2. 答案:±2 第八节　指数函数 明确目标 1.了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象，并能应用图象解决一些简单问题. 2.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. 教材再回首 1.指数函数的定义 一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2.指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域为R;值域为(0，+∞) 图象过定点(0，1)，即当x=0时，y=1 当x>0时，恒有y>1; 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1; 当x<0时，恒有y>1 在R上为增函数 在R上为减函数 解题结论拓展 (1)当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论. (2)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象. (3)任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0，1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. (4)指数函数在同一平面直角坐标系中图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b. 典题细发掘 1.(人A必修①P159T1(1))函数y=-2-x与y=2x的图象 (　　) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称 解析:选C　因为y=-2-x，即-y=2-x，所以函数y=-2-x与y=2x的图象关于原点对称. 2.(人B必修②P13T1改编)已知指数函数y=f(x)的图象经过点(-1，2)，那么这个函数也必定经过点 (　　) A. B. C.(1，2) D. 解析:选D　由题意设f(x)=ax，则f(-1)=a-1=2，所以a=，f(x)=，故f(3)=. 3.(人A必修①P117例3改编)设a=1.70.3，b=0.93.1，c=0.91.7，则a，b，c的大小关系是 (　　) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 解析:选C　易得1.70.3>1，y=0.9x在定义域内是减函数，则b<c<1，故a>c>b. 4.(北师大必修①P88例4改编)函数f(x)=3|x|+1的值域为　　　　.  解析:因为|x|≥0，所以3|x|≥1，所以f(x)≥2. 答案:[2，+∞) 题点一　指数函数的图象及应用 [例1] (1)(人A必修①P120T9改编)已知函数y=a+b的图象经过原点，且无限接近直线y=2，但又不与该直线相交，则ab= (　　) A.-1 B.-2 C.-4 D.-9 解析:选C　因为函数y=f(x)=a+b图象过原点，所以a+b=0， 得a+b=0，又该函数图象无限接近直线y=2，且不与该直线相交，所以b=2，则a=-2， 所以ab=-4. (2)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图象如图所示，则g(x)=ax-b的图象可能是 (　　) 解析:选C　根据函数f(x)=(x-a)(x-b)(a>b)的图象可知a>1>b>0，再由指数函数的图象及性质可知，g(x)=ax-b单调递增，可排除A、B;且与y轴交点为(0，1-b)，又1>b>0，所以1-b∈(0，1)，即交于y轴正半轴上，排除D.故选C. |思维建模|　应用指数函数图象的技巧 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除. (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时，应注意分类讨论. [即时训练] 1.[多选]已知实数a，b满足等式3a=6b，则下列可能成立的关系式为 (　　) A.a=b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b 解析:选ABC　由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y=3x和y=6x的图象，如图所示，由图象知，当a=b=0时，3a=6b=1，故A正确;作出直线y=k，当k>1时，若3a=6b=k，则0<b<a，故B正确;作出直线y=m，当0<m<1时，若3a=6b=m，则a<b<0，故C正确;当0<a<b时，易得2b>1，则3a<3b<2b·3b=6b，故D错误. 2.若函数f(x)=|ex-1|-b有一个零点，则实数b的取值集合是　　　　.  快审准解:f(x)=|ex-1|-b的零点问题可转化为y=|ex-1|与y=b图象的交点个数问题，画出相应图象即可得解. 解析:函数f(x)=|ex-1|-b有一个零点，即y=|ex-1|与y=b的图象有1个交点， 作出y=|ex-1|与y=b的大致图象如图所示. 由图可知实数b的取值集合是{0}∪[1，+∞). 答案:{0}∪[1，+∞) 题点二　指数函数的性质及应用 考法(一)　比较大小 [例2]　(2023·天津高考)若a=1.010.5，b=1.010.6，c=0.60.5，则a，b，c的大小关系为 (　　) A.c>a>b 　　B.c>b>a C.a>b>c 　　D.b>a>c 解析:选D　法一　因为函数f(x)=1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1.因为函数g(x)=0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60=1，即c<1.综上，b>a>c.故选D. 法二　因为函数f(x)=1.01x是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a.因为函数h(x)=x0.5在(0，+∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.综上，b>a>c.故选D. |思维建模|　比较指数式大小的方法 (1)直接法:当指数式的底数相同时，直接运用指数函数的单调性比较. (2)转化法:当指数式的底数不同时，利用幂的运算法则将底数统一. (3)中间量法:当指数式的底数不同且不能化为同底时，可利用中间量“1”进行比较. 考法(二)　解简单的指数方程或不等式 [例3]　若不等式>对任意的x∈(1，4)恒成立，则实数a的取值范围为 (　　) A.(-∞，-5) B.(-∞，-5] C.[-1，+∞) D.(-∞，-1) 方法引入:化成同底数指数幂，然后参变分离，可得a的取值范围. 解析:选A　∵>， ∴>，∴x3+x2>x2+x(a+1)，即x3-4x2>x(a+1)，∵x∈(1，4)， ∴x2-4x>a+1，当x=2时，x2-4x有最小值-4，∴a+1<-4⇒a<-5. |思维建模|　解指数不等式的常用方法 (1)性质法:解形如ax>ab的不等式，可借助函数y=ax的单调性求解.如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论. (2)隐含性质法:解形如ax>b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y=ax的单调性求解. (3)图象法:解形如ax>bx的不等式，可利用对应的函数图象求解. 考法(三)　指数函数性质的综合应用 [例4]　已知函数f(x)=ax-(a>0，且a≠1). (1)判断函数f(x)的奇偶性; (2)若f(1)>0，试判断函数f(x)的单调性.并求使不等式f(k·3x)+f(4·3x-9x-1)<0在R上恒成立的k的取值范围; (3)若f(1)=，g(x)=a2x+a-2x-2mf(x)，且g(x)在[1，+∞)上的最小值为-2，求m的值. 解:(1)函数f(x)=ax-的定义域为R，f(-x)=a-x-=-ax=-f(x)， 所以函数f(x)是奇函数. (2)由f(1)>0，a>0，得a->0，则a>1，显然函数y=ax，y=-在R上单调递增， 因此函数f(x)是R上的增函数， 不等式f(k·3x)+f(4·3x-9x-1)<0⇔f(k·3x)<f(9x-4·3x+1)， 则k·3x<9x-4·3x+1⇔k<3x+-4，∀x∈R，3x>0， 于是3x+-4≥2-4=-2，当且仅当x=0时取等号，因此k<-2， 所以k的取值范围是(-∞，-2). (3)由f(1)=，得a-=，而a>0，解得a=2，则f(x)=2x-2-x， g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=-2m(2x-2-x)+2， 令t=2x-2-x，由(2)知，函数t=2x-2-x是R上的增函数，当x≥1时，t≥，y=t2-2mt+2.当m≤时，函数y=t2-2mt+2在上单调递增， 当t=时，ymin=-3m+2=-2，解得m=，与m≤矛盾;当m>，t=m时，ymin=2-m2=-2，则m=2.综上，m=2. |思维建模|　指数型函数的应用技巧 (1)函数y=af(x)(a>0，且a≠1)的单调性可根据复合函数“同增异减”的规律进行判断，其最值要结合单调性转化为f(x)的最值进行分析求解. (2)对于函数y=f(ax)(a>0，且a≠1)，一般要通过换元令ax=t，化为函数y=g(t)，再研究其各种性质. [即时训练] 3.已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是 (　　) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 解析:选A　易知c===，又y=在定义域上单调递减，<1<，所以b>>c.易知y=(x>0)单调递增，>>，则a=>>=b.综上a>b>c. 4.[多选]已知函数f(x)=，则 (　　) A.函数f(x)的定义域为R B.函数f(x)的值域为(0，2] C.函数f(x)在[-2，+∞)上单调递增 D.f()>f(4) 解析:选ABD　令u=x2+4x+3=(x+2)2-1，则u∈[-1，+∞). f(x)的定义域为R，故A正确; 因为y=，u∈[-1，+∞)的值域为(0，2]，所以函数f(x)的值域为(0，2]，故B正确; 因为u=x2+4x+3=(x+2)2-1在[-2，+∞)上单调递增，且y=在u∈[-1，+∞)上单调递减， 所以根据复合函数单调性法则，得函数f(x)在[-2，+∞)上单调递减，故C不正确; 由于函数f(x)在[-2，+∞)上单调递减，则f()>f(4)，故 D正确. 5.已知0<a<1，f(x)=，则使f(x)>1成立的一个充分不必要条件是 (　　) A.-2<x<0 B.-1<x<0 C.x<1 D.x<-2或x>1 快审准解:解指数不等式，再结合选项及充分不必要条件的定义即可解决. 解析:选B　f(x)>1⇔>a0，因为0<a<1，且函数y=ax在R上单调递减， 所以x2+2x<0，解得-2<x<0，因为-1<x<0能推出-2<x<0，-2<x<0不能推出-1<x<0，所以使f(x)>1成立的一个充分不必要条件为-1<x<0. 数智赋能:电子版随堂训练(指数函数的综合问题)，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.函数f(x)=ax-2+1(其中a>0，a≠1)的图象恒过的定点是 (　　) A.(2，1) B.(2，2) C.(1，1) D.(1，2) 解析:选B　令x-2=0，得x=2，f(2)=2，故选B. 2.函数f(x)=的值域为 (　　) A.(0，1) B.(0，3) C.(0，3] D.(3，+∞) 解析:选C　由t=x2-2x=(x-1)2-1∈[-1，+∞)，则y=∈(0，3]， 所以f(x)=的值域为(0，3]. 3.已知函数f(x)=ax-b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是 (　　) A.a>1，b<0 B.a>1，b>0 C.0<a<1，b>0 D.0<a<1，b<0 解析:选D　由题图可知，函数f(x)为减函数，从而有0<a<1. 法一　由f(x)=ax-b的图象，知函数与y轴交点的纵坐标y∈(0，1)，令x=0，得y=a-b，由0<a-b<1，即0<a-b<a0，解得b<0. 法二　函数f(x)的图象可看作是由y=ax(0<a<1)的图象向左平移得到的，则-b>0，即b<0. 4.设函数f(x)=在区间(0，1)上单调递增，则a的取值范围是 (　　) A.(-∞，-2] B.[-2，0) C.(0，2] D.[2，+∞) 解析:选D　y=在R上单调递减，由复合函数单调性可知，t=x(x-a)=x2-ax=-在(0，1)上单调递减，则≥1，解得a≥2. 5.(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)=则不等式f(2-x)>f(x)的解集为 (　　) A.(-∞，-1) B.(-∞，1) C.(-1，+∞) D.(1，+∞) 解析:选B　当x≥0时，y=21+x单调递增，当x<0时，y=-21-x单调递增，且在分界点处-21-0<21+0，所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以f(2-x)>f(x)⇔2-x>x，解得x<1，所以不等式的解集为(-∞，1). 6.已知函数f(x)=在区间(2，3)上单调递减，则正实数a的取值范围为 (　　) A.(0，1) B. C. D. 解析:选C　根据题意，令t=，由正实数a知，函数t=单调递减，因为f(x)在区间(2，3)上单调递减，则f(x)=单调递增，且t= ≥0，所以解得0<a≤，故a的取值范围是. 7.(2024·北京西城三模)已知函数f(x)=2x，若∀x1，x2∈R，且x1<x2，则下列结论错误的是 (　　) A.f(x1)<f(x2) B.f< C.f(x1x2)=f(x1)+f(x2) D. f(x1+x2)=f(x1)f(x2) 解析:选C　由指数函数的单调性可知f(x)在R上单调递增，又x1<x2，所以f(x1)<f(x2)，故A正确;因为>0，>0，所以=≥ ==f， 又x1<x2，所以上式取不到等号，所以>f，故B正确;f(x1x2)=，f(x1)+f(x2)=+，∀x1，x2∈R，x1<x2，f(x1x2)≠f(x1)+f(x2)，故C错误;f(x1+x2)=，f(x1)f(x2)=·==f(x1+x2)，故D正确. 二、多选题 8.以下关于数的大小的结论正确的是 (　　) A.1.72.5<1.73 B.0.8-0.1<0.8-0.2 C.1.50.4<0.82.6 D.> 解析:选AB　对于A，因为指数函数y=1.7x在R上单调递增，且2.5<3，所以1.72.5<1.73，正确; 对于B，因为指数函数y=0.8x在R上单调递减，且-0.1>-0.2，所以0.8-0.1<0.8-0.2，正确; 对于C，因为1.50.4>1.50=1，0<0.82.6<0.80=1，所以1.50.4>0.82.6，错误; 对于D，因为=，且=，所以<，错误. 9.已知函数f(x)=，下列关于函数f(x)的说法正确的是 (　　) A.函数f(x)的图象关于原点对称 B.函数f(x)的值域为(0，1) C.不等式f(x)>的解集是(0，+∞) D.f(x)是增函数 快审准解:根据f(0)=≠0即可判断A;根据e-x+1>1即可判断B;解不等式e-x<1即可判断C;根据函数y=1+e-x的单调性判断D. 解析:选BCD　因为函数f(x)的定义域为R，且f(0)=≠0，所以函数f(x)的图象不关于原点对称，故A错误;因为e-x+1>1，所以f(x)=∈(0，1)，故B正确;由f(x)=>，可得e-x<1，则-x<0，解得x>0，故C正确;对任意的x∈R，y=1+e-x>1，且函数y=1+e-x在R上单调递减，故函数f(x)是增函数，故D正确.故选BCD. 三、填空题 10.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在区间[-2，2]上的最大值和最小值的和为，则a的值为　　　　　. 解析:当0<a<1时，  (易错提醒:忽略对底数分类讨论)函数f(x)=ax在[-2，2]上单调递减，则f(x)max+f(x)min=f(-2)+f(2)=+a2=，解得a=;当a>1时，函数f(x)=ax在[-2，2]上单调递增，则f(x)max+f(x)min=f(2)+f(-2)=a2+=，解得a=.综上，a=或a=. 答案:或 11.若函数f(x)=的图象与平行线y=m，y=n，m≠n有且仅有三个交点，则实数m+n的取值范围是　　　　.  解析:f(x)=的图象如图所示，不妨设m>n，因为f(x)=的图象与平行线y=m，y=n，m≠n有且仅有三个交点，所以由图可知m=1，0<n<1，所以1<m+n<2，即实数m+n的取值范围是(1，2). 答案:(1，2) 12.(2025·宁波模拟)对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0满足f(-x0)=-f(x0)，则称函数f(x)为“倒戈函数”.设f(x)=3x+m-1(m∈R，m≠0)是定义在[-1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是　　　　.  解析:∵f(x)=3x+m-1是定义在[-1，1]上的“倒戈函数”，∴存在x0∈[-1，1]满足f(-x0)=-f(x0)，∴+m-1=--m+1， ∴2m=--+2， 构造函数y=--+2，x0∈[-1，1]， 令t=，t∈，则y=--t+2=2-在上单调递增，在(1，3]上单调递减，∴当t=1时，函数取得最大值0，当t=或t=3时，函数取得最小值-，∴y∈， 又∵m≠0，∴-≤2m<0，∴-≤m<0. 答案: 四、解答题 13.(10分)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求a，b的值;(4分) (2)求该函数的值域.(6分) 解:(1)因为定义域为R的函数f(x)=是奇函数， 所以f(0)==0，解得b=1，即f(x)=. 又由f(-1)=-f(1)，可得=-，解得a=1，所以f(x)=. 经检验a=1，b=1符合题意，所以a=1，b=1. (2)由(1)知，f(x)==-1，可得函数f(x)为减函数. 又因为2x∈(0，+∞)，可得2x+1∈(1，+∞)，所以∈(0，2)，所以f(x)∈(-1，1)， 所以函数f(x)的值域为(-1，1). 14.(10分)已知定义在R上的函数f(x)=2x-k是奇函数. (1)求实数k;(4分) (2)若不等式f(x2+tx)+f(4-x)>0恒成立，求实数t的取值范围.(6分) 解:(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数， ∴f(0)=0，∴1-k=0，则k=1，f(x)=2x-满足f(-x)=-f(x)，∴k=1成立. (2)f(x)=2x-中，函数y=在R上单调递减，y=2x在R上单调递增，故f(x)=2x-在R上单调递增.原不等式化为f(x2+tx)>f(x-4)，∴x2+tx>x-4，即x2+(t-1)x+4>0恒成立，∴Δ=(t-1)2-16<0，解得-3<t<5.∴实数t的取值范围为(-3，5). 第九节　对数函数 明确目标 1.了解对数函数的实际意义，会画对数函数的图象，并能应用图象解决一些简单问题. 2.理解对数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. 教材再回首 1.对数函数的定义 一般地，函数y=logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，+∞). 2.对数函数的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 定义域 (0，+∞) 值域 R 性质 过定点(1，0)，即x=1时，y=0 当x>1时，y<0;当0<x<1时，y>0 当x>1时，y>0;当0<x<1时，y<0 在(0，+∞)上是减函数 在(0，+∞)上是增函数 3.反函数 指数函数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，图象关于直线y=x对称. 　　[微点提醒] (1)不论a>1还是0<a<1，对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象都经过点，(1，0)，(a，1)，且图象都在y轴右侧，据此可以快速画出对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的大致图象. (2)底数a与1的大小关系决定了对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的单调性，因此若底数a的大小不确定，则需要分0<a<1和a>1两种情况讨论. (3)在同一平面直角坐标系内，当a>1时，随a的增大，对数函数的图象愈靠近x轴;当0<a<1时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴.(见下图)(对数函数在第一象限内从左到右底数逐渐增大. ) 典题细发掘 1.(湘教必修①P126T17(1))下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 (　　) A.y=x B.y=lg x 　 C.y=2x D.y= 解析:选D　函数y=10lg x的定义域和值域都为(0，+∞)，只有D符合题意. 2.(北师大必修①P114例7改编)已知a=log0.90.8，b=log0.80.9，c=1.41.9，则 (　　) A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a 解析:选D　因为a=log0.90.8>log0.90.81=2，b=log0.80.9<log0.80.8=1，所以a>2>1>b.因为c=1.41.9<1.42=1.96<2，故1<c<2.故选D. 3.(人B必修②P27例2改编)已知log0.72m<log0.7(m-1)，则实数m的取值范围是　　　　.  解析:∵log0.72m<log0.7(m-1)，∴解得m>1.(易错提醒:忽略对数函数的定义域) 答案:(1，+∞) 4.(人A必修①P140T1改编)函数y=的定义域为　　　　.  解析:要使函数有意义，则需满足解得<x≤1. 答案: 题点一　对数函数的图象及应用 [例1] (1)已知函数f(x)=|log3x|，若b>a>0，且a，b是f(x)的图象与直线y=m(m>0)的两个交点对应的横坐标，则4a+b的最小值为 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:选B　根据题意画出f(x)=|log3x|的图象如图所示， 易知|log3a|=|log3b|=m，又b>a>0，可知b>1>a>0， 所以-log3a=log3b，即log3a+log3b=0，所以ab=1，所以4a+b=+b≥2=4， 当且仅当b=2时，等号成立，即4a+b的最小值为4. (2)对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的大致图象如图所示，已知a的取值为，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是　　　　　　　.  解析:当a>1时，对数函数y=logax的图象是上升的;当0<a<1时，对数函数y=logax的图象是下降的.对数的底数越大，对数函数的图象在x轴上方的部分越远离y轴的正方向，故曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是. 答案: 价值发掘:同一直角坐标系内函数图象在x轴上方部分越远离y轴的对数函数的底数越大. |思维建模| (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)对于一些对数型方程、不等式问题，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合求解. [即时训练] 1.已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是 (　　) A.0<a-1<b<1 B.0<b<a-1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 解析:选A　由题图可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由题图可知-1<logab<0，解得<b<1.综上，0<a-1<b<1. 2.若方程4x=logax在上有解，则实数a的取值范围为　　　　.  解析:若方程4x=logax在上有解，则函数y=4x和函数y=logax的图象在上有交点，由图象知解得0<a≤. 答案: 题点二　对数函数的性质及应用 考法(一)　比较大小 [例2]　已知a=log36，b=log510，c=log714，则 (　　) A.b<a<c B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b 解析:选B　因为a=log36=1+log32=1+，b=log510=1+log52=1+，c=log714=1+log72=1+，且log27>log25>log23>0.所以a>b>c. |思维建模|　比较对数函数值大小的方法 (1)单调性法:在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底. (2)中间量过渡法:寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递”. (3)图象法:根据图象观察得出大小关系. 考法(二)　解不等式 [例3]　已知不等式logx(2x2+1)<logx(3x)<0成立，则实数x的取值范围是　　　　.  解析:原不等式⇔① 或② 解不等式组①得<x<，不等式组②无解， 所以实数x的取值范围是. 答案: |思维建模|　解对数不等式的类型及方法 (1)形如logax>logab的不等式，借助y=logax的单调性求解.如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论. (2)形如logax>b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式再进行求解. 考法(三)　对数函数性质的综合应用 [例4]　已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若f(1)=1，求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的最小值为0，求a的值. 快审准解:(1)先根据f(1)=1，求出a，再由复合函数的单调性求单调区间; (2)f(x)的最小值为0，转化为y=ax2+2x+3的最小值为1，结合二次函数的图象与性质求解. 解:(1)因为f(1)=1，所以log4(a+5)=1，因此a+5=4，解得a=-1. 所以f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0，得-1<x<3，即函数f(x)的定义域为(-1，3). 令g(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，x∈(-1，3)， 则g(x)在(-1，1]上单调递增，在[1，3)上单调递减. 又y=log4x在(0，+∞)上单调递增， 所以f(x)的单调递增区间是(-1，1]，单调递减区间是[1，3). (2)若f(x)的最小值为0，则y=ax2+2x+3有最小值，且最小值为1，因此有 解得a=.故a的值为. |思维建模| 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题:一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用. [即时训练] 3.(2025·泰安模拟)已知a=log0.20.3，b=ln a，c=2a，则a，b，c的大小关系为 (　　) A.c>b>a B.a>b>c C.b>a>c D.c>a>b 解析:选D　因为y=log0.2x在(0，+∞)上单调递减，所以log0.21<log0.20.3<log0.20.2，即0<a<1.因为y=ln x在(0，+∞)上单调递增，所以ln a<ln 1，即b<0.因为y=2x在R上单调递增，所以2a>20，即c>1.综上，c>a>b. 4.已知对数函数y=logax(a>0，且a≠1)，且loga<loga，则关于x的不等式loga(2x-3)>0的解集为　　　　　.  解析:因为loga<loga，当0<a<1时，则有>，无解;当a>1时，则有<，解得a>1，所以a>1，则对数函数y=logax(a>0，且a≠1)在(0，+∞)上单调递增.又关于x的不等式loga(2x-3)>0，所以2x-3>1，解得x>2.所以关于x的不等式loga(2x-3)>0的解集为(2，+∞). 答案:(2，+∞) 5.已知函数f(x)=loga(2-a2x)在区间[3，7]上单调递增，则a的取值范围为　　　　　.  解析:令u(x)=2-a2x(a>0)，则u(x)=2-a2x(a>0)在[3，7]上单调递减，所以由复合函数的单调性可知y=logau在[3，7]上单调递减，则解得0<a<，即a的取值范围为. 答案: 数智赋能:电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.已知函数f(x)=1+loga(2x-3)(a>0，且a≠1)恒过定点(m，n)，则m+n= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选C　令2x-3=1，解得x=2，此时f(2)=1+loga1=1，所以f(x)恒过定点(2，1)，则m=2，n=1，所以m+n=3. 2.已知a=log23，b=log46，c=log49，则 (　　) A.a=b<c B.a<b<c C.a=c>b D.a>c>b 解析:选C　因为a=log23=lo32=log49=c，又y=log4x在(0，+∞)上单调递增，6<9，所以log46<log49，所以a=c>b. 3.(2024·深圳二模)已知a>0，且a≠1，则函数y=loga的图象一定经过 (　　) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 快审准解:由函数y=loga过点(0，-1)，分类可解. 解析:选D　当x=0时，y=loga=-1，则当0<a<1时，函数图象过第二、三、四象限，如图①; 当a>1时，函数图象过第一、三、四象限，如图②. 所以函数y=loga的图象一定经过第三、四象限. 4.(2025·南通模拟)已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1，2)上单调递减，则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞，0) B.[-1，0) C.(-1，0) D.[-1，+∞) 解析:选B　令t=ax+2，y=ln t，因为函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1，2)上单调递减，且y=ln t在定义域内单调递增，所以解得-1≤a<0，故选B. 5.已知函数f(x)=log2(x+1)-|x|，则不等式f(x)>0的解集是 (　　) A.(-1，1) B.(0，1) C.(-1，0) D.⌀ 解析:选B　不等式f(x)>0⇔log2(x+1)>|x|，分别画出函数y=log2(x+1)和y=|x|的图象如图所示.由图象可知y=log2(x+1)和y=|x|的图象有两个交点，分别是(0，0)和(1，1)，由图象可知log2(x+1)>|x|的解集是(0，1)，即不等式f(x)>0的解集是(0，1). 6.(2024·南昌三模)若=log2a，=b2，=2-c，则正数a，b，c的大小关系是 (　　) A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c 解析:选B　由=log2a，知a为y=与y=log2x交点的横坐标，由=b2，知b为y=与y=x2交点的横坐标，由=2-c，即=，知c为y=与y=交点的横坐标，在同一平面直角坐标系中作出y=，y=log2x，y=x2，y=的图象如图所示.由图可知，c<b<a. 二、多选题 7.关于函数f(x)=ln(ex+e-x-2)，以下说法正确的是 (　　) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)在区间(0，+∞)单调递增 D.f(x)在区间(0，+∞)单调递减 解析:选BC　由e-x>0，ex>0，得e-x+ex≥2，当且仅当x=0时，等号成立，则f(x)的定义域为{x|x≠0}，∵f(-x)=ln(e-x+ex-2)=f(x)，∴f(x)为偶函数，故A错误，B正确;当x>0时，函数t=ex>1且单调递增，函数u=t+-2>0且单调递增，函数y=ln u单调递增，∴函数f(x)在(0，+∞)单调递增，故C正确，D错误. 8.(2025·重庆模拟)若b>c>1，0<a<1，则下列结论正确的是 (　　) A.ba<ca B.logba>logca C.cba<bca D.blogca>clogba 解析:选BC　∵0<a<1，幂函数y=xa在(0，+∞)上单调递增，且b>c>1，∴ba>ca，故A错误;∵0<a<1，∴函数y=logax在(0，+∞)上单调递减，又∵b>c>1，∴logab<logac<loga1=0，∴0>>，即0>logba>logca，故B正确;∵0<a<1，则a-1<0，∵幂函数y=xa-1在(0，+∞)上单调递减，且b>c>1，∴ba-1<ca-1，∴cba<bca，故C正确;由B可知，0>logba>logca，∴0<-logba<-logca，∵b>c>1，∴c(-logba)<b(-logca)，∴blogca<clogba，故D错误. 9.已知函数f(x)=ln(x-2)+ln(6-x)，则 (　　) A.f(x)在(2，6)上单调递减 B.f(x)在(2，6)上的最大值为2ln 2 C.f(x)在(2，6)上无最小值 D.f(x)的图象关于直线x=4对称 解析:选BCD　由f(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln[(x-2)(6-x)]，得解得2<x<6，所以函数f(x)的定义域为(2，6).令t=(x-2)(6-x)，则y=ln t，二次函数t=(x-2)(6-x)=-x2+8x-12的图象开口向下，其对称轴为直线x=4，所以t=(x-2)(6-x)在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，所以t=(x-2)(6-x)∈(0，4]，又函数y=ln t在t∈(0，4]上单调递增;由复合函数的单调性，可得f(x)在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，故A错误;当t∈(0，4]时，y=ln t∈(-∞，2ln 2]，即f(x)∈(-∞，2ln 2]，所以f(x)在(2，6)上的最大值为2ln 2，无最小值，故B、C正确;因为f(4-x)=ln(4-x-2)+ln(6-4+x)=ln(2-x)+ln(2+x)，f(4+x)=ln(4+x-2)+ln(6-4-x)=ln(2+x)+ln(2-x)，即f(4-x)=f(4+x)，所以f(x)的图象关于直线x=4对称，故D正确. 三、填空题 10.不等式lo(x2-x-2)>lo(x-1)-1的解集为　　　　.  解析:由对数函数的性质可得 解得x>2.∵lo(x2-x-2)>lo(x-1)-1=lo[2(x-1)]，且y=lox为减函数， ∴解得2<x<3， 所以不等式的解集为(2，3). 答案:(2，3) 11.函数f(x)=log2·log4(4x2)的最小值为　　　.  解析:函数定义域是(0，+∞)，log2x∈R，f(x)=log2·log4(4x2)=(log2x-2)(1+log4x2)=(log2x-2)(1+log2x)=(log2x)2-log2x-2=-，所以当x=时，f(x)min=-. 答案:- 四、解答题 12.(10分)已知函数f(x)=ln(x+2)+ln(x-2). (1)求f(x)的定义域;(3分) (2)求关于x的不等式f(x)≥ln(3x)的解集.(7分) 解:(1)由解得x>2， 所以f(x)的定义域为(2，+∞). (2)由f(x)=ln(x+2)+ln(x-2)=ln(x2-4)，x∈(2，+∞)，得不等式f(x)≥ln(3x)可化为ln(x2-4)≥ln(3x). 因为y=ln x是增函数，所以 解得故x≥4. 故不等式f(x)≥ln(3x)的解集为{x|x≥4}. 13.(10分)已知函数f(x)=log2[4x+(a+2)2x+a+1]. (1)若a=0，求满足2<f(x)<4的x的取值范围;(4分) (2)若对任意x≥1，f(x)≥x恒成立，求a的取值范围.(6分) 解:(1)当a=0时，f(x)=log2(4x+2·2x+1)=2log2(2x+1).易知f(x)的定义域为R. 由不等式2<f(x)<4，得1<log2(2x+1)<2，即2<2x+1<4，解得0<x<log23， 所以不等式2<f(x)<4的解集为(0，log23). (2)由不等式f(x)≥x，得log2[4x+(a+2)2x+a+1]≥log2(2x)， 等价于4x+(a+2)2x+a+1≥2x对任意x∈[1，+∞)恒成立. 设t=2x≥2，则t2+(a+1)t+a+1≥0对任意t≥2恒成立， 设g(t)=t2+(a+1)t+a+1， 当-≤2，即a≥-5时，g(2)=4+2(a+1)+a+1≥0，解得a≥-;当->2，即a<-5时，Δ=(a+1)2-4(a+1)≤0，无解.综上，a的取值范围是. 第十节　函数的图象 明确目标 1.会画简单的函数图象，理解函数图象的作用. 2.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题. 教材再回首 1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线，具体步骤如下: (1)确定函数的定义域; (2)化简函数解析式; (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等); (4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线. 2.利用图象变换法作函数图象 平移变换 y=f(x)的图象y=f(x+a)的图象 y=f(x)的图象y=f(x-a)的图象 y=f(x)的图象y=f(x)+h的图象 y=f(x)的图象y=f(x)-h的图象 对称变换 y=f(x)的图象y=-f(x)的图象 y=f(x)的图象y=f(-x)的图象 y=f(x)的图象y=f(x)的反函数的图象 y=f(x)的图象y=-f(-x)的图象 翻折变换 y=f(x)的图象y=|f(x)|的图象 y=f(x)的图象y=f(|x|)的图象 伸缩变换 y=f(x)的图象y=f(ax)的图象 y=f(x)的图象y=Af(x)的图象 解题结论拓展 (1)“左加右减”只针对x本身，与x的系数没有关系，如从y=f(-2x)的图象到y=f(-2x+1)的图象是向右平移个单位长度，即将x变成x-，这与三角函数中的图象变换是一致的.如把函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得到y=sin的图象. (2)“上加下减”只针对函数值f(x). 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y=f(1-x)的图象，可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到. (　　) (2)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称. (　　) (3)当x∈(0，+∞)时，函数y=f(|x|)的图象与y=|f(x)|的图象相同. (　　) (4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x)，则函数f(x)的图象关于直线x=1对称. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2.(北师大必修①P56例3改编)已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是 (　　) A.y=f(|x|) B.y=|f(x)| C.y=f(-|x|) D.y=-f(-|x|) 解析:选C　题图②中的图象是在题图①的基础上，去掉函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧部分翻折到y轴右侧，y轴左侧部分不变得来的，∴题图②中的图象对应的函数可能是y=f(-|x|). 3.(人A必修①P82“探究”改编)函数f(x)=的图象关于 (　　) A.y轴对称 B.x轴对称 C.原点对称 D.直线y=x对称 解析:选A　函数f(x)的定义域为R，且f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称. 4.(苏教必修①P111T3改编)若函数f(x)=的图象如图所示，则f(-3)=　　　　.  解析:由f(-1)=ln(-1+a)=0，得a=2.又直线y=ax+b过点(-1，3)，所以2×(-1)+b=3，得b=5.故当x<-1时，f(x)=2x+5，则f(-3)=2×(-3)+5=-1. 答案:-1 题点一　作函数的图象 [例1]　作出下列函数的图象: (1)y=;(2)y=|log2(x+1)|; (3)y=x2-2|x|-1;(4)y=. 解:(1)先作出y=的图象，保留图象中x≥0的部分，再作出y=的图象中x>0的部分关于y轴的对称部分，即得y=的图象，如图①实线部分. (2)将函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象，如图②. (3)因为y=且函数为偶函数，所以先用描点法作出[0，+∞)上的图象，再根据对称性作出(-∞，0)上的图象，如图③(左栏). (4)原函数解析式可化为y=2+，故函数图象可由函数y=的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图④(左栏). |思维建模|　函数图象的画法 直接法 当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象 转化法 含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象 图象 变换法 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称、伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形.应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响 [即时训练] 1.作出下列函数的图象: (1)y=2x+1-1;(2)y=|lg(x-1)|. 解:(1)将y=2x的图象向左平移1个单位长度，得到y=2x+1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y=2x+1-1的图象，如图①所示. (2)首先作出y=lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y=lg(x-1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y=|lg(x-1)|的图象，如图②所示(实线部分). 题点二　函数图象的辨识 [例2]　(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8，2.8]的图象大致为 (　　) 解析:选B　由题知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，f(-x)=-(-x)2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x)，所以函数f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A、C;f(1)=-1+sin 1>-1+sin=-1+->0，排除D.故选B. |思维建模|　辨别函数图象的几个关键点 (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置;从函数的值域，判断图象的上下位置; (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势; (3)从函数的周期性，判断图象的循环往复; (4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性; (5)寻找函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. [即时训练] 2.如图所对应的函数的解析式可能是 (　　) A.f(x)=(x-1)ln|x| B.f(x)=xln|x| C.f(x)=(x-1)ln x D.f(x)=(x-1)ex(x≠0) 解析:选A　由题图可知，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)，而C中函数的定义域为(0，+∞)，故排除C;对于B，由f(x)=xln|x|，f(-x)=-xln|x|，所以f(-x)=-f(x)，即函数为奇函数，排除B;对于D，当0<x<1时，x-1<0，ex>0，所以f(x)=(x-1)ex<0，排除D. 3.已知函数f(x)=则下列图象错误的是 (　　) 解析:选D　法一　当-1≤x≤0时，f(x)=-2x，表示一条线段，且线段经过(-1，2)和(0，0)两点.当0<x≤1时，f(x)=，表示一段曲线，函数f(x)的图象如图所示.f(x-1)的图象可由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到，故A正确;f(-x)的图象可由f(x)的图象关于y轴对称后得到，故B正确;由于f(x)的值域为[0，2]，故f(x)=|f(x)|，故|f(x)|的图象与f(x)的图象完全相同，故C正确;很明显D中f(|x|)的图象不正确. 法二　因为f(1)=1，所以f(|1|)=f(1)=1，所以y=f(|x|)的图象过点(1，1)，但D中的图象不过(1，1)，故D错误. 题点三　函数图象的应用 考法(一)　研究函数的性质 [例3]　(多选)已知函数f(x)=f(-x)，且f(x)的对称中心为(1，0)，当x∈[2，3]时，f(x)=3-x，则下列选项正确的是 (　　) A.f(x)的最小值是-1 B.f(x)在(-3，-2)上单调递减 C.f(x)的图象关于直线x=-2对称 D.f(x)在(3，4)上的函数值大于0 解析:选AC　根据f(x)=f(-x)可得f(x)为偶函数，由f(x)的对称中心为(1，0)，可知f(x)的图象关于(1，0)对称，结合当x∈[2，3]时，f(x)=3-x，可画出f(x)的部分图象如图所示. 由图象可知f(x)的最小值是-1，f(x)在(-3，-2)上单调递增，f(x)的图象关于直线x=-2对称，f(x)在(3，4)上的函数值小于0，故A、C正确，B、D错误.故选AC. 考法(二)　解不等式 [例4]　(苏教必修①P74T12改编)如图分别为函数y=f(x)和y=g(x)的图象，则不等式f(x)·g(x)<0的解集为 (　　) A.(-∞，-1)∪(-1，0) B.(-∞，-1)∪(0，1) C.(-1，0)∪(1，+∞) D.(0，1)∪(1，+∞) 解析:选D　由题意及题图，知当f(x)>0时，x∈(-1，0)∪(1，+∞)，此时需满足g(x)<0，即x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)，故x∈(1，+∞);当f(x)<0时，x∈(-∞，-1)∪(0，1)，此时需满足g(x)>0，即x∈(-1，1)，故x∈(0，1).综上所述，x∈(0，1)∪(1，+∞).故选D. |思维建模|　 (1)从图象的最高点、最低点分析最值、极值. (2)从图象的对称性分析奇偶性. (3)从图象的走向趋势分析单调性、周期性. (4)当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式转化为两函数图象的位置关系或函数图象与坐标轴的位置关系，利用数形结合求解. 考法(三)　求参数的取值范围 [例5]　已知函数f(x)=若函数y=f(x)的图象与直线y=-x+a有两个不同的交点，则实数a的取值范围是　　　　.  解析:分别作出函数y=f(x)与y=-x+a的大致图象，如图所示.数形结合可知，当a≤1时，两个函数的图象有两个不同的交点，故实数a的取值范围是(-∞，1]. 答案:(-∞，1] |思维建模|　求解函数图象应用问题的思维流程 [即时训练] 4.把函数f(x)=ln|x-a|的图象向左平移2个单位长度，所得函数在(0，+∞)上单调递增，则a的最大值为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　把函数f(x)=ln|x-a|的图象向左平移2个单位长度，得到函数g(x)=ln|x+2-a|的图象，则函数g(x)在(a-2，+∞)上单调递增，又因为所得函数在(0，+∞)上单调递增，所以a-2≤0，即a≤2.所以a的最大值为2. 5.已知函数f(x)=则不等式f(2a2-1)>f(3a+4)的解集为 (　　) A.(-∞，-1) B. C. D.(-∞，-1)∪ 解析:选C　作出函数y=f(x)的图象，如图所示.由图象可知，y=f(x)在R上单调递减，由f(2a2-1)>f(3a+4)，可得2a2-1<3a+4，解得-1<a<，所以不等式f(2a2-1)>f(3a+4)的解集为. 数智赋能:电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.要得到函数y=22x-1的图象，只需将指数函数y=4x的图象 (　　) A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析:选D　因为y=4x=22x，22x-1=，所以为了得到函数y=22x-1的图象，只需将指数函数y=4x的图象向右平移个单位长度，故选D. 2.下列函数中，其图象与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是 (　　) A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x) 解析:选B　函数y=f(x)的图象与函数y=f(a-x)的图象关于直线x=对称，令a=2可得与函数y=ln x的图象关于直线x=1对称的是函数y=ln(2-x)的图象.故选B. 3.若函数y=f(x)的图象如图1所示，则图2对应的函数可能是 (　　) A.y=f(1-2x) B.y=f C.y=-f(1-2x) D.y=-f 解析:选A　由y=f(x)的定义域为(-1，+∞)知，y=f中1-x>-1，x<4，不符合题图2，故排除B、D;当x=时，y=-f(0)>0，不满足题图2，故C错误;将函数y=f(x)的图象关于y轴作对称图形，得到y=f(-x)的图象，再向右平移1个单位长度得到y=f(1-x)的图象，最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，得到函数y=f(1-2x)的图象可能为题图2.故选A. 4.已知二次函数y=f(x)的图象如图所示，则函数y=g(x)=ex·f(x)的图象大致为 (　　) 解析:选A　由g(x)=ex·f(x)，得f(x)与g(x)的零点相同，所以可排除C;因为当x→+∞时，f(x)→-∞，ex→+∞，所以g(x)=ex·f(x)→-∞，排除B和D，故选A. 5.函数f(x)=的大致图象是 (　　) 解析:选B　易知函数f(x)的定义域为{x|x≠0且x≠±1}.因为f(-x)==-，所以函数f(x)为非奇非偶函数，排除A;易知当x>1时，f(x)>0，排除C;因为f=，f=，所以f<f，排除D.故选B. 反思领悟:观察B、D，发现它们的主要区别是当x∈(-1，0)∪(0，1)时，f(x)的图象在y轴两侧的变化趋势不同，故联想到利用特殊值进行检验. 6.若关于x的不等式4x-logax≤在x∈上恒成立，则实数a的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　由题意知关于x的不等式4x-≤logax在x∈上恒成立， 所以当x∈时，函数y=4x-的图象不在y=logax的图象的上方，在同一平面直角坐标系中作出y=4x-与y=logax的大致图象，如图所示. 由图可知解得≤a<1.故选A. 7.已知函数y=ex和y=ln x的图象与直线y=2-x 交点的横坐标分别为a，b，则a+b= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 快审准解:作出函数y=ex和y=ln x的图象以及直线y=2-x的图象，利用反函数的性质即可判断. 解析:选B　作出函数y=ex和y=ln x的图象以及直线y=2-x的图象，如图所示， 设函数y=ex和y=ln x的图象与直线y=2-x交点分别为A，B，则其横坐标分别为a，b，由题意知A(a，ea)，B(b，ln b)，也即A(a，2-a)，B(b，2-b)，由于函数y=ex和y=ln x互为反函数，二者图象关于直线y=x对称，而A，B为y=ex和y=ln x的图象与直线y=2-x的交点，故A，B关于y=x对称，故a=2-b，∴a+b=2. 二、多选题 8.(2025·合肥一模)函数f(x)=x3-(m∈R)的图象可能是 (　　) 解析:选ABD　由题意可知，函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， 当m>0时，f'(x)=3x2+>0，函数f(x)在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递增，故B正确; 当m=0时，f(x)=x3，f'(x)=3x2>0，所以f(x)在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递增，故D正确; 当m<0时，若x>0时，则f(x)=x3->0;若x<0时，则f(x)=x3-<0，故A正确，C错误. 9.定义min{a，b}=设f(x)=min{(x-1)2，x+1}，则下列结论正确的是 (　　) A.f(x)有最大值，无最小值 B.当x≤0时，f(x)的最大值为1 C.不等式f(x)≤1的解集为(-∞，2] D.f(x)的单调递减区间为(0，1) 解析:选BCD　由题意得f(x)=作出函数f(x)的图象，如图所示，根据图象，可得f(x)无最大值，无最小值，所以A错误;根据图象得，当x≤0时，f(x)的最大值为1，所以B正确;由f(x)≤1，得(x-1)2≤1，解得0≤x≤2，结合图象，得不等式f(x)≤1的解集为(-∞，2]，所以C正确;由图象得，f(x)的单调递减区间为(0，1)，所以D正确. 三、填空题 10.将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到函数　　　　的图象.  解析:y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度，是将f(-x)中的x变成x-1，即得到y=f(-x+1)的图象. 答案:y=f(-x+1) 11.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解，则实数a的取值范围是　　　　.  解析:由题意得a=|x|+x，令y=|x|+x=其图象如图所示，故要使a=|x|+x只有一个解，则a>0. 答案:(0，+∞) 四、解答题 12.(10分)已知函数f(x)=|x|(x-a)，a>0. (1)作出函数f(x)的图象;(5分) (2)写出函数f(x)的单调区间;(2分) (3)当x∈[0，1]时，由图象写出f(x)的最小值.(3分) 解:(1)f(x)=其图象如图所示. (2)由图知，f(x)的单调递增区间是(-∞，0)，;单调递减区间是. (3)由图象知，当>1，即a>2时，f(x)min=f(1)=1-a;当0<≤1，即0<a≤2时，f(x)min=f=-.综上，f(x)min= 13.(10分)已知函数f(x)=2x-ax+1(a∈R). (1)若a∈Z，且f(4)>0，求a的最大值;(3分) (2)当a=3时，求函数f(x)的零点;(3分) (3)若对任意x∈(-∞，1)都有f(x)>0，求a的取值范围.(4分) 解:(1)因为函数f(x)=2x-ax+1(a∈R)， 所以f(4)=24-4a+1>0，即a<， 又a∈Z，所以a的最大值为4. (2)当a=3时，f(x)=2x-3x+1，由f(x)=2x-3x+1=0，可得2x=3x-1. 作出函数y=2x与y=3x-1的图象，如图1所示. 由图可知y=2x与y=3x-1的图象有两个交点， 即函数f(x)有两个零点.又因为f(1)=2-3+1=0，f(3)=23-3×3+1=0， 故函数f(x)的零点为1，3. (3)因为对任意x∈(-∞，1)都有f(x)>0， 所以2x>ax-1在(-∞，1)上恒成立， 即当x∈(-∞，1)时，函数y=2x的图象恒在直线y=ax-1的上方， 作出函数y=2x，x∈(-∞，1)与y=ax-1的大致图象，如图2所示. 则a≥0，且a-1≤2，所以0≤a≤3， 即a的取值范围为[0，3]. 第十一节　 函数与方程 明确目标 1.理解函数的零点与方程解的关系.了解函数零点存在定理，并能简单应用. 2.能借用工具用二分法求方程的近似解，了解二分法求方程的近似解具有一般性. 教材再回首 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y=f(x)有零点. (3)函数零点的判定(函数零点存在定理) 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解. 2.二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 3.二次函数图象与零点的关系 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 与x轴的交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无 零点个数 2 1 0 解题结论拓展 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上具有单调性，则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)=0的实根. (2)由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)f(b)<0，如图所示，所以f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 典题细发掘 1.(人B必修①P126T3改编)若函数f(x)=+a的零点为1，则实数a的值为 (　　) A.-2 B.- C. D.2 解析:选B　由题意知，f(1)=+a=0，解得a=-. 2.(人A必修①P155T2改编)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为 (　　) x 1 2 3 4 5 6 y 126.1 15.15 -3.92 16.78 -45.6 -232.64 A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选B　由题表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点. 3.(苏教必修①P253T8改编)已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为 (　　) A.2 B.-2，0 C. D.0 解析:选D　当x≤1时，令f(x)=2x-1=0，解得x=0;当x>1时，令f(x)=1+log2x=0，解得x=(舍去).综上，函数f(x)的零点为0. 题点一　函数零点所在区间的判定 [例1]　 (1)已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表，则下列结论正确的是 (　　) x 1 2 3 4 5 6 y 10 8 -3 2 -7 -9 A.f(x)在(1，6)内恰有3个零点 B.f(x)在(1，6)内至少有3个零点 C.f(x)在(1，6)内最多有3个零点 D.f(x)在(1，6)内不可能有4个零点 解析:选B　依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0， ∴根据函数零点存在定理可知，在区间(2，3)，(3，4)及(4，5)内均至少含有一个零点， 故函数在区间(1，6)内的零点至少有3个，故选B. (2)[多选]函数f(x)=2x2-4ln x-3，则 (　　) A.f(x)在内有零点 B.f(x)在内有零点 C.f(x)在内有零点 D.f(x)在(e，e2)内有零点 解析:选AC　作出函数y=2x2-3和y=4ln x的图象，如图所示，由图象可知，f(x)最多有两个零点，因为f=+4-3>0，f()=2e-2-3>0，f(1)=2-3<0，f(e)=2e2-4-3>0，f(e2)=2e4-8-3>0，所以ff(1)<0，f(1)f()<0，由函数零点存在定理可知f(x)在内有零点，在(1，)内有零点. |思维建模|　确定函数零点所在区间的方法 利用函数 零点存在 定理 首先看函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0，若有，则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点 数形 结合法 通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 [即时训练] 1.已知函数f(x)=x+2x的零点在区间(n，n+1)内，n∈Z，则n的值为　　　　.  解析:因为函数f(x)=x+2x定义域为R，且f(x)在R上单调递增，f(0)=1>0，f(-1)=-1+=-<0，即f(0)·f(-1)<0，由函数零点存在定理可得，f(x)的零点所在区间为(-1，0)，所以n=-1. 答案:-1 2.写出函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的一个区间:　　　　.  解析:易知函数f(x)=ln(x+1)-的定义域为(-1，0)∪(0，+∞)，且函数在(0，+∞)上是连续不断的.因为f(1)=ln(1+1)-=ln 2-2<0，f(2)=ln(2+1)-1=ln 3-1>0，由函数零点存在定理可知，f(x)在区间(1，2)上有零点，又f(x)=ln(x+1)-在区间(0，+∞)上单调递增，所以f(x)在(0，+∞)上只有一个零点. 答案:(1，2)(答案不唯一) 题点二　函数零点个数的判定 [例2]　已知函数f(x)=则函数y=f(x)-3的零点个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　法一:直接法　由y=f(x)-3=0得f(x)=3.当x>0时，ln x=3或ln x=-3，解得x=e3或x=e-3;当x≤0时，-2x(x+2)=3，无解.所以函数y=f(x)-3的零点个数是2，故选B. 法二:图象法　作出函数f(x)的图象，如图所示， 函数y=f(x)-3的零点个数即y=f(x)的图象与直线y=3的交点个数，作出直线y=3，由图知y=f(x)的图象与直线y=3有2个交点，故函数y=f(x)-3的零点个数是2，故选B. |思维建模|　函数零点个数的判定方法 (1)直接求零点. (2)利用函数零点存在定理:利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)图象法:画两个函数的图象，看其交点的个数有几个. [即时训练] 3.已知函数f(x)=则当k>0时，函数y=f(x)的零点个数为 (　　) A.8 B.6 C.4 D.2 解析:选D　当x>0时，由f(x)=0，可得ln x=0，解得x=1，符合题意;当x≤0时，由于k>0，由f(x)=0，可得kx+1=0，解得x=-<0，符合题意.因此，函数y=f(x)的零点个数为2. 4.已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=2x-x2，则函数f(x)在R上的零点的个数是　　　　.  解析:当x>0时，令2x-x2=0，解得x=2或x=4;根据奇函数的对称性，当x<0时，f(x)的零点是x=-2或x=-4.又f(0)=0，所以f(x)在R上共有5个零点. 答案:5 题点三　函数零点的应用 考法(一)　根据函数零点范围求参数范围 [例3]　(2024·阳泉三模)若函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1，2)存在零点，则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞，-5) B.(-5，-1) C.(1，5) D.(5，+∞) 解析:选B　由y1=log2x在(0，+∞)上单调递增，y2=x2+m在(0，+∞)上单调递增，得函数f(x)=log2x+x2+m在区间(0，+∞)上单调递增，因为函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1，2)存在零点，所以即解得-5<m<-1，所以实数m的取值范围是(-5，-1). 考法(二)　根据函数零点个数求参数范围 [例4]　设c∈R，函数f(x)= 若f(x)恰有一个零点，则c的取值范围是 (　　) A.(0，1) B.{0}∪[1，+∞) C. D.{0}∪ 解析:选D　画出函数g(x)=的图象如图所示， 函数f(x)=可由g(x)=分段平移得到，易知当c=0时，函数f(x)恰有一个零点，满足题意;当c<0时，代表图象向上平移，显然没有零点，不符合题意;当c>0时，图象向下平移，当0<2c<1时，函数有两个零点，不符合题意;当2c≥1时，f(x)恰有一个零点，满足题意，即c≥.综上，c的取值范围是{0}∪. |思维建模|　由函数零点所在区间或个数求参数的方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数的取值范围. (2)分离参数法:先将参数分离，然后将原问题转化成求函数值域的问题加以解决. (3)数形结合法:将函数解析式(方程)适当变形，转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，结合函数的单调性、周期性、奇偶性 等性质求解. [即时训练] 5.(2025·自贡模拟)设函数f(x)=+x2-4x有唯一的零点，则实数m为 (　　) A.2 B. C.3 D. 解析:选B　令t=x-2，则g(t)=(3t+3-t)+t2-4，因为g(-t)=(3-t+3t)+(-t)2-4=(3t+3-t)+t2-4=g(t)，所以函数g(t)是偶函数.因为函数f(x)有唯一的零点，所以函数g(t)有唯一的零点.则g(0)=0，即(1+1)+0-4=0，解得m=. 6.已知函数f(x)=若存在实数b，使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则实数m的取值范围是　　　　.  解析:结合f(x)的图象，分情况讨论，当m>0时，要使f(x)=b有三个不同的根，则⇒0<m<2;当m<0时，要使f(x)=b有三个不同的根，则⇒m<-2;当m=0时，两个分段点重合，不可能有三个不同的根，故舍去.所以m的取值范围是(-∞，-2)∪(0，2). 答案:(-∞，-2)∪(0，2) 数智赋能:电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.函数f(x)=x+ln x-1的零点为 (　　) A.(1，0) B.1 C.e D. 解析:选B　根据零点的定义，将x=1代入函数，则f(1)=1+ln 1-1=0即零点为1. 2.函数f(x)=12-2x-3x零点的个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选B　因为f(x)=12-2x-3x在R上单调递减，f(2)=12-4-6=2，f(3)=12-8-9=-5，f(2)·f(3)<0，所以零点所在的区间是(2，3)，所以该函数只有一个零点. 3.若方程-x2+ax+4=0的两实根中一个小于-1，另一个大于2，则 a的取值范围是 (　　) A.(0，3) B.[0，3] C.(-3，0) D.(-∞，1)∪(3，+∞) 解析:选A　令f(x)=-x2+ax+4，则f(x)有两个零点，一个大于2，另一个小于-1，由二次函数的图象可知，即解得0<a<3. 4.函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是 (　　) A. B.(1，2) C.(2，3) D.(3，5) 解析:选B　易知f(x)在(0，+∞)上单调递增.又f(2)=ln 2->ln -=>0，f(1)=ln 1-=-1<0，故函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是(1，2). 5.函数f(x)=的零点个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选C　当x≤0时，令2x+4-3=0，解得x=-4+log23;当x>0时，令2x2-7x+4-ln x=0，则2x2-7x+4=ln x，在同一平面直角坐标系中分别作出y=2x2-7x+4，y=ln x的大致图象如图所示，观察可知，它们有2个交点，即函数f(x)有2个零点.综上所述，函数f(x)的零点个数为3.故选C. 6.已知函数f(x)=恰有2个零点，则a的取值范围是 (　　) A.(2，+∞) B.[2，+∞) C.(-∞，2) D.(-∞，2] 解析:选C　当x≥1时，f(x)的零点为1，则x<1必有一个零点，y=2x-a为一次函数，单调递增，故需2-a>0，即a<2.故选C. 7.若函数f(x)=x2-4x+a(e2x-4+e4-2x)有唯一零点，则实数a= (　　) A.2 B. C.4 D.1 解析:选A　由f(4-x)=(4-x)2-4(4-x)+a[e2(4-x)-4+e4-2(4-x)]=x2-4x+a(e4-2x+e2x-4)=f(x)，得f(4-x)=f(x)，即函数f(x)的图象关于x=2对称，要使函数f(x)=x2-4x+a(e2x-4+e4-2x)有唯一的零点，则f(2)=0，即4-8+2a=0，得a=2. 8.已知函数f(x)=方程f(x)=k有3个实数解，则k的取值范围是 (　　) A.(-4，-3] B.(-4，-3) C.(-3，0) D.(0，+∞) 解析:选A　f(x)的图象如图所示，因为方程f(x)=k有3个实数解，所以y=f(x)与y=k的图象有3个不同的交点，由图可知-4<k≤-3. 9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，且在区间[0，2]上单调递增.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4等于 (　　) A.-12 B.-6 C.-8 D.4 解析:选C　由f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)=0，∵f(x-4)=-f(x)，∴f(x-8)=-f(x-4)=f(x)，∴f(x)的周期T=8.又∵f(x)是R上的奇函数，∴由f(x-4)=-f(x)，得f(4-x)=f(x)，∴f(x)关于直线x=2对称.再结合f(x)在区间[0，2]上单调递增，作出函数大致图象，如图所示. 根据图象，可得x1+x2=-12，x3+x4=4， ∴x1+x2+x3+x4=-8，故选C. 10.(2025·江油中学段考)函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1)，且当x∈[-1，1]时，f(x)=1-x2.已知函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6，6]内的零点个数为 (　　) A.14 B.13 C.12 D.11 解析:选C　易知函数y=f(x)的定义域为R，因为f(x+1)=f(x-1)，所以f(x)是周期为2的周期函数.易知当x∈(-∞，0)时，g(x)单调递增，且0<g(x)<1;当x∈(0，1]时，g(x)单调递减，且g(x)≥0;当x∈[1，+∞)时，g(x)单调递增，且g(x)≥0.在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)，y=g(x)的大致图象，如图所示①. 由h(x)=0得f(x)=g(x)，即函数h(x)在[-6，6]内的零点个数就是函数y=f(x)，y=g(x)的图象在[-6，6]内的交点个数.观察图象知，函数y=f(x)，y=g(x)的图象在[-6，6]内有12个交点②，所以函数h(x)在[-6，6]内有12个零点.故选C. 习得方略:①处，要求函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-6，6]内的零点个数，也就是求函数f(x)，g(x)的图象在区间[-6，6]内的交点个数，因此，准确作出两个函数的图象是求解本题的关键.准确作图的准备工作:研究函数图象的走势(通过判断单调性、周期性等)、确定函数图象所过的关键点(观察函数解析式确定)等; ②处，函数g(x)是分段函数，作图时一定要注意分界点处图象是实心点还是空心点，这个一旦出错，会影响最终的答案. 二、多选题 11.已知函数f(x)在区间(0，3)上有且仅有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，则下列命题正确的是 (　　) A.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0，1)和(1，2)内 B.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1，2)和(2，3)内 C.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0，1)和(2，3)内 D.函数f(x)在区间(0，3)上具有单调性 解析:选AB　函数f(x)在区间(0，3)上有且只有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，则在零点两侧函数值异号，由于f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，则当f(3)<0时，有f(1)f(2)>0，若f(1)>0，f(2)>0，则f(x)在(2，3)上必有1个零点，而在(0，1)及(1，2)上有无零点及零点个数不能确定，若f(1)<0，f(2)<0，则f(x)在(0，1)上必有1个零点，而在(1，2)及(2，3)上有无零点及零点个数不能确定，因此f(3)>0，且f(1)f(2)<0，若f(1)<0，f(2)>0，则f(0)f(1)<0，f(1)f(2)<0，函数f(x)的两个零点分别在(0，1)和(1，2)内，A正确;若f(1)>0，f(2)<0，则f(2)f(3)<0，f(1)f(2)<0，函数f(x)的两个零点分别在(1，2)和(2，3)内，B正确;显然函数f(x)的两个零点不可能分别在(0，1)和(2，3)内，否则f(1)<0，f(2)<0，f(1)f(2)>0，矛盾，C错误;函数f(x)在(0，3)上不可能具有单调性，否则函数f(x)在(0，3)上最多只有1个零点，矛盾，D错误. 12.下列函数在区间(-1，3)内存在唯一零点的是 (　　) A.f(x)=x2-2x-8 B.f(x)=(x+1-2 C.f(x)=-1 D.f(x)=1-ln(x+2) 解析:选BCD　∵x2-2x-8=0的解为x1=-2，x2=4，∴f(x)在区间(-1，3)内没有零点，故A错误;∵f(x)=(x+1-2在[-1，+∞)上为增函数，且f(-1)=-2<0，f(3)=8-2=6>0，即f(-1)f(3)<0，∴f(x)在区间(-1，3)内存在唯一零点，故B正确;∵f(x)=2x-1-1在R上为增函数，且f(-1)=-<0，f(3)=3>0，即f(-1)f(3)<0，∴f(x)在区间(-1，3)内存在唯一零点，故C正确;∵f(x)=1-ln(x+2)在(-2，+∞)上为减函数，且f(-1)=1>0，f(3)=1-ln 5<0，即f(-1)f(3)<0，∴f(x)在区间(-1，3)内存在唯一零点，故D正确. 三、填空题 13.函数f(x)=的零点是　　　　.  解析:由已知可得，当x≥0时，f(x)≥3;当x<0时，由f(x)=x+7=0，得x=-7，故f(x)的零点是-7. 答案:-7 14.定义开区间(a，b)的长度为b-a.经过估算，函数f(x)=-的零点属于开区间　　　　.（只要求写出一个符合条件，且长度不超过的开区间） 解析:因为y=，y=-都是减函数，所以f(x)=-是减函数.又f(1)=-1=-<0，f=-<0，f=->0，即f·f<0，所以函数f(x)在上有零点，且-=. 答案: 15.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=a恰有三个实数根，则a的取值范围为　　　　.  解析:关于x的方程f(x)=a恰有三个实数根等价于函数y=f(x)与y=a的图象的交点个数为3，y=f(x)的图象如图所示. 由图可知当0<a≤1时，两函数图象有3个交点，所以a的取值范围为(0，1]. 答案:(0，1] 第十二节　函数模型及其应用 明确目标 1.在实际情境中，会选择合适的函数模型来刻画现实问题的变化规律. 2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 教材再回首 1.几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)=bax+c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)=blogax+c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)=axn+b(a，b为常数，a≠0) “对勾”函数模型 f(x)=x+(a>0) 2.三种函数模型的性质 性质 函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn (n>0) 在(0，+∞)上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象 的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax 典题细发掘 1.(人A必修①P155T9改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是 (　　) A.40万元 B.60万元 C.80万元 D.120万元 解析:选D　当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6=20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2=40(万元);当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120+40)÷4=40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2=80(万元).故该商人共获最大利润为40+80=120(万元). 2.(苏教必修①P150T2改编)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S=ae-kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位:克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k= (　　) A.ln 2 B.ln 3 C. D. 解析:选C　由题意可得，当t=0时，S=a=7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5=7e-5k，解得k=. 3.(人B必修②P40例2改编)已知f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x，当x∈(4，+∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项正确的是 (　　) A.f(x)>g(x)>h(x) 　B.g(x)>f(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) 　D.f(x)>h(x)>g(x) 解析:选B　在同一平面直角坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，+∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x). 题点一　图表型函数的实际应用问题 [例1]　某工厂近6年来生产某种产品的情况:前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是 (　　) 解析:选A　∵前3年年产量的增长速度越来越快，∴当0≤t≤3时，总产量增长速度越来越快，图象上升的速度越来越快.又后3年年产量的增长速度保持不变，∴当3<t≤6时，图象的上升速度不变，图象为直线型，且c随t的增大而增大.只有A符合. |思维建模| 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的2种方法 (1)构造函数模型法:当根据题意易构造函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象. (2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案. [即时训练] 1.函数f(x)的数据如下表，则该函数的解析式可能形如 (　　) x -2 -1 0 1 2 3 5 f(x) 2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1 A.f(x)=ka|x|+b B.f(x)=kxex+b C.f(x)=k|x|+b D.f(x)=k(x-1)2+b 解析:选A　由函数f(x)的数据可知，f(-2)=f(2)，f(-1)=f(1)，偶函数满足此性质，可排除B、D;当x>0时，由函数f(x)的数据可知，函数f(x)增长越来越快，可排除C.故选A. 题点二　已知函数模型解决实际问题 [例2]　(2024·九江二模)已知火箭在t时刻的速度为v(t)(单位:千米/秒)，质量为m(t)(单位:千克)，满足v(t)=v0+uln(u为常数)，v0，m0分别为火箭初始速度和质量.假设一小型火箭初始质量m0=1 000千克，其中包含燃料质量为500千克，初始速度为v0=0，经过t1秒后的速度v(t1)=2千米/秒，此时火箭质量m(t1)=800千克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为(ln 2≈0.69，ln 5≈1.61) (　　) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:选C　由题意得2=uln=uln，设火箭耗尽燃料时速度为v，则v=uln=uln 2，两式相除得v=2×=≈=6. |思维建模|　已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3)利用函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验. [即时训练] 2.(2024·龙岩三模)声音的等级f(x)(单位:dB)与声音强度x(单位:ω/m2)满足f(x)=10×lg.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140 dB，若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108倍，则一般说话时声音的等级约为 (　　) A.120 dB 　B.100 dB 　 C.80 dB 　D.60 dB 解析:选D　设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为x1，x2，由题意可得f(x1)=10×lg=140，解得x1=102. 因为==108，所以x2=10-6，故f(10-6)=10×lg=60，所以一般说话时声音的等级约为60 dB. 3.(2025·苏州一模)德国天文学家约翰尼斯·开普勒于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系:T=·，其中M为太阳质量，G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的 (　　) A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 快审准解:根据已知的公式，由周期的倍数关系求出长半轴长的倍数关系即可. 解析:选B　设火星的公转周期为T1，长半轴长为a1，水星的公转周期为T2，长半轴长为a2，则T1=8T2，且 得==8，所以=4，即a1=4a2. 题点三　构造函数模型解决实际问题 [例3]　绿色、环保是新时代健康生活的理念.某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆，已知每瓶空气净化剂含量为a，投放后该空气净化剂以每小时10%的速度减少，根据经验，当场馆内空气净化剂含量不低于3a时有净化效果，且至少需要持续净化12小时才能达到净化目的.现有9瓶该空气净化剂. (1)如果一次性投放该空气净化剂9瓶，能否达到净化的目的?如果能，请说明理由;如果不能，最多可净化多长时间?(精确到0.1小时) (2)如果9瓶空气净化剂分两次投放，在第一次投放后间隔6小时进行第二次投放，为达到净化目的，试给出两次投放的所有可能方案.(每次投放的瓶数为整数，投放用时忽略不计) (参考数据:lg 3≈0.477，0.96≈0.53) 快审准解:(1)利用条件构造函数模型，结合指数与对数的转化、计算、解不等式即可; (2)设第一次投放n瓶，利用条件建立不等式组，利用指数的近似值解不等式组即可. 解:(1)假设一次性投放9瓶，可持续净化x小时， 则9a·(1-10%)x≥3a(x≥0)，所以0.9x≥， 两边取常用对数得x·lg 0.9≥lg ， 所以x≤≈10.4，因为10.4<12，所以不能达到净化的目的，最多可净化10.4小时. (2)设第一次投放n瓶，第二次投放9-n瓶，n∈N*且n<9， 依据题意，得 由第一个不等式可得，n≥≈5.7， 由第二个不等式可得，n≤≈7.1， 所以5.7≤n≤7.1;又因为n∈N*，所以n可取6或7. 所以可能的投放方案为第一次投放6瓶，第二次投放3瓶或在第一次投放7瓶，第二次投放2瓶. |思维建模|　构造函数模型解决实际问题的步骤 建模 抽象出实际问题的数学模型 推理、 演算 对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解 评价、 解释 对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解 [即时训练] 4.某大学毕业生团队主动创业，计划销售轻食，每个月的店租和水电等成本为2万元，且每销售1份轻食，成本为5元.已知该团队轻食的月销售量为x(x∈N*)万份，该团队每个月保底能够销售5 000份轻食，且当0.5≤x≤4时，月销售收入为万元;当x>4时，月销售收入为万元. (1)求该团队的月销售利润f(x)(万元)与月销售量x(万份)之间的函数解析式; (2)当月销售量为何值时，该团队的月销售利润最小?最小利润为多少万元? 解:(1)由题意，当0.5≤x≤4时， f(x)=x++-5x-2 =x++， 当x>4时，f(x)=log3(18x+9)+x-5x-2=log3(18x+9)+x-2. ∴f(x)= (2)当0.5≤x≤4时，f(x)=x++=++≥2+=， 当且仅当=，即x=1时取等，当x>4时，f(x)=log3(18x+9)+x-2>log3(18×4+9)+×4-2=4>，因此，当月销售量为1万份时，该团队的月销售利润最小，为万元. 数智赋能:电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.现有一组关于速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的实验数据如表: t 2.0 3.0 4.0 5.1 6.18 v 1.5 4.02 7.5 12 18.3 用下列函数中的一个近似地表示这组数据满足的规律，其中最接近的一个是 (　　) A.v=log2t B.v=lot C.v= D.v=2t-2 解析:选C　从题表中数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快.A项，是对数函数模型，其递增速度越来越慢，不符合题意;B项，随着t的增大，速度变小，不符合题意;C项，是二次函数模型，对比数据，其最接近实验数据的变化趋势，符合题意;D项，是一次函数模型，增长速度不变，不符合题意. 2.在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是 (　　) 解析:选C　在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且单调递增，故排除A、D;停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，故排除B;能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是C. 3.某校学生在研究折纸试验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了.在理想情况下，对折次数n与纸的长边长ω(cm)和厚度x(cm)满足n≤log2.一张长边长为26 cm，厚度为0.01 cm的矩形纸最多能对折的次数为 (　　) A.6 B.7 C.8 D.9 解析:选B　由题意得n≤log2=log22 600.因为11<log22 600<12，所以<log22 600<8，故n≤7.故选B. 4.(2025·重庆模拟)遗忘曲线由德国心理学家艾宾浩斯研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x(小时)的大致关系:y=1-0.6x0.06，则记忆率为20%时经过的时间约为(参考数据:lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) (　　) A.80小时 B.90小时 C.100小时 D.120小时 解析:选C　根据题意得=1-0.6x0.06，整理得=x0.06，两边取以10为底的对数，得lg=0.06lg x，即2lg 2-lg 3=0.06lg x.又lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，所以lg x≈=2=lg 100，得到x≈100. 5.假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过　　　　天，甲的“日能力值”是乙的20倍(参考数据:lg 102≈2.008 6，lg 99≈1.995 6，lg 2≈0.301 0) (　　)  A.85 B.100 C.150 D.225 解析:选B　令甲和乙刚开始的“日能力值”为1，则n天后，甲、乙的“日能力值”分别为(1+2%)n，(1-1%)n，依题意可得=20，即=20，两边取对数得nlg =lg 20，因此n=≈≈100，所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍. 二、多选题 6.(2025·郑州一模)溶液酸碱度是通过pH来计量的，pH的计算公式为pH=-lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.例如纯净水中氢离子的浓度为10-7摩尔/升，则纯净水的pH是7.当pH<7时，溶液呈酸性，当pH>7时，溶液呈碱性，当pH=7(例如:纯净水)时，溶液呈中性.我国规定饮用水的pH值在6.5~8.5之间，则下列选项正确的是(参考数据:lg 2≈0.3) (　　) A.若苏打水的pH是8，则苏打水中的氢离子浓度为10-8摩尔/升 B.若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升，则胃酸的pH是1.6 C.若海水的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍，则海水的pH是8.6 D.若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升，则该种水适合饮用 解析:选ABC　若苏打水的pH是8，则pH=-lg[H+]=8，所以[H+]=10-8，即苏打水中的氢离子浓度为10-8摩尔/升，所以A正确;若胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升，则pH=-lg(2.5×10-2)=-lg 2.5-lg 10-2=2-(lg 10-lg 4)=1+2lg 2≈1.6，所以B正确;若海水的氢离子浓度是纯净水的10-1.6倍，则海水的氢离子浓度是10-1.6·10-7=10-8.6摩尔/升，因此pH=-lg 10-8.6=8.6，即海水的pH是8.6，所以C正确;若某种水中氢离子的浓度为4×10-7摩尔/升，则pH=-lg(4×10-7)=-lg 4-lg 10-7=7-2lg 2≈6.4.而6.4不在6.5~8.5范围内，即该种水不适合饮用，所以D错误.故选ABC. 7.(2025·长沙模拟)氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生β衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满足N=N0·，其中N0表示氚原有的质量，则(参考数据:lg 2≈0.301) (　　) A.t=12.43log 2 B.经过24.86年后，样本中的氚元素会全部消失 C.经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的 D.若x年后，样本中氚元素的含量为0.4N0，则x>16 解析:选CD　由题意N=N0·，得=，两边同时取对数得log2=-，故得t=-12.43log2，故A错误;当t=24.86时，N=N0·=2-2·N0=N0，故B错误;当t=62.15时，N=N0·=2-5·N0=N0，故经过62.15年后，样本中的氚元素变为原来的，故C正确;由题意得0.4N0=N0·，化简得x=-12.43log2=-12.43log2=-12.43(log22-log25)=-12.43(1-log25)=-12.43=-12.43，将lg 2≈0.301代入其中，可得x≈-12.43≈16.44>16，故D正确. 三、填空题 8.一个动力船拖动载重量相等的小船若干只，在两个港口之间来回运货.若拖4只小船，则每天能往返16次;若拖7只小船，则每天能往返10次.已知增加的小船只数与相应减少的往返次数成正比例.为使得每天运货总量最大，则每次拖　　　　只小船.  解析:设每日每次拖x只小船，每天往返y次，每只小船的载重量为M，每天的运货总重量为G，由题意设y=kx+b，则解得所以y=-2x+24.所以每天运货总重量为G=Mxy=Mx(-2x+24)=-2M(x-6)2+72M，所以当x=6，y=12时，G取得最大值72M，即每次拖6只小船，可使得每天运货总量最大. 答案:6 9.(2025·梅州模拟)某科创公司新开发了一种溶液产品，但这种产品含有2%的杂质，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，现要进行过滤.已知每过滤一次杂质含量减少，要使产品达到市场要求，对该溶液过滤的最少次数为　　　　.(参考数据:lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)  解析:设至少需要过滤n次，则0.02×≤0.001，即≤，两边取对数，可得nlg≤lg，所以n≥=≈7.4.又因为n∈N*，所以n≥8，所以要使产品达到市场要求，对该溶液过滤次数最少为8次. 答案:8 四、解答题 10.(10分)近年来城市交通拥堵严重，某市区内主要街道经常出现堵车现象.电动自行车由于其体型小、灵活性强、易操作，成为市民出行的常用交通工具.据观测，出行高峰时段某路段内的电动自行车流量Q(千辆/小时)与电动自行车的平均速度v(千米/小时)(注:国家规定电动自行车最大设计时速为25千米/小时)具有以下函数关系: Q(v)=(0<v≤25). (1)欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时，求v的取值范围;(6分) (2)当电动自行车流量Q最大时，求v的值并估计最大流量(精确到0.1).(4分) 解:(1)电动自行车流量不少于10千辆/小时，即Q(v)=≥10， 化简可得v2-58v+400≤0，解得8≤v≤50. 又因为最高设计时速为25千米/小时，故8≤v≤25， 所以欲使电动自行车流量不少于10千辆/小时，v的取值范围应为[8，25]. (2)Q(v)==，由基本不等式可得v+≥2=2=40， 当且仅当v=，即v=20时取等号.此时电动自行车流量有最大值，最大值为Q(v)==≈14.3，故当平均速度为20千米/小时时，电动自行车流量最大，最大值约为14.3千辆/小时. 11.(10分)某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为1 000万元，每生产x台，需另投入生产成本R(x)万元.当年产量不足25台时，R(x)=3x2+kx;当年产量不小于25台时，R(x)=202x+-1 330，且当年产量为10台时需另投入成本1 100万元.若每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完. (1)求k的值;(3分) (2)求该企业投资生产这批新型机器的年利润W(x)(万元)关于年产量x(台)的函数关系式(利润=销售额-成本);(3分) (3)这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大?并求出最大利润.(4分) 解:(1)将x=10，R(x)=1 100代入R(x)=3x2+kx，得3×100+10k=1 100⇒k=80. (2)由题意可得，当0≤x<25时，W(x)=200x-3x2-80x-1 000， 当x≥25时，W(x)=200x-202x-+1 330-1 000，所以年利润W(x)关于年产量x的函数关系式为W(x)= (3)由(2)得，当0≤x<25时，W(x)=-3x2+120x-1 000=-3(x-20)2+200， 当x=20(台)时，W(x)max=200(万元). 当x≥25时，W(x)=-2x-+330=-2+350≤-2×2+350=190，当且仅当x+10=，即x=30时等号成立，故W(x)max=190(万元)，而200>190，故年产量为20台时，该企业所获利润最大，最大利润是200万元. 35 / 137 学科网（北京）股份有限公司 $$