第八章 解析几何（教师用书）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第八章　解析几何 第一节 直线的方程 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式，会求直线的倾斜角. 2.根据确定直线位置要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式). 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.直线的倾斜角 定义 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时，直线l的倾斜角为0° 范围 直线l倾斜角的取值范围为[0，π) 2.直线的斜率 (1)定义 当直线的倾斜角不等于90°时，我们把这条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k=tan α.倾斜角是90°的直线没有斜率.  (2)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=. (3)直线的方向向量坐标 若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线P1P2的方向向量的坐标为(x2-x1，y2-y1).若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k=.特别地，(1，k)是l的一个方向向量. 3.直线方程的5种形式 名称 方程 适用条件 点斜式 y-y0=k(x-x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 y=kx+b 与x轴不垂直的直线 两点式 = 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 +=1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax+By+C=0，A2+B2≠0 平面内所有直线 解题结论拓展 (1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系. (2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的斜率越大. (3)直线y=kx+b的一个方向向量m=(1，k). (4)直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的一个方向向量a=(-B，A). 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大. (　　) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α. (　　) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等. (　　) (4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y-y1)·(x2-x1)=(x-x1)·(y2-y1)表示. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(人B选必修①P90T5改编)过点A(1，4)的直线的方向向量为m=(1，2)，则该直线方程为 (　　) A.2x-y+2=0 B.2x+y-6=0 C.x-2y+7=0 D.x+y-5=0 解析：选A　由于直线的方向向量为m=(1，2)，故直线的斜率为=2，故直线的方程为y-4=2(x-1)，即2x-y+2=0. 3.(人A选必修①P64T1改编)过两点(-2，4)和(4，-1)的直线在y轴上的截距为 (　　) A. B.- C. D.- 解析：选C　由题可知直线方程为y+1=·(x-4)，即y=-(x-4)-1，令x=0，则y=，故直线在y轴上的截距为. 4.(人B选必修①P101T2改编)设x，y为实数，已知直线的斜率k=2，且A(3，5)，B(x，7)，C(-1，y)是这条直线上的三个点，则x+y= (　　) A.4 B.3 C.-1 D.1 解析：选D　因为A(3，5)，B(x，7)，C(-1，y)是斜率k=2的直线上的三个点，所以kAB=kAC=2，所以==2，解得x=4，y=-3，则x+y=1.故选D. 题点一　直线的倾斜角与斜率 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　 (1)直线xcos α+y-2=0的倾斜角的范围是 (　　) A.　 B. C.∪ D. 解析：选C　已知直线方程xcos α+y-2=0，设直线的倾斜角为θ，故tan θ=-=-cos α∈，即θ∈∪. (2)(人A选必修①P58T7改编)设m为实数，过两点A(m2+2，m2-3)，B(3-m-m2，2m)的直线l的倾斜角为45°，则m的值为　　　　.  解析：∵过两点A(m2+2，m2-3)，B(3-m-m2，2m)的直线l的倾斜角为45°，∴==1，解得m=-2. 答案：-2 |思维建模| 1.与直线倾斜角、斜率有关问题的注意点 (1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y=tan x在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不具有单调性. (2)过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在. 2.直线的斜率k与倾斜角α之间的关系 α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k 0 k>0 不存在 k<0 牢记口诀：斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论. [即时训练] 1.[多选]如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是 (　　) A.k1<k3<k2 B.k3<k2<k1 C.α1<α3<α2 D.α3<α2<α1 解析：选AD　因为直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则由题图得k2>k3>0，k1<0，故>α2>α3>0，且α1为钝角，故选AD. 2.已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为 (　　) A.[-1，1] 　　B.[1，+∞) C.(-∞，-1]∪[1，+∞) 　　D.(-∞，-1] 解析：选C　如图，由题意可知kPA==-1，kPB==1.要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为(-∞，-1]∪[1，+∞). 题点二　直线的方程 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2] (1)过点(-4，0)，倾斜角的正弦值为的直线方程为　　　　　　　　　　　.  解析：由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式.设倾斜角为α， 则sin α=，从而cos α=±， 则k=tan α=±. 故所求直线方程为y=±(x+4)，即x+3y+4=0或x-3y+4=0. 答案：x+3y+4=0或x-3y+4=0 (2)经过点A(2，6)，在x轴上的截距为3的直线方程为　　　　　　　　　.  解析：法一　易知直线的斜率存在，设直线方程为y=k(x-3)，因为点A(2，6)在直线上，所以k=-6，所以y=-6×(x-3)=18-6x，所以所求直线方程为y=-6x+18. 法二　由于直线过点A(2，6)和点(3，0)，则直线的斜率k==-6.由直线的点斜式方程得y-0=-6×(x-3)=18-6x，所以所求直线方程为y=-6x+18. 答案：y=-6x+18 (3)过点A(1，2)且在两坐标轴上的截距之和为零的直线方程为　　　　　　　　　　.  解析：法一　当直线过原点时，满足题意，方程为y=2x，即2x-y=0； 当直线不过原点时，设方程为+=1， 因为直线过(1，2)，所以-=1，所以a=-1， 所以方程为x-y+1=0， 综上，直线方程为y=2x或x-y+1=0. (易错提醒：易忽视直线过原点的情况) 法二　易知直线斜率存在，且不为0，设直线方程为y-2=k(x-1)(k≠0)，当x=0时，y=2-k，当y=0时，x=1-，即2-k+1-=0，解得k=2或k=1，故直线方程为y=2x或x-y+1=0. 答案：y=2x或x-y+1=0 易错提醒：(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件. (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零). |思维建模|　求直线方程的常用方法 (1)直接法：根据已知条件灵活选用直线方程的形式，写出方程. (2)待定系数法：①先根据已知条件设出直线方程的恰当形式，方程中含有待定的系数；②再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)求系数；③最后代入求出直线方程. [即时训练] 3.经过点(1，1)，且方向向量为(1，2)的直线方程是 (　　) A.2x-y-1=0 B.2x+y-3=0 C.x-2y+1=0 D.x+2y-3=0 解析：选A　∵直线的方向向量为(1，2)，∴直线的斜率k=2，又直线过点(1，1)，∴直线的方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0. 4.(2025·重庆六校联考)已知一条直线经过点A(2，-)，且它的倾斜角等于直线x-y=0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为　　　　.  解析：由已知得直线x-y=0的斜率为，则其倾斜角为30°，故所求直线倾斜角为60°，斜率为，故所求直线的方程为y-(-)=(x-2)，即x-y-3=0. 答案：x-y-3=0 题点三　直线方程的综合问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　已知直线l的方程为(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0. (1)求证：不论m为何值，直线l必过定点M(3，1)； (2)过点M引直线l1交坐标轴正半轴于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求△AOB的周长. 解：(1)证明：由(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，得m(2x+y-7)+x+y-4=0. 令解得经检验，满足(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0， 所以直线l过定点M(3，1). (2)由题意可设直线l1的方程为y-1=k(x-3)(k<0)，直线l1与x轴，y轴正半轴的交点分别为A，B，令x=0，得yB=1-3k，令y=0，得xA=3-，所以△AOB的面积S==≥=6， 当且仅当-9k=，即k=-时，△AOB的面积最小，此时A(6，0)，B(0，2)，|AB|==2，所以△AOB的周长为6+2+2=8+2.所以当△AOB的面积最小时，△AOB的周长为8+2. |思维建模|　与直线方程有关问题的解题策略 (1)直线过定点问题：将参数的“系数”化为0，解关于x，y的方程组可求定点. (2)求参数值或范围：注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解. (3)求解与直线方程有关的最值问题：先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值. [即时训练] 5.直线(a-1)x-(a+1)y+2=0恒过定点 (　　) A.(1，1) B.(1，-1) C.(-1，1) D.(-1，-1) 解析：选A　将(a-1)x-(a+1)y+2=0变形为(x-y)a-x-y+2=0，令x-y=0且-x-y+2=0，解得x=1，y=1，所以直线恒过定点(1，1). 6.若直线ax+by=ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为 (　　) A.1 B.2 C.4 D.8 解析：选C　由ax+by=ab，得+=1，故直线在x轴、y轴上的截距分别为b，a.因为直线过点(1，1)，所以+=1.又a>0，b>0，所以a+b=(a+b)=2++≥2+2=4，当且仅当a=b=2时，等号成立，所以直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4. 7.已知直线l：kx-y+1+2k=0，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则k的值为　　　　；若直线l不经过第三象限，则实数k的取值范围是　　　　.  解析：当k=0时，y=1，不符合直线l在两坐标轴上的截距相等.当k≠0时，令x=0，得y=2k+1，令y=0，得x=-2-，由题意可得-2-=2k+1，解得k=-1或k=-.∵直线l的方程为kx-y+1+2k=0，即y=kx+1+2k，直线l不经过第三象限，∴k≤0且1+2k≥0，解得-≤k≤0，故实数k的取值范围是. 答案：-1或-　 数智赋能：电子版随堂训练(倾斜角、斜率的综合应用)，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单选题 1.若过点P(1-a，1+a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是 (　　) A.(-2，1) B.(-1，2) C.(-∞，0) D.(-∞，-2)∪(1，+∞) 解析：选A　由题意知k=<0，所以(a-1)(a+2)<0，即-2<a<1. 2.(2025·武汉模拟)若直线l的一个方向向量为(-1，)，则直线的倾斜角为 (　　) A. B. C. D. 解析：选C　因为直线l的一个方向向量为(-1，)，则直线l的斜率为-，所以直线l的倾斜角为. 3.已知直线l的斜率为，在y轴上的截距为另一条直线x-2y-4=0的斜率的倒数，则直线l的方程为 (　　) A.y=x+2 B.y=x-2 C.y=x+ D.y=-x+2 解析：选A　∵直线x-2y-4=0的斜率为，∴直线l在y轴上的截距为2.∴直线l的方程为y=x+2. 易错提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意. 4.已知ab<0，bc<0，则直线ax+by=c不过 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：选B　直线方程可化为y=-x+，其斜率->0，直线在y轴的截距<0，据此可知直线不经过第二象限. 5.已知直线l过A(-2，1)，并与两坐标轴截得等腰三角形，那么直线l的方程是 (　　) A.x-y-1=0或x+y-3=0 B.x-y-1=0或x-y+3=0 C.x+y+1=0或x-y+3=0 D.x+y+1=0或x+y-3=0 解析：选C　由题意可知，所求直线的倾斜角为45°或135°，即直线的斜率为1或-1，故直线方程为y-1=x+2或y-1=-(x+2)，即x-y+3=0或x+y+1=0.故选C. 6.已知点M是直线l：2x-y-4=0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是 (　　) A.x+y-3=0 B.x-3y-2=0 C.3x-y+6=0 D.3x+y-6=0 解析：选D　设直线l的倾斜角为α，则tan α=k1=2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k2=tan(α+45°)==-3，又点M(2，0)，所以直线方程为y=-3(x-2)，即3x+y-6=0. 7.设直线l的方程为x-ysin θ+2=0，则直线l的倾斜角α的取值范围是 (　　) A.[0，π] B. C. D.∪ 解析：选C　由题意知，当sin θ=0时，直线l的斜率不存在，其倾斜角α=；当sin θ≠0时，直线l的斜率k=∈(-∞，-1]∪[1，+∞)，所以倾斜角α∈∪.综上，α∈. 易错提醒：此处易搞不清倾斜角与斜率的关系而失分.若直线的倾斜角为，则斜率不存在，若斜率存在，则倾斜角应除去. 8.已知点A(0，3)，B(3，2)，直线l过点P(1，1)且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 (　　) A.[-2，0)∪ B.∪[2，+∞) C. D.(-∞，-2]∪ 快审准解：求出kPA和kPB，数形结合观察满足直线l过点P(1，1)且与线段AB有公共点时斜率的变化情况即可求出结果. 解析：选D　根据题意，作出图形如图，直线PA的斜率为kPA==-2，直线PB的斜率为kPB==，所以由图可知过点P(1，1)且与线段AB有公共点时，直线l的斜率取值范围是(-∞，-2]∪. 谨记结论：当直线绕定点由与x轴平行(或重合)的位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐增大到+∞(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到与y轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐减小至-∞(即斜率不存在). 9.已知直线l的斜率k∈[-，-1]，则直线l的倾斜角β的取值范围是 (　　) A. B.∪ C. D. 解析：选D　因为直线l的斜率k∈[-，-1]，所以-≤tan β≤-1.又0≤β<π，则β∈，故直线l的倾斜角β的取值范围是. 10.已知A(2，3)，B(-1，2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为 (　　) A.1 B. C.- D.-3 解析：选C　设Q(3，0)，则kAQ==-3，kBQ==-.∵点P(x，y)是线段AB上的任意一点，∴的取值范围是，故的最大值为-，故选C. 二、多选题 11.在同一平面直角坐标系中，表示直线l1：y=ax+b与l2：y=bx-a的图象可能是 (　　) 解析：选AC　对于A，由l1的图象可知a>0，b<0，l1经过一、三、四象限，则l2需经过二、三、四象限，故A正确；对于B，由l1的图象可知a>0，b>0，l1经过一、二、三象限，则l2需经过一、三、四象限，故B错误；对于C，由l1的图象可知a<0，b>0，l1经过一、二、四象限，则l2需经过一、二、三象限，故C正确；对于D，由l1的图象可知a<0，b<0，l1经过二、三、四象限，则l2需经过一、二、四象限，故D错误. 12.已知A(1，2)，B(-3，4)，C(-2，0)，则下列说法正确的是 (　　) A.直线x-y=0与线段AB有公共点 B.直线AB的倾斜角大于135° C.△ABC的边BC上的中线所在直线的方程为y=2 D.△ABC的边BC上的高所在直线的方程为x-4y+7=0 解析：选BCD　因为kOA=2>1，kOB<0，所以直线x-y=0与线段AB无公共点，故A错误；因为kAB==->-1， 所以直线AB的倾斜角大于135°，故B正确；因为线段BC的中点为，所以BC边上的中线所在直线的方程为y=2，故C正确；因为kBC==-4，所以BC上的高所在直线的方程为y-2=(x-1)，即x-4y+7=0，故D正确. 三、填空题 13.已知直线y=(3-2k)x-6不经过第一象限，则k的取值范围为　　　　.  解析：由题意知，需满足它在y轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则解得k≥. 答案： 14.求圆的切点弦方程可利用“同构”思想.如“已知圆O：x2+y2=1，过P(-2，-2)作圆O的两条切线，切点记为A，B，求直线AB方程”，部分解答如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由·=0，化简可得++2x1+2y1=0，又因为+=1，所以2x1+2y1+1=0，同理可得2x2+2y2+1=0，…，则直线AB的方程为　　　　　　　　.  解析：由于2x1+2y1+1=0，2x2+2y2+1=0，故A(x1，y1)，B(x2，y2)均满足方程2x+2y+1=0，由两点确定唯一的直线，故直线AB的方程为2x+2y+1=0. 答案：2x+2y+1=0 15.已知直线x+ky-2-k=0恒过定点A，则点A的坐标为　　　　；若点A在直线mx-y+n=0(m>0，n>0)上，则+的最小值为　　　　.  解析：将直线方程变形得x-2+k(y-1)=0，由解得定点A的坐标为(2，1).由于点A在直线mx-y+n=0上，则有2m-1+n=0，所以2m+n=1.所以+=(2m+n)=3++≥3+2=3+2，当且仅当=，即n=m时等号成立. 答案：(2，1)　3+2 第二节　 两条直线的位置关系 1.能根据斜率公式判定两条直线平行或垂直.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 2.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 y=k1x+b1， y=k2x+b2 A1x+B1y+C1=0(+≠0)，A2x+B2y+C2=0(+≠0) 相交 k1≠k2 A1B2-A2B1≠0 垂直 k1k2=-1 A1A2+B1B2=0 平行 k1=k2且b1≠b2 或 重合 k1=k2且b1=b2 A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0 2.直线的交点与方程组解的关系 (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x+B1y+C1=0，也满足直线l2的方程A2x+B2y+C2=0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组 的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的 公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的 位置关系 相交 重合 平行 3.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|=. 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|=. (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离d=|·n|=(其中n是与直线l方向向量垂直的单位向量，P1为直线l上任意一点). (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0(C1≠C2)间的距离d=. 解题结论拓展 6种常见的对称 (1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(-x，-y)； (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，-y)，关于y轴的对称点为(-x，y)； (3)点(x，y)关于直线y=x的对称点为(y，x)，关于直线y=-x的对称点为(-y，-x)； (4)点(x，y)关于直线x=a的对称点为(2a-x，y)，关于直线y=b的对称点为(x，2b-y)； (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a-x，2b-y)； (6)点(x，y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y，k-x)，关于直线x-y=k的对称点为(k+y，x-k). 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1=k2⇒l1∥l2. (　　) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于-1. (　　) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交. (　　) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(人A选必修①P67T3改编)已知两点A(7，-4)，B(-5，6)，则线段AB的垂直平分线的方程为 (　　) A.6x-5y+1=0 B.6x-5y-1=0 C.5x-6y-1=0 D.6x-5y+5=0 解析：选B　易知AB的中点坐标为(1，1)，kAB==-，即AB的垂直平分线的斜率为.故所求直线方程为y-1=(x-1)，即6x-5y-1=0. 3.(人A选必修①P72T3改编)直线l经过原点，且经过另两条直线2x+3y-1=0，x-4y-6=0的交点，则直线l的方程为 (　　) A.2x+y=0 B.x+2y=0 C.2x-y=0 D.x-2y=0 解析：选B　联立方程解得则所求直线的斜率k=-，直线l的方程为y=-x，即x+2y=0. 4.(人A选必修①P77T3改编)点(1，-1)到直线x-y+1=0的距离是 (　　) A. B. C. D. 解析：选D　由点到直线的距离公式知d==.故选D. (易错提醒：在运用点到直线的距离公式时，没有理解直线Ax+By+C=0中B的取值，B应取-1，而不是取1) 题点一　两条直线的位置关系 　　　　　　　　　　　　　　　　 考法(一)　两条直线的平行与垂直 [例1]　(2025·邯郸期末)[多选]已知直线l1：(a+1)x+ay+2=0，l2：ax+(1-a)y-1=0，则 (　　) A.l1恒过点(2，-2) B.若l1∥l2，则a2= C.若l1⊥l2，则a2=1 D.当0≤a≤1时，l2不经过第三象限 解析：选BD　l1：(a+1)x+ay+2=0⇒a(x+y)+x+2=0，由得x=-2，y=2，则直线l1恒过点(-2，2)，故A不正确.若l1∥l2，则有(a+1)·(1-a)=a2，2(1-a)≠-a，解得a2=，故B正确.若l1⊥l2，则有a(a+1)+a(1-a)=0，解得a=0，故C不正确.若直线l2不经过第三象限，则当1-a≠0时，≥0，-≤0，解得0≤a<1；当1-a=0，即a=1时，直线l2：x=1，不经过第三象限，综上可知，当0≤a≤1时，l2不经过第三象限，故D正确.故选BD. |思维建模|　两直线平行与垂直的解题策略 (1)充分掌握两直线平行与垂直的充要条件是解决此类问题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1(斜率为k1)和l2(斜率为k2)，l1∥l2⇔k1=k2，l1⊥l2⇔k1·k2=-1.解题时一定要特别注意直线的斜率不存在的情况. (2)若l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0；l1∥l2⇔A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1. 考法(二) 　两条直线的交点问题 [例2] (1)(人A选必修①P79T2改编)经过两直线l1：2x-y+3=0与l2：x+2y-1=0的交点，且平行于直线3x+2y+7=0的直线方程是 (　　) A.2x-3y+5=0 B.2x+3y-1=0 C.3x+2y-2=0 D.3x+2y+1=0 解析：选D　法一　由解得所以直线l1与l2的交点为(-1，1)，设与直线3x+2y+7=0平行的直线为3x+2y+m=0(m≠7)，所以3×(-1)+2×1+m=0，解得m=1，所以所求直线方程为3x+2y+1=0. 法二　设所求直线方程为2x-y+3+λ(x+2y-1)=0，即(λ+2)x+(2λ-1)y+3-λ=0.又该直线与3x+2y+7=0平行，故(λ+2)·2-3·(2λ-1)=0，解得λ=，故所求直线方程为x+y+3-=0，即3x+2y+1=0. (2)(2025·吕梁模拟)过直线x+y+1=0和x-2y+4=0的交点，且与直线x+2y-3=0垂直的直线方程是　　　　　　.  解析：法一　联立方程解得所以交点坐标为(-2，1).直线x+2y-3=0的斜率为-，所以所求直线方程的斜率为-=2，由点斜式方程得，所求直线方程为y-1=2(x+2)，即2x-y+5=0. 法二　设所求直线方程为x+y+1+λ(x-2y+4)=0，即(1+λ)x+(1-2λ)y+1+4λ=0.因为所求直线与直线x+2y-3=0垂直，所以所求直线方程的斜率为2，易知λ≠，则=2，得λ=1，则所求直线方程为2x-y+5=0. 答案：2x-y+5=0 |思维建模|　求过两条直线交点的直线方程的方法 (1)直接法：先求出两条直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程. (2)共点直线系法：分离参数，假设直线方程中含有的参数为λ，则将直线方程化为f(x，y)+λg(x，y)=0的形式，解方程组即可得定点坐标，从而得到所求的直线方程. [即时训练] 1.已知直线l1：ax+(a-1)y+3=0，l2：2x+ay-1=0，若l1⊥l2，则实数a的值是 (　　) A.0或-1 B.-1或1 C.-1 D.1 解析：选A　由题意可知l1⊥l2，故2a+a(a-1)=0，解得a=0或a=-1，经验证，符合题意. 2.已知直线l1：(m-2)x-3y-1=0与直线l2：mx+(m+2)y+1=0相互平行，则实数m的值是 (　　) A.-4 B.1 C.-1 D.6 解析：选A　∵l1∥l2，∴(m-2)(m+2)=-3m，解得m=-4或m=1，当m=1时，直线l1与直线l2重合，舍去，经检验m=-4符合题意. (易错提醒：由两直线平行求参数时，不要忽略两直线重合的情况)故选A. 3.使三条直线x+y=2，mx+y=0，x-y=4不能围成三角形的实数m的值为　　　　　　　　.  解析：当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形.若三条直线交于一点，由得直线x+y=2与x-y=4的交点坐标为(3，-1)，把(3，-1)代入到直线mx+y=0，得m=； 若有两条直线平行或重合时，有两条直线的斜率相等，这三条直线的斜率分别为-1，-m，1，所以m=1或m=-1.综上，m的值为或1或-1. 答案：或1或-1 题点二　距离问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3] (1)(人A选必修①P77例6改编)已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，则△ABC的面积为 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 解析：选A　设边AB上的高为h，则S△ABC=|AB|h，而|AB|==2，边AB上的高h就是点C到直线AB的距离，边AB所在的直线方程为=，即x+y-4=0.点C到直线x+y-4=0的距离h==，因此，S△ABC=×2×=5. (2)若P，Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点，则|PQ|的最小值为 (　　) A. B. C. D. 解析：选C　因为=≠，所以两直线平行.将直线3x+4y-12=0化为6x+8y-24=0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即=，所以|PQ|的最小值为. |思维建模|　距离问题的求解策略 (1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解，注意直线方程应为一般式. (2)两平行线间的距离的求法： ①利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离. ②利用两平行线间的距离公式求解. (3)遇到含有平方和、绝对值等形式的代数式时，注意利用距离公式的几何意义求解. [即时训练] 4.已知直线l1：2x-y-4=0，l2：x+y-5=0相交于点P，则P到直线l：x+2y+3=0的距离为 (　　) A.2 B. C. D. 解析：选A　由题意，联立得故P(3，2)，则点P到直线l：x+2y+3=0的距离d==2. 5.若点(m，n)在直线l：3x+4y-13=0上，则(m-1)2+n2的最小值为 (　　) A.3 B.4 C.2 D.6 解析：选B　由(m-1)2+n2的几何意义为点(m，n)到点(1，0)距离的平方，得其最小值为点(1，0)到直线l：3x+4y-13=0的距离的平方，即d2==4. 题点三　对称问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 考法(一)　中心对称问题 [例4]　直线3x-2y=0关于点对称的直线方程为 (　　) A.2x-3y=0 B.3x-2y-2=0 C.x-y=0 D.2x-3y-2=0 解析：选B　法一　设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点对称的点为，因为点在直线3x-2y=0上，所以3-2(-y)=0，化简得3x-2y-2=0，所以所求直线方程为3x-2y-2=0. 法二　在直线3x-2y=0上任取两点O(0，0)，M(2，3)，设点O，M关于点的对称点分别为O'，M'，则O'，M'，所以所求直线方程为=，即3x-2y-2=0. 考法(二)　轴对称问题 [例5]　设直线l1：x-2y-2=0与l2关于直线l：2x-y-4=0对称，则直线l2的方程是 (　　) A.11x+2y-22=0 B.11x+2y+22=0 C.5x+y-11=0 D.10x+y-22=0 解析：选A　联立得取直线l1：x-2y-2=0上一点(0，-1)，设点(0，-1)关于直线l：2x-y-4=0的对称点为(a，b)，则解得a=，b=-，直线l2的斜率k=-，所以直线l2的方程为y=-(x-2)，整理为11x+2y-22=0.故选A. |思维建模| 对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的一般思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系再求解. (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解决，两点对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组求解. [即时训练] 6.已知直线l1：y=kx-2k+1与直线l2关于点(1，0)对称，则l2恒过的定点为 (　　) A.(2，1) B.(2，-1) C.(0，-1) D.(-1，-1) 解析：选C　直线l1的方程可化为k(x-2)+1-y=0，由得所以直线l1过定点(2，1)，点(2，1)关于点(1，0)的对称点为(0，-1)，因此，直线l2恒过的定点为(0，-1). 7.直线x-2y-1=0关于直线y-x=0对称的直线方程是 (　　) A.2x-y+1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y+1=0 D.x+2y+1=0 解析：选A　在直线x-2y-1=0上任取一点P(a，b)，设点P关于直线y-x=0的对称点为Q(x，y)，则解得即P(y，x).因为点P(y，x)在直线x-2y-1=0上，所以y-2x-1=0，即2x-y+1=0，所以所求直线方程为2x-y+1=0. 数智赋能：电子版随堂训练(对称问题的应用)，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单选题 1.两条直线l1：x=2和l2：3x+2y-12=0的交点坐标为 (　　) A.(2，3) B.(-2，3) C.(3，-2) D.(-3，2) 解析：选A　联立得所以两条直线的交点坐标为(2，3). 2.若直线a，b的斜率分别为方程x2-4x-1=0的两个根，则a与b的位置关系为 (　　) A.互相平行 B.重合 C.互相垂直 D.无法确定 解析：选C　由根与系数的关系得ka·kb=-1，则a与b互相垂直. 3.(2025·天水模拟)直线l1：ax+y+1=0与l2：x+ay-1=0平行，则实数a= (　　) A.1 B.-1 C.1或-1 D.0 解析：选A　因为直线l1：ax+y+1=0与l2：x+ay-1=0平行，所以a2-1=0且-a-1≠0，解得a=1.故选A. 4.已知点A(1，2)与B(3，3)关于直线ax+y+b=0对称，则a，b的值分别为 (　　) A.2，- B.-2，- C.-2， D.2， 解析：选A　易知kAB=，则直线ax+y+b=0的斜率为-2，所以-a=-2，即a=2.易知AB的中点坐标为，代入2x+y+b=0，得b=-.故选A. 5.(2025·石家庄质检)若直线l1：x-2y+1=0与直线l2：x+ay-1=0平行，则l1与l2间的距离为 (　　) A. B. C. D. 解析：选B　易知直线l1的斜率为，则直线l2的斜率为-=，即a=-2，故直线l2：x-2y-1=0，所以l1和l2间的距离为=. 6.若四边形ABCD的四个顶点是A(3，0)，B(0，4)，C(4，7)，D(11，6)，则四边形ABCD为 (　　) A.矩形 B.菱形 C.等腰梯形 D.直角梯形 解析：选D　∵kBC==，kAD==，kAB==-，kCD==-，∴kBC=kAD，kAB≠kCD，∴BC∥AD，AB与CD不平行，∴四边形ABCD为梯形.又∵kAD·kAB=-1，∴AD⊥AB，∴四边形ABCD为直角梯形. 7.如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程为 (　　) A.3 B.6 C.2 D.2 解析：选C　直线AB的方程为x+y=4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(-2，0)，则光线经过的路程为|CD|==2.故选C. 8.瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上.这条直线被称为欧拉线.已知△ABC的顶点A(-3，0)，B(3，0)，C(3，3)，若直线l：ax+(a2-3)y-9=0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为 (　　) A.-2 B.-1 C.-1或3 　D.3 解析：选B　由△ABC的顶点A(-3，0)，B(3，0)，C(3，3)，知△ABC的重心为，即(1，1)，又三角形为直角三角形，所以外心为斜边的中点，即，所以△ABC的欧拉线方程为=，即x+2y-3=0.因为ax+(a2-3)y-9=0与x+2y-3=0平行，所以=≠，解得a=-1.故选B. 9.(2025·南通调研)若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为 (　　) A. B. C.2 D.2 解析：选A　联立解得x=1，y=2.把(1，2)代入mx+ny+5=0可得m+2n+5=0，所以m=-5-2n.所以点(m，n)到原点的距离d===≥，当且仅当n=-2，m=-1时取等号.所以点(m，n)到原点的距离的最小值为. 10.当点P(-1，0)到直线l：(3λ+1)x+(λ+1)y-(4λ+2)=0的距离最大时，实数λ的值为 (　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 快审准解：先求得直线过的定点，再由点P与定点的连线与直线垂直求解. 解析：选B　由直线l：(3λ+1)x+(λ+1)y-(4λ+2)=0，整理得λ(3x+y-4)+(x+y-2)=0.由可得故直线l恒过点A(1，1)，所以PA与直线l垂直时，距离最大.又kPA==，直线l的斜率k=-，故-·=-1，解得λ=1.故选B. 二、多选题 11.已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是 (　　) A.y=x+1 B.y=2 C.y=x D.y=2x+1 解析：选BC　由题意知，当点M到直线的距离不超过4时，符合要求.对于A，点M(5，0)到直线y=x+1的距离为=3>4，故不符合；对于B，点M(5，0)到直线y=2的距离为2-0=2<4，故符合；对于C，点M(5，0)到直线y=x的距离为=4，故符合；对于D，点M(5，0)到直线y=2x+1的距离为=>4，故不符合. 12.已知直线l1：(a-1)x+ay-1=0，直线l2：ax+(a-1)y+3=0，则下列命题是真命题的是 (　　) A.若l1∥l2，则a= B.若l1⊥l2，则a=0或a=1 C.若v=(1，2)是直线l1的一个方向向量，则a=2 D.若l2与坐标轴围成一个面积为的三角形，则a=-2或a=3 解析：选ABD　由直线l1：(a-1)x+ay-1=0可得一个方向向量为(a，1-a)，直线l2：ax+(a-1)y+3=0的一个方向向量为(a-1，-a).若l1∥l2，则(a-1)2=a2，解得a=，故A正确.若l1⊥l2，则a(a-1)+a(a-1)=0，解得a=0或a=1，故B正确.若v=(1，2)是l1的一个方向向量，则=2，解得a=，故C错误.对于l2，令x=0，得(a-1)y+3=0，令y=0，得ax+3=0，因为l2与两坐标轴围成一个面积为的三角形，所以··=，解得a=-2或a=3，故D正确. 三、填空题 13.已知点P(0，2)，直线l：x+2y-1=0，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程为　　　　　　.  解析：直线l：x+2y-1=0的斜率为-，故只需所求直线方程斜率不是-即可，可设过点P且与直线l相交的一条直线的方程为y=x+2. 答案：y=x+2(答案不唯一) 14.已知点P1(2，3)，P2(-4，5)和A(-1，2)，则过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程为　　　　　　　.  解析：当直线与点P1，P2的连线所在的直线平行时，由直线P1P2的斜率k==-，得所求直线的方程为y-2=-(x+1)，即x+3y-5=0.当直线过线段P1P2的中点时，因为线段P1P2的中点坐标为(-1，4)，所以直线方程为x=-1.综上，所求直线方程为x+3y-5=0或x=-1. 答案：x+3y-5=0或x=-1 15.设△ABC的一个顶点是A(-3，1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x=0，y=x，则直线BC的方程为　　　　　　.  解析：∵∠B，∠C的角平分线方程分别为x=0，y=x，∴直线AB与直线BC关于x=0对称，直线AC与直线BC关于y=x对称.A(-3，1)关于x=0的对称点A'(3，1)在直线BC上，A(-3，1)关于y=x的对称点A″(1，-3)也在直线BC上.由两点式，所求直线BC的方程为2x-y-5=0. 答案：2x-y-5=0 第三节　圆的方程 　1.理解确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程. 　 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.圆的定义及方程 2.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|=r⇔M在圆上，即(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔M在圆内. 3.常见圆的方程的设法 标准方程的设法 一般方程的设法 圆心在 原点 x2+y2=r2 x2+y2-r2=0 过原点 (x-a)2+(y-b)2=a2+b2 x2+y2+Dx+Ey=0 圆心 在x轴上 (x-a)2+y2=r2 x2+y2+Dx+F=0 圆心 在y轴上 x2+(y-b)2=r2 x2+y2+Ey+F=0 与x轴 相切 (x-a)2+(y-b)2 =b2 x2+y2+Dx+Ey+ D2=0 与y轴 相切 (x-a)2+(y-b)2 =a2 x2+y2+Dx+Ey+ E2=0 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2表示圆. (　　) (2)若圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=m2(m≠0)，则圆心为(a，b)，半径为m. (　　) (3)圆心是原点的圆的标准方程是x2+y2=r2(r>0). (　　) (4)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. (　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(人A选必修①P85T1改编)圆心坐标为(2，-3)且过原点的圆的方程是 (　　) A.(x-2)2+(y+3)2= B.(x+2)2+(y+3)2= C.(x+2)2+(y-3)2=13 D.(x-2)2+(y+3)2=13 答案：D 3.(人A选必修①P102T7改编)若曲线C：x2+y2+2ax-4ay-10a=0表示圆，则实数a的取值范围为 (　　) A.(-2，0) B.(-∞，-2)∪(0，+∞) C.[-2，0] D.(-∞，-2]∪[0，+∞) 解析：选B　由x2+y2+2ax-4ay-10a=0，得(x+a)2+(y-2a)2=5a2+10a，由该曲线表示圆，可知5a2+10a>0，即a<-2或a>0. 4.(人A选必修①P85T2改编)若点(1，2)在圆(x+a)2+(y-a)2=2a2的外部，则实数a的取值范围是 (　　) A. B.(-∞，0)∪ C. D. 解析：选B　∵点(1，2)在圆的外部，∴(1+a)2+(2-a)2>2a2，即5-2a>0，a<，又2a2>0，∴a≠0，∴实数a的取值范围为(-∞，0)∪. (易错提醒：本题易忽视隐含条件2a2>0，而错选A) 5.(北师大选必修①P44T2)已知圆C：2x2+2y2+4x-2y-1=0，则圆心的坐标为　　　　，半径为　　　　.  答案：　 题点一　圆的方程 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1] (1)(2024·北京高考)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为 (　　) A. B.2 C.3 D.3 解析：选D　化圆的方程为标准方程，得(x-1)2+(y+3)2=10，∴该圆的圆心(1，-3)到直线x-y+2=0的距离为==3. (2)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为　　　　　.  解析：法一　设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，则解得 ∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 法二　设☉M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，则M， ∴解得 ∴☉M的方程为x2+y2-2x+2y-3=0， 即(x-1)2+(y+1)2=5. 法三　设A(3，0)，B(0，1)，☉M的半径为r，则kAB==-，AB的中点坐标为，∴AB的垂直平分线方程为y-=3，即3x-y-4=0.联立得解得M(1，-1)， ∴r2=|MA|2=(3-1)2+[0-(-1)]2=5， ∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5. 答案：(x-1)2+(y+1)2=5 |思维建模| 1.求圆的方程的常用方法 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程. (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值. 2.确定圆心的方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上； (3)圆心在圆的任意两条不平行的弦的中垂线的交点上； (4)两圆相切时，切点与两圆圆心共线，确定圆的半径的主要方法是构造直角三角形(即以弦长的一半、弦心距、半径组成的三角形)，并解此直角三角形. [即时训练] 1.(2025·海南模拟)下列方程中表示圆心在直线y=x上，半径为，且过原点的圆的是 (　　) A.(x-1)2+(y-1)2= B.(x-1)2+(y+1)2= C.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2 解析：选D　因为圆心在y=x上，所以设圆心为(a，a)，因为圆的半径为，所以设圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=2，因为该圆过原点，所以(-a)2+(-a)2=2，解得a=±1，所以圆心为(1，1)或(-1，-1)，当圆心为(1，1)时，圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2，D正确；当圆心为(-1，-1)时，圆的标准方程为(x+1)2+(y+1)2=2.故选D. 2.(2025·邯郸模拟)已知三点A(3，2)，B(5，-3)，C(-1，3)，以P(2，-1)为圆心作一个圆，使得A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则这个圆的标准方程为　　　　　　.  解析：由题设，知|PA|=，|PB|=，|PC|=5，即|PA|<|PB|<|PC|.要使A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，则圆以|PB|为半径，故圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=13. 答案：(x-2)2+(y+1)2=13 题点二　与圆有关的轨迹问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2] (1)过圆C：(x-3)2+(y+4)2=4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为 (　　) A.8x-6y-21=0 B.8x+6y-21=0 C.6x+8y-21=0 D.6x-8y-21=0 解析：选D　由题意得，圆心C的坐标为(3，-4)，半径r=2，如图，因为|PQ|=|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2+r2=|PC|2，所以x2+y2+4=(x-3)2+(y+4)2，即6x-8y-21=0，所以点P的轨迹方程为6x-8y-21=0. (2)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(-1，0)，B(3，0)，则直角顶点C的轨迹方程为　　　　　　　　.  解析：法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC=-1.又kAC=，kBC=，所以·=-1，化简得x2+y2-2x-3=0.因此，直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0). 法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2. 由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆. 由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点. 所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0). 答案：(x-1)2+y2=4(y≠0) |思维建模|　求与圆有关的轨迹问题的方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程. (3)几何法：利用圆的几何性质列方程. (4)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解. [即时训练] 3.已知等腰△ABC的底边BC对应的顶点是A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，则底边另一个端点C的轨迹方程是 (　　) A.(x-4)2+(y-2)2=10 B.(x+4)2+(y-2)2=10 C.(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3，x≠5) D.(x+4)2+(y-2)2=10(x≠3，x≠5) 解析：选C　设C(x，y)，由题意，知|AB|==，因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形，于是有|CA|=|AB|=，即点C的轨迹是以A为圆心，为半径的圆.又点A，B，C构成三角形，即三点不可共线，则轨迹中需去掉点B(3，5)及点B关于点A对称的点(5，-1)，所以点C的轨迹方程为(x-4)2+(y-2)2=10，去掉(3，5)，(5，-1)两点. 4.(2025·烟台一模)若长为10的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹为　　　　　　　　.  解析：设M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，则=10，a2+b2=100，且∴代入a2+b2=100，得4x2+4y2=100，即x2+y2=25，即点M的轨迹为以原点(0，0)为圆心，5为半径的圆. 答案：以原点(0，0)为圆心，5为半径的圆 题点三　与圆有关的最值、范围问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 方法(一)　借助几何性质求最值 [例3]　(2025·泉州模拟)已知实数x，y满足方程x2+y2-4x+1=0.求： (1)的最大值和最小值； (2)y-x的最小值； (3)x2+y2的最大值和最小值. 解：(1)如图，方程x2+y2-4x+1=0表示以点(2，0)为圆心，为半径的圆. 设=k，即y=kx，则圆心(2，0)到直线y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值. 由=，解得k2=3，∴kmax=，kmin=-.∴==-. (2)设y-x=b，则y=x+b，当且仅当直线y=x+b与圆相切于第四象限时，截距b取最小值， 由点到直线的距离公式，得=，即b=-2±，故(y-x)min=-2-. (3)x2+y2是圆上点与原点的距离的平方，设圆与x轴相交于点B和C'(点B在点C'左侧)， 则(x2+y2)max=|OC'|2=(2+)2=7+4，(x2+y2)min=|OB|2=(2-)2=7-4. |思维建模|　与圆有关的最值问题的3种几何转化法 (1)形如m=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如m=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题. 拓展与建模 圆的参数方程 圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的参数方程为其中θ为参数. [示例]　利用圆的参数方程解决[例3](2)(3). 解题观摩：x2+y2-4x+1=0可化为(x-2)2+y2=3，令 (2)∵y-x=sin θ-(2+cos θ)=sin-2，∴(y-x)min=--2. (3)x2+y2=(2+cos θ)2+(sin θ)2=7+4cos θ， ∵cos θ∈[-1，1]，∴(x2+y2)max=7+4，(x2+y2)min=7-4. 方法(二)　利用对称性求最值 [例4]　折纸既是一种玩具，也是一种艺术品，更是一种思维活动.如图，有一张直径为4的圆形纸片，圆心为O，在圆内任取一点P，折叠纸片，使得圆周上某一点刚好与点P重合，记此时的折痕为l，点Q在l上，则|OQ|+|PQ|的最小值为 (　　) A.5 B.4 C.3 D.2 解析：选D　如图，设P关于l对称的点为P1，则P1在圆O上，连接P1Q，OP1，则有|PQ|=|QP1|，故|QP|+|QO|=|QP1|+|QO|≥|OP1|=2. |思维建模| 求解形如|PM|+|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 方法(三)　建立函数关系式求最值 [例5]　设点P(x，y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点，定点A(2，0)，B(-2，0)，则·的最小值为　　　　.  解析：由题意，知=(2-x，-y)，=(-2-x，-y)，所以·=x2+y2-4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1，故x2=-(y-3)2+1，所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.由圆的方程为x2+(y-3)2=1，可知2≤y≤4，所以当y=2时，·的值最小，最小值为6×2-12=0. 答案：0 |思维建模|　建立函数关系式求最值的思路 建立函数关系式求最值，就是根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的. [即时训练] 5.(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2+y2-4x-2y-4=0，则x-y的最大值是 (　　) A.1+ B.4 C.1+3 D.7 解析：选C　法一　令x-y=k，则x=k+y，代入原式化简得2y2+(2k-6)y+k2-4k-4=0，因为存在实数y，则Δ≥0，即(2k-6)2-4×2(k2-4k-4)≥0，化简得k2-2k-17≤0，解得1-3≤k≤1+3，故x-y 的最大值是3+1. 法二　由x2+y2-4x-2y-4=0，整理得(x-2)2+(y-1)2=9，令x=3cos θ+2，y=3sin θ+1，其中θ∈[0，2π]，则x-y=3cos θ-3sin θ+1=3cos+1，因为θ∈[0，2π]，所以θ+∈，则θ+=2π，即θ=时，x-y取得最大值3+1. 法三　由x2+y2-4x-2y-4=0，可得(x-2)2+(y-1)2=9，设x-y=k，则圆心到直线x-y=k的距离d=≤3，解得1-3≤k≤1+3.故x-y的最大值是1+3. 6.设P(x，y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点，则(x-5)2+(y+4)2的最大值是 (　　) A.6 B.25 C.26 D.36 解析：选D　(x-5)2+(y+4)2表示点P(x，y)到(5，-4)的距离的平方，∵P(x，y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点，∴(x-5)2+(y+4)2的最大值为圆心(2，0)到(5，-4)的距离与半径之和的平方，即[(x-5)2+(y+4)2]max=[+1]2=36. 数智赋能：电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单选题 1.(2025·杭州模拟)圆C：x2+y2-2x+4y=0的圆心C坐标和半径r分别为 (　　) A.C(1，-2)，r= B.C(1，-2)，r=5 C.C(-1，2)，r= D.C(-1，2)，r=5 解析：选A　圆C：x2+y2-2x+4y=0，即C：(x-1)2+(y+2)2=5，它的圆心C坐标和半径r分别为C(1，-2)，r=.故选A. 2.若点(a+1，a-1)在圆x2+y2-2ay-4=0的内部，则a的取值范围是 (　　) A.(1，+∞) B.(0，1) C. D.(-∞，1) 解析：选D　由题可知，半径r=，所以a∈R，把点(a+1，a-1)代入方程，则(a+1)2+(a-1)2-2a(a-1)-4<0，解得a<1，所以a的取值范围是(-∞，1)，故选D. 3.(2025·大连一模)过点(-1，1)和(1，3)，且圆心在x轴上的圆的方程为 (　　) A.x2+y2=4 B.(x-2)2+y2=8 C.(x-1)2+y2=5 D.(x-2)2+y2=10 解析：选D　令该圆圆心为(a，0)，半径为r，则该圆方程为(x-a)2+y2=r2，则有解得故该圆方程为(x-2)2+y2=10.故选D. 4.(2025·焦作开学考试)已知圆经过点A(4，4)，B(-2，4)，C(4，-4)，则该圆的半径为 (　　) A.4 B.5 C.8 D.10 解析：选B　因为=(-6，0)，=(0，-8)，·=0，所以⊥，所以∠BAC=90°，所以该圆的直径为|BC|==10，所以半径为5.故选B. 5.已知M为圆(x-1)2+y2=2上一动点，则点M到直线x-y+3=0的距离的最大值为 (　　) A. B.2 C.3 D.4 解析：选C　∵圆(x-1)2+y2=2，∴圆心(1，0)，半径r=，∴圆心到直线的距离d==2，∴圆(x-1)2+y2=2上的点到直线x-y+3=0的距离的最大值为2+=3，故选C. 谨记结论：设r为圆C的半径，d为圆心C到直线l的距离.如图(1)，当直线l与圆C相交时，圆C上的点到直线l的最小距离为0，最大距离为|AD|=r+d；如图(2)，当直线l与圆C相切时，圆C上的点到直线l的最小距离为0，最大距离为|AD|=2r；如图(3)，当直线l与圆C相离时，圆C上的点到直线l的最小距离为|BD|=d-r，最大距离为|AD|=r+d. 6.已知直线l1：x-my-2=0与直线l2：mx+y-2=0(m∈R)交于点A，若点B(-1，3)，则|AB|的最小值为 (　　) A. B.2 C.2 D.3 快审准解：由题可知直线l1与直线l2垂直，直线l1经过定点M(2，0)，直线l2经过定点N(0，2)，因此点A在以MN为直径的圆P上，因此|AB|min=|PB|-r. 解析：选A　当m=0时，直线l1：x-2=0，直线l2：y-2=0，此时直线l1与直线l2垂直；当m≠0时，直线l1的斜率为k1=，直线l2的斜率为k2=-m，因为k1k2=-1，所以直线l1与直线l2垂直.易知直线l1经过定点M(2，0)，直线l2经过定点N(0，2)，所以点A在以MN为直径的圆上，MN的中点为P(1，1)，所以r=|PN|==，所以圆P：(x-1)2+(y-1)2=2，所以|PB|==2，所以|AB|min=|PB|-r=2-=. 二、多选题 7.设有一组圆Ck：(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R)，下列命题正确的是 (　　) A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3，0) C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π 解析：选ABD　圆心坐标为(k，k)，在直线y=x上，A正确；令(3-k)2+(0-k)2=4，化简得2k2-6k+5=0，∵Δ=36-40=-4<0，∴2k2-6k+5=0无实数根，B正确；由(2-k)2+(2-k)2=4，化简得k2-4k+2=0，∵Δ=16-8=8>0，有两个不相等实根，∴经过点(2，2)的圆Ck有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D正确. 8.已知△ABC的三个顶点为A(-1，2)，B(2，1)，C(3，4)，则下列关于△ABC的外接圆圆M的说法正确的是 (　　) A.圆M的圆心坐标为(1，3) B.圆M的半径为 C.圆M关于直线x+y=0对称 D.点(2，3)在圆M内 解析：选ABD　设△ABC的外接圆圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，则解得所以△ABC的外接圆圆M的方程为x2+y2-2x-6y+5=0，即(x-1)2+(y-3)2=5.故圆M的圆心坐标为(1，3)，圆M的半径为，因为直线x+y=0不经过圆M的圆心(1，3)，所以圆M不关于直线x+y=0对称.因为(2-1)2+(3-3)2=1<5，故点(2，3)在圆M内. 9.在平面直角坐标系中，点A(-1，0)，B(1，0)，C(0，7)，动点P满足|PA|=|PB|，则 (　　) A.点P的轨迹方程为(x-3)2+y2=8 B.当△PAB的面积最大时，|PA|=2 C.当∠PAB最大时，|PA|=2 D.点P到直线AC的距离的最小值为 解析：选ABD　设P(x，y)，由|PA|=|PB|，得|PA|2=2|PB|2，所以[x-(-1)]2+(y-0)2=2[(x-1)2+(y-0)2]，化简得(x-3)2+y2=8，A正确；由对A的分析知y∈[-2，2]，所以△PAB的面积S=|AB||y|，|y|∈(0，2]，当△ABP的面积最大时，P点坐标为(3，2)或(3，-2)，此时|PA|==2，B正确；记圆(x-3)2+y2=8的圆心为D，则D(3，0)，当∠PAB最大时，PA为圆D的切线，连接PD(图略)，则|PA|2=|AD|2-|PD|2=42-(2)2=8，|PA|=2，C错误；直线AC的方程为7x-y+7=0，所以圆心D(3，0)到直线AC的距离为=，所以点P到直线AC的距离的最小值为-2=，D正确.故选ABD. 三、填空题 10.已知a∈R，方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标为　 　　，半径为　 　　.  解析：由题可得a2=a+2，解得a=-1或a=2.当a=2时，方程不表示圆，舍去.当a=-1时，方程为x2+y2+4x+8y-5=0，表示圆，圆心坐标为(-2，-4)，半径为5. 答案：(-2，-4)　5 11.(2025·蚌埠模拟)已知定点A(4，0)，P是圆x2+y2=4上的一动点，Q是AP的中点，则点Q的轨迹方程是　　　　　　.  解析：如图所示，设P(x0，y0)，Q(x，y)，则+=4，　① 因为Q为AP的中点， 所以⇒　②所以由①②，得(2x-4)2+(2y)2=4，即(x-2)2+y2=1，所以点Q的轨迹方程为(x-2)2+y2=1. 答案：(x-2)2+y2=1 四、解答题 12.(10分)如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为6和2，高为3. (1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；(4分) (2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程.(6分) 解：(1)设圆心E(0，b)，则C(，3)，B(3，0). 由|EB|=|EC|，得=，解得b=1，所以圆的半径为|EB|==. 所以圆E的方程为x2+(y-1)2=10. (2)设P(x，y)，由于P是MN的中点， 由中点坐标公式，得M(2x-5，2y-2)， 代入x2+(y-1)2=10， 化简得+=，即线段MN的中点P的轨迹方程为+=. 13.(10分)已知动圆C经过点A(2，-3)和B(-2，-5). (1)当圆C的面积最小时，求圆C的方程；(5分) (2)若圆C的圆心在直线3x+y+5=0上，求圆C的方程.(5分) 解：(1)要使圆C的面积最小，则AB为圆C的直径，圆心C(0，-4)，半径r=|AB|=，所以所求圆C的方程为x2+(y+4)2=5. (2)设所求圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，根据已知条件得解得所以所求圆C的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系 　1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 　 2.能用直线与圆的方程解决一些简单的弦长、切线问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.直线与圆的位置关系 设圆O的半径为r(r>0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 Δ<0 Δ=0 Δ>0 几何观点 d>r d=r d<r 2.圆与圆的位置关系 设圆O1，O2的半径分别为R，r(R>r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图形 数量的 关系 d>R+r d=R+r R-r<d<R+r d=R-r d<R-r 公切线 条数 4 3 2 1 0 解题结论拓展 1.牢记3个相关结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2. 2.设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0， (1)若两圆相交，将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程.两圆圆心的连线垂直平分公共弦. (2)若两圆相切，将两圆方程直接作差，得到两圆公切线所在的直线方程. 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交. (　　) (2)直线l：x=0与圆x2+y2=1的位置关系是相交且过圆心. (　　) (3)如果一条直线被圆截得的弦长最长，则此直线过圆心. (　　) (4)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解. (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2.(人A选必修①P93T1改编)直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是 (　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 解析：选A　因为圆心到直线的距离d==1<4，所以直线与圆相交. 3.(苏教选必修①P66T2)设a，b为实数，若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是 (　　) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.不能确定 答案：B 4.(人A选必修①P98T1改编)圆C1：x2+y2=4与圆C2：x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是 (　　) A.外切 B.相交 C.外离 D.内切 解析：选A　圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1=2，圆C2可化为(x-4)2+(y-3)2=9，∴圆心C2(4，3)，半径r2=3，∴|C1C2|==5=r1+r2，故两圆外切. 5.(人A选必修①P91例1改编)直线l：3x-y-6=0被圆C：x2+y2-2x-4y=0截得弦AB的长为　　　　　.  解析：将圆的方程化为标准式，可得(x-1)2+(y-2)2=5，利用点到直线的距离可以求得弦心距为=，根据圆中的特殊三角形，可知其弦长为2=. 答案： 题点一　直线与圆的位置关系 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1] (1)直线l：mx-y+1-m=0与圆C：x2+(y-1)2=5的位置关系是 (　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 解析：选A　法一：代数法　由 消去y，整理得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0，因为Δ=16m2+20>0，所以直线l与圆相交. 法二：几何法　由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离为d=<1<=r，所以直线l与圆相交. 法三：定点法　直线l：mx-y+1-m=0，整理得m(x-1)-y+1=0过(1，1)，而12+(1-1)2<5，即(1，1)在圆内，所以直线l与圆相交. (2)若曲线C：x2+(y+1)2=1与直线l：x+y+a=0有公共点，则实数a的取值范围为　　　　　　.  解析：易知圆心(0，-1)到直线l的距离小于或等于半径，故≤1，解得1-≤a≤1+. 答案：[1-，1+] |思维建模|　判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. [即时训练] 1.[多选]已知直线l：ax+by-r2=0与圆C：x2+y2=r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是 (　　) A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 解析：选ABD　∵点A在圆C上，∴a2+b2=r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d==|r|，∴直线l与圆C相切，故A正确.∵点A在圆C内，∴a2+b2<r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d=>|r|，∴直线l与圆C相离，故B正确.∵点A在圆C外，∴a2+b2>r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d=<|r|，∴直线l与圆C相交，故C错误.∵点A在直线l上，∴a2+b2=r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d==|r|，∴直线l与圆C相切，故D正确.故选ABD. 2.若圆x2+y2=r2(r>0)上恒有4个点到直线l：x-y-2=0的距离为1，则实数r的取值范围是　　　　　　.  解析：计算得圆心到直线l的距离为=>1，如图，直线l：x-y-2=0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离+1. 答案：(+1，+∞) 题点二　圆的切线与弦长问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 考法(一)　弦长问题 [例2] (1)已知圆C：x2+y2=4，直线l：y=kx+m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m= (　　) A.±2 B.± C.± D.±3 解析：选C　由题可得圆心为(0，0)，半径为2，则圆心到直线的距离d=，则弦长为2，则当k=0时，弦长取得最小值为2=2，解得m=±.故选C. (2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x-my+1=0与☉C：(x-1)2+y2=4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值　　　　　　.  解析：设直线x-my+1=0为直线l，由条件知☉C的圆心C(1，0)，半径r=2，C到直线l的距离d=，|AB|=2=2=.由S△ABC=，得××=，整理得2m2-5|m|+2=0，解得m=±2或m=±. 答案：2 |思维建模|　直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：若弦心距d、半径r，则弦长|AB|=2. (2)代数法：设直线l：y=kx+b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l=|x1-x2| = =·(a为二次项系数). 考法(二)　切线问题 [例3] (1)(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则sin α= (　　) A.1 B. C. D. 解析：选B　如图，x2+y2-4x-1=0，即(x-2)2+y2=5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r=，所以圆心到点(0，-2)的距离为=2，因为圆心与点(0，-2)的连线平分角α，所以sin===，所以cos=，所以sin α=2sincos=2××=.故选B. 习得方略：解决此类问题的关键：①作草图，作出符合题意的圆与切线；②会用性质，即会利用圆外一点与圆心的连线平分过圆外的该点的圆的两切线的夹角；③活用公式，即会利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式求解. (2)过点(-4，3)的圆(x+3)2+(y-1)2=1的切线方程为　　　　　　　.  解析：当切线的斜率不存在时，切线的方程为x=-4，圆心(-3，1)到该直线的距离等于半径1，符合题意.当切线的斜率存在时，设过点(-4，3)的切线方程为y-3=k(x+4)，即kx-y+4k+3=0，∵圆心到直线kx-y+4k+3=0的距离等于半径，∴=1，解得k=-，∴切线方程为3x+4y=0.综上所述，切线方程为x=-4或3x+4y=0. 答案：x=-4或3x+4y=0 易错提醒：若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线必有两条，无论是用几何法还是代数法求得k值是一个时，另一条切线斜率一定不存在. |思维建模|　求切线问题的策略 　　求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线. 考法(三)　最值、范围问题 [例4]　 (1)(2025·重庆模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x-1)2+y2=4，P为直线l：x+y+3=0上的一个动点，过点P作圆C的切线PM，切点为点M，当|PM|最小时，·的值为 (　　) A.4 B. C.2 D.3 解析：选A　由于PM是圆C的切线，所以PM⊥CM，所以|PM|==，当PC⊥l时，|PC|最小，此时|PM|最小.C(1，0)到直线l：x+y+3=0的距离为=2，即PC⊥l时，|PC|=2，|PM|min==2，所以此时△PCM是等腰直角三角形，所以当|PM|最小时，·的值为2×2×cos=4. (2)(2025·荆州模拟)已知圆O：x2+y2=10，直线l：ax+by=2a-b(a，b∈R)与圆O的交点分别为M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，|MN|=　　　　.  解析：直线l：ax+by=2a-b(a，b∈R)，即a(x-2)+b(y+1)=0，所以直线过定点A(2，-1)，|OA|==，圆O半径r=，点A在圆O内，所以当直线与OA垂直的时候，|MN|最短，此时|MN|=2=2. 答案：2 |思维建模|　求解与圆有关的最值、范围问题的步骤 第一步定型：根据题目条件确定最值问题的类型； 第二步作图：根据几何意义，画出图象，利用数形结合思想求解； 第三步求值：根据图象，利用相关知识求解. [即时训练] 3.以点(1，1)为圆心的圆C截直线y=x+2所得的弦长为2，则圆C的半径为 (　　) A.1 B. C.2 D. 解析：选D　由题意可知，圆心(1，1)到直线x-y+2=0的距离d==，所以圆C的半径为r==.故选D. 4.过直线x-y-m=0上一点P作圆M：(x-2)2+(y-3)2=1的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为的点P有两个，则实数m的取值范围是　　　　.  解析：由圆M：(x-2)2+(y-3)2=1，可知圆心M(2，3)，半径为1，所以|MA|=|MB|=1，所以四边形PAMB的面积为S=|PA||MA|+|PB||MB|=|PA|=，所以|PM|===2，要使四边形PAMB的面积为的点P有两个，则<2，解得-5<m<3. 答案：(-5，3) 5.(2024·北京西城三模)若直线kx-y+k=0与☉C：(x-1)2+y2=4交于A，B两点，则△ABC面积的最大值为　　　　，写出满足“△ABC面积最大”的k的值为　　　　.  解析：直线kx-y+k=0，则(x+1)k-y=0，令解得所以直线kx-y+k=0恒过点(-1，0)，☉C：(x-1)2+y2=4的圆心为C(1，0)，半径r=2，显然点(-1，0)在☉C上，圆心C(1，0)到直线的距离d=，|AB|=2，则S△ABC=|AB|d=·d=≤ =2，当且仅当d2=4-d2，即d2=2时取等号，即=2，解得k=±1. 答案：2　±1 题点三　圆与圆的位置关系 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例5]　(多选)已知圆C1：x2+y2=9与圆C2：(x-3)2+(y-4)2=16，下列说法正确的是 (　　) A.C1与C2的公切线恰有4条 B.C1与C2相交弦的方程为3x+4y-9=0 C.C1与C2相交弦的弦长为 D.若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max=12 解析：选BD　由已知得圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1=3，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2=4，|C1C2|==5，r2-r1<|C1C2|<r1+r2，故两圆相交，所以C1与C2的公切线恰有2条，故A错误；作差可得C1与C2相交弦的方程为3x+4y-9=0，故B正确；C1到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为2=，故C错误；若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max=|C1C2|+r1+r2=12，故D正确.故选BD. |思维建模|　圆与圆位置关系的解题策略 (1)处理与两圆的位置关系相关的问题时，多用圆心距与两圆半径的和或差的大小关系判断，一般不采用代数法.重视两圆内切的情况，作图观察. (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到. (3)求两圆公共弦长时，常选其中一圆，由弦心距d，半弦长，半径r构成直角三角形，利用勾股定理求解. [即时训练] 6.(2025·齐齐哈尔模拟)[多选]已知圆C1：(x-3)2+y2=1，C2：x2+(y-a)2=16，则下列结论正确的有 (　　) A.若圆C1和圆C2外离，则a>4 B.若圆C1和圆C2外切，则a=±4 C.当a=0时，圆C1和圆C2有且仅有一条公切线 D.当a=-2时，圆C1和圆C2相交 解析：选BCD　C1(3，0)，C2(0，a)，|C1C2|=，r1=1，r2=4.若C1和C2外离，则|C1C2|=>r1+r2=5，解得a>4或a<-4，故A错误；若C1和C2外切，则|C1C2|==5，解得a=±4，故B正确；当a=0时，|C1C2|=3=r2-r1，C1和C2内切，故C正确；当a=-2时，3<|C1C2|=<5，C1和C2相交，故D正确.故选BCD. 7.(2022·新课标Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程　　　　　　　.  解析：如图，因为圆x2+y2=1的圆心为O(0，0)，半径r1=1，圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为A(3，4)，半径r2=4，所以|OA|=5，r1+r2=5，所以|OA|=r1+r2，所以两圆外切，公切线有三种情况： ①易知公切线l1的方程为x=-1. ②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称.易知过两圆圆心的直线l的方程为y=x，由得由对称性可知公切线l2过点.设公切线l2的方程为y+=k(x+1)，则点O(0，0)到l2的距离为1，所以1=，解得k=，所以公切线l2的方程为y+=(x+1)，即7x-24y-25=0. ③还有一条公切线l3与直线l：y=x垂直，设公切线l3的方程为y=-x+t，易知t>0，则点O(0，0)到l3的距离为1，所以1=，解得t=或t=-(舍去)，所以公切线l3的方程为y=-x+，即3x+4y-5=0.综上，所求直线方程为x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0. 答案：x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可) 数智赋能：电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单选题 1.已知圆(x-2)2+(y-3)2=r2(r>0)与y轴相切，则r等于 (　　) A. B. C.2 D.3 解析：选C　圆(x-2)2+(y-3)2=r2(r>0)的圆心为(2，3)，半径为r.因为圆与y轴相切，所以r=2. 2.若直线+=1与圆x2+y2=1相交，则 (　　) A.+<1 B.+>1 C.a2+b2<1 D.a2+b2>1 解析：选B　由直线+=1，可化为bx+ay-ab=0.因为直线bx+ay-ab=0与圆x2+y2=1相交，可得<1，整理得a2+b2>a2b2，所以+>1. 3.(2025·成都开学考试)在同一平面直角坐标系中，直线mx-y+1=0(m∈R)与圆x2+y2=2的位置不可能为 (　　) 解析：选C　圆x2+y2=2的圆心坐标为(0，0)，半径为，直线mx-y+1=0(m∈R)过圆内定点(0，1)，斜率可正可负可为0，A、B、D选项都有可能，C选项不可能.故选C. 4.(2025·长沙模拟)已知过点A(1，0)的直线l与圆C：(x+2)2+y2=4相交于M，N两点，若|MN|=2，则l的斜率为 (　　) A.± B.± C.± D.± 解析：选A　圆C：(x+2)2+y2=4的圆心C(-2，0)，半径r=2，易知直线斜率存在，设l的方程为y=k(x-1)，则圆心C(-2，0)到l的距离d=，则|MN|=2=2=2，解得k=±，所以l的斜率为±.故选A. 5.(2025·武汉模拟)已知点P是直线x-y-m=0上的动点，由点P向圆O：x2+y2=1引切线，切点分别为M，N且∠MPN=90°，若满足以上条件的点P有且只有一个，则m= (　　) A. B.± C.2 D.±2 快审准解：连接OM，ON，结合圆的切线性质可推得点P在以点O为圆心，为半径的圆C上，再由题意可知该圆与直线x-y-m=0相切，利用点到直线的距离公式，即可求得答案. 解析：选D　连接OM，ON，则PM⊥OM，PN⊥ON.又∠MPN=90°，OM=ON，所以四边形MPNO为正方形，所以|PO|=|ON|=，于是点P在以点O为圆心，为半径的圆C上.又由满足条件的点P有且只有一个，则圆C与直线x-y-m=0相切，所以点O到直线x-y-m=0的距离d=，即=，解得m=±2. 6.(2025·安徽一模)已知直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|+|≥||，则实数k的取值范围是 (　　) A.() B.[) C.[，2) D.[，2) 解析：选C　设AB的中点为C，连接OC，则OC⊥AB，∵|+|≥||，∴|2|≥||，∴||≤||.∵||2+||2=4⇒||2≥4，即||2≥3，又∵直线x+y-k=0(k>0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A，B，∴||2<4，故4>||2≥3，则4>≥3，∵k>0，∴≤k<2.故选C. 二、多选题 7.(2025·茂名模拟)已知圆C：x2+y2-2x-2y-3=0，则 (　　) A.圆C的圆心坐标为(-1，-1) B.圆C的周长为2π C.圆M：(x+3)2+(y+1)2=5与圆C外切 D.圆C截y轴所得的弦长为3 解析：选BC　对于A、B，圆C的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=5，可得圆心的坐标为C(1，1)，半径为，则周长为2π，可知A错误，B正确；对于C，由M(-3，-1)，|MC|==2为两圆半径之和，可知C正确；对于D，令x=0，可得y2-2y-3=0，解得y=-1或y=3，可得圆C截y轴所得的弦长为4，可知D错误.故选BC. 8.(2025·郴州期末)已知圆C：x2+y2-4x-2y-13=0，则下列命题正确的是 (　　) A.圆心坐标为(2，1) B.直线l：x+y-1=0与圆C相交所得的弦长为8 C.圆C与圆O：x2+y2=8有三条公切线 D.圆C上恰有三个点到直线y=x+b的距离为，则b=3或b=-5 解析：选ABD　由圆C：x2+y2-4x-2y-13=0，可化为(x-2)2+(y-1)2=18，可得圆心C(2，1)，半径为r=3，所以A正确；由圆心C(2，1)到直线l：x+y-1=0的距离为d==，则相交弦长为2=2=8，所以B正确；由圆O：x2+y2=8，可得圆心O(0，0)，半径r1=2，可得|OC|=，且r-r1=，r+r1=5，则r-r1<|OC|<r+r1，所以圆O与圆C相交，可得两圆有两条公切线，所以C错误；由圆C上恰有三个点到直线y=x+b的距离为，则满足圆心C(2，1)到直线x-y+b=0的距离为2，即=2，解得b=3或b=-5，所以D正确.故选ABD. 9.(2025·重庆模拟)已知圆M：(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1，直线l：y=kx，则 (　　) A.对任意实数k与θ，直线l和圆M相切 B.对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点 C.对任意实数θ，必存在实数k，使得直线l和圆M相切 D.对任意实数k，必存在实数θ，使得直线l和圆M相切 解析：选BD　圆M：(x+cos θ)2+(y-sin θ)2=1恒过定点O(0，0)，直线l：y=kx也恒过定点O(0，0)，所以对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点，故B正确；圆心M(-cos θ，sin θ)，圆心到直线l的距离d===|sin(θ+α)|≤1，其中tan α=k，则对任意实数k，存在θ，使得直线l和圆M的关系是相交或相切，故D正确，A错误；当θ=0时，圆M为(x+1)2+y2=1，此时不存在实数k，使得直线l和圆M相切，故C错误. 三、填空题 10.(2024·桂林三模)在中国传统文化中，“九”被视为至尊之数，象征长寿、福气和完美.若直线l与圆C相切，直线l在两坐标轴上的截距均为9，圆C的半径为9，点C到x轴的距离为9，则圆C的一个方程为　　　　.  解析：由题意可得直线l的方程为x+y-9=0，设C(a，±9)，由直线l与圆C相切，得=9，所以a=±9或a=18±9，所以圆C的一个方程可以为(x-9)2+(y-9)2=81. 答案：(x-9)2+(y-9)2=81 (答案不唯一) 11.与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程为　　　　　　　　.  解析：曲线方程化为(x-6)2+(y-6)2=18，其圆心到直线x+y-2=0的距离d==5.所求的最小圆的圆心在直线y=x上，其到直线的距离为，圆心坐标为(2，2)，所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=2. 答案：(x-2)2+(y-2)2=2 四、解答题 12.(10分)已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.求： (1)m取何值时两圆外切?(5分) (2)当m=45时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.(5分) 解：两圆的标准方程分别为(x-1)2+(y-3)2=11，(x-5)2+(y-6)2=61-m(m<61)， 则圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为和. (1)当两圆外切时，=+，解得m=25+10. (2)两圆的公共弦所在直线的方程为(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0，即4x+3y-23=0. 所以公共弦的长为2×=2. 13.(10分)已知圆C的方程为x2+y2=1. (1)求过点P(1，2)且与圆C相切的直线l的方程；(5分) (2)直线m过点P(1，2)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|=，求直线m的方程.(5分) 解：(1)根据题意，得点P在圆C外，分两种情况讨论： 当直线l的斜率不存在时，过点P(1，2)的直线方程是x=1，与圆C：x2+y2=1相切，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k(x-1)，即kx-y-k+2=0. 因为直线l与圆C相切，所以圆心(0，0)到直线l的距离为=1，解得k=. 此时，直线l的方程为3x-4y+5=0. 所以满足条件的直线l的方程是x=1或3x-4y+5=0. (2)根据题意，若|AB|=，则圆心到直线m的距离d==， 结合(1)知直线m的斜率一定存在. 设直线m的方程为y-2=n(x-1)，即nx-y-n+2=0， 则d==，解得n=1或n=7. 所以满足条件的直线m的方程是x-y+1=0或7x-y-5=0. 第五节　 椭　圆 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.掌握椭圆的简单应用. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. (1)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数=|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准 方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 范围 x∈[-a，a]， y∈[-b，b] x∈[-b，b]， y∈[-a，a] 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(-a，0)，A2(a，0)， B1(0，-b)，B2(0，b) A1(0，-a)，A2(0，a)， B1(-b，0)，B2(b，0) 焦距 |F1F2|=2c 离心率 e=，且e∈(0，1) a，b，c 的关系 c2=a2-b2 解题结论拓展 (1)设P为椭圆上任意一点，F1为椭圆的一个焦点，则①b≤|OP|≤a；②a-c≤|PF1|≤a+c. (2)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点F1，F2构成的△PF1F2叫做焦点三角形.∠F1PF2=θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆+=1(a>b>0)中： ①当|PF1|=|PF2|时，即点P为短轴端点时，θ最大； ②S=|PF1||PF2|sin θ=c|y0|=b2tan，当|y0|=b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； ③△PF1F2的周长为2(a+c)； ④|PF1||PF2|≤=a2. (3)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长为lmin=. 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆. (　　) (2)方程mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆. (　　) (3)+=1(a>b>0)与+=1(a>b>0)的焦距相同. (　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ 2.(北师大选必修①P55T2改编)椭圆+=1的离心率是　　　　.  答案： 3.(人B选必修①P139例3改编)若椭圆C：+=1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为　　　　.  解析：由题意知a=2，b=，所以c=1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a+c=3. 答案：3 4.(人B选必修①P141T4改编)已知椭圆的一个焦点为F(6，0)，且B1，B2是短轴的两个端点，△FB1B2是等边三角形，则这个椭圆的标准方程是　　　　　.  答案：+=1 第1课时　椭圆的定义及标准方程 题点一　椭圆的定义及其应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 考法(一)　与椭圆有关的轨迹问题 [例1]　已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是 (　　) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析：选B　点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|=|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|.由椭圆的定义知，动点P的轨迹是椭圆. |思维建模| 　　在椭圆的有关题目中，若遇到动点到两定点的距离问题，应联想椭圆的定义.而定义中的“|PF1|+|PF2|=2a>|F1F2|”是椭圆的最本质的几何特征，在解题时一定要注意这一条件，若能够对它进行灵活应用，可使解题思路清晰，过程简洁. 考法(二)　焦点三角形问题 [例2] (1)(2023·全国甲卷)设F1，F2为椭圆C：+y2=1的两个焦点，点P在C上，若·=0，则|PF1|·|PF2|= (　　) A.1 B.2 C.4 D.5 解析：选B　法一　因为·=0，所以PF1⊥PF2，则=|PF1|·|PF2|=b2tan，得|PF1|·|PF2|=1×tan，所以|PF1|·|PF2|=2，故选B. 法二　因为·=0，所以PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=16.因为|PF1|+|PF2|=2a=2，所以(|PF1|+|PF2|)2=20，即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=20，所以|PF1|·|PF2|=2，故选B. (2)经过椭圆+=1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2为椭圆的右焦点，则△AF2B的周长为　　　　.  解析：由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，且|AF1|+|BF1|=|AB|，a=3，所以△AF2B的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=12. 答案：12 |思维建模|　焦点三角形的应用 　　椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等. 考法(三)　最值问题 [例3]　在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆+=1上的一个动点，点A(1，1)，B(0，-1)，则|PA|+|PB|的最大值为　　　　.  解析：∵椭圆的方程为+=1，∴a2=4，b2=3，c2=1，∴B(0，-1)是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为C(0，1)，如图所示，根据椭圆的定义知，|PB|+|PC|=4，∴|PB|=4-|PC|，∴|PA|+|PB|=4+|PA|-|PC|≤4+|AC|=5，当且仅当点P在AC的延长线上时，等号成立，∴|PA|+|PB|的最大值为5. 答案：5 |思维建模|　解决椭圆最值问题的常见思路 (1)与焦半径(椭圆上一点与焦点的距离称为焦半径)乘积有关的最值问题，一般利用椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件. (2)与|PF1|，|PF2|(P为椭圆上一点，F1，F2为椭圆的焦点)的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解. [即时训练] 1.已知椭圆+=1上的一点P到焦点F1的距离为6，点M是PF1的中点，O为坐标原点，则|OM|= (　　) A.2 B.4 C.7 D.14 解析：选C　如图所示，设椭圆的另一焦点为F2，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，所以|OM|=|PF2|.由椭圆的方程得a=10，所以2a=20，所以|PF2|=2a-|PF1|=20-6=14，所以|OM|=7，故选C. 2.若F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2=45°，则△AF1F2的面积为　　　　.  解析：由题意得a=3，b=，c=，∴|F1F2|=2，|AF1|+|AF2|=6.∵|AF2|2=|AF1|2+ |F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|cos 45°=|AF1|2+8-4|AF1|，∴(6-|AF1|)2=|AF1|2+8-4|AF1|，解得|AF1|=.∴△AF1F2的面积S=×2××=. 答案： 3.已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为　　　　.  解析：如图，由+=1，得a=5，b=4，因为点M在C上，所以|MF1|+|MF2|=2a=10，所以10=|MF1|+|MF2|≥2，所以5≥，得25≥|MF1|·|MF2|，当且仅当|MF1|=|MF2|=5时取等号，所以|MF1|·|MF2|的最大值为25. 答案：25 题点二　求椭圆的方程 　　　　　　　　　　　　　　　　 方法(一)　定义法 [例4] (1)已知两圆C1：(x-4)2+y2=169，C2：(x+4)2+y2=9，动圆M在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程是 (　　) A.-=1 　B.+=1 C.-=1 　D.+=1 解析：选D　设动圆的圆心M(x，y)，半径为r，圆M与圆C1：(x-4)2+y2=169内切，与圆C2：(x+4)2+y2=9外切，所以|MC1|=13-r，|MC2|=3+r，|MC1|+|MC2|=16>|C1C2|=8.由椭圆的定义，知M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆，则a=8，c=4，所以b2=82-42=48，动圆圆心M的轨迹方程为+=1. (2)某椭圆的两焦点坐标分别为F1(-，0)，F2(，0)，P是椭圆上一点，若PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|=8，则该椭圆的方程为 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 快审准解：根据椭圆的定义以及直角三角形的勾股定理列出方程，求解即可. 解析：选C　设|PF1|=m，|PF2|=n，因为PF1⊥PF2，|F1F2|=2，所以m2+n2=(2)2，即m2+n2=20.因为|PF1|·|PF2|=8，所以mn=8，所以(m+n)2=m2+n2+2mn=20+2×8=36.因为m>0，n>0，所以m+n=6，即2a=6，a=3，所以a2=9，b2=a2-c2=4，所以椭圆的方程为+=1，故选C. 方法(二)　待定系数法 [例5]　已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，则椭圆的方程为　　　　　　.  解析：设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n).由解得所以椭圆的方程为+=1. 答案：+=1 |思维建模| 根据条件求椭圆方程的主要方法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可. [即时训练] 4.已知F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，O为坐标原点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA=，则椭圆的标准方程为 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1或+=1 D.+=1或+=1 解析：选D　如图，当焦点在x轴上时，cos∠OFA====，因为2a=6，所以a=3，c=2，所以b2=a2-c2=9-4=5，所以椭圆的标准方程为+=1.同理，当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为+=1. 5.已知点P为椭圆+=1上的任意一点，O为原点，M满足=，则点M的轨迹方程为　　　　　　　　.  解析：设点M(x，y)，由=得点P(2x，2y).又点P为椭圆+=1上的任意一点，于是得+=1，整理得+=1，所以点M的轨迹方程是+=1. 答案：+=1 数智赋能：电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单选题 1.若椭圆+=1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为 (　　) A.6 B.3 C.4 D.2 解析：选A　由椭圆方程+=1，得a2=25，即a=5.设下焦点为F1，上焦点为F2，则|PF1|+|PF2|=2a=10.因为|PF2|=4，所以|PF1|=6，即点P到下焦点的距离为6. 2.已知动点A(x，y)满足等式=8-，则点A的轨迹方程是 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 快审准解：根据动点A(x，y)满足等式=8-，得到点A的轨迹是以F1(-3，0)，F2(3，0)为焦点的椭圆求解. 解析：选D　因为动点A(x，y)满足等式=8-，所以表示点A到点F1(-3，0)，F2(3，0)的距离之和为8，且|F1F2|=6<8，所以点A的轨迹是以F1(-3，0)，F2(3，0)为焦点的椭圆，其中a=4，c=3，b2=7，所以椭圆的方程是+=1，故选D. 3.在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A(-4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆+=1上，则= (　　) A. B. C. D. 解析：选D　根据题意，由椭圆的方程可得a=5，b=3，则其焦点坐标为(-4，0)和(4，0)，恰好是A，C两点，则|AC|=2c=8，|BC|+|BA|=2a=10.由正弦定理可得==，故选D. 4.(2025·武汉模拟)已知F1(-1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|=3，则椭圆C的标准方程为 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+x2=1 D.+y2=1 解析：选B　由对称性知|AF2|=|AB|=，又|F1F2|=2，则|AF1|===，所以2a=|AF1|+|AF2|=4，a=2，又c=1，则b==，所以椭圆C的标准方程为+=1.故选B. 5.已知椭圆C：+=1(0<m<9，m∈Z)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上但不在坐标轴上，且△PF1F2是等腰三角形，一个内角的余弦值为，则m= (　　) A.4 B.5 C.6 D.8 快审准解：|PF1|+|PF2|=6，设|F1F2|=n，由△PF1F2是等腰三角形，利用余弦定理求出n，即可求m的值. 解析：选B　依题意得|PF1|+|PF2|=6，设|F1F2|=n，不妨设点P在第一象限，若|PF1|=|F1F2|=n，则|PF2|=6-n(0<n<6)，故cos∠PF1F2==或cos∠PF2F1==，解得n=4或n=.又m∈Z，m+=9，所以n=4，m=5.若|PF2|=|F1F2|=n，则|PF1|=6-n(0<n<6)，同理可得n=4，m=5.此时|PF2|=4，|PF1|=2，不符合点P在第一象限，所以m=5.故选B. 6.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为的直线交C于第一象限内一点A.若线段AF1的中点B在y轴上，△AF1F2的面积为2，则C的方程为 (　　) A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析：选D　如图，∵O为线段F1F2的中点，B为线段AF1的中点，∴OB∥AF2.又OB⊥x轴，∴AF2⊥x轴.在Rt△AF2F1中，∠AF1F2=，设|AF2|=t(t>0)，则|AF1|=2t，|F1F2|=t.∵△AF1F2的面积为2，∴×t×t=2，t=2.∴2a=|AF1|+|AF2|=3t=6，a=3，2c=|F1F2|=t=2，c=，b2=a2-c2=6，则C的方程为+=1. 二、多选题 7.设定点F1(0，-2)，F2(0，2)，动点P满足|PF1|+|PF2|=a+(a>0)，则点P的轨迹可能是 (　　) A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 解析：选BC　由题意知，定点F1(0，-2)，F2(0，2)，可得|F1F2|=4，因为a>0，所以|PF1|+|PF2|=a+≥2=4，当且仅当a=，即a=2时取得等号.当a+=4时，可得|PF1|+|PF2|=|F1F2|，此时点P的轨迹是线段F1F2；当a+>4时，可得|PF1|+|PF2|>|F1F2|，此时点P的轨迹是椭圆.故选BC. 8.已知椭圆C1：+=1与C2：+=1，则 (　　) A.C1的短轴长与C2的长轴长相等 B.C1与C2的离心率相等 C.C1与C2的焦点横坐标按照从小到大的顺序排列构成等差数列 D.C2上存在两点，使得C1上任意一点到这两点距离之和为定值 快审准解：根据长轴、短轴、离心率、焦点以及椭圆定义，可得答案. 解析：选ABD　C1的短轴长与C2的长轴长都是4，故A正确；C1的离心率为=，C2的离心率为=，故B正确；C1与C2的焦点横坐标按照从小到大的顺序排列依次为-2，-，2，不是等差数列，故C错误；C2的长轴端点恰好是C1的焦点，则C1上任意一点到这两点的距离之和为2a=4，故D正确.故选ABD. 9.已知椭圆E：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的点，则下列说法正确的是 (　　) A.△PF1F2的周长为4 B.△PF1F2面积的最大值为 C.|+|的最小值为2 D.若△PA1A2的面积为2，则点P的横坐标为± 解析：选BC　由题意得a=2，b=，c=1，F1(-1，0)，F2(1，0)，短轴的一个端点B2(0，)，如图所示.对于A，|PF1|+|PF2|=2a=4，故△PF1F2的周长为4+2=6，故A错误；对于B，利用椭圆的性质可知△PF1F2面积的最大值为×2×=，故B正确；对于C，|+|=2||，设P(2cos θ，sin θ)，从而||==≥，所以|+|min=2，故C正确；对于D，因为=|A1A2||yP|=2|yP|=2，所以|yP|=1，则+=1，解得xP=±，故D错误. 三、填空题 10.椭圆+y2=1的两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则·的取值范围是　　　　.  解析：设F1为左焦点，则由椭圆方程得F1(-1，0)，F2(1，0)，设P(x，y)，-≤x≤，∴=(-1-x，-y)，=(1-x，-y)，则·=x2+y2-1=∈[0，1]. 答案：[0，1] 11.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线交椭圆于A，B两点，若F2为线段AB的中点，则△AF1B的面积为　　　　.  解析：由题意可知F1(-，0)，F2(，0)，因为点F2为线段AB的中点，所以AB⊥F1F2，所以|AB|==1，所以S△AF1B=|AB|·|F1F2|=. 答案： 四、解答题 12.(10分)已知点P是椭圆+=1(a>b>0)上一点，点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且F1(-1，0)，△PF1F2的周长为8. (1)求椭圆的标准方程；(4分) (2)若=2，求点P的坐标.(6分) 解：(1)由椭圆+=1(a>b>0)的焦点为F1(-1，0)，可得c=1，即2c=2. 又由椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|=2a. 因为△PF1F2的周长为8，所以2a+2c=2a+2=8，解得a=3，所以b2=a2-c2=8， 所以椭圆的标准方程为+=1. (2)设点P(x0，y0)，且F1(-1，0)，F2(1，0)，则|F1F2|=2.因为=2，所以|F1F2||y0|=×2×|y0|=2，解得|y0|=2，即y0=±2. 将y0=±2代入椭圆+=1，可得=，即=，解得x0=±， 所以点P的坐标为或或或. 13.(10分)已知动点P与两定点A(2，0)，B(-2，0)连线的斜率之积为-，点F(-1，0)，点Q(1，1). (1)求点P的轨迹方程；(4分) (2)求|PQ|+|PF|的最大值.(6分) 解：(1)设P(x，y)，则kPA=(x≠2)，kPB=(x≠-2)，由kPA·kPB=-，得·=-，整理得+=1(x≠±2). 故点P的轨迹方程为+=1(x≠±2). (2)由(1)知点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中a=2，b=，c==1， 故点F(-1，0)为椭圆的左焦点.设椭圆的右焦点为F'(1，0). 因为+<1，所以点Q在椭圆内. 由椭圆的定义得|PQ|+|PF|=|PQ|+2a-|PF'|≤|QF'|+2a=1+4=5， 当P，Q，F'三点共线(F'在线段PQ上)时取等号，所以|PQ|+|PF|的最大值为5. 第2课时　椭圆的性质及应用 题点一　利用椭圆的性质求标准方程 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　(2022·全国甲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若·=-1,则C的方程为 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+y2=1 解析:选B　依题意得A1(-a,0),A2(a,0),B(0,b),所以=(-a,-b),=(a,-b),·=-a2+b2=-(a2-b2)=-c2=-1,故c=1.又C的离心率e===,所以a=3,a2=9,b2=a2-c2=8,即C的方程为+=1,故选B. |思维建模|　待定系数法求椭圆方程的步骤 　　利用椭圆的性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤是: (1)确定焦点位置.在椭圆的性质中,焦点的位置、长轴(或短轴)的位置、长轴(或短轴)的端点坐标都可以确定焦点所在的坐标轴;一个顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率等不能确定焦点所在的坐标轴,此时需分焦点在x轴上或在y轴上进行讨论. (2)设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程). (3)根据已知条件建立关于参数的方程(组),利用方程(组)求参数,列方程(组)时常用的关系式为b2=a2-c2,e=等. [即时训练] 1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点(0,4),离心率为,则椭圆C的方程为 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:选D　依题意b=4,又=,且a2=b2+c2,所以a=5,c=3,故椭圆C的方程为+=1. 2.阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为,面积为20π,则椭圆C的标准方程为 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:选D　设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),则椭圆C的面积为S=πab=20π.又e===,联立解得所以椭圆C的标准方程为+=1. 题点二　求椭圆的离心率 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2] (1)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,过上顶点A作直线AF2交椭圆于另一点B.若|AB|=|F1B|,则椭圆C的离心率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　如图,因为△ABF1的周长为4a,|AF1|=|AF2|=a,|AB|=|F1B|,所以|AB|=|F1B|=,|BF2|=. 又cos∠AF2F1+cos∠BF2F1=0, 所以+=0⇒3c2=a2⇒==e,所以椭圆C的离心率为,故选C. (2)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 (　　) A.　　　　B. C.(0,1) D. 解析:选A　设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a,b,c,因为 ·=0⇒⊥,所以M点的轨迹是以原点O为圆心,半焦距c为半径的圆.又点M总在椭圆内部,所以该圆内含于椭圆,即c<b,c2<b2=a2-c2,2c2<a2,所以e2=<,所以0<e<. |思维建模|　求椭圆离心率的方法 　　解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式),转化为e的关系式,常用方法如下: (1)直接求出a,c,利用离心率公式e=求解. (2)由a与b的关系求离心率,利用变形公式e=求解. (3)构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值,而是得出a与c的关系,从而求得e. [即时训练] 3.(2025·福州模拟)已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上,椭圆的两个焦点分别在边AD和BC上,则该椭圆的离心率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　不妨设椭圆方程为+=1(a>b>0),当x=c时,y=±,所以|AB|=2c,|BC|=.因为四边形ABCD为正方形,所以2c=,即b2=ac,所以a2-c2=ac,所以e2+e-1=0,解得e=.因为e∈(0,1),所以e=. 4.已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆上存在点P,使∠F1PF2=90°,则椭圆的离心率e的取值范围为　　　　　　.  解析:若椭圆上存在点P,使得PF1⊥PF2,则以原点为圆心,F1F2为直径的圆与椭圆必有交点,如图,可得c≥b,即c2≥b2,所以2c2≥a2,即e2≥.又0<e<1,所以离心率e∈. 答案: 题点三　与椭圆有关的最值、范围问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　已知椭圆C的方程为+y2=1,点A是椭圆C的下顶点,点M是椭圆C上任意一点,则|MA|的最大值是 (　　) A.2 　　　　B.4 C. 　　　　D. 解析:选C　因为椭圆C的方程为+y2=1,所以A(0,-1),设M(x,y),则+y2=1,故x2=4-4y2,且-1≤y≤1,所以|MA|2=x2+(y+1)2=4-4y2+(y+1)2=-3y2+2y+5=-3+,当y=时,|MA|2取得最大值,故|MA|max=.故选C. |思维建模| 求解与椭圆有关的范围、最值问题的常用思路 (1)充分利用椭圆的几何性质,结合图形进行分析. (2)注意利用椭圆中的范围,如-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1,构造不等式. (3)列出所求目标的解析式,构造函数,利用单调性或基本不等式求最值或范围. [即时训练] 5.已知F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F2的一条直线与C交于A,B两点,且AF1⊥AB,|BF2|=1,则椭圆长轴长的最小值是 (　　) A.4 B.3+2 C.6 D.4+2 解析:选B　设|AF2|=t(t>0),则|AB|=t+1,|BF1|=2a-1,|AF1|=2a-t,由AF1⊥AB,可得(t+1)2+(2a-t)2=(2a-1)2,则2a=>0,有t>1,所以2a==(t-1)++3≥3+2=3+2,当且仅当t-1=,即t=1+时取等号,则椭圆长轴长的最小值是3+2. 6.已知椭圆C:+=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A为C上一动点,则的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 快审准解:先根据椭圆a,b,c之间的关系,求出c=a,再根据椭圆的定义,把|AF1|换成2a-|AF2|,最后根据|AF2|∈[a-c,a+c],代入即可. 解析:选B　设椭圆C的半焦距为c(c>0), 则c==a,==-1,因为|AF2|∈[a-c,a+c], 即|AF2|∈,所以-1∈, 即∈. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单选题 1.已知椭圆C:+=1(a>0)的一个焦点坐标为(1,0),则椭圆C的离心率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　由椭圆C:+=1的一个焦点坐标为(1,0),得a2-3=1,解得a=2(舍负).所以椭圆C的离心率为e==.故选B. 2.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,焦距为2,则该椭圆的方程为 (　　) A.+y2=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 快审准解:根据离心率和焦距可得进而可得b2,即可得方程. 解析:选C　由题意可知可得则b2=9-2=7,所以该椭圆的方程为+=1.故选C. 3.已知直线l:y=-(x-1)经过椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点F和上顶点A,则C的长轴长为 (　　) A.4 B.2 C.3 D.2 快审准解:根据倾斜角,结合椭圆的性质即可求解. 解析:选A　l:y=-(x-1)的斜率为-,经过点(1,0),故其倾斜角为,因此∠AFO=.由于|AO|=b,|OF|=c=1,所以tan∠AFO==,所以b=,故a==2,故长轴长为2a=4.故选A. 4.(2025·北京开学考试)已知圆锥曲线+=1的离心率e为方程3x2-10x+3=0的根,则满足条件的m的值有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 快审准解:解方程得x=或x=3,讨论e=或e=3,结合椭圆、双曲线性质判断焦点位置,进而求参数值,即可得结果. 解析:选C　由3x2-10x+3=0⇒(3x-1)(x-3)=0,则x=或x=3.当e=时,曲线为椭圆,当椭圆的焦点在x轴上时,0<m<4,则=,可得m=,符合;当椭圆的焦点在y轴上时,m>4,则=,可得m=,符合;当e=3时,曲线为双曲线,则m<0,则=9,可得m=-32,符合.综上,m有3个不同的值.故选C. 5.已知椭圆长轴、短轴的一个端点分别为A,B,F为椭圆的一个焦点,若△ABF为直角三角形,则该椭圆的离心率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　如图,|AF|=a+c,|BF|=a,|AB|=, 由已知得2a2+b2=(a+c)2,且b2=a2-c2,e=>0, 得c2+ac-a2=0,e2+e-1=0,解得e=. 6.(2025·开封模拟)如图,椭圆E:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1,F2分别作弦AB,CD.若AB∥CD,则|AF1|+|CF2|的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由椭圆的对称性可知|CF2|=|BF1|,所以|AF1|+|CF2|=|AF1|+|BF1|=|AB|.因为弦AB,CD分别过椭圆E的左、右焦点,且AB∥CD,所以|AB|∈.又a=,b2=4,所以|AB|∈,故选C. 7.已知F1,F2分别是椭圆C:+=1的左、右焦点,点P是椭圆上的任意一点,若的最大值是4,则椭圆C的方程为 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 快审准解:由椭圆的定义得到=-1,再结合|PF1|∈[a-c,a+c],得到当|PF1|=a-c时,取得最大值,从而得到a=c,即可求出a2,从而得解. 解析:选D　由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,所以==-1.又|PF1|∈[a-c,a+c],所以当|PF1|=a-c时,取得最大值,=-1=4,即a=c= ,解得a2=,所以椭圆C的方程为+=1.故选D. 8.设椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,椭圆C上的两点A,B关于原点对称,且满足·=0,|FB|≤|FA|≤|FB|,则椭圆C的离心率的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　如图所示,设椭圆的左焦点为F',由椭圆的对称性可知,四边形AFBF'为平行四边形.又·=0,即FA⊥FB,所以四边形AFBF'为矩形,所以|AB|=|FF'|=2c,设|AF'|=n,|AF|=m,在Rt△AFB中,m+n=2a,m2+n2=4c2,得mn=2b2,所以+=,令=t,得t+=.由|FB|≤|FA|≤|FB|,得=t∈,所以t+=∈,所以 ∈ ,即∈,所以∈,所以椭圆C的离心率的取值范围为e∈. 二、多选题 9.已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点F1,F2在y轴上,短轴长等于2,离心率为,过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的是 (　　) A.椭圆C的方程为+x2=1 B.椭圆C的方程为+y2=1 C.|PQ|= D.△PF2Q的周长为4 解析:选ACD　由已知,得2b=2,b=1,=.又a2=b2+c2,解得a2=3.∴椭圆C的方程为+x2=1,∴|PQ|===,△PF2Q的周长为4a=4. 10.(2025·黄山模拟)已知椭圆C:x2+4y2=16的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的任意一点,则 (　　) A.C的离心率为 B.|PF1|+|PF2|=8 C.|PF1|的最大值为4+2 D.使∠F1PF2为直角的点P有4个 快审准解:根据椭圆的标准方程求出a,b,c,由离心率定义判断A,由椭圆定义判断B,由椭圆的几何性质判断C,根据以线段F1F2为直径的圆与椭圆交点个数判断D. 解析:选BCD　由原方程可得椭圆标准方程为+=1,∴a=4,b=2,∴c=2,∴e==,故A错误;由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=8,故B正确;由椭圆的性质知|PF1|max=a+c=4+2,故C正确;易知以线段F1F2为直径的圆与C有4个交点(因为b<c<a),故满足∠F1PF2为直角的点P有4个,故D正确.故选BCD. 三、填空题 11. (2025·绵阳开学考试)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,右顶点为B,A为C上一动点(不与左、右顶点重合),设△AF1F2的周长为m,|BF2|=n,若=4,则C的离心率为　　　　.  解析:依题意,则a=n,c=n,所以离心率e==. 答案: 12.如图,已知椭圆+=1的上、下焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为　　　　.  解析:由题意可得F1(0,1),F2(0,-1),设P(m,n),所以+=1,0≤m2≤5,=(-m,1-n),=(-m,-1-n),所以·=(-m,1-n)·(-m,-1-n)=m2-1+n2=m2-1+6=-+5≤5,所以·的最大值为5. 答案:5 四、解答题 13.(15分)如图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(5分) (2)若椭圆的焦距为2,且=2,求椭圆的方程.(10分) 解:(1)∵|AF1|=|AF2|=a,且∠F1AF2=90°,|F1F2|=2c,∴2a2=4c2,∴a=c,∴e==. (2)由题知A(0,b),F2(1,0),设B(x,y), 由=2,解得x=,y=-.代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3,∴b2=a2-c2=2.∴椭圆方程为+=1. 14.(15分)已知椭圆E:+=1(a>b>0),若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形. (1)求椭圆E的离心率;(5分) (2)如图,若直线l与椭圆相交于A,B两点,且AB是圆M:(x-1)2+(y+1)2=5的一条直径,求椭圆E的标准方程.(10分) 解:(1)由题意,不妨设椭圆上的点P的坐标为,代入椭圆方程可得+=1, 即a2=3b2,∴a2=3b2=3(a2-c2), ∴2a2=3c2,∴离心率e=. (2)由(1)得椭圆E的方程为+=1, 易知直线l的斜率存在,设其方程为y=k(x-1)-1,A(x1,y1),B(x2,y2).联立 ∴(3k2+1)x2-6k(k+1)x+3(k+1)2-3b2=0. ∴x1+x2=,x1x2=. 又x1+x2=2,∴k=,∴x1x2=, 则|AB|= ==2,∴b2=,则a2=10, ∴椭圆E的标准方程为+=1. 第六节 双曲线 　 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率). 3.了解双曲线的简单应用. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. (1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,此时动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线(包括端点);若将其改为“大于|F1F2|”,其余条件不变,此时动点轨迹不存在. (2)若将绝对值去掉,其余条件不变,则动点的轨迹是双曲线的一支. (3)若将“等于非零常数”改为“等于零”,则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 图形 性质 范围 x≤-a或x≥a,y∈R y≤-a或y≥a,x∈R 对称性 对称轴:坐标轴　对称中心:原点 顶点 顶点坐标:A1(-a,0),A2(a,0) 顶点坐标:A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈(1,+∞) a,b,c 的关系 c2=a2+b2 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a; 线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b; a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 3.等轴双曲线 实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,等轴双曲线⇔e=⇔渐近线为y=±x⇔方程x2-y2=λ(λ≠0). 解题结论拓展 (1)离心率e==,e越大,双曲线的“张口”越大. (2)双曲线的焦点到渐近线的距离为b,顶点到渐近线的距离为. (3)同支的焦点弦中最短的为通径,其长为;异支的焦点弦中最短的为实轴,其长为2a. (4)若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=c+a,|PF2|min=c-a. (5)焦点三角形中一般要用到的关系是 (6)若渐近线方程为y=±x,则双曲线方程可设为-=λ(λ≠0). 典题细发掘 1.(人A选必修①P127 T1改编)设P是双曲线-=1上一点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=9,则|PF2|= (　　) A.1 B.17 C.1或17 D.以上均不对 解析:选B　根据双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=8⇔|PF2|=1或|PF2|=17.又|PF2|≥c-a=2,故|PF2|=17.故选B. 2.(人A选必修①P121T3改编)已知曲线C的方程为+=1(k∈R),若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则实数k的取值范围是 (　　) A.(-1,5) B.(5,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,-1)∪(-1,5)∪(5,+∞) 解析:选C　若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,则解得k<-1. 3.(北师大选必修①P68T3改编)点(3,0)到双曲线-=1的一条渐近线的距离为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　双曲线-=1的渐近线方程是±=0,即3x±4y=0.由点到直线的距离公式,得=.故选A. 4.(人B选必修①P155T3改编)若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由已知可得双曲线的渐近线方程为y=±x,点(3,-4)在渐近线上,∴=,∴e===.故选D. 题点一　双曲线的定义及其应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1] (1)已知圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1和圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 (　　) A.x2-=1 B.-y2=1 C.x2-=1(x≤-1) D.x2-=1(x≥1) 解析:选C　设动圆M的半径为r,由动圆M同时与圆C1和圆C2外切,得|MC1|=1+r,|MC2|=3+r,|C1C2|=6,|MC2|-|MC1|=2<6,所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(-3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支,且2a=2,解得a=1.又c=3,则b2=c2-a2=8,所以动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1). 易错提醒:此处易忽视是差的绝对值还是差是常数,而导致轨迹双曲线是两支还是一支的错误. (2)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为C的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则△PF1F2的面积为 (　　) A.48 B.24 C.64 D.96 解析:选A　法一　由题意,知a=3,b=4,c=5,|PF1|-|PF2|=2a=6,且|PF2|=|F1F2|=2c=10,所以|PF1|=16.在等腰△PF1F2中,过F2作PF1的垂线,交PF1于点Q,则|F2Q|==6,所以S△PF1F2=|PF1|·|F2Q|=48.故选A. 法二　由题意，知a=3，b=4，c=5，|PF1|-|PF2|=2a=6，且|PF2|=|F1F2|=2c=10，所以|PF1|=16.在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠PF1F2==.因为0<∠PF1F2<π，所以sin∠PF1F2=，所以S△PF1F2=|PF1|·|F1F2|sin∠PF1F2=48.故选A. 法三　由题意知，a=3，b=4，c=5，|PF1|-|PF2|=2a=6，且|PF2|=|F1F2|=2c=10，所以|PF1|=16.在△PF1F2中，根据海伦公式，得S△PF1F2==48.故选A. |谨记结论| 　　已知三角形的三边长,可以用海伦公式求其面积,即S=,其中a,b,c是三角形的三边长,p=. |思维建模| (1)与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解. (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系. (3)如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解. [即时训练] 1.设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上一点,|PF1|=3|PF2|,则∠F1PF2的大小为 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:选C　根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4,又因为|PF1|=3|PF2|,所以|PF1|=6,|PF2|=2.又因为|F1F2|=2,所以在△F1PF2中结合余弦定理的推论得cos∠F1PF2==.因为0°<∠F1PF2<180°,所以∠F1PF2的大小为60°. 2.已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的一动点,则|PF|+|PA|的最小值为　　　　.  解析:因为F是双曲线-=1的左焦点,所以F(-4,0),设其右焦点为H(4,0),则由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|=4+=4+5=9(当A,P,H三点共线时取等号). 答案:9 规律方法:在利用双曲线的定义求最值时,如果所求的式子不易直接求最值,那么可以先利用关系式|PF1|=2a+|PF2|或|PF2|=2a+|PF1|进行转化,然后利用三角形三边的关系来求最值. 题点二　双曲线的标准方程 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2] (1)(2024·济南三模)已知双曲线C1过点A(-,1),且与双曲线C2:x2-3y2=1有相同的渐近线,则双曲线C1的标准方程为 (　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:选A　由双曲线C1与双曲线C2:x2-3y2=1有相同的渐近线,故可设双曲线C1的方程为x2-3y2=λ(λ≠1),又因为C1过点A(-,1),所以15-3=λ,解得λ=12,所以双曲线C1的标准方程是-=1. 规律方法:待定系数法求双曲线方程的类型 (1)与双曲线-=1有公共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0); (2)若已知双曲线的一条渐近线方程为y=x或y=-x,则可设双曲线方程为-=λ(λ≠0); (3)与双曲线-=1共焦点的双曲线方程可设为-=1(-b2<k<a2); (4)与椭圆+=1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为-=1(b2<λ<a2). (2)已知双曲线的离心率e=,且该双曲线经过点(2,2),则该双曲线的标准方程为　　　　　　.  解析:由题意,知e===,解得a=2b,当焦点在x轴上时,设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),∵点(2,2)在该双曲线上,∴-=1,即-=1,此方程无解;当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),∵点(2,2)在该双曲线上,∴-=1,即-=1,解得b=1,∴a=2,∴该双曲线的标准方程为-x2=1. 答案:-x2=1 |思维建模|　求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2. (2)待定系数法:用待定系数法求双曲线的标准方程时,先确定焦点在x轴还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点的位置不好确定,可将双曲线的方程设为-=λ(λ≠0)或mx2-ny2=1(mn>0),再根据条件求解. [即时训练] 3.(2024·成都二模)已知直线y=x是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线,且点(2,2)在双曲线C上,则双曲线C的方程为 (　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:选C　由双曲线C:-=1,则其渐近线方程为y=±x,由题意可得=,整理可得b=a,将(2,2)代入双曲线方程可得-=1,解得a2=6,b2=12,所以双曲线C的方程为-=1. 4.已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为,则C的方程为　　　　　　　.  解析:令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a,b,显然双曲线C的中心为原点,焦点在x轴上,其半焦距c=2. 由双曲线C的离心率为,得=,解得a=,则b==, 所以双曲线C的方程为-=1. 答案:-=1 题点三　双曲线的几何性质 　　　　　　　　　　　　　　　　 考法(一)　渐近线问题 [例3]　(2024·石家庄三模)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实半轴长为,其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3,则双曲线C的渐近线方程为 (　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 解析:选B　设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的上焦点为(0,c),双曲线的渐近线方程为by±ax=0,由点到直线的距离公式可得==b=3.又双曲线C:-=1(a>0,b>0)的实半轴长为,所以a=,所以双曲线C的渐近线方程为3y±x=0,即y=±x. |思维建模| 求双曲线-=1(a>0,b>0)或-=1(a>0,b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0.双曲线焦点到渐近线的距离为b,这个结论要熟记. 考法(二)　离心率问题 [例4] (1)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点F1,F2,若P为双曲线上一点,且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 (　　) A.(1,3) B.(1,3] C.(3,+∞) D.[3,+∞) 解析:选B　设|PF2|=m,则|PF1|=2m,由双曲线定义有|PF1|-|PF2|=m=2a.又因为|PF1|+|PF2|≥|F1F2|(当且仅当三点共线时取等号),所以3m≥2c,即6a≥2c,所以e=≤3.又因为e>1,所以e∈(1,3],故选B. (2)(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为　　　　　.  解析:易知|AB|==10,|AF2|==5,又|AF1|-|AF2|=2a,得|AF1|=|AF2|+2a=5+2a=13,解得a=4,代入=5,得b2=20,故c2=a2+b2=36,即c=6,所以e===. 答案: |考|教|衔|接| 本题源自苏教版选择性必修①P128T5:若经过双曲线-=1的一个焦点,且垂直于实轴的直线l与双曲线交于A,B两点,则线段AB的长为　　　　.  启示:高考题是教材题的深加工,教材题得到一个结论是过双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点且与实轴垂直的弦长为.而高考题应用此结论解题,既能简化运算步骤,快速解决问题,也能对某些解答题有一定的启发作用,这说明要充分挖掘教材的一些题目,探究栏目隐含的某些性质结论.   |思维建模|　求双曲线离心率的方法 求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a,b,c的方程或不等式,利用c2=a2+b2和e=转化为关于e的方程(或不等式),通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围). 考法(三)　最值(范围)问题 [例5]　已知P为双曲线-=1上一动点,过原点的直线l交双曲线于A,B两点,其中A(3,),则·的最小值为 (　　) A.-6 B.-9 C.-12 D.-15 快审准解:由已知可得B(-3,-),再根据向量数量积公式化简,结合点P在双曲线上,可得最值. 解析:选B　设P(x0,y0),则-=1,即=6+.又直线l过原点,且双曲线关于坐标原点对称,可得A(3,)与B关于坐标原点对称,则B(-3,-),所以=(3-x0,-y0),(-3-x0,--y0),即·=-9+-6=-9,又y0∈R,即·=-9的最小值为-9,故选B. |思维建模|　与双曲线有关的最值(范围)问题的解题策略 (1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接转化求解. (2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中的不等关系来解决. (3)若题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可建立目标函数,利用函数或基本不等式求最值. [即时训练] 5.设双曲线C1:x2-y2=1,C2:-=1(b>0)的离心率分别为e1,e2,若e2=e1,则b= (　　) A.1 B.2 C. D. 解析:选A　由双曲线C1:x2-y2=1,可得其离心率为e1=.又由双曲线C2:-=1(b>0),可得其离心率为e2==,因为e2=e1,所以=×,解得b=1. 6.已知点F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是 (　　) A.(1,) B.(1,1+) C.(,+∞) D.(1+,+∞) 解析:选B　依题意,得0<∠AF2F1<,故0<tan∠AF2F1<1,则=<1,即e-<2,e2-2e-1<0,(e-1)2<2.又e>1,所以1<e<1+. 7.已知F1,F2为双曲线C:-x2=1的两个焦点,P为双曲线C上任意一点,则双曲线C的渐近线方程为　　　　;|+|的最小值为　　　　.  解析:由题意知双曲线C的焦点在y轴上,a=,b=1,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x.设P(x,y)(x∈R),连接PO(O为坐标原点)(图略),则|PO|===≥(当且仅当x=0时取等号).因为O为F1F2的中点,所以|+|=|2|=2||≥2,故|+|的最小值为2. 答案:y=±x　2 拓展与建模 椭圆、双曲线中的二级结论 椭圆的焦点三角形 在椭圆+=1(a>b>0)中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不同于长轴两端点的任意一点，则△PF1F2的面积=b2tan，其中θ=∠F1PF2.当点P位于短轴的端点处时，∠F1PF2最大 双曲线的焦点三角形 在双曲线-=1(a>0，b>0)中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线上不同于顶点的任意一点，则△PF1F2的面积=，其中θ=∠F1PF2 椭圆焦半径的数量关系式 设点P(xP，yP)在椭圆+=1(a>b>0)上，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，e为椭圆的离心率，则|PF1|=a+exP，|PF2|=a-exP 双曲线焦半径的数量关系式 设点P(xP，yP)在双曲线-=1(a>0，b>0)上，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，e为双曲线的离心率，则|PF1|=|a+exP|，|PF2|=|a-exP| [针对训练] 1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点为F1,F2,若点P是双曲线上任意一点,且满足|PO|2=|PF1|·|PF2|(其中O为坐标原点),则双曲线C的渐近线方程为 (　　) A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 解析:选D　设P(x0,y0),则≥a2,由焦半径公式可知|PF1|=|ex0+a|,|PF2|=|ex0-a|,其中e为双曲线的离心率,易知e2-a2>0,则由|PO|2=|PF1|·|PF2|,得+=+b2=e2-a2,可得=b2-a2,则a2=b2,故双曲线C的渐近线方程为y=±x.故选D. 2.设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为 (　　) A.7 B.3 C. D.2 解析:选B　法一　如图,由题意知,双曲线C的半焦距c==2,则|F1F2|=4,因为|OP|=2,所以|OP|=|F1F2|,从而∠F1PF2=90°,故S△PF1F2===3. 法二　设P(xP,yP)因为|OP|=2,所以=2　①.又点P在双曲线C上,所以-=1　②,由①②得yP=±.又双曲线C的半焦距c==2,所以S△PF1F2=c|yP|=3. 3.已知椭圆C:+=1(a>b>0),其左、右焦点分别为F1,F2,离心率e=,点P为该椭圆上一点,且满足∠F1PF2=,已知△F1PF2的内切圆的面积为3π,则该椭圆的长轴长为 (　　) A.2 B.4 C.6 D.12 解析:选D　设椭圆的半焦距为c,由e=,得=,即a=2c.设△F1PF2的内切圆的半径为r,则由△F1PF2的内切圆的面积为3π,可得πr2=3π,解得r=(舍负).在△F1PF2中,根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式,知S△F1PF2=b2tan=r(2a+2c),即b2=(a+c).结合a2=b2+c2,易得a=6,所以该椭圆的长轴长为2a=2×6=12.故选D. 4.椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F,直线x=与x轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是 (　　) A. B. C.[-1,1) D. 解析:选D　法一　由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F,即F点到P点与A点的距离相等,而|FA|=-c==|PF|∈[a-c,a+c], 于是∈[a-c,a+c],即ac-c2≤b2≤ac+c2, 所以 又e∈(0,1),故e∈. 法二:焦半径公式　设点P(x0,y0), 则有|PF|=|FA|,即a-ex0=-c, 解得x0=+a-,又因为x0∈[-a,a], 所以有-a≤+a-≤a, 两边同时除以a,可以解得≤e<1. 5.已知双曲线C的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),过F2的直线与C的右支交于A,B两点.若=2,|AB|=|F1B|,则双曲线C的方程为　　　　　　.  解析:如图,令|F2B|=t, 则|AF2|=2t, ∴|AB|=|F1B|=3t. 又+=, ∴+=,即=,又|F1B|-|F2B|=2a,∴3t-t=2a,∴t=a,∴=,即3b2=4a2, 又c=,∴a2+b2=7,解得b2=4,a2=3, 故双曲线C的方程为-=1. 答案:-=1 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单选题 1.已知平面内两定点F1(-3,0),F2(3,0),下列条件满足动点P的轨迹为双曲线的是 (　　) A.|PF1|-|PF2|=±7 　B.|PF1|-|PF2|=±6 C.|PF1|-|PF2|=±4 　D.|PF1|2-|PF2|2=±6 解析:选C　由题意,因为|F1F2|=6,所以由双曲线的定义知,当0<||PF1|-|PF2||<6时,动点P的轨迹为双曲线. 2.方程-=1表示双曲线,则m的取值范围是 (　　) A.(-2,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-2) D.(-1,2) 解析:选A　因为方程-=1表示双曲线,所以(2+m)(1-m)>0,即(m+2)(m-1)<0,解得-2<m<1.故选A. 3.(2025·南昌模拟)若双曲线x2-=1的离心率e∈(1,3),则实数m的取值范围为 (　　) A.(0,4) B.(0,8) C.(1,9) D.(8,+∞) 解析:选B　由已知条件,得m>0.因为双曲线x2-=1的离心率e∈(1,3),e=,所以1<<3,解得0<m<8,所以实数m的取值范围为(0,8). 4.(2025·郑州模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线的夹角为,则此双曲线的离心率e为 (　　) A.2或 B. C. D.或2 解析:选A　由题意得双曲线的渐近线方程为y=±x,而两条渐近线的夹角为,故y=x的倾斜角为或,故=或=,e==或2. 5.(2025·漳州模拟)已知双曲线C:x2-y2=4,点M为C上一点,过M分别作C的两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,则四边形OAMB (O为原点)的面积为 (　　) A.1 B.2 C.4 D.6 快审准解:先确定四边形OAMB为矩形,然后设点M(m,n),求出其到两条渐近线的距离,相乘计算即可得答案. 解析:选B　双曲线C:x2-y2=4,即-=1,为等轴双曲线,渐近线的夹角为90°,则四边形OAMB为矩形,设点M(m,n),且m2-n2=4,点M(m,n)到渐近线x-y=0的距离为,点M(m,n)到渐近线x+y=0的距离为,则四边形的面积为·==2.故选B. 6.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点A是圆O:x2+y2=c2上一点,线段F2A交双曲线C的右支于点B,|F2A|=a,=3,则双曲线C的离心率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　如图,由题意可知|F2B|=,|AB|=,由双曲线的定义可知|BF1|=+2a=,易得∠F1AF2=90°,则在Rt△F1AB中,由勾股定理可得|AF1|=a.在Rt△F1AF2中,(a)2+a2=(2c)2,所以e=.故选A. 7.(2025·杭州模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过坐标原点O作直线与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点,且|FB|=4|FA|,∠AFB=,则双曲线的渐近线方程为 (　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 快审准解:利用焦半径三角形及双曲线的定义,再结合余弦定理,就可以求得离心率,从而也就可以求得渐近线方程. 解析:选C　设双曲线的右焦点为F2,连接AF2,BF2,如图所示,由A,B关于原点对称,可知四边形FAF2B是平行四边形,即|FA|=|F2B|,∠FBF2=.由|FB|=4|FA|得|FB|=4|F2B|.又由双曲线的定义得|FB|-|F2B|=2a,解得|FB|=,|F2B|=,再由余弦定理得|FF2|2=|FB|2+|F2B|2-2|FB|·|F2B|cos∠FBF2,4c2=a2+a2-2×a×a×cos=a2,即e=.又====,故渐近线方程为y=±x. 二、多选题 8.已知双曲线C:-=1,则 (　　) A.m的取值范围是(-6,3) B.m=1时,C的渐近线方程为y=±x C.C的焦点坐标为(-3,0),(3,0) D.C可以是等轴双曲线 解析:选ACD　因为C:-=1表示双曲线,所以(m+6)(3-m)>0,解得-6<m<3,所以A正确;当m=1时,双曲线方程为-=1,其渐近线方程为y=±x=±x,所以B错误;由选项A得m+6>0,3-m>0,所以焦点在x轴上,设C的半焦距为c(c>0),则c2=m+6+3-m=9,解得c=3,故其焦点坐标为(-3,0),(3,0),所以C正确;若C为等轴双曲线,则3-m=m+6,解得m=-∈(-6,3),所以D正确. 9.已知双曲线C上的点到点(2,0)和(-2,0)的距离之差的绝对值为2,则下列结论正确的是 (　　) A.双曲线C的标准方程为x2-=1 B.双曲线C的渐近线方程为y=±2x C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为 D.圆x2+y2=4与双曲线C恰有两个公共点 解析:选AC　根据双曲线的定义,得c=2,2a=2,所以a=1,b===,所以双曲线C的方程为x2-=1,A正确.双曲线C的渐近线方程为y=±x,B错误.双曲线C的一个焦点坐标为(2,0),则其到渐近线的距离d==,C正确.圆x2+y2=4的圆心为原点,半径为2,而双曲线的实轴端点坐标为(±1,0),所以圆与双曲线的公共点有4个,D错误. 三、填空题 10.(2025·贵州模拟)我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”.已知“黄金双曲线”C:-=1(b>0),则C的虚轴长为　　　　　.  解析:因为e====,即1+=,解得b=2,所以C的虚轴长为4. 答案:4 11.已知双曲线C:-=1的左焦点为F,且P是双曲线上的一点,则|PF|的最小值为　　　　　.  解析:设P(x0,y0),且-=1,F(-5,0),又|PF|2=(x0+5)2+=+10x0+25+16=,又x0≤-3或x0≥3,所以|PF|min==2,即|PF|的最小值为2,当点P为双曲线左顶点时取最小值. 答案:2 四、解答题 12.(13分)中心在原点,焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4,离心率之比为3∶7. (1)求这两个曲线的方程;(5分) (2)若P为这两个曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.(8分) 解:(1)由已知c=,设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为a,b,双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为m,n,则解得a=7,m=3,所以b=6,n=2.所以椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1. (2)不妨设F1,F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点, 则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=2,所以cos∠F1PF2===. 13.(15分)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2. (1)若点M在双曲线上,且·=0,求点M到x轴的距离;(5分) (2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程.(10分) 解:(1)不妨设M在双曲线的右支上,点M到x轴的距离为h, ∵·=0,∴MF1⊥MF2.设|MF1|=m,|MF2|=n,由双曲线的定义知m-n=2a=8.① 在Rt△F1MF2中,由勾股定理得m2+n2=(2c)2=80,② 由①②得mn=8.∵=mn=4=×2ch,∴h=.即点M到x轴的距离为. (2)设双曲线C的方程为-=1(-4<λ<16). ∵双曲线C过点(3,2),∴-=1,解得λ=4或λ=-14(舍去), ∴双曲线C的方程为-=1. 第七节 抛物线 　 　 1.理解抛物线的定义、几何图形、标准方程,以及它们的简单几何性质. 　 2.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程和几何性质 标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 F F F F 离心率 e=1 准线 方程 x=- x= y=- y= 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 焦半径 (其中 P(x0,y0)) |PF|= x0+ |PF|= -x0+ |PF|= y0+ |PF|= -y0+ 解题结论拓展 　　若AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A在第一象限内,F为抛物线的焦点,AB的倾斜角为α,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 (1)x1x2=; (2)y1y2=-p2; (3)|AF|=,|BF|=,+=; (4)弦长|AB|=x1+x2+p=,抛物线的焦点弦中通径(垂直于抛物线对称轴的焦点弦叫做抛物线的通径)最短; (5)S△OAB=(其中O为坐标原点); (6)以AB为直径的圆与准线相切,以AF或BF为直径的圆与y轴相切; (7)过抛物线焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上. 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线. (　　) (2)方程y=4x2表示焦点在x轴上的抛物线,焦点坐标是(1,0). (　　) (3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)× 2.(人B选必修①P162T2改编)抛物线x2=y的准线方程为 (　　) A.y=- B.x=- C.y= D.x= 解析:选A　由抛物线的标准方程可得,抛物线的焦点位于y轴正半轴上,焦点坐标为,准线方程为y=-. 3.(人A选必修①P133T3改编)抛物线y2=2px(p>0)上一点M(3,y)到焦点F的距离|MF|=4,则抛物线的方程为 (　　) A.y2=8x B.y2=4x C.y2=2x D.y2=x 解析:选B　由题意可得|MF|=xM+,则3+=4,即p=2,故抛物线方程为y2=4x. 4.(苏教选必修①P128T10改编)若抛物线y2=2x上的一点M到坐标原点O的距离为,则点M到该抛物线焦点的距离为　　　　.  解析:设M,M到坐标原点O的距离为=,解得y2=2,故x==1.点M到该抛物线焦点的距离为x+=1+=. 答案: 题点一　抛物线的定义及应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1] (1)(2023·北京高考)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|= (　　) A.7 B.6 C.5 D.4 解析:选D　因为抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,点M在C上,所以M到准线x=-2的距离为|MF|,又M到直线x=-3的距离为5,所以|MF|+1=5,故|MF|=4.故选D. (2)动点P到直线x+4=0的距离减去它到点M(2,0)的距离等于2,则点P的轨迹是 (　　) A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:选D　如图所示,由于动点P到直线x+4=0的距离减去它到点M(2,0)的距离等于2,于是动点P在直线x=-4的右边,且动点P到直线x+4=0的距离大于2,因此动点P到直线x=-2的距离等于它到点M(2,0)的距离,进而根据抛物线的定义,可知点P的轨迹是抛物线. |思维建模|　利用抛物线的定义可解决的常见问题 (1)轨迹问题:利用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线. (2)距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,在解题过程中注意两者之间的相互转化. (3)最值问题:通过距离转化,利用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”求解. [即时训练] 1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,M,N是抛物线上两个不同的点.若|MF|+|NF|=5,则线段MN的中点到y轴的距离为 (　　) A.3 B. C.5 D. 解析:选B　由题意知抛物线的准线方程为x=-1,分别过点M,N作准线的垂线,垂足为M',N'(图略),根据抛物线的定义得|MF|=|MM'|,|NF|=|NN'|,所以|MF|+|NF|=|MM'|+|NN'|,所以线段MN的中点到准线的距离为(|MF|+|NF|)=.故线段MN的中点到y轴的距离为-1=. 2.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则弦AB的中点到x轴的最短距离为　　　　.  解析:由题意知,抛物线的准线l:y=-1,过点A作AA1⊥l交l于点A1,过点B作BB1⊥l交l于点B1(图略),设弦AB的中点为M,过点M作MM1⊥l交l于点M1(图略),则|MM1|=.因为|AB|≤|AF|+|BF|(F为抛物线的焦点),即|AF|+|BF|≥6,所以|AA1|+|BB1|≥6,2|MM1|≥6,|MM1|≥3,故点M到x轴的距离d≥2,故最短距离为2. 答案:2 题点二　抛物线的标准方程 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的标准方程为　　　　　.  解析:法一:解直角三角形法　不妨设点P在第一象限,作出图形如图所示,由题易得|OF|=,|PF|=p,∠OPF=∠PQF,所以tan∠OPF=tan∠PQF,所以=,即=,解得p=3,所以C的标准方程为y2=6x. 法二:应用射影定理法　由题易得|OF|=,|PF|=p,|PF|2=|OF|·|FQ|,则p2=×6,解得p=3或p=0(舍去),所以C的标准方程为y2=6x. 法三:斜率法　抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,因为P为C上一点,且PF与x轴垂直,所以不妨设P,所以kOP=2. 因为PQ⊥OP,所以kPQ=-. 因为Q为x轴上一点,所以设Q(x0,0), 则=-,得x0=, 所以|FQ|=-=6,解得p=3, 所以C的标准方程为y2=6x. 法四:向量法　抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,因为P为C上一点,且PF与x轴垂直,所以P的横坐标为,不妨取P. 因为Q为x轴上一点,且PQ⊥OP, 所以Q在F的右侧.又|FQ|=6, 所以Q,所以=(6,-p). 因为PQ⊥OP,所以·=×6-p2=0. 又p>0,所以p=3, 所以C的标准方程为y2=6x. 答案:y2=6x |思维建模|　抛物线标准方程的求法 (1)定义法:根据抛物线的定义求出p.标准方程有四种形式,要注意判断焦点位置及开口方向. (2)待定系数法:当焦点位置不确定时,注意分类讨论.对于焦点在x轴上的抛物线的方程可设为y2=mx(m≠0),焦点在y轴上的抛物线的方程可设为x2=my(m≠0). 　　　　　　　　　　　　　　　　 [即时训练] 3.在平面直角坐标系Oxy中,动点P(x,y)到直线x=1的距离比它到定点(-2,0)的距离小1,则点P的轨迹方程为 (　　) A.y2=2x B.y2=4x C.y2=-4x D.y2=-8x 解析:选D　由题意知动点P(x,y)到直线x=2的距离与到定点(-2,0)的距离相等,由抛物线的定义知,P的轨迹是以(-2,0)为焦点,x=2为准线的抛物线,所以p=4,轨迹方程为y2=-8x. 4.(人A选必修①P135“思考”改编)已知抛物线对称轴为坐标轴,它的顶点在坐标原点,并且经过点M(2,-2),则抛物线的标准方程为　　　　　　.  解析:根据题意,当抛物线焦点在x轴上时,经过点M(2,-2), 设抛物线方程为y2=2px(p>0), 所以=2p×2,解得p=2, 所以抛物线的标准方程为y2=4x. 当抛物线焦点在y轴上时,经过点M(2,-2),设抛物线方程为x2=-2py(p>0), 所以22=-2p×(-2),解得p=, 所以抛物线的标准方程为x2=-y. 综上,抛物线的标准方程为y2=4x或x2=-y. 答案:x2=-y或y2=4x 题点三　抛物线的几何性质 　　　　　　　　　　　　　　　　 考法(一)　焦半径和焦点弦 [例3] (1)(2025·武汉调研)设抛物线y2=6x的焦点为F,准线为l,P是抛物线上位于第一象限内的一点,过P作l的垂线,垂足为Q,若直线QF的倾斜角为120°,则|PF|= (　　) A.3 B.6 C.9 D.12 解析:选B　抛物线y2=6x的焦点F,准线l:x=-.设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则Q,因为直线QF的倾斜角为120°,所以kQF===-,即y0=3,所以x0===,所以|PF|=x0+=+=6. (2)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p=　　　　.  解析:直线AB的方程为y=x-,与抛物线方程联立消去y得x2-3px+p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=3p.根据抛物线的定义,得|AB|=x1+x2+p=4p=8,所以p=2. 答案:2 考法(二)　与抛物线有关的最值问题 [例4]　设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为抛物线的焦点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为　　　　.  解析:如图,过点B作BQ垂直于准线,交准线于点Q,交抛物线于点P1,连接P1F,则|P1Q|=|P1F|.又F(1,0),则有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4. 答案:4 |思维建模| 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”,使问题得以解决. 转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决. [即时训练] 5.设抛物线C的焦点为F,点E是C的准线与C的对称轴的交点,点P在C上,若∠PEF=30°,则sin∠PFE= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　由于抛物线的对称性,不妨设抛物线为C:y2=2px(p>0),则其焦点为F, 点E是C的准线与C的对称轴的交点,其坐标为E,点P在C上,设为P(x0,y0),若∠PEF=30°,则tan∠PEF==,且|PF|=x0+,则sin∠PFE=sin(π-∠PFE)==. 6.[多选]已知直线l过抛物线E:y2=4x的焦点F,与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,分别过A,B作抛物线的准线l1的垂线,垂足分别为A1,B1,以线段A1B1为直径作圆M,O为坐标原点,则下列结论正确的有 (　　) A.x1+x2≥2 B.△AOB为钝角三角形 C.点F在圆M外部 D.直线A1F平分∠OFA 解析:选ABD　如图所示,由抛物线的焦半径公式可知|AB|=x1+x2+2≥2p=4,所以x1+x2≥2,故A正确;·=x1x2+y1y2=+y1y2,令直线l的方程为x=my+1,代入y2=4x得y2-4my-4=0,所以y1y2=-4,所以·=-3<0,所以△AOB是钝角三角形,故B正确;由|AA1|=|AF|可知∠AA1F=∠AFA1,又AA1∥OF,所以∠AA1F=∠OFA1=∠AFA1,所以直线FA1平分∠AFO,同理可得FB1平分∠BFO,所以A1F⊥B1F,即∠A1FB1=90°,所以圆M经过点F,故C错误,D正确. 7.(2025·北京西城高三期末)已知抛物线C:y2=8x.则C的准线方程为　　　　;设C的顶点为O,焦点为F.点P在C上,点Q与点P关于y轴对称.若QF平分∠PFO,则点P的横坐标为　　　　.  解析:抛物线y2=8x,2p=8,=2,所以准线方程为x=-2,焦点F(2,0).设P,则Q,由于PQ∥x轴,QF平分∠PFO,所以∠PQF=∠PFQ,所以|PQ|=|PF|,即×2=+=+2,t2=16,所以P的横坐标为==2. 答案:x=-2　2 拓展与建模 活用抛物线焦点弦的4个性质 设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则 性质1:x1·x2=. 性质2:y1·y2=-p2. 性质3:|AB|=x1+x2+p=(α是直线AB的倾斜角). 性质4:+=为定值. [典例]　过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点,若|AF|=2|BF|,则|AB|等于 (　　) A.4 B. C.5 D.6 解题观摩:利用性质3解题: 由对称性不妨设点A在x轴的上方,如图. 设A,B在准线上的射影分别为D,C,作BE⊥AD于E,设|BF|=m,直线l的倾斜角为θ,则|AB|=3m,由抛物线的定义知|AD|=|AF|=2m,|BC|=|BF|=m,所以cos θ==,则sin2θ=.又y2=4x,知2p=4,故由弦长公式得|AB|==. 利用性质4解题: 因为|AF|=2|BF|,+=+===1,解得|BF|=,|AF|=3,故|AB|=|AF|+|BF|=. [针对训练] 1.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由2p=3,及|AB|=,得|AB|==12.又原点到直线AB的距离d=|OF|·sin 30°=,故S△OAB=|AB|·d=×12×=. 2.如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F是AC的中点,且|AF|=4,则AB的长为 (　　) A.5 B.6 C. D. 解析:选C　法一　过A作l的垂线交l于点D,设l与x轴交于点E,由于F为AC的中点,所以EF为△ACD的中位线,所以p=|AD|=|AF|=2.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+=x1+1=4,所以x1=3,又x1x2==1,所以x2=,所以|AB|=x1+x2+p=3++2=. 法二　过A作l的垂线交l于点D,设l与x轴的交点为E,由于F为AC的中点,所以EF为△ACD的中位线,所以p=|AD|=|AF|=2.因为+=,|AF|=4,所以|BF|=,所以|AB|=|AF|+|BF|=4+=. 3.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,则2|AF|+|BF|的最小值为 (　　) A.2　 　B.2+3　 　 C.4　 　D.3+2 解析:选D　因为p=2,所以+==1, 所以2|AF|+|BF|=(2|AF|+|BF|)·=3++≥3+2 =3+2,当且仅当|BF|=|AF|时,等号成立,因此,2|AF|+|BF|的最小值为3+2. 4.[多选]已知斜率为的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是 (　　) A.+=1 　　B.|AF|=6 C.|BD|=2|BF| 　　D.F为AD的中点 解析:选BCD　法一　如图,过点B作x=-的垂线,垂足为B',又F,直线l的斜率为,则直线l 的方程为y=.联立得12x2-20px+3p2=0.解得xA=,xB=.由|AB|=|AF|+|BF|=xA+xB+p==8,得p=3.所以抛物线的方程为y2=6x.则|AF|=xA+=2p=6,故B正确;|BF|=8-|AF|=2,|BD|===4,所以|BD|=2|BF|,故C正确;|AF|=|DF|=6,则F为AD的中点,故D正确;而+=,故A错误. 法二　设直线AB的倾斜角为θ,利用抛物线的焦点弦的性质,|AB|==8,得p=3.所以|AF|==6,|BF|==2,+==.在Rt△DB'B中,cos θ=,所以|BD|=4,|DF|=|BF|+|BD|=6.因此F为AD的中点. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单选题 1.抛物线y=x2的准线方程是 (　　) A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2 解析:选A　∵y=x2,∴x2=4y,∴准线方程为y=-1. 2.(2025·南昌开学考试)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(3,0),P(2,t)是抛物线C上一点,则|PF|= (　　) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:选B　由焦点坐标可知=3,由抛物线定义可知|PF|=2+=5,故选B. 3.(2025·西宁模拟)已知面积为的等边△OAB(O为坐标原点)的三个顶点都在抛物线y2=2px(p>0)上,则p= (　　) A. B. C. D.2 解析:选A　因为等边△OAB的面积为,所以OA=2,不妨设点A是第一象限的点,则结合抛物线的对称性可知A(,1),所以1=2p,解得p=.故选A. 4.(2025·保定开学考试)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点B(3,0),C上一点A到l的距离等于|AB|,则△AFB的面积为 (　　) A.2 B.2 C.3 D.3 解析:选B　如图,由题意得,F(1,0),A到l的距离为|AD|,|AD|=|AF|=|AB|,即点A在线段FB的垂直平分线上,所以点A的横坐标为2,不妨设点A在x轴上方,代入得,A(2,2),所以△AFB面积为×2×2=2.故选B. 5.(2025·盐城模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线2x-y-4=0交于A,B两点,且|AB|=3.若抛物线C的焦点为F,则|AF|+|BF|= (　　) A.7 B.7 C.6 D.5 解析:选B　由题设,得x=+2,代入抛物线可得y2-py-4p=0,所以yA+yB=p,yAyB=-4p,则|AB|=×=3,则p2+16p-36=0,解得p=-18(舍去)或p=2,故xA+xB=+4=5,由抛物线定义知|AF|+|BF|=xA+xB+p=7.故选B. 6.已知点P为抛物线y2=8x上一点,过点P作圆C:(x-5)2+y2=1的两条切线,切点分别为M,N,则cos∠MPN的最小值为 (　　) A. B. C. D. 快审准解:设点P(t,s),根据给定条件,结合切线长定理及二倍角的余弦公式将cos∠MPN转化为关于t的函数,再求出函数的最小值即得. 解析:选D　设点P(t,s),则s2=8t,由PM,PN切圆C于点M,N,得∠MPN=2∠CPM,且CM⊥PM,因此cos∠MPN=1-2sin2∠CPM=1-2·=1-,而|CP|2=(t-5)2+s2=t2-2t+25=(t-1)2+24≥24,当且仅当t=1时取等号,所以当t=1时,cos∠MPN取得最小值1-=. 二、多选题 7.(2024·长沙二模)已知抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称,则下列说法正确的是 (　　) A.抛物线C的焦点坐标是(-1,0) B.抛物线C关于y轴对称 C.抛物线C的准线方程为x=1 D.抛物线C的焦点到准线的距离为4 解析:选AC　因为抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称,所以抛物线C的方程为y2=-4x,则抛物线C的焦点坐标是(-1,0),准线方程为x=1,故A、C正确;抛物线C关于x轴对称,故B错误;抛物线C的焦点到准线的距离为2,故D错误. 8.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点.则 (　　) A.p=4 B.|MF|≥|OF| C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2 解析:选ABC　因为F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,所以=2,即得p=4,A正确;设M(x0,y0)在y2=8x上,所以x0≥0,所以|MF|=x0+≥=|OF|,B正确;因为以M为圆心且过F的圆半径为|MF|=x0+2等于M到C的准线的距离,所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切,C正确;当∠OFM=120°时,x0>2,由对称性不妨设直线MF的倾斜角为60°,则=tan 60°=,且=8x0,y0>0,所以-8y0-16=0,y0=4或y0=-(舍去),所以△OFM的面积为S△OFM=|OF|×|y0|=4,D错误.故选ABC. 9.(2025·重庆期末)已知点O为坐标原点,直线y=x+1与抛物线C:x2=4y相交于A,B两点,C的焦点为F,则下列选项正确的是 (　　) A.|AB|=8 B.OA⊥OB C.+=1 D.线段AB的中点到x轴的距离为2 快审准解:联立方程组求得y1+y2=6,y1y2=1,且y1=3+2,y2=3-2,结合选项及抛物线的定义和焦点弦,逐项判定,即可求解. 解析:选AC　由抛物线C:x2=4y,可得焦点F(0,1),则直线y=x+1过抛物线C的焦点,联立方程组整理得y2-6y+1=0,显然Δ>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),可得y1+y2=6,y1y2=1.由抛物线的定义,可得|AB|= y1+y2+p=6+2=8,所以A正确;由·=x1x2+y1y2=(y1-1)(y2-1)+y1y2 =2y1y2-(y1+y2)+1=-3≠0,所以OA与OB不垂直,所以B错误;由y2-6y+1=0,可得y1=3+2,y2=3-2,由抛物线定义,可得|AF|=4+2,|BF|=4-2,则+=+=1,所以C正确;线段AB的中点到x轴的距离为=3,所以D错误.故选AC. 三、填空题 10.(2024·天津高考)圆(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F重合,A为两曲线的交点,则原点到直线AF的距离为　　　　.  解析:由题意知圆(x-1)2+y2=25的圆心坐标为(1,0),则F(1,0),故=1,p=2,由抛物线的定义得|AF|=xA+1=5,得xA=4.由对称性不妨设A(4,4),则直线AF的方程为y=(x-1),即4x-3y-4=0,所以原点到直线AF的距离为=. 答案: 11.设抛物线y2=12x的焦点为F,经过点P(4,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,且点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|=　　　　　.  解析:由题意可得F(3,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线的准线:x=-3,过A,B分别作准线的垂线,垂足分别为C,D,根据抛物线的定义,得|AF|=|AC|= x1 +3,|BF|=|BD|= x2+3,故|AF|+|BF|=x1+x2+6,因为AB的中点为P(4,1),所以(x1+x2)=4,可得x1+x2=8,所以|AF|+|BF|=x1+x2+6=14. 答案:14 四、解答题 12.(10分)已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点. (1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;(5分) (2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.(5分) 解:(1)因为直线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan 60°=. 又F,所以直线l的方程为y=. 联立消去y得4x2-20x+9=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=5,故|AB|=x1+x2+p=5+3=8. (2)由抛物线定义及(1),知|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=x1+x2+3=9, 所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3. 又准线方程是x=-, 所以M到准线的距离等于3+=. 13.(15分)已知抛物线C:x2=my(m>0)的焦点F到其准线的距离为1. (1)求抛物线C的方程;(5分) (2)过F的直线与抛物线C相交于A,B两点,在A,B处分别作抛物线C的切线,两条切线的交点为P,证明:AB⊥FP.(10分) 解:(1)抛物线C的焦点为F,准线方程为y=-,所以焦点F到其准线的距离为=1. 因为m>0,所以m=2. 所以抛物线C的方程为x2=2y. (2)证明:由题意,知直线AB的斜率一定存在,设直线AB的方程为y=kx+, 代入抛物线方程x2=2y,整理得x2-2kx-1=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则x1+x2=2k,x1x2=-1. 函数y=x2的导函数为y'=x, 故抛物线在点A处的切线方程为y-y1=x1(x-x1),化简得y=x1x-. 同理,抛物线在点B处的切线方程为y=x2x-, 联立上述两切线方程, 解得x0==k,y0==-. 因为=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1)(1,k),=, 所以·=(x2-x1)=(x2-x1)=0,所以AB⊥FP. 第八节　直线与圆锥曲线的位置关系 　　 1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法. 2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式. 3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.直线与圆锥曲线的位置关系 设直线l:Ax+By+C=0,圆锥曲线C:F(x,y)=0, 由消去y得到关于x的方程ax2+bx+c=0. 当a≠0时,设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线l与圆锥曲线C有2个公共点;Δ=0⇔直线l与圆锥曲线C有1个公共点;Δ<0⇔直线l与圆锥曲线C有0个公共点. 特别地,①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交,有且只有一个交点. ②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交,有且只有一个交点. 2.圆锥曲线的弦长公式 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=·=·|y1-y2|=·. 解题结论拓展 圆锥曲线中点弦的有关结论 设AB为圆锥曲线的弦,点M为弦AB的中点,O为坐标原点, 标准方程 结论 +=1(a>b>0) kAB·kOM=- +=1(a>b>0) kAB·kOM=- -=1(a>0,b>0) kAB·kOM= -=1(a>0,b>0) kAB·kOM= y2=2px(p≠0) kAB=(y0为M的纵坐标) x2=2py(p≠0) kAB=(x0为M的横坐标) 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)直线与圆锥曲线的三种位置关系:相离、相切、相交. (　　) (2)直线y=x与椭圆+y2=1一定相交. (　　) (3)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”. (　　) (4)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切. (　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2.(人A选必修①P114例7改编)直线y=kx+2与椭圆+=1有且只有一个交点,则k的值是 (　　) A. B.- C.± D.± 解析:选C　由得(2+3k2)x2+12kx+6=0,由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k2)=0,解得k=±. 3.(人A选必修①P136T3改编)已知直线l:y=x-1与抛物线y2=4x交于A,B两点,则线段AB的长是 (　　) A.2 B.4 C.8 D.16 解析:选C　联立消去y并整理得x2-6x+1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1x2=1,所以|AB|==×=8. 4.(人A选必修①P145T4改编)已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1没有公共点,则k的取值范围是 (　　) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) 　　　　B.(-1,1) C.(-∞,-)∪(,+∞) 　　　　D.(-,) 解析:选C　联立消去y得(1-k2)x2+2kx-2=0,当1-k2=0时,方程有解,即直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1有公共点;当1-k2≠0时,Δ=4k2+8(1-k2)<0,解得k<-或k>. 题点一　直线与圆锥曲线的位置关系的判断 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C: (1)有两个不同的公共点; (2)有且只有一个公共点. 解:将直线l的方程与椭圆C的方程联立, 得方程组将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0.　③ Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144. (1)当Δ>0,即-3<m<3时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点. (2)当Δ=0,即m=±3时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. |思维建模|　直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 代数法 联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元二次方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标 几何法 画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点的个数 [即时训练] 1.已知双曲线C:-y2=1,过点P(2,1)与双曲线C有且只有一个公共点的直线有 (　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析:选B　由双曲线方程知,右顶点坐标为(2,0),渐近线方程为y=±x,显然P(2,1)在y=x上,如图所示,所以过点P的直线x=2以及与y=-x平行且过点P的直线与双曲线都只有一个交点.故共有两条直线满足要求. 2.若直线y=k(x+2)+1与抛物线y2=4x只有一个公共点,则k的值为　　　　　　　.  解析:当斜率k=0时,直线y=1平行于x轴,与抛物线y2=4x仅有一个公共点.当斜率不等于0时,直线y=k(x+2)+1与抛物线y2=4x联立,消去x可得y2-+8+=0,∵直线y=k(x+2)+1与抛物线y2=4x只有一个公共点,∴Δ=--32=0,∴k=或k=-1.综上,k的值为0或或-1. 答案:0或或-1 题点二　中点弦问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　(2025·衡水模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,短轴顶点分别为M,N,四边形MF1NF2的面积为32. (1)求椭圆C的标准方程; (2)直线l交椭圆C于A,B两点,若AB的中点坐标为(-2,1),求直线l的方程. 解:(1)因为离心率e==,所以a=c, 因为a2=b2+c2,所以b=c.因为四边形MF1NF2的面积为32,所以2bc=32,所以b=c=4,a=4, 故椭圆C的标准方程为+=1. (2)由题意得,直线l的斜率存在. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则两式相减得+=0, 所以=-·. 因为AB的中点坐标为(-2,1), 所以=1,所以直线l的斜率为1, 故直线l的方程为y-1=x+2,即x-y+3=0. |思维建模|　解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路 (1)根与系数的关系法:联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组,消元得到一元二次方程后,由根与系数的关系及中点坐标公式求解. (2)点差法:设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程,并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子,可以大大减少计算量. [即时训练] 3.已知双曲线方程为x2-=1,则以A(2,1)为中点的弦所在直线l的方程是 (　　) A.6x+y-11=0 B.6x-y-11=0 C.x-6y-11=0 D.x+6y+11=0 解析:选B　设直线l交双曲线x2-=1于点M(x1,y1),N(x2,y2),则由已知得两式作差得-=,所以==6,即直线l的斜率为6,故直线l的方程为y-1=6(x-2),即6x-y-11=0.经检验满足题意. 4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为1,若抛物线C上存在关于直线l:x-y-2=0对称的不同的两点P和Q,则线段PQ的中点坐标为　　　　　　.  解析:∵焦点到准线的距离为p,则p=1,所以y2=2x.设点P(x1,y1),Q(x2,y2).则则(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2),∴kPQ=,又∵P,Q关于直线l对称,∴kPQ=-1,即y1+y2=-2,∴PQ中点的纵坐标为=-1,又∵PQ的中点在直线l上,∴PQ中点的横坐标为=(-1)+2=1.∴线段PQ的中点坐标为(1,-1). 答案:(1,-1) 题点三　弦长问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　在平面直角坐标系Oxy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(2,1),且离心率e=. (1)求椭圆C的方程; (2)直线l的斜率为,直线l与椭圆C交于A,B两点.若|AB|=,求直线l的方程. 解:(1)∵e2===,∴a2=4b2. 又椭圆C:+=1(a>b>0)过点P(2,1), ∴+=1,∴a2=8,b2=2. 故所求椭圆C的方程为+=1. (2)设l的方程为y=x+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),联立整理得x2+2mx+2m2-4=0. ∴Δ=4m2-8m2+16>0,解得|m|<2. ∴x1+x2=-2m,x1x2=2m2-4. 则|AB|=×==,解得m=±.故所求直线l的方程为y=x±. |思维建模|　弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解. (2)当直线的斜率存在时,斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两个不同的点,则弦长公式的常见形式有如下两种: ①|AB|=|x1-x2| =; ②|AB|=|y1-y2| =(k≠0). [即时训练] 5.已知双曲线的焦距为4,焦点在x轴上,且过点P(2,3). (1)求该双曲线的标准方程; (2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1,求直线m被双曲线截得的弦长. 解:(1)设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0), 由已知可得左、右焦点F1,F2的坐标分别为(-2,0),(2,0), 则|PF1|-|PF2|=2=2a,所以a=1. 又c=2,所以b=, 所以双曲线的标准方程为x2-=1. (2)由题意知直线m的方程为y=x-2,联立双曲线方程与直线方程并消去y,得2x2+4x-7=0,设两交点为A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=-2,x1x2=-,由弦长公式,得|AB|=·|x1-x2|=·=6. 故直线m被双曲线截得的弦长为6. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单选题 1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为 (　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 解析:选A　直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交. 2.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l与抛物线在第一象限交于点A,与y轴交于点C,若=,则直线l的斜率为 (　　) A. B. C.2 D. 解析:选C　∵=,∴F为AC的中点,过点A作AA'垂直于y轴于点A',∴OF为△AA'C的中位线,如图所示,则|AA'|=p,∴A的坐标为(p,p).而F,则直线l的斜率为k==2. 3.已知椭圆+=1,一组斜率为的平行直线与椭圆相交,则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为 (　　) A.y=x B.y=-2x C.y=-x D.y=2x 解析:选C　设斜率为的平行直线与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2),且中点为M(x,y),可得x1+x2=2x,y1+y2=2y.由两式相减得+=0,整理得=-=-=,可得y=-x,即这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为y=-x. 4.已知双曲线C:-x2=1的下焦点和上焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F2AB的面积是△F1AB面积的4倍,则m= (　　) A.3 B.-3 C. D.- 解析:选D　由C:-x2=1,可知F1(0,-2),F2(0,2),联立消元得2x2-2mx+3-m2=0,则Δ=4m2-8(3-m2)>0,即m2>2.由△F2AB的面积是△F1AB面积的4倍,可知F2到直线AB的距离是F1到直线AB距离的4倍,即=4×,化简可得15m2+68m+60=0,即(3m+10)(5m+6)=0,解得m=-或m=-(舍去). 5.(2024·盐城三模)定义曲线-=1为双曲线-=1的“伴随曲线”.在双曲线C1:x2-y2=1的伴随曲线C2上任取一点P,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为M,N,则直线MN与曲线C1的公共点的个数为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.与点P的位置有关系 解析:选B　双曲线C1:x2-y2=1的伴随曲线C2为-=1,设P(m,n)为-=1上一点,则-=1,过P分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别为M,N,则M(m,0),N(0,n),所以直线MN:y=-x+n,联立得x2+x-n2-1=0,所以Δ=-4××(-n2-1)=4n4-4××(-n2-1)=0,则直线MN与曲线C1的公共点的个数为1,故选B. 6.(2022·新课标Ⅰ卷改编)已知椭圆C:+=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是 (　　) A.8 B.10 C.13 D.16 解析:选C　如图,连接AF1,DF2,EF2,因为C的离心率为,所以=,所以a=2c,所以b2=a2-c2=3c2.因为|AF1|=|AF2|=a=2c=|F1F2|,所以△AF1F2为等边三角形,又DE⊥AF2,所以直线DE为线段AF2的垂直平分线,所以|AD|=|DF2|,|AE|=|EF2|,且∠EF1F2=30°,所以直线DE的方程为y=(x+c),代入椭圆C的方程+=1,得13x2+8cx-32c2=0.设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-, 所以|DE|====6,解得c=,所以a=2c=,所以△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DE|=4a=13. 二、多选题 7.设椭圆的方程为+=1,斜率为k的直线不经过原点O,而且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点.下列结论正确的是 (　　) A.直线AB与OM垂直 B.若点M坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0 C.若直线方程为y=x+1,则点M坐标为 D.若直线方程为y=x+2,则|AB|= 解析:选BD　对于A,设M(x0,y0),根据椭圆的中点弦的性质知kAB·kOM=-·=-=-2≠-1,A不正确;对于B,根据kAB·kOM=-2,所以kAB=-2,所以直线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,B正确;对于C,若直线方程为y=x+1,点M,则kAB·kOM=1×4=4≠-2,C不正确;对于D,若直线方程为y=x+2,与椭圆方程+=1联立,整理得3x2+4x=0,解得x1=0,x2=-,所以|AB|=×=,D正确. 8.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点P是C上位于第一象限的动点,点M为l与x轴的交点,则下列说法正确的是 (　　) A.F到直线l的距离为2 B.以P为圆心,|PF|为半径的圆与l相切 C.直线MP斜率的最大值为2 D.若|FM|=|FP|,则△FMP的面积为2 解析:选ABD　易知F(1,0),准线l:x=-1,所以F到直线l的距离为2,A正确;由抛物线的定义,点P到准线的距离等于|PF|,所以以P为圆心,|PF|为半径的圆与l相切,B正确;当直线MP与抛物线相切时,MP的斜率取得最大值.设直线MP:x=my-1,与抛物线y2=4x联立可得y2-4my+4=0,令Δ=16m2-16=0,解得m=±1,所以直线MP斜率的最大值为1,C错误;|FM|=|FP|=2,设P,则+1=2,解得y0=2,所以△FMP的面积为×2×y0=2,D正确. 9.(2022·新课标Ⅰ卷)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则 (　　) A.C的准线为y=-1 　B.直线AB与C相切 C.|OP|·|OQ|>|OA|2 　D.|BP|·|BQ|>|BA|2 解析:选BCD　将点A(1,1)的坐标代入x2=2py(p>0),解得p=.所以抛物线C:x2=y,其准线方程为y=-,所以A错误.由y=x2,得y'=2x.当x=1时,y'=2,所以抛物线C在点A(1,1)处的切线方程为y=2x-1.令x=0,得y=-1,即切线y=2x-1过点B,所以B正确.设直线PQ:y=kx-1,P(x1,),Q(x2,).将PQ:y=kx-1与C:x2=y联立,得x2-kx+1=0,所以Δ=k2-4>0,x1+x2=k,x1x2=1,所以|OP|·|OQ|=·=|x1x2|·=>=2=|OA|2,所以C正确.因为|BP|·|BQ|=|x1|·|x2|=1+k2>5=|BA|2,所以D正确. 三、填空题 10.(2024·北京高考)已知双曲线-y2=1,则过(3,0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为　　　　.  解析:联立x=3与-y2=1,解得y=±,这表明满足题意的直线斜率一定存在,设所求直线斜率为k,则过点(3,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x-3),联立化简并整理得(1-4k2)x2+24k2x-36k2-4=0,由题意得1-4k2=0或Δ=(24k2)2+4(36k2+4)(1-4k2)=0,解得k=±或无解,即k=±,经检验,符合题意. 答案:± 11.(2025·贵阳开学考试)已知直线x-4y+9=0与椭圆+=1(0<b<4)相交于A,B两点,椭圆的两个焦点是F1,F2,线段AB的中点为C(-1,2),则△CF1F2的面积为　　　　　　 .  解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题可知=,x1+x2=-2,y1+y2=4,则所以=-,即=,解得b2=8,所以c2=a2-b2=16-8=8,则c=2,所以S△CF1F2=×2c×2=4. 答案:4 四、解答题 12.(15分)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4. (1)求直线AB的斜率;(5分) (2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.(10分) 解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4, 于是直线AB的斜率k===1. (2)由y=,得y'=.设M(x3,y3),由题设知=1,解得x3=2,于是M(2,1). 设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|. 将y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0. 当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2.从而|AB|=|x1-x2|=4. 由题设知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7,所以直线AB的方程为y=x+7. 13.(15分)(2025·石嘴山模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点M,点F(1,0)是C的一个焦点. (1)求椭圆C的方程;(5分) (2)已知过点P(0,1)的直线l交x轴于Q点,交椭圆C于A,B两点,若|AP|=|BQ|,求直线l的方程.(10分) 解:(1)由题意知,椭圆C的另一个焦点为F1(-1,0), 又M,所以|MF|==,|MF1|==. 由椭圆的定义知,2a=|MF|+|MF1|=4,所以a=2,b2=a2-c2=4-1=3, 所以椭圆C的方程为+=1. (2)取PQ的中点E,由|AP|=|BQ|,|PE|=|QE|,得到|AE|=|BE|,所以E是AB的中点, 由题意知,直线l不垂直于x轴, 设直线l:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),则Q,由消去y得(3+4k2)x2+8kx-8=0,因为E是AB的中点, 所以x1+x2=xQ+xP, 由根与系数的关系得,x1+x2=-=-,解得k=±,所以直线l的方程为y=±x+1. 第九节　圆锥曲线中的求值与证明问题 题点一　求值问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　(2024·北京高考)已知椭圆E:+=1(a>b>0),以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(0,t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D. (1)求椭圆E的方程及离心率; (2)若直线BD的斜率为0,求t的值. 快审准解:(1)由题意得b=c=,进一步得a,由此即可得解; (2)说明直线AB斜率存在,设AB:y=kx+t(k≠0,t>),A(x1,y1),B(x2,y2),联立椭圆方程,由根与系数的关系有x1+x2=,x1x2=,而A,C,D三点共线,由kAC=kCD即可得解. 解:(1)由题意可知b=,c=, 所以a==2, 故椭圆E的方程为+=1,离心率e==. (2)易知AB斜率不为0,否则直线AB与椭圆无交点,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+t(k≠0), 联立得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-4=0. 所以Δ=(4kt)2-4(1+2k2)(2t2-4)>0,即4k2-t2+2>0, 由根与系数的关系得　①. 由椭圆的对称性可得D(-x2,y2), 因为A,C,D三点共线,所以kAC=kCD, 所以=,即x1y2+x2y1-(x1+x2)=0. 由y1=kx1+t,y2=kx2+t,得x1(kx2+t)+x2(kx1+t)-(x1+x2)=0, 整理得2kx1x2+(t-1)(x1+x2)=0　②. 所以2k·+(t-1)·=0,解得t=2.此时k满足4k2+2-t2=4k2-2>0,k≠0. 所以t的值为2. |思维建模| (1)解答直线与椭圆相交的题目时,常用到“设而不求”的方法,即联立直线和椭圆的方程,消去y(或x)得一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件,建立有关参变量的等量关系求解. (2)涉及直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形. [即时训练] 1.(2025·绵阳开学考试)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,E的一条渐近线方程为y=x,过F1且与x轴垂直的直线与E交于A,B两点,且△ABF2的周长为16. (1)求E的方程; (2)过F2作直线l与E交于C,D两点,若=3,求直线CD的斜率. 快审准解:(1)将x=-c代入双曲线E得y=±,故得|AF1|=|BF1|=,从而结合双曲线定义以及题意得解出a,b即可得解. (2)由题意得直线l的斜率存在且不为0,设l:x=my+2(m≠0),接着与双曲线E联立方程结合根与系数的关系求得y1+y2和y1y2,由=3,得y1=-3y2,与根与系数的关系结合即可求出,进而即可得直线CD的斜率. 解:(1)将x=-c代入E:-=1(a>0,b>0),得y=±,所以|AF1|=|BF1|=, 所以|AF2|=|BF2|=+2a, 所以⇒ 所以双曲线E的方程为x2-=1. (2)由(1)知F2(2,0),显然当直线l的斜率不存在或l的斜率为0时,=3不成立, 故直线l的斜率存在,且不为0.设l:x=my+2(m≠0),C(x1,y1),D(x2,y2), 联立⇒(3m2-1)y2+12my+9=0, 则Δ=36m2+36>0,且3m2-1≠0,即m2≠, y1+y2=-,y1y2=. 又=3,所以y1=-3y2, 所以 所以由得=-,解得=15, 故直线CD的斜率为或-. 题点二　证明问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　(2024·全国甲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,点M在C上,且MF⊥x轴. (1)求C的方程; (2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q,证明:AQ⊥y轴. 快审准解:(1)根据M的坐标及MF⊥x轴可求基本量,可求椭圆方程; (2)设AB:x=ty+4(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),Q(1,n),联立直线方程和椭圆方程,用A,B的坐标表示n-y1,结合根与系数的关系化简可得n-y1=0,可证AQ⊥y轴. 解:(1)法一:直接法　由题意知 解得所以椭圆C的方程为+=1. 法二　由题意知解得 所以椭圆C的方程为+=1. 法三:巧用椭圆的定义　设F'为C的左焦点,连接MF',则|MF|=,|FF'|=2,在Rt△MFF'中,|MF'|===. 由椭圆的定义知2a=|MF'|+|MF|=4,2c=|FF'|=2, 所以a=2,c=1.又a2=b2+c2,所以b=, 所以椭圆C的方程为+=1. (2)证明:分析知直线AB的斜率存在. 易知当直线AB的斜率为0时,AQ⊥y轴. 当直线AB的斜率不为0时,设直线AB:x=ty+4(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),Q(1,n), 联立方程 消去x得(3t2+4)y2+24ty+36=0,Δ>0, 则y1+y2=,y1y2=. 因为N为线段FP的中点,F(1,0),所以N. 由N,Q,B三点共线,得kBN=kNQ,即=,得-y2=n,解得n=. 所以n-y1=-y1=-y1===0, 所以n=y1,所以AQ⊥y轴. 综上,AQ⊥y轴. |思维建模| 树立“转化”意识,证明位置关系,如相切、垂直、过定点等,关键是将位置关系转化为代数关系. 几何性质 代数实现 对边平行 斜率相等,或向量平行 对边相等 横(纵)坐标差相等 对角线互相平分 中点重合 两边垂直 数量积为0 [即时训练] 2.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,E为直线l:y=-1上一点,动点F满足FE⊥l,⊥. (1)求动点F的轨迹C的方程; (2)若过点T作直线与C交于不同的两点M,N,点P(1,1),过点M作y轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B.证明:A为线段BM的中点. 快审准解:(1)设动点F的坐标为(x,y),直接利用题中的条件列式并化简,从而求出动点F的轨迹方程; (2)设点M(x1,y1),N(x2,y2),A(xA,y1),B(xB,y1),要证A为线段BM的中点,只需证2xA=xB+x1即可,设直线的方程为x=my+,联立直线与曲线的方程,列出根与系数的关系,由直线OP,ON可求得点A,B,计算xB+x1-2xA=0即可证. 解:(1)设点F(x,y),则E(x,-1),因为⊥,所以·=0,所以x2-y=0,即x2=y,所以动点F的轨迹C的方程为y=x2. (2)证明:因为BM⊥y轴,所以设M(x1,y1),N(x2,y2),A(xA,y1),B(xB,y1),若要证A为线段BM的中点,只需证2xA=xB+x1即可, 当直线MN斜率不存在或斜率为0时,与抛物线只有一个交点,不满足题意, 所以直线MN斜率存在且不为0,x1x2y1y2≠0, 设直线MN:x=my+,m≠0,由 得2mx2-2x+1=0, Δ=4-4×2m×1=4-8m.由题意可知,直线MN与抛物线C有两个交点, 所以Δ>0,即4-8m>0,所以m<,由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=. 由题意,得直线OP的方程y=x,所以A(y1,y1),直线ON的方程y=x,所以B, 所以xB+x1-2xA=+x1-2y1 =+x1-2=x1 =x1·=(x1+x2-2x1x2) ==0, 所以A为线段BM的中点. 习得方略:能直接列出等量关系式时可以用直接法求轨迹方程,解题步骤为 (1)根据已知条件及一些基本公式(两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等)直接列出动点满足的等量关系式,从而得到轨迹方程; (2)注意“多点”和“少点”,一般情况下,斜率和三角形顶点等约束条件. 数智赋能:电子版随堂训练,根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(15分)(2025·太原期末)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3. (1)求抛物线E的方程;(5分) (2)已知点G(-1,0),过点F的直线交抛物线于C,D两点,求证:∠CGF=∠DGF.(10分) 解:(1)由题意得2+=3,解得p=2, 故抛物线E的方程为y2=4x. (2)证明:设直线CD的方程为x=ty+1,C,D,由得y2-4ty-4=0,Δ=16(t2+1)>0,∴y1y2=-4. ∴kGC+kGD=+==0,∴kGC=-kGD,即直线GC,GD关于x轴对称,故∠CGF=∠DGF. 2.(15分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为e=,其左、右顶点分别为A,B,下焦点为F,若S△ABF=. (1)求椭圆C的方程;(5分) (2)若点P为椭圆C上的动点,且在第一象限运动,直线AP的斜率为k,且与y轴交于点M,过点M与AP垂直的直线交x轴于点N,若直线PN的斜率为-k,求k的值.(10分) 解:(1)由题可知S△ABF=·2bc=, 即bc=,又e=, ∴⇒ ∴椭圆C的方程为+x2=1. (2)由题意知A(-1,0),kAP=k,则直线lAP:y=k(x+1),∴M(0,k), 联立方程⇒(k2+4)x2+2k2x+k2-4=0, ∴xA+xP=,xAxP=, ∴xP=,∴yP=k(xP+1)=, ∴P. ∵MN⊥AP,∴直线lMN:y=-x+k. 令y=0,解得xN=k2,∴N(k2,0), ∴kPN==-k,即k4+5k2-24=0, 解得k2=3或k2=-8(舍去), ∵P在第一象限,∴k=. 3.(15分)(2025·南昌模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为2,顶点到渐近线的距离为. (1)求C的方程;(5分) (2)若直线l:y=kx+2交C于A,B两点,O为坐标原点,且△AOB的面积为2,求k的值.(10分) 解:(1)记C的半焦距为c,由题得C的离心率e==2,　① 由对称性不妨设C的顶点为(a,0),渐近线方程为bx-ay=0,则=.　② 又a2+b2=c2,　③ 联立①②③,解得a=,b=,c=2, 所以C的方程为-=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 由得(3-k2)x2-4kx-10=0, 所以 解得-<k<,且k≠±(*), 所以x1+x2=,x1x2=, 所以|AB|==·=. 又点O到直线l的距离d=, 所以△AOB的面积S=|AB|·d=×·==2, 解得k=±1或k=±2,符合(*)式, 所以k=±1或k=±2. 4.(15分)已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),右焦点为F(,0),且离心率为. (1)求椭圆C的方程;(5分) (2)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=.(10分) 解:(1)由题意,知椭圆的半焦距c=且e==,所以a=,又b2=a2-c2=1,所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)证明:由(1)得,曲线为x2+y2=1(x>0), 当直线MN的斜率不存在时,直线MN:x=1,不符合题意; 当直线MN的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2). 必要性:若M,N,F三点共线,可设直线MN:y=k(x-),即kx-y-k=0, 由直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切可得=1,解得k=±1,联立 可得4x2-6x+3=0,所以x1+x2=,x1x2=,所以|MN|=·=,所以必要性成立; 充分性:设直线MN:y=kx+m(km<0),即kx-y+m=0, 由直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切可得=1,所以m2=k2+1,联立 可得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0, 所以x1+x2=-,x1x2=, 所以|MN|=·=·=·=, 化简得3(k2-1)2=0,所以k=±1, 所以或 所以直线MN:y=x-或y=-x+, 所以直线MN过点F(,0),即M,N,F三点共线,充分性成立. 所以M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=. 第十节　圆锥曲线中的最值、范围问题　　　　 方法一　不等式法求最值、范围问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　已知椭圆M：+=1(a>0)的一个焦点为F(-1，0)，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点. (1)求椭圆M的方程； (2)记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1-S2|的最大值. 解：(1)因为F(-1，0)为椭圆M的焦点，所以c=1. 又b=，所以a=2. 所以椭圆M的方程为+=1. (2)法一　当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=-1，此时△ABD与△ABC的面积相等，即|S1-S2|=0. 当直线l的斜率存在时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0)，与椭圆M的方程联立，消去y，得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0，Δ>0恒成立，且x1+x2=-， 此时|S1-S2|=2||y2|-|y1||=2|y1+y2|=2|k(x1+1)+k(x2+1)|=2|k(x1+x2)+2k|==≤=， 当且仅当k=±时，取等号， 所以|S1-S2|的最大值为. 法二　设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为x=my-1，与椭圆M的方程联立，消去x，得(3m2+4)y2-6my-9=0，Δ>0恒成立，且y1+y2=， 故|S1-S2|=2||y2|-|y1||=2|y1+y2|==≤=， 当且仅当m=±时取等号， 所以|S1-S2|的最大值为. 习得方略：(1)当直线l的斜率不存在时，可知直线方程为x=-1；当直线l的斜率存在(显然k≠0)时，可设直线方程为y=k(x+1)(k≠0).求解时一定要分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在两种情况作答，缺少任何一种情况，步骤都是不完整的. (2)本题可将直线方程巧设为x=my-1，用含m的式子表示出|S1-S2|，并求其最大值.显然，此法无需考虑直线的斜率是否存在，是解决此类问题的最佳选择. |思维建模|　利用不等式法求解最值、范围问题的策略 (1)利用圆锥曲线的几何性质或几何量之间的关系构造不等式. (2)利用直线与圆锥曲线的位置关系、判别式构造不等式. (3)利用已知或其他隐含条件中的不等关系构造不等式. (4)常与一元二次不等式、基本不等式相关. [即时训练] 1.已知过点M的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，且·=-3，其中O为坐标原点. (1)求p的值； (2)当|AM|+4|BM|最小时，求直线l的方程. 解：(1)设直线l的方程为x=my+， 由消去x得y2-2pmy-p2=0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1+y2=2pm，y1y2=-p2，因为·=-3，所以x1x2+y1y2=-3. 又x1x2=·=，所以-p2=-3， 又因为p>0，所以p=2. (2)由(1)及抛物线定义，得|AM|=x1+=x1+1，|BM|=x2+=x2+1， 所以|AM|+4|BM|=x1+4x2+5≥2+5=9，当且仅当x1=4x2时，等号成立. 将x1=4x2代入x1x2==1，得x2=(舍负). 将x2=代入y2=4x，得y2=±， 即点B， 将点B代入x=my+1，得m=±， 所以直线l的方程为x=±y+1，即4x±y-4=0. 方法二　函数法求最值、范围问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4. (1)求p； (2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值. 解：(1)由题意，得抛物线C：x2=2py的焦点F，圆M：x2+(y+4)2=1的圆心M(0，-4)，半径是1.由点F与圆M上的点的距离的最小值为4，得+4-1=4，解得p=2. (2)设A，B，P(x0，y0). 由y=，得y'=， 所以直线PA：y-=(x-x1)，　 ① 直线PB：y-=(x-x2)，　 ② 且kAB==， 则直线AB：y-=(x-x1)， 即4y=(x1+x2)x-x1x2. 将点P的坐标分别代入①②， 解得x0=，y0=， 则直线AB：2y=x0x-2y0. 所以|AB|= =. 易知点P到直线AB的距离d=， 所以S△PAB=d|AB|=|-4y0|=(-4y0=(--12y0-15. 因为y0∈[-5，-3]， 所以当y0=-5时，S△PAB最大，最大值为20. |思维建模|　利用函数法求解最值、范围问题的策略 (1)引入单变量，将所求解问题用含该变量的代数式表示，构造函数. (2)引入双变量，利用题设或其他条件建立两个变量之间的关系，通过消元的方法转化为单变量问题，构造函数. (3)注意挖掘变量所满足的条件，从而确定变量范围. (4)用函数的方法，如函数的单调性、导数等分析求解最值或范围. [即时训练] 2.(2025·桂林模拟)点A，B分别是椭圆+=1(a>b>0)的上顶点和左顶点，P是椭圆上一动点(不与右顶点重合)，P的横坐标非负，BP的中点是M，当P位于下顶点时△APM的面积为1，椭圆离心率为. (1)求椭圆方程； (2)记△POM的面积为S1，△AOM的面积为S2，求的最小值. 解：(1)由题意得e==××a×2b=1⇒ab=2，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=1，c=，所以椭圆方程为+y2=1. (2)=====， 其中N是下顶点，M(xM，yM)，P(xP，yP)， 注意到+=1， 设t=(t>0)，所以t2====-1，xP∈[0，2)，由复合函数单调性可知，当xP=0时，t2有最小值1，注意到t>0，所以t的最小值为1，即的最小值为1. [课时跟踪检测] 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(15分)(2025·郑州模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P() 为椭圆C上一点，且△PF1F2的面积为2. (1)求椭圆C的标准方程；(5分) (2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点A，B，求|AB|的最大值.(10分) 解：(1)由题意可得解得故椭圆C的标准方程为+=1. (2)k=tan=1，故可设lAB：y=x+t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 消去y可得4x2+6tx+3t2-12=0， Δ=36t2-16(3t2-12)=12(16-t2)>0，即-4<t<4，x1+x2==-，x1x2=， 则|AB|=·=·=·=，则当t=0时，|AB|有最大值，且其最大值为=2. 2.(15分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)过点(2，1)，渐近线方程为y=±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点. (1)求双曲线C的方程；(5分) (2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值.(10分) 解：(1)由题设可知解得 所以双曲线C的方程为-y2=1. (2)设点M的横坐标为xM>0， 当直线l斜率不存在时，则直线l：x=2. 易知点M到y轴的距离为xM=2. 当直线l斜率存在时，设l：y=kx+m， A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立整理得(4k2-1)x2+8kmx+4m2+4=0，其中4k2-1≠0， Δ=64k2m2-16(4k2-1)(m2+1)=0， 整理得4k2=m2+1，即4k2-1=m2， 联立得x1=， 联立得x2=-， 则x1+x2=-==-=-， 则xM==->0，即km<0， 则==4+>4，即xM>2， 所以此时点M到y轴的距离大于2. 综上所述，点M到y轴的最小距离为2. 3.(15分)在直角坐标系xOy中，动点P到直线x=4的距离是它到点M(1，0)的距离的2倍，设动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程；(5分) (2)直线l：x=my-1与曲线C交于A，B两点，求△MAB面积的最大值.(10分) 解：(1)设P(x，y)，因为点P到直线x=4的距离是它到点M(1，0)的距离的2倍， 所以|x-4|=2，则x2-8x+16=4x2-8x+4+4y2，整理得+=1， 故曲线C的方程为+=1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组整理得(3m2+4)y2-6my-9=0， 则Δ=(-6m)2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0，y1+y2=，y1y2=-. 因为l：x=my-1过点(-1，0)， 所以S△MAB=×2×|y1-y2|= ==. 令t=，t≥1，f(t)=3t+， 则f'(t)=3->0在[1，+∞)上恒成立，f(t)在[1，+∞)上单调递增， 则当t=1时，f(t)min=f(1)=4，则S△MAB的最大值为3.故△MAB面积的最大值为3. 4.(15分)(2025·安康模拟)已知抛物线y2=2px(p>0)上的动点与M(2，0)距离的最小值为. (1)求p；(5分) (2)过点Q(2，1)的直线l交抛物线于A，B两点，直线l'平行于l，且与抛物线仅有一个公共点N，求△ABN面积的最小值.(10分) 方法引入：(1)通过点与点的距离，求得最小值，得到p的值. (2)设直线，得到弦长AB，l'与l平行，设出l'，联立求出点N的坐标，求出N到AB的距离，算出面积公式，求出范围. 解：(1)设抛物线上的动点为H(x0，y0)，|HM|2=(x0-2)2+=-4x0+4+2px0=+(2p-4)x0+4，因为|HM|的最小值为，且x0=0时，|HM|2=4>3，故可知2-p>0，且=3，解得p=1或p=3(舍去). (2)由(1)知，抛物线方程为y2=2x，由题意可知，直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=t(y-1)+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 代入y2=2x，可得y2-2ty+2t-4=0，则Δ>0，y1+y2=2t，y1y2=2t-4， 所以|AB|=·|y1-y2|=·. 设平行线l'的方程为x=ty+m，将x=ty+m代入y2=2x，可得y2-2ty-2m=0，当Δ'=0时，yN=t，则xN=，N， 所以点N到直线AB的距离为d==， 故S△ABN=d·|AB|=···= =[(t-1)2+3≥，当t=1时，S△ABN取得最小值，此时N. 故△ABN面积的最小值为. 第十一节　圆锥曲线中的定点、定直线问题 题点一　定点问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　已知椭圆C：+=1(a>b>0)经过点A(0，1)，离心率为. (1)求C的方程； (2)若M，N为C上的两点，且直线AM与直线AN的斜率之积为2，求证：直线MN过定点. 解：(1)依题意，可得解得 ∴椭圆C的方程为+y2=1. (2)证明：①当直线MN的斜率不存在时，设MN：x=t(-2<t<2，t≠0). 则M，N， ∴kAM·kAN=×=，不合题意. ②当直线MN的斜率存在时，设lMN：y=kx+m，M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1x2≠0)， 联立方程得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.∴Δ=16(4k2-m2+1)>0，x1+x2=，x1x2=.又kAM·kAN=·==2， 即(k2-2)x1x2+k(m-1)(x1+x2)+(m-1)2=0.将x1+x2=，x1x2=代入上式， 得(k2-2)+k(m-1)+(m-1)2=0，即7m2+2m-9=0，解得m=1或m=-，当m=1时，lMN：y=kx+1，恒过点(0，1)，不符合题意，故舍去； 当m=-时，lMN：y=kx-，恒过点，符合题意；∴直线MN过定点. |思维建模|　求解直线过定点问题的常用方法 (1)“特殊探路，一般证明”：先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明. (2)“一般推理，特殊求解”：设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点. (3)求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)或截距式y=kx+b来证明. [即时训练] 1.(2025·九江模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，A是E上第一象限内的动点.当直线AF的倾斜角为时，|AF|=4. (1)求E的方程； (2)已知点D(2，2)，B，C是E上不同两点.若四边形ABCD是平行四边形，证明：直线AC过定点. 解：(1)由题意可知，抛物线E的焦点F，准线x=-，过点A作x轴的垂线，垂足为H1，作准线的垂线，垂足为H2， 由抛物线定义可得|AH2|=|AF|=4，因为直线AF的倾斜角为，则|FH1|=2，可得|AH2|=p+2=4，解得p=2， 所以E的方程为y2=4x. (2)证明：设直线AC的方程为x=my+n，A(x1，y1)，C(x2，y2)，B(x0，y0)， 联立方程组消去x整理得y2-4my-4n=0，则Δ>0，y1+y2=4m，y1y2=-4n， 因为四边形ABCD是平行四边形， 则 即B(4m2+2n-2，4m-2)， 代入y2=4x中得(4m-2)2=4(4m2+2n-2)，整理得n=-2m，则直线AC：x=my+-2m=m(y-2)+，所以直线AC过定点. 题点二　定直线问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　已知椭圆C：+=1(a>b>0)，点A，B为椭圆C的左、右顶点(A点在左)，|AB|=4，离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点(-1，0)的直线l与椭圆C交于M，N(与A，B不重合)两点，直线AM与BN交于点P，证明：点P在定直线上. 解：(1)由题意可知所以a=2，c=，所以b==1， 所以椭圆C的标准方程为+y2=1. (2)证明：利用纵坐标的根与系数的关系表示出直线AM与直线BN的交点P的横坐标，根据坐标判断出点P是否位于定直线上 由题意，直线l的斜率不为0，设直线l：x=my-1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立得(m2+4)y2-2my-3=0， 显然Δ>0， 所以y1+y2=，y1y2=-，所以-(y1+y2)=my1y2. 又因为A(-2，0)，B(2，0)， 所以lAM：y=(x+2)，lBN：y=(x-2)， 令(x+2)=(x-2)， 则======， 解得x=-4，即xP=-4， 所以点P在定直线x=-4上. |思维建模| (1)动点在定直线上是圆锥曲线的常规题型，设点法：通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程. (2)待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数求解出系数. (3)面对复杂问题时，可从特殊情况入手，以确定可能的定直线，然后再验证该直线对一般情况是否符合，属于“先猜再证”. [即时训练] 2.(2025·赣州模拟)如图，过抛物线y2=4x的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，AM，AN，BC，BD分别垂直于坐标轴，垂足依次为M，N，C，D. (1)若矩形ANOM和矩形BDOC的面积分别为S1，S2，求S1·S2的值； (2)求证：直线MN与直线CD的交点在定直线上. 解：(1)抛物线y2=4x的焦点F(1，0)，显然直线AB不垂直于y轴，设其方程为x=my+1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去x，整理得y2-4my-4=0. 则y1+y2=4m，y1y2=-4， 矩形ANOM和矩形BDOC的面积分别为 S1=|x1y1|=，S2=|x2y2|=， 所以S1·S2=·==4. (2)证明：由(1)得M(x1，0)，N(0，y1)，C(x2，0)，D(0，y2)， 于是得直线MN的方程为y=-x+y1， 直线CD的方程为y=-x+y2， 由消去y，整理得x=y1-y2， 而-=-==y1-y2，因此有x=1， 所以直线MN与直线CD的交点在定直线x=1上. [课时跟踪检测] 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(15分)(2025·娄底模拟)若抛物线Γ的方程为y2=4x，焦点为F，设P，Q是抛物线Γ上两个不同的动点. (1)若|PF|=3，求直线PF的斜率；(6分) (2)设PQ中点为R，若直线PQ斜率为，证明R在一条定直线上.(9分) 快审准解：(1)根据焦半径公式得到xP=2，求出P(2，±2)，从而求出斜率； (2)法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ：y=x+t，联立抛物线方程，得到根与系数的关系，得到yR==2，求出答案； 法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，得到==，从而确定y1+y2=4，得到yR==2，得到答案. 解：(1)由题意F(1，0)，|PF|=xP+1=3，则xP=2，将x=2代入y2=4x，得y=±2，则P(2，±2)，所以kPF==±2. (2)证明：法一　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ：y=x+t，即x=y-t， 代入y2=4x，得y2-4y+4t=0， 由根与系数的关系，得y1+y2=4，故yR==2，R在定直线y=2上. 法二　设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意，===，故y1+y2=4，故yR==2，R在定直线y=2上. 2.(15分)已知双曲线C的渐近线方程为y=±x，且过点P(3，). (1)求C的方程；(5分) (2)设Q(1，0)，直线x=t不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D.求证：直线AD过x轴上的一定点.(10分) 解：(1)因为渐近线方程为y=±x，所以可设双曲线C的方程为-=λ(λ≠0)， 将点P(3，)代入得-=λ，解得λ=，所以双曲线C的方程为-y2=1. (2)证明：显然直线BQ的斜率不为零，设直线BQ的方程为x=my+1，B(x1，y1)，D(x2，y2)，A(x1，-y1)，联立消x整理得(m2-3)y2+2my-2=0. 依题意得m2-3≠0且Δ=4m2+8(m2-3)>0，即m2>2且m2≠3， y1+y2=-，y1y2=-， 直线AD的方程为y+y1=(x-x1)， 令y=0，得x=+x1=== ===3. 所以直线AD过x轴上的定点(3，0). 3.(15分)(2025·泰安模拟)平面内点P到点F(3，0)与到直线l1：x=的距离之比为3. (1)求点P的轨迹E的方程；(5分) (2) A1，A2为E的左、右顶点，过F的直线l与E交于M，N(异于A1，A2)两点，MA1与NA2交点为R，求证：点R在定直线上.(10分) 快审准解：(1)设P(x，y)，根据题意列出方程=3，即可求解； (2)设直线l：x=my+3，联立方程组，求得y1+y2=，y1y2=，再由直线lMA1：y=(x+1)和lNA2：y=(x-1)，化简得到=，列出方程，求得x的值，即可得到答案. 解：(1)设P(x，y)是所求轨迹E上的任意一点， 因为点P到点F(3，0)与到直线l1：x=的距离之比为3，可得 =3，整理得x2-=1，所以轨迹E的方程为x2-=1. (2)证明：由(1)知A1(-1，0)，A2(1，0)，设直线l：x=my+3，且M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立方程组整理得(8m2-1)y2+48my+64=0，则8m2-1≠0，可得m≠±， 所以Δ=(48m)2-256(8m2-1)=256(m2+1)>0，且y1+y2=，y1y2=，① 又由lMA1：y=(x+1)和 lNA2：y=(x-1)， 两式相除得== =，② 由①式可得my1y2=-(y1+y2)，代入②式==-，解得x= ，所以点R在定直线x=上. 4.(15分)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，-2)，B两点. (1)求E的方程；(4分) (2)设过点P(1，-2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足=.证明：直线HN过定点.(11分) 解：(1)设椭圆E的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)，过A(0，-2)，B，则解得m=，n=，所以椭圆E的方程为+=1. (2)证明：A(0，-2)，B，所以AB：y+2=x， ①假设M在N的上方，若过点P(1，-2)的直线斜率不存在，将x=1代入+=1，可得M，N， 代入AB方程y=x-2，可得T， 由=得到H. 求得HN方程：y=x-2，过点(0，-2). ②若过点P(1，-2)的直线斜率存在，设kx-y-(k+2)=0，M(x1，y1)，N(x2，y2). 联立 得(3k2+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0， 可得 且x1y2+x2y1=，(*) 联立可得T，H(3y1+6-x1，y1).可求得此时HN：y-y2=(x-x2)， 将(0，-2)代入整理得2(x1+x2)-6(y1+y2)+x1y2+x2y1-3y1y2-12=0， 将(*)代入，得24k+12k2+96+48k-24k-48-48k+24k2-36k2-48=0，显然成立， 综上，可得直线HN过定点(0，-2). 第十二节　圆锥曲线中的定值、探索性问题 题点一　定值问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　(2025·沧州模拟)已知椭圆Γ：+=1(a>b>0)的左焦点为F1，上、下顶点分别为A，B，且∠AF1B=，点在Γ上. (1)求椭圆Γ的方程； (2)过左焦点F1的直线交椭圆Γ于M，N两点，交直线x=-2于点P，设=λ=μ，证明：λ+μ为定值. 快审准解：(1)由∠AF1B=，得a=b，再把点代入椭圆方程求出a，b即可； (2)设出直线MN的方程，代入椭圆方程，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由=λ=μ，表示出λ+μ，利用根与系数的关系化简得定值. 解：(1)由题意可知，∠AF1B=，所以a=b， 因为点在Γ上，所以+=1，解得b=1，故a=， 所以椭圆Γ的方程为+y2=1. (2)证明：由已知得直线MN的斜率必存在，可设直线MN的方程为y=k(x+1)， 代入椭圆方程，整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0，Δ=8k2+8>0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1+x2=-，x1x2=， 又P(-2，-k)，F1(-1，0)，由=λ=μ得λ=-，μ=-. 所以λ+μ=--=-， 因为2x1x2+3(x1+x2)+4=2·+3·+4=0，所以λ+μ=0，为定值. |思维建模| 圆锥曲线中定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值.依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值. (2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得. (3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得. [即时训练] 1.(2025·西安开学考试)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且|PF|=3，|PE|=. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是线段MN的中点，O是原点，直线MN，OQ的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2为定值. 解：(1)不妨设双曲线C的半焦距为c(c>0)， ∵|PF|=3，|PE|=， ∴=3，=c=，解得b=2，c=，则a2=c2-b2=5-4=1， 故双曲线C的标准方程为x2-=1. (2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1≠x2，x1+x2≠0， 则Q， ∵M，N为双曲线C上的两点， ∴两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=，整理得=， 则k1·k2=·=·=4，故k1·k2为定值，定值为4. 题点二　探索性问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　(2024·天津高考)已知椭圆+=1(a>b>0)，椭圆的离心率e=，左顶点为A，下顶点为B，O为坐标原点，C是线段OB的中点，其中S△ABC=. (1)求椭圆的方程； (2)过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q，在y轴上是否存在点T使得·≤0?若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由. 快审准解：(1)根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程； (2)设该直线方程为y=kx-，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(0，t)，联立直线方程和椭圆方程并消元，结合根与系数的关系和向量数量积的坐标运算可用k，t表示·，再根据·≤0可求t的取值范围. 解：(1)因为e==，所以a=2c，b==c.由题知A(-a，0)，B(0，-b)，C， 所以S△ABC=|BC||OA|=××a=××2c=，解得c=. 所以a=2，b=3.故椭圆的方程为+=1. (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(0，t). 当直线PQ的斜率不存在时，不妨设P(0，3)，Q(0，-3)，则·=(0，3-t)·(0，-3-t)=t2-9≤0，解得-3≤t≤3. 当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx-， 由可得(3+4k2)x2-12kx-27=0，所以Δ=144k2+4×27(3+4k2)>0，x1+x2=，x1x2=-. 因为·=(x1，y1-t)·(x2，y2-t)=x1x2+(y1-t)(y2-t)=x1x2+=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+ =--+ =≤0， 所以4k2t2-36k2+3t2+9t-≤0对k∈R恒成立， 则有解得-3≤t≤. 综上可得，-3≤t≤，即在y轴上存在点T使得·≤0，且点T纵坐标的取值范围是. |思维建模| 探索性(存在性)问题，一般是不给出确定性的结论，而是以“是否存在”设问，让考生根据题目的条件进行分析判断得出确定的结论.此类问题的常用解法：先假设存在，用待定系数法列出关于待定系数的方程组，推证满足条件的结论，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.要注意的是， (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； (3)当条件和结论都不知道，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法. [即时训练] 2.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的焦距为2，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，△F2MN的周长为8. (1)求椭圆C的标准方程； (2)对于D(-1，0)，是否存在实数k，使得直线y=kx+2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|=|DQ|?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 解：(1)因为△F2MN的周长为|MF2|+|NF2|+|MN|=|MF2|+|NF2|+|MF1|+|NF1|=|MF2|+|MF1|+|NF2|+|NF1|=4a=8，所以a=2. 又因为2c=2，所以c=，所以b2=a2-c2=1， 所以椭圆C的标准方程为+y2=1. (2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，设PQ的中点为A， 联立消去y，整理得(4k2+1)x2+16kx+12=0， 所以Δ=256k2-48(4k2+1)>0，即4k2-3>0， 所以k<-或k>.又由根与系数的关系可得，x1+x2=-，x1x2=， 所以xA==-，yA=kxA+2=， 所以A. 因为|DP|=|DQ|，所以DA⊥PQ. 由k<-或k>可知，直线DA，PQ的斜率均存在，且都不等于零， 所以kDA·kPQ=-1，即×k=-1， 整理得4k2-6k+1=0， 解得k1=，k2=. 又因为k<-或k>，所以k=满足题意， 所以存在k=，使得直线y=kx+2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|=|DQ|. [课时跟踪检测] 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.(15分)(2025·贵阳开学考试)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，设直线l过定点B(-2，0)，且与双曲线C交于E，F两点. (1)求双曲线C的方程；(5分) (2)证明：直线AE与AF的斜率之积为定值.(10分) 快审准解：(1)由实轴长为6，得a=3，由离心率为，得c=2，再由a2+b2=c2得b=，即可得到双曲线C的方程； (2)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，直线l：x=my-2，直线与双曲线方程联立得(m2-3)y2-4my-5=0，根据根与系数的关系得y1+y2=，y1y2=，根据斜率公式得kAE·kAF，最后代入化简计算即可得证. 解：(1)因为双曲线的实轴长为6，所以a=3， 因为双曲线的离心率为，所以=，解得c=2， 由a2+b2=c2，得b=，则C的方程为-=1. (2)证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，因为直线l过定点B(-2，0)，显然直线l不垂直于y轴，则设直线l：x=my-2(m≠±)， 联立方程组消去x得(m2-3)y2-4my-5=0，由Δ=16m2+20(m2-3)>0，得m2>， 则y1+y2=，y1y2=， 因为A为双曲线C的左顶点，所以A(-3，0)， 直线AE的斜率kAE=，直线AF的斜率kAF=， 所以kAE·kAF= = = ===， 即直线AE与AF的斜率之积为定值. 关键点睛：第(2)问的关键在于设出直线l的方程，然后直曲联立，利用根与系数的关系，代入kAE·kAF的表达式，化简即可得到定值. 2.(17分)(2025·武汉模拟)已知椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，且经过点A. (1)求椭圆E的方程；(4分) (2)求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程；(6分) (3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在，请找出；若不存在，请说明理由.(7分) 解：(1)椭圆E经过点A，e=， 可得解得 因此可得椭圆E的方程为+=1. (2)由(1)可知，F1(-2，0)，F2(2，0). 法一　由题意可知lAF1：5x-12y+10=0，lAF2：x=2，如图所示. 设角平分线上任意一点为P(x，y)，则=|x-2|，得9x-6y-8=0或2x+3y-9=0 又易知其斜率为正，所以∠F1AF2的角平分线所在直线为9x-6y-8=0. 法二　椭圆在点A处的切线方程为+=1，k切=-， 根据椭圆的光学性质，∠F1AF2的角平分线所在直线l的斜率为kl=， 所以∠F1AF2的角平分线所在直线l：y=x-，即9x-6y-8=0. (3)法一　假设存在关于直线l对称的相异两点B(x1，y1)，C(x2，y2)，设lBC：y=-x+m， 联立可得9x2-12mx+9m2-45=0， 所以线段BC中点为M在∠F1AF2的角平分线上，即6m-m-8=0，解得m=3. 因此M与点A重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点. 法二　假设存在关于直线l对称的相异两点B(x1，y1)，C(x2，y2)，线段BC中点M(x0，y0)， 由点差法可得即+=0. 则kBC==-·=-·=-，因此kOM==， 联立可得M与点A重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点. 3.(17分)(2025·濮阳模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)，F1，F2分别是C的左、右焦点.若C的离心率e=2，且点(4，6)在C上. (1)求C的方程；(5分) (2)若过点F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，与抛物线y2=16x交于P，Q两点，试问是否存在常数λ，使得-为定值?若存在，求出常数λ的值；若不存在，请说明理由.(12分) 解：(1)设双曲线C的半焦距为c(c>0)， 由题意可得解得a=2，b=2，c=4，所以C的方程为-=1. (2)假设存在常数λ满足条件，由(1)知F2(4，0)， 设直线l：x=my+4，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程 消去x，整理可得(3m2-1)y2+24my+36=0， 所以3m2-1≠0，Δ=144(m2+1)>0，y1+y2=-，y1y2=， |AB|=|y1-y2| =· =· =. 因为直线l过点F2且与C的左、右两支分别交于A，B两点，所以A，B两点在x轴同侧，所以y1y2>0.此时3m2-1>0，即m2>，所以|AB|=. 设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，将x=my+4代入抛物线方程y2=16x，得y2-16my-64=0， 则Δ1=256(m2+1)>0，y3+y4=16m，y3y4=-64，所以|PQ|=|y3-y4|=·=·=16(m2+1). 所以-=-=. 故当-4-3λ=12时，为定值. 所以存在常数λ=-，使得-为定值. 4.(17分)已知斜率为1的直线l1交抛物线E：x2=2py(p>0)于A，B两点，线段AB的中点Q的横坐标为2. (1)求抛物线E的方程；(5分) (2)设抛物线E的焦点为F，过点F的直线l2与抛物线E交于M，N两点，分别在点M，N处作抛物线E的切线，两条切线交于点P，则△PMN的面积是否存在最小值?若存在，求出这个最小值及此时对应的直线l2的方程；若不存在，请说明理由.(12分) 快审准解：(1)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知可得出x1+x2=4，利用斜率公式以及抛物线的方程可求得p的值，由此可得出抛物线E的方程； (2)设点M(x3，y3)，N(x4，y4)，分析可知，直线l2的斜率存在，设直线l2的方程为y=kx+1，将该直线的方程与抛物线的方程联立，列出根与系数的关系， 求出|MN|，求出两切线的方程，进而可求得点P的坐标，分析可得出PF⊥MN，求出|PF|，利用二次函数的基本性质可求得△PMN面积的最小值，及其对应的直线l2的方程. 解：(1)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB的斜率为1，所以x1≠x2， 因为线段AB的中点Q的横坐标为2，则x1+x2=4，kAB=====1，可得p=2，所以抛物线E的方程为x2=4y. (2)设点M(x3，y3)，N(x4，y4)，易知点F(0，1)， 若直线l2的斜率不存在，则直线l2与抛物线E只有一个公共点，不符合题意.故l2的斜率存在， 设直线l2的方程为y=kx+1，联立可得x2-4kx-4=0， Δ=16k2+16>0，由根与系数的关系可得x3+x4=4k，x3x4=-4， 由焦点弦长公式可得|MN|=y3+y4+$$