第三章 一元函数的导数及其应用（教师用书）-【新高考方案】2026年高考数学一轮总复习（普高固基版）

第三章 一元函数的导数及其应用 第一节　导数的概念及运算 1.了解导数的概念，掌握基本初等函数的导数.通过函数图象，理解导数的几何意义. 2.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax+b))的导数. 　　　　　　　　　　　　　　　　 教材再回首 1.函数的平均变化率 一般地，若函数y=f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1=f(x1)，y2=f(x2)，则 (1)称Δx=x2-x1为自变量的改变量； (2)称Δy=y2-y1(或Δf=f(x2)-f(x1))为相应的因变量的改变量； (3)称=为函数y=f(x)在以x1，x2为端点的闭区间上的平均变化率，其中“以x1，x2为端点的闭区间”，在x1<x2时指的是[x1，x2]，而x1>x2时指的是[x2，x1]. 2.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率=为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f'(x0)或y'，即f'(x0)==. (2)导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)·(x-x0). 3.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=xα(α∈R，且α≠0) f'(x)=αxα-1 f(x)=sin x f'(x)=cos x f(x)=cos x f'(x)=-sin x f(x)=ax(a>0，且a≠1) f'(x)=axln a f(x)=ex f'(x)=ex f(x)=logax(a>0，且a≠1) f'(x)= f(x)=ln x f'(x)= 4.导数的四则运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)； (2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)； (3)'=(g(x)≠0)；(特殊化)当f(x)=1，g(x)≠0时，='=-. (4)[cf(x)]'=cf'(x)(c为常数). 5.复合函数的导数 对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 解题结论拓展 (1)f'(x)是一个函数，f'(x0)是函数f'(x)在x0处的函数值(常数)不一定为0，(f(x0))'是函数值f(x0)的导数且(f(x0))'=0. (2)若函数连续且可导，则奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数. (3)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x). 典题细发掘 1.(苏教选必修①P203T2改编)[多选]下列函数求导运算正确的是 (　　) A.若y=，则y'=- B.若y=4x，则y'=4x C.若y=，则y'= D.若y=xex，则y'=(x+1)ex 答案:AD 2.(人A选必修②P70T4改编)若车轮旋转的角度θ(单位:rad)与时间t(单位:s)之间的关系为θ(t)=t2，则车轮转动开始后第4秒的瞬时角速度为 (　　) A.13π rad/s B. rad/s C.52π rad/s D.26π rad/s 解析:选A　由题意可得θ'(t)=t，所以车轮转动开始后第4秒的瞬时角速度为θ'(4)=13π rad/s，故选A. 3.(人A选必修②P81T6改编)已知函数f(x)满足f(x)=f'cos x-sin x，则f'=　　　　.  解析:f'(x)=-f'sin x-cos x，令x=，得f'=-f'-，解得f'=1-. 答案:1- 4.(人A选必修②P78T3改编)曲线y=f(x)=x2+在点(1，4)处的切线方程为　　　　　　.  解析:易知f'(x)=2x-，则f'(1)=-1，故f(x)在点(1，4)处的切线方程为y-4=-(x-1)，即x+y-5=0. 答案:x+y-5=0 题点一　导数的运算 [例1]　(多选)下列结论正确的是 (　　) A.若y=sin ，则y'=cos B.若f(x)=3x2-f'(1)x，则f'(1)=3 C.若y=-+x，则y'=-+1 D.若y=tan x2，则y'= 解析:选BC　对于A，y=sin =，则y'='=0，故A错误； 对于B，由f(x)=3x2-f'(1)x求导，得f'(x)=6x-f'(1)，当x=1时，f'(1)=6-f'(1)，解得f'(1)=3，故B正确； 对于C，由y=-+x求导，得y'=-+1，故C正确； 对于D，由y=tan x2=求导，得y'='==，故D错误. (易错提醒:在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆) |思维建模|　常用求导技巧 (1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式，再求导； (2)分式形式:观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式:先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式:先化为分数指数幂的形式，再求导； (5)三角形式:先利用公式化简函数，再求导； (6)复合函数:确定复合关系，由外向内，层层求导. [即时训练] 1.已知函数f(x)=-x2+ln x，则的值为 (　　) A.e B.-2 C.- D.0 解析:选D　因为f'(x)=-x+，所以f'(1)=-1+1=0，所以=0.故选D. 2.[多选]下列求导运算正确的是 (　　) A.'= 　　B.'=1+ C.(log23)'=0 　　D.(x2ex)'=(2x-x2)ex 解析:选ABC　'==，A正确.'=x'-'=1+，B正确.log23为常数，C正确.(x2ex)'=(x2)'·ex+x2(ex)'=2xex+x2ex=(2x+x2)ex，D错误. 易错提醒:利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆. 题点二　导数的几何意义 　　　　　　　　　　　　　　　　 考法(一)　求切线方程 [例2] (1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)=，则曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　f'(x)=，则f'(0)=3，即曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线方程为y-1=3(x-0)，即3x-y+1=0，切线与两坐标轴的交点分别为(0，1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×=，故选A. (2)(2022·新课标Ⅱ卷)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为　 　　　　，　 　　　　.  解析:法一:化为分段函数，分段求y=ln|x| 当x>0时，y=ln x，设切点为(x0，ln x0)，由y'=，得y'=，所以切线方程为y-ln x0=(x-x0).又切线过坐标原点，所以-ln x0=(-x0)，解得x0=e，所以切线方程为y-1=(x-e)，即y=x； 当x<0时，y=ln(-x)，设切点为(x1，ln(-x1))，由y'=，得y'=，所以切线方程为y-ln(-x1)=(x-x1).又切线过坐标原点，所以-ln(-x1)=(-x1)，解得x1=-e，所以切线方程为y-1=(x+e)，即y=-x. 法二:根据函数的对称性，数形结合 当x>0时，y=ln x，设切点为(x0，ln x0)，由y'=，得y'=，所以切线方程为y-ln x0=(x-x0)，又切线过坐标原点，所以-ln x0=(-x0)，解得x0=e，所以切线方程为y-1=(x-e)，即y=x； 因为y=ln|x|是偶函数，图象如图所示， 所以当x<0时的切线，只需找到y=x关于y轴的对称直线y=-x即可. 答案:y=x　y=-x |考|教|衔|接| [例2]第(2)题源自人B选必修③P91T6:求满足下列条件的直线l的方程. (1)过原点且与曲线y=ln x相切； (2)斜率为e且与曲线y=ex相切. 启示:从条件上看，两题均是求曲线y=ln x过坐标原点的切线方程，只不过高考题又结合了分段函数及函数的性质求解，体现了高考源于教材、高于教材的命题理念.   |思维建模|　求切线方程的关键点 (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程: ①切点处的导数是切线的斜率； ②切点在切线上； ③切点在曲线上. (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”. 考法(二)　求切点坐标 [例3]　已知直线y=ex-2是曲线y=ln x的切线，则切点坐标为 (　　) A. B.(e，1) C. D.(0，1) 解析:选A　设切点坐标为(t，ln t)，因为(ln x)'=，所以在点(t，ln t)处切线的斜率为，所以曲线y=ln x在点(t，ln t)处的切线方程为y-ln t=(x-t)，即y-ln t=x-1，所以解得t=，所以切点为. |思维建模|　求切点坐标的思路 　　已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标. 考法(三)　求参数的值或范围 [例4]　(2022·新课标Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是　　　　　　　　　.  快审准解:设出切点横坐标x0，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于x0的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围. 解析:∵y=(x+a)ex，∴y'=(x+1+a)ex，设切点为(x0，y0)，则y0=(x0+a)，切线斜率k=(x0+1+a)，切线方程为y-(x0+a)=(x0+1+a)(x-x0).∵切线过原点，∴-(x0+a)=(x0+1+a)(-x0)，整理得+ax0-a=0.∵切线有两条，∴Δ=a2+4a>0，解得a<-4或a>0，∴a的取值范围是(-∞，-4)∪(0，+∞). 答案:(-∞，-4)∪(0，+∞) |思维建模|　由导数的几何意义求参数范围的方法 (1)利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围. (2)注意曲线上点的横坐标的取值范围. [即时训练] 3.曲线C:y=x3在点P处的切线的斜率等于3，则点P的坐标为 (　　) A.(1，1)或(-1，1) B.(-1，-1)或(1，-1) C.(-1，-1)或(1，1) D.(-1，1)或(1，-1) 解析:选C　设点P(x0，)， ∵y'=3x2，∴ =3. ∵在点P处的切线的斜率等于3，∴3=3，解得x0=±1，∴点P的坐标为(-1，-1)或(1，1). 4.(人A选必修②P82T11改编)函数f(x)=x+aln x在点(1，1)处的切线与直线y=2x平行，则a= (　　) A.1 B.2 C.-1 D.-2 解析:选A　f'(x)=1+，则f'(1)=1+a，因为函数f(x)在点(1，1)处的切线与直线y=2x平行，所以f'(1)=1+a=2，解得a=1，故选A. 5.(2025·贵阳模拟)过点P(1，-3)作曲线y=2x3-3x的切线，切线的方程为　　　　.  解析:设切点为(a，2a3-3a)，因为y=f(x)=2x3-3x，则f'(x)=6x2-3，所以切线的斜率k=f'(a)=6a2-3，故切线方程为y-(2a3-3a)=(6a2-3)(x-a).因为切线过点P(1，-3)，所以-3-(2a3-3a)=(6a2-3)(1-a)，解得a=0或a=，则切点坐标为(0，0)或，故切线方程为3x+y=0或21x-2y-27=0. 答案:3x+y=0或21x-2y-27=0 题点三　公切线问题 [例5]　(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y=ex+x在点(0，1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线，则a=　　　　　　　.  解析:由y=ex+x，得y'=ex+1，y'|x=0=e0+1=2， 故曲线y=ex+x在(0，1)处的切线方程为y=2x+1. 由y=ln(x+1)+a，得y'=， 设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0，ln(x0+1)+a)， 由两曲线有公切线得y'==2，解得x0=-，则切点为，切线方程为y=2+a+ln=2x+1+a-ln 2， 根据两切线重合，所以a-ln 2=0，解得a=ln 2. 答案:ln 2 |考|教|衔|接| [例5]源自人教B版选择性必修③P91T3:已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，则a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线?写出此公切线的方程. 启示:高考题与教材题均考查由公切线问题求参数，二者的区别在于是否明确切点.平时学通教材，高考信手拈来.   |思维建模|　求解公切线问题的策略 　　确定两曲线的公切线问题，切点是切线的核心.解决这类问题的关键是设出切点的坐标，用好相切的特征，即若两个函数的图象有相同的切线，则需根据函数与切线在切点处的函数值相等以及两函数在切点处的导函数的函数值也相等，构建方程(组)加以求解. [即时训练] 6.若直线l是曲线y=ex-1与y=ex-1的公切线，则直线l的方程为 (　　) A.y=x-1 B.y=x C.y=x+1 D.y=ex 解析:选B　由y=ex-1，得y'=ex-1，由y=ex-1，得y'=ex.设直线l与曲线y=ex-1切于点(x1，)，与曲线y=ex-1切于点(x2，-1)，则= ①，又= ②， 由方程①②解得x1=1，x2=0，所以直线l过点(1，1)，斜率为1，即l的方程为y=x. 7.已知直线y=ax+b(a∈R，b>0)是曲线f(x)=ex与曲线g(x)=ln x+2的公切线，则a+b= (　　) A.2 B. C.e D. 快审准解:设(t，et)是f(x)图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线g(x)=ln x+2上的切点，继而求出t的值，结合切线方程，即可求得答案. 解析:选A　由题意知直线y=ax+b(a∈R，b>0)是曲线f(x)=ex与曲线g(x)=ln x+2的公切线，设(t，et)是f(x)图象上的切点，f'(x)=ex，所以f(x)在点(t，et)处的切线方程为y-et=et(x-t)，即y=etx+(1-t)et　①，令g'(x)==et，解得x=e-t，g(e-t)=ln e-t+2=2-t， 即直线y=ax+b(a∈R，b>0)与曲线g(x)=ln x+2的切点为(e-t，2-t)，所以=et，即1-t=(1-t)et，解得t=0或t=1.当t=1时，①为y=ex，b=0，不符合题意，舍去，所以t=0，此时①可化为y=x+1，所以a+b=1+1=2. 数智赋能:电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.设f(x)为R上的可导函数，且f'(1)=1，则= (　　) A.2 B.-2 C.1 D.-1 解析:选B　因为f'(1)==1，所以=-2.故选B. 2.(2025·厦门一模)已知直线l与曲线y=x3-x在原点处相切，则l的倾斜角为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由y'=3x2-1，则y'|x=0=-1，即直线l的斜率为-1，根据倾斜角与斜率关系及其范围知，l的倾斜角为. 3.已知函数f(x)=ex+2f'(0)x+1，则f'(2)的值为 (　　) A.-1 B.-2 C.e2-1 D.e2-2 解析:选D　由f(x)=ex+2f'(0)x+1，得f'(x)=ex+2f'(0)，则f'(0)=e0+2f'(0)，解得f'(0)=-1，即f'(x)=ex-2，故f'(2)=e2-2. 4.(2024·宜宾三模)若曲线y=ex+a的一条切线方程是y=x-1，则a= (　　) A.-2 B.1 C.-1 D.e 解析:选A　由y=ex+a，得y'=ex，设切点坐标为(t，et+a)，由et=1，得t=0， ∴切点坐标为(0，1+a)，代入y=x-1，得1+a=-1，即a=-2. 5.已知函数f(x)=ln x+x，过原点作曲线y=f(x)的切线l，则切点P的坐标为 (　　) A.(1，1) B.(e，e+1) C. D.(e2，e2+2) 解析:选B　由题意可知，f'(x)=+1，设切点为P(x0，ln x0+x0)，则切线方程为y=(x-x0)+ln x0+x0，因为切线过原点，所以0=(-x0)+ln x0+x0=ln x0-1， 解得x0=e，则P(e，e+1). 6.(2024·西安三模)已知函数f(x)=则f(x)在点(5，f(5))处的切线方程为 (　　) A.4x-y-28=0 B.4x+y-12=0 C.x-4y-12=0 D.x+4y-22=0 解析:选B　当x∈(0，2]时，f'(x)=2x-3， 当x∈(4，6]时，f(x)=2f(x-2)=4f(x-4)，则f'(x)=4f'(x-4)，所以f(5)=4f(1)=-8，f'(5)=4f'(1)=-4.则所求的切线方程为y-(-8)=-4(x-5)，即4x+y-12=0. 7.(2025·西安模拟)函数f(x)=x-aln x在区间(1，6)的图象上存在两条相互垂直的切线，则a的取值范围是 (　　) A.(1，6) B.(1，3) C.(3，4) D.(4，6) 解析:选C　设切点横坐标为x0，所作切线斜率为k，则k=f'(x0)=1-，当a≤0时，k=1->0，故不存在k1k2=-1；当a>0时，满足所以3<a<4. 8.已知定义在区间(0，+∞)上的函数f(x)=-2x2+m，g(x)=-3ln x-x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为 (　　) A.2 B.5 C.1 D.0 解析:选C　根据题意，设曲线y=f(x)与y=g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0，由f(x)=-2x2+m，可得f'(x)=-4x，则切线的斜率为f'(a)=-4a.由g(x)=-3ln x-x，可得g'(x)=--1，则切线的斜率为g'(a)=--1.因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以-4a=--1，解得a=1或a=-(舍去).又由g(1)=-1，即公共点的坐标为(1，-1)，将点(1，-1)代入f(x)=-2x2+m，可得m=1. 9.直线y=kx+b与函数y=ex-1和y=ex-2的图象都相切，则b= (　　) A.2 B.ln 2 C.1+ln 2 D.-2ln 2 解析:选D　设两个切点分别为P1(x1，)，P2(x2，-2)，(ex-1)'=ex-1，(ex-2)'=ex.曲线y=ex-1在点P1处的切线方程为y-=(x-x1)，整理得y=x+(1-x1)，曲线y=ex-2在点P2处的切线方程为y-(-2)=(x-x2)，整理得y=x+(1-x2)-2.因为直线y=kx+b是两函数图象的公切线， 所以 由①可得x1-1=x2，代入②得-x2=(1-x2)-2，整理得=2，所以x2=ln 2，代入②得b=(1-ln 2)eln 2-2=-2ln 2. 二、多选题 10.下列函数的求导运算正确的是 (　　) A.'= B.(x3-2x+1)'=3x2-2xln 2 C.'=- D.'=2sin 解析:选BCD　对于A，'==，A错误；对于B，(x3-2x+1)'=3x2-2xln 2，B正确；对于C，'='=-，C正确；对于D，'=2sin·cos·2=2sin，D正确. 11.已知函数f(x)的部分图象如图所示，f'(x)是f(x)的导函数，则下列结论正确的是 (　　) A.f'(3)<0 B.f'(-1)>0 C.f(-1)-f'(-1)>0 D.f(3)-3f'(3)<0 解析:选ACD　由f(x)的图象在点B处的切线斜率小于0，即f'(3)<0，故A正确；f'(-1)表示f(x)的图象在点A处的切线斜率，故f'(-1)<0，故B错误；由题图可知f(-1)>0，f'(-1)<0，故f(-1)-f'(-1)>0，故C正确；直线OB的斜率小于f(x)的图象在点B处的切线斜率，即<f'(3)，所以f(3)-3f'(3)<0，D正确. 12.已知曲线y=f(x)在原点处的切线与曲线y=xf(x)在(2，8)处的切线重合，则 (　　) A.f(2)=4 B.f'(2)=3 C.f'(0)=4 D.曲线y=f(x)在(2，a)处的切线方程为y=a 解析:选ACD　令g(x)=xf(x)，则g'(x)=f(x)+xf'(x)，依题意g(2)=2f(2)=8，解得f(2)=4，故A正确； 依题意可得曲线y=f(x)在原点处的切线过点(2，8)，所以f'(0)==4，故C正确； 又g'(2)=f(2)+2f'(2)=f'(0)=4，所以f'(2)=0，则曲线y=f(x)在(2，a)处的切线方程为y=a，故B错误，D正确. 三、填空题 13.设函数f(x)=，若f'(1)=，则a=　　　　.  解析:由于f'(x)=， 故f'(1)==，解得a=1. 答案:1 14.曲线f(x)=3ln x-x2f'(1)在点(1，m)处的切线方程为　　　　.  解析:由f(x)=3ln x-x2f'(1)，求导得f'(x)=-2xf'(1)，则f'(1)=3-2f'(1)，解得f'(1)=1，于是f(x)=3ln x-x2，m=f(1)=-1，所以所求切线方程为y+1=x-1，即x-y-2=0. 答案:x-y-2=0 15.若曲线f(x)=mx2+ln 2x存在垂直于y轴的切线，则实数m的取值范围是　　　　.  快审准解:求导后，将问题转换为函数方程有解问题，参变分离即可得解. 解析:f'(x)=2mx+=2mx+(x>0)， 由题意曲线f(x)=mx2+ln 2x存在垂直于y轴的切线，所以2mx+=0在(0，+∞)上有解，即m=-在(0，+∞)上有解，而y=-在(0，+∞)上的值域为(-∞，0)，则实数m的取值范围是(-∞，0). 答案:(-∞，0) 第二节　导数与函数的单调性 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用. 教材再回首 1.函数单调性与导数的关系 设函数f(x)在(a，b)内可导，f'(x)是f(x)的导函数，则 f'(x)>0 f(x)在(a，b)内单调递增 f'(x)<0 f(x)在(a，b)内单调递减 f'(x)=0 f(x)在(a，b)内为常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的定义域； 第2步，求出导数f'(x)的零点； 第3步，用f'(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 3.充分、必要条件与导数及函数单调性的关系 (1)f'(x)>0(或f'(x)<0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件. (2)f'(x)≥0(或f'(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件. (3)若f'(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，则f'(x)≥0(或f'(x)≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(或递减)的充要条件. 　　[微点提醒] (1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，则当x∈(a，b)时，f'(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)内单调递减，则当x∈(a，b)时，f'(x)≤0恒成立. (2)若函数f(x)在(a，b)内存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)内存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f'(x)<0有解. 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数f(x)在定义域上都有f'(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减. (　　) (2)函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f'(x)>0. (　　) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大. (　　) (4)函数y=x3+x的单调递增区间为(-∞，+∞). (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(人A选必修②P86例2改编)[多选]如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象，则下列判断正确的是 (　　) A.在区间(-2，1)内f(x)单调递增 B.在区间(2，3)内f(x)单调递减 C.在区间(4，5)内f(x)单调递增 D.在区间(3，5)内f(x)单调递减 答案:BC 3.(人A选必修②P86例1改编)函数f(x)=cos x-x在(0，π)内 (　　) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 解析:选D　∵当x∈(0，π)时，f'(x)=-sin x-1<0，∴f(x)在(0，π)内单调递减. 4.(人A选必修②P97T2(4)改编)函数f(x)=x3+x2-x的单调递增区间为　　　　　　　　 　.  解析:令f'(x)=3x2+2x-1>0，解得x>或x<-1，所以f(x)=x3+x2-x的单调递增区间为(-∞，-1)和. 答案:(-∞，-1)， 题点一　函数的单调性 考法(一)　求不含参函数的单调区间 [例1]　若函数f(x)=2ln x+x+，求 f(x)的单调区间. 解:由函数f(x)=2ln x+x+，可得其定义域为(0，+∞)，且f'(x)=+1-==，x>0，令f'(x)=0，可得x=1， 当x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)在(0，1)内单调递减；当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，f(x)在(1，+∞)上单调递增.综上，f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞). |思维建模|　求函数的单调区间的步骤 (1)确定函数y=f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间； (5)不能漏掉求函数的定义域；函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开. 考法(二)　讨论含参函数的单调性 [例2]　已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x，讨论f(x)的单调性. 解:由题意得f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=+2ax+(2a+1)=. 当a≥0时，2ax+1>0，x+1>0， ∴f'(x)>0在(0，+∞)上恒成立， ∴f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a<0时，令f'(x)=0，解得x=-， ∴当x∈时，f'(x)>0； 当x∈时，f'(x)<0. ∴f(x)在内单调递增，在上单调递减.综上所述，当a≥0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在内单调递增，在上单调递减. 特别提醒:解计算大题时，分类讨论后的综述千万不能漏写，否则容易丢失1分的步骤分. |思维建模|　判断含参函数单调性的策略 　　研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.分类讨论主要是讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点: (1)最高次项系数是否为0； (2)导函数是否有零点； (3)导函数两零点的大小关系； (4)导函数零点与定义域的关系(即导函数零点与定义域端点的关系)等. [即时训练] 1.函数f(x)=ln x-x的单调递增区间为 (　　) A.(-∞，1) B.(0，1) C.(1，+∞) D.(-1，1) 解析:选B　易知f(x)的定义域是(0，+∞)， (易错提醒:求单调区间忽视定义域) 且f'(x)=-1=，令f'(x)>0，得0<x<1，故f(x)的单调递增区间为(0，1). 2.讨论函数f(x)=x3-x2+ax+1的单调性. 解:由题意知f(x)的定义域为R，f'(x)=3x2-2x+a，令f'(x)=0，Δ=(-2)2-4×3×a=4(1-3a). ①当a≥时，f'(x)≥0，f(x)在R上单调递增； ②当a<时，令f'(x)=0，即3x2-2x+a=0， 解得x1=，x2=， 令f'(x)>0，得x<x1或x>x2；令f'(x)<0，得x1<x<x2，所以f(x)在(-∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，+∞)上单调递增.综上，当a≥时，f(x)在R上单调递增； 当a<时，f(x)在，上单调递增，在内单调递减. 题点二　函数单调性的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 考法(一)　比较大小或解不等式 [例3] (1)设a=，b=，c=，则 (　　) A.c>b>a B.b>c>a C.b>a>c D.c>a>b 解析:选C　构造函数f(x)=(x>0)，可得f'(x)=，当x∈(e，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减.a===f(4)，b==f(e)，c==f(3e2)，由e<4<3e2，故f(e)>f(4)>f(3e2)，即b>a>c. (2)已知函数f(x)=x3+2x-sin x，若f(2a2)+f(a-1)≤0，则实数a的取值范围为 (　　) A.∪[1，+∞) B. C.(-∞，-1]∪ D. 解析:选D　函数f(x)=x3+2x-sin x的定义域为R，f(-x)=(-x)3+2(-x)-sin(-x)=-f(x)，故函数f(x)是奇函数.又f'(x)=3x2+2-cos x>0恒成立，所以函数f(x)在R上单调递增，f(2a2)+f(a-1)≤0⇔f(2a2)≤-f(a-1)，即f(2a2)≤f(-a+1)，于是2a2≤-a+1，即2a2+a-1≤0，解得-1≤a≤，所以实数a的取值范围为.故选D. |思维建模| (1)利用单调性比较大小或解不等式，关键是根据题意构造辅助函数，利用构造函数的单调性比较大小或解不等式. (2)求解与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 考法(二)　求参数的取值范围 [例4]　已知函数f(x)=x2+2aln x-2x(a∈R). (1)若函数f(x)在区间(1，2)内单调递增，则a的取值范围为　　　　；  (2)若函数f(x)在区间(1，2)内存在单调递减区间，则a的取值范围为　　　　；  (3)若函数f(x)在区间(1，2)内不具有单调性，则a的取值范围为　　　　　　.  解析:(1)∵f(x)=x2+2aln x-2x，则f'(x)=x+-2，若函数f(x)在区间(1，2)内单调递增，等价于对∀x∈(1，2)，f'(x)=x+-2≥0恒成立，可得x2-2x≥-2a对∀x∈(1，2)恒成立，构造g(x)=x2-2x，可知g(x)开口向上，对称轴x=1， ∴g(x)>g(1)=-1，故-1≥-2a，解得a≥， 则a的取值范围为. (2)由(1)可得f'(x)=x+-2，若函数f(x)在区间(1，2)内存在单调递减区间，等价于∃x∈(1，2)， 使得f'(x)=x+-2<0成立， 可得∃x∈(1，2)，使得x2-2x<-2a成立，构造φ(x)=x2-2x，可知φ(x)开口向上，对称轴x=1，∴φ(x)>φ(1)=-1，故-1<-2a，解得a<，则a的取值范围为. (3)由(1)可得f'(x)=x+-2，若函数f(x)在区间(1，2)内不具有单调性，等价于∃x∈(1，2)，使得f'(x)=x+-2=0， 可得∃x∈(1，2)，使得x2-2x=-2a成立，构造h(x)=x2-2x，可知h(x)开口向上，对称轴x=1，∴h(x)>h(1)=-1，h(x)<h(2)=0，故-1<-2a<0，解得0<a<，则a的取值范围为. 答案:(1)　(2)　(3) |思维建模| (1)由可导函数f(x)在区间D上单调递增(减)求参数的取值范围问题，可转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)对任意x∈D恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“=”是否取到. (2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题. (3)已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子区间，从而可求出参数的取值范围. [即时训练] 3.已知函数f(x)=cos x+ex，且a=f(2)，b=f，c=f(ln 2)，则a，b，c的大小关系是 (　　) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a 解析:选D　f'(x)=-sin x+ex，当x>0时，f'(x)>0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增.因为2>ln 2>ln=，所以f<f(ln 2)<f(2)，即b<c<a. 4.已知函数f(x)=ex-e-x-2x+2，则不等式f(2x+4)≥2的解集是 (　　) A.{x|x>-2} B.{x|x≥-2} C.{x|x<-2} D.{x|x≤-2} 解析:选B　由f'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0，当且仅当ex=e-x，即x=0时，等号成立，所以f(x)单调递增，而且f(0)=2，由f(2x+4)≥2，得2x+4≥0，解得x≥-2. 5.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1，2)单调递增，则a的最小值为 (　　) A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 快审准解:根据f'(x)=aex-≥0在(1，2)上恒成立，再根据分离参数求最值即可. 解析:选C　依题意，f'(x)=aex-≥0在(1，2)恒成立，显然a>0，所以xex≥，设g(x)=xex，x∈(1，2)，则g'(x)=(x+1)ex>0.所以g(x)在(1，2)单调递增，g(x)>g(1)=e，所以≤e，即a≥=e-1，故选C. 数智赋能:电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.(2025·武汉模拟)函数f(x)=2x-sin x在(-∞，+∞)上是 (　　) A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不确定 解析:选A　∵f(x)=2x-sin x， ∴f'(x)=2-cos x>0在(-∞，+∞)上恒成立， ∴f(x)在(-∞，+∞)上是增函数. 2.函数f(x)=ln x-ax(a>0)的单调递增区间为 (　　) A. B. C. D.(-∞，a) 解析:选A　函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=-a，令f'(x)=-a>0，得0<x<，所以f(x)的单调递增区间为. 3.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则其导函数y=f'(x)的图象可能是 (　　) 解析:选D　由f(x)的图象可知，f(x)在(-∞，0)上单调递减，故x∈(-∞，0)时，f'(x)<0，故排除A、C；当x∈(0，+∞)时，函数f(x)的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以f'(x)的值是先正，再负，最后是正，因此排除B.故选D. 习得方略:①由原函数图象识别导函数图象的依据:若f(x)单调递增，则f'(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f'(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f'(x)=0. ②由导函数图象识别原函数图象的依据:根据f'(x)>0，则f(x)单调递增，f'(x)<0，则f(x)单调递减. 4.若函数f(x)=-x2+4x+bln x在(0，+∞)上是减函数，则实数b的取值范围是 (　　) A.[-1，+∞) B.(-∞，-1] C.(-∞，-2] D.[-2，+∞) 解析:选C　∵函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，∴f'(x)≤0在(0，+∞)上恒成立，∴f'(x)=-2x+4+≤0，即b≤2x2-4x在(0，+∞)上恒成立，∵2x2-4x=2(x-1)2-2≥-2，∴b≤-2. 5.已知函数f(x)=3x-4x-1，则不等式f(x)>0的解集是 (　　) A.(0，2) B.(-∞，0)∪(2，+∞) C.(-1，0) D.(-∞，-1)∪(0，+∞) 解析:选B　函数f(x)=3x-4x-1的定义域为R，求导得f'(x)=3xln 3-4. 当x<log3时，f'(x)<0，当x>log3时，f'(x)>0， 函数f(x)在上单调递减，在上单调递增. 又f(0)=f(2)=0，且0∈，2∈，由不等式f(x)>0，得x<0或x>2，所以不等式f(x)>0的解集是(-∞，0)∪(2，+∞). 6.已知函数F(x)=在R上具有单调性，则实数a的取值范围为 (　　) A.(-∞，-1) B.(-∞，-1] C.[-4，-1) D.[-4，-1] 解析:选D　设f(x)=-x3+ax2-a-4，则f(x)在[0，+∞)上单调递减， 因为f'(x)=-x2+2ax，由f'(x)≤0在[0，+∞)上恒成立，得 若x=0，则0≤0，所以a∈R； 若x>0，则-x2+2ax≤0⇒2a≤x，所以a≤0. 设g(x)=ax-sin x，则g(x)在(-∞，0)上单调递减. 由g'(x)=a-cos x≤0在(-∞，0)上恒成立，所以a≤cos x，x∈(-∞，0)，所以a≤-1.且-a-4≤0⇒a≥-4. 综上可知，-4≤a≤-1. 7.在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于a的方程aea-2=e4和关于b的方程b(ln b-2)=e3λ-1(a，b∈N*)可化为同构方程，则ab的值为 (　　) A.e8 B.e C.ln 6 D.1 快审准解:根据对数的运算性质，结合同构方程的定义可得λ=3，构造函数f(x)=ln x+x，x>0，由单调性可得a=ln b-2即可求解. 解析:选A　对aea-2=e4的两边同时取自然对数，得ln a+a=6　①. 对b(ln b-2)=e3λ-1的两边同时取自然对数，得ln b+ln(ln b-2)=3λ-1，即ln b-2+ln(ln b-2)=3λ-3　②. 因为方程①②为同构方程，所以3λ-3=6，解得λ=3. 设f(x)=ln x+x，x>0，则f'(x)=+1>0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以方程f(x)=6的解只有一个，所以a=ln b-2，所以ab=b(ln b-2)=e3×3-1=e8.故选A. 二、多选题 8.(2025·晋城一模)若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则 (　　) A.函数f(x)=x2-2x在[1，+∞)上纯粹递增 B.函数f(x)=x3-2x在[1，2]上纯粹递增 C.函数f(x)=sin x-2x在[0，1]上纯粹递减 D.函数f(x)=ex-3x在[0，2]上纯粹递减 解析:选BC　若f(x)=x2-2x，则f'(x)=2x-2，因为f'(1)=0，所以A错误.若f(x)=x3-2x，则f'(x)=3x2-2，当x∈[1，2]时，f'(x)>0恒成立，所以B正确.若f(x)=sin x-2x，则f'(x)=cos x-2<0，所以C正确.若f(x)=ex-3x，则f'(x)=ex-3<0在[0，2]上不恒成立，所以D错误. 9.若函数f(x)满足f'(x)<f(x)，则下列结论正确的是 (　　) A.f(3)<ef(2) B.ef(0)<f(1) C.e2f(-1)>f(1) D.ef(1)<f(2) 快审准解:构造函数g(x)=，求导得到g(x)单调递减，然后根据单调性比较大小即可. 解析:选AC　令g(x)=，则g'(x)=<0，从而g(x)单调递减，则>>>>，即ef(2)>f(3)，e2f(-1)>f(1)，ef(0)>f(1)，ef(1)>f(2).故选AC. 三、填空题 10.已知函数f(x)=，则函数f(x)的单调递增区间是　　　　.  解析:因为函数f(x)=(x≠0)，于是f'(x)=，所以当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(0，1)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增.因此函数f(x)的单调递增区间是(1，+∞). 答案:(1，+∞) 11.若函数f(x)=1--ln x在区间[1-a，2-a]内单调递增，则a的取值范围是　　　　.  解析:由题意，可知f(x)的定义域为(0，+∞)，且f'(x)=-=，令f'(x)≥0，得0<x≤2，可知f(x)的单调递增区间为(0，2]，若函数f(x)在区间[1-a，2-a]内单调递增，依题意解得0≤a<1，所以a的取值范围是[0，1). 答案:[0，1) 四、解答题 12.(10分)已知函数f(x)=(a≠0)，讨论f(x)的单调性. 解:由题意知函数f(x)的定义域为R，且f'(x)=，令f'(x)=0，解得x=0或x=2. 当a>0时，令f'(x)<0，解得x<0或x>2； 令f'(x)>0，解得0<x<2， 可知f(x)在区间(-∞，0)和(2，+∞)上单调递减，在区间(0，2)上单调递增； 当a<0时，令f'(x)<0，解得0<x<2；令f'(x)>0，解得x<0或x>2， 可知f(x)在区间(-∞，0)和(2，+∞)上单调递增，在区间(0，2)上单调递减. 综上所述，当a>0时，f(x)在区间(-∞，0)和(2，+∞)上单调递减，在区间(0，2)上单调递增； 当a<0时，f(x)在区间(-∞，0)和(2，+∞)上单调递增，在区间(0，2)上单调递减. 13.(10分)已知函数f(x)=x2-ax+bln x在x=1处的切线平行于x轴. (1)求a与b的关系；(4分) (2)若函数f(x)在[2，+∞)上单调递增，求a的取值范围.(6分) 解:(1)由f(x)=x2-ax+bln x，可得f(1)=-a，f'(x)=x-a+， 依题意，f'(1)=1-a+b=0，即得a-b=1， 此时切线方程为y=-a，该直线与x轴平行， 所以-a≠0，即a≠， 所以a-b=1. (2)函数f(x)在[2，+∞)上单调递增等价于f'(x)=x-a+≥0在[2，+∞)上恒成立， 即x-a+≥0在[2，+∞)上恒成立， 也即a≤x+1在[2，+∞)上恒成立， 故得a≤3且a≠， 即a的取值范围是∪. 第三节　导数与函数的极值、最值 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.会用导数求函数的极大值、极小值. 2.掌握利用导数研究函数最值的方法.会用导数研究生活中的最优化问题. 教材再回首 1.函数的极值 (1)极小值 函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小，f'(a)=0；而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. (2)极大值 函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大，f'(b)=0；而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. (3)极值、极值点 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2.函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求y=f(x)在区间[a，b]上的最值的步骤 ①求函数y=f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 解题结论拓展 (1)有极值的函数一定不具有单调性. (2)对于可导函数f(x)，f'(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件. (3)若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值. (4)若函数f(x)在[a，b]上具有单调性，则f(x)一定在区间端点处取得最值. (5)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点. 典题细发掘 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数的极大值不一定比极小值大. (　　) (2)闭区间上的连续函数必有最值. (　　) (3)函数的极大值一定是函数的最大值. (　　) (4)开区间上的单调连续函数无最值. (　　) (5)设函数y=f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y=f(x)在区间(a，b)内不具有单调性. (　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ 2.(人A选必修②P92T1改编)若函数f(x)的定义域为R，其导函数f'(x)的图象如图所示，则函数f(x)极值点的个数为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选C　设导函数f'(x)的图象与x轴的交点从左到右分别为x1，x2，x3，x4，x5，根据函数的极值的定义可知在该点处的左、右两侧的导数符号相反，可得x1，x4为函数f(x)的极大值点，x2，x5为函数f(x)的极小值点，所以函数f(x)极值点的个数为4. 3.(人A选必修②P91例5改编)函数f(x)=的极大值为 (　　) A.-e B. C.1 D.0 答案:B 4.(苏教选必修①P230T7改编)已知函数f(x)=x3-12x+8在区间[-3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M-m=　　　　.  解析:令f'(x)=3x2-12=0，解得x=±2. 因为f(-3)=17，f(-2)=24，f(2)=-8， f(3)=-1，所以M=24，m=-8，故M-m=32. 答案:32 题点一　函数的极值 考法(一)　根据图象判断函数的极值(点) [例1]　(多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示，则下列结论一定成立的是 (　　) A.函数f(x)在(2，+∞)上单调递增 B.函数f(x)在(-2，1)内单调递增 C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) 解析:选AD　由题图可知当x>2时(1-x)f'(x)<0，所以f'(x)>0，当1<x<2时(1-x)f'(x)>0，所以f'(x)<0，当-2<x<1时(1-x)f'(x)<0，所以f'(x)<0，当x<-2时(1-x)f'(x)>0，所以f'(x)>0，所以f(x)在(2，+∞)上单调递增，在(1，2)内单调递减，在(-2，1)内单调递减，在(-∞，-2)上单调递增，故A正确，B错误；则f(x)在x=-2处取得极大值，x=2处取得极小值，即函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)，故C错误，D正确. |思维建模| 　　由图象判断函数y=f(x)的极值(点)，要抓住两点: (1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点，可得函数y=f(x)的可能极值点； (2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负，从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点. 考法(二)　求已知函数的极值(点) [例2]　已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)当a=时，求函数f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 解:(1)当a=时，f(x)=ln x-x，定义域为(0，+∞)，且f'(x)=-=. 令f'(x)=0，得x=2， 于是当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表. x (0，2) 2 (2，+∞) f'(x) + 0 - f(x) 单调递增 ln 2-1 单调递减 故f(x)在定义域上的极大值为f(2)=ln 2-1，无极小值. (2)由(1)知，函数f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=-a=(x>0). 当a≤0时，f'(x)>0在(0，+∞)上恒成立， 即函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，此时函数f(x)在定义域上无极值点； 当a>0时，当x∈时，f'(x)>0； 当x∈时，f'(x)<0， 故函数f(x)在x=处有极大值. 综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点；当a>0时，函数y=f(x)有一个极大值点，且为x=. |思维建模|　求函数极值的一般步骤 (1)先求函数f(x)的定义域，再求函数f(x)的导函数. (2)求f'(x)=0的根. (3)判断f'(x)=0的根的左、右两侧f'(x)的符号，确定极值点. (4)求出函数f(x)的极值. 考法(三)　根据函数的极值(点)求参数 [例3]　(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 解:(1)当a=1时，f(x)=ex-x-1，f'(x)=ex-1， ∵f(1)=e-2，f'(1)=e-1， ∴切点为(1，e-2)，切线斜率k=e-1， ∴切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1)，即y=(e-1)x-1. (2)由已知可得f'(x)=ex-a. ①若a≤0，则f'(x)恒大于0，即f(x)在R上单调递增，无极小值，不符合题意. ②若a>0，令f'(x)=0，解得x=ln a. 当x∈(-∞，ln a)时，f'(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(ln a，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增. ∴极小值为f(ln a)=a-aln a-a3. ∵极小值小于0，∴a-aln a-a3<0，∴1-ln a-a2<0. 令h(x)=1-ln x-x2(x>0)， 则h'(x)=--2x<0， ∴h(x)在(0，+∞)上单调递减， ∵h(1)=0，∴当x∈(0，1)时，h(x)>0， 当x∈(1，+∞)时，h(x)<0. ∴a的取值范围是(1，+∞). 易错提醒:分类讨论时不要盲目以0为分类的分界点，要根据题目的具体情况，如本题中因为f'(x)=ex-a，而ex恒大于0，所以导数的正负与a的正负有关，所以分a≤0和a>0两种情况讨论. |思维建模|　已知函数极值点或极值求参数的2个关键 列式 根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解 验证 因为其点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 [即时训练] 1.已知函数f(x)=在x=1处取得极值，则f(x)的极小值为 (　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:选C　求导得f'(x)=，由已知得f'(1)=0，所以a=-1，则f(x)=，f'(x)=.令f'(x)=0，得x=0或x=1.当x∈(-∞，0)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0，1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增.所以f(x)的极小值为f(0)=1. 2.(2023·新课标Ⅱ卷)[多选]若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值，则 (　　) A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 解析:选BCD　函数f(x)=aln x++(a≠0)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=，因为函数f(x)既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2-bx-2c=0有两个不等的正实根x1，x2，则即所以故选BCD. 3.(2025年1月·八省高考适应性演练)已知函数f(x)=aln x+-x. (1)设a=1，b=-2，求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程； (2)若x=1是f(x)的极小值点，求b的取值范围. 解:(1)当a=1，b=-2时，f(x)=ln x--x，其中x>0， 则f'(x)=+-1=，令f'(x)=2⇒=2， 化简得3x2-x-2=(x-1)(3x+2)=0，解得x=1(负值舍去)，又此时f(1)=-3，则切线过点(1，-3)，结合切线斜率为2， 则切线方程为y+3=2(x-1)，即2x-y-5=0. (2)由题可得f(x)定义域为(0，+∞)， f'(x)=--1=， 由x=1是f(x)的极小值点，则f'(1)=-1+a-b=0⇒a=b+1， 则f'(x)==-. 若b≤0，令f'(x)>0⇒x∈(0，1)，令f'(x)<0⇒x∈(1，+∞)， 则f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，得x=1是f(x)的极大值点，不满足题意； 若0<b<1，令f'(x)>0⇒x∈(b，1)，令f'(x)<0⇒x∈(0，b)∪(1，+∞)， 则f(x)在(b，1)上单调递增，在(0，b)，(1，+∞)上单调递减， 得x=1是f(x)的极大值点，不满足题意； 若b=1，则f'(x)=-≤0， f(x)在(0，+∞)上单调递减，无极值，不满足题意； 若b>1，令f'(x)>0⇒x∈(1，b)，令f'(x)<0⇒x∈(0，1)∪(b，+∞)， 则f(x)在(1，b)上单调递增，在(0，1)，(b，+∞)上单调递减， 得x=1是f(x)的极小值点，满足题意. 综上，x=1是f(x)的极小值点时，b>1，即b的取值范围为(1，+∞). 题点二　函数的最值 [例4]　设函数f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当函数f(x)有最大值，且最大值小于a-2时，求a的取值范围. 解:(1)由f(x)=ln x-ax， 知f'(x)=-a，定义域为(0，+∞)， 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增；当a>0时，令f'(x)>0，则0<x<，f(x)在上单调递增；令f'(x)<0，则x>，f(x)在上单调递减. 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减. (2)由(1)知，若f(x)有最大值，则a>0，且f(x)max=f=-ln a-1，因为f(x)的最大值小于a-2，所以-ln a-1<a-2，即a+ln a-1>0.设g(a)=a+ln a-1，问题转化为解不等式g(a)>0， 因为g'(a)=1+>0恒成立，所以g(a)在(0，+∞)上单调递增. 又g(1)=0，所以g(a)>0=g(1)，所以a>1， 故a的取值范围为(1，+∞). |思维建模|　求函数f(x)在[a，b]上的最值的步骤 [即时训练] 4.函数f(x)=-x3+x在(a，10-a2)上有最大值，则实数a的取值范围是　　　　.  解析:由于f'(x)=-x2+1，易知f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上单调递减，在(-1，1)内单调递增，若函数f(x)在(a，10-a2)上有最大值， 则即-2≤a<1. 答案:[-2，1) 5.已知函数f(x)=-ln x(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； (2)求f(x)在上的最大值g(a). 解:(1)函数f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=， ①若a≤0，则f'(x)<0在(0，+∞)上恒成立， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递减； ②若a>0，则当x>a时，f'(x)<0； 当0<x<a时，f'(x)>0， 所以f(x)在(0，a)内单调递增，在(a，+∞)上单调递减. (2)f'(x)=， 当a≤时，f(x)在上单调递减， 所以f(x)max=f=2-ae； 当<a<e时，f(x)在上单调递增，在[a，e]上单调递减， 所以f(x)max=f(a)=-ln a； 当a≥e时，f(x)在上单调递增， 所以f(x)max=f(e)=-， 综上，g(a)= 题点三　函数极值和最值的综合问题 [例5]　设函数f(x)=ex-ax-1. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)存在极值M，求证:M≤0. 解:(1)由题设f'(x)=ex-a， 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，故f(x)的单调递增区间为R，无单调递减区间； 当a>0时，令f'(x)=0，得x=ln a，故在(-∞，ln a)上f'(x)<0，在(ln a，+∞)上f'(x)>0， 所以f(x)的单调递减区间为(-∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，+∞). (2)证明:由(1)知，当a≤0时，f(x)在R上单调递增，没有极值；当a>0时，f(x)在(-∞，ln a)上单调递减，在(ln a，+∞)上单调递增， f(x)存在极小值M=f(ln a)=a-aln a-1. 令g(a)=a-aln a-1(a>0)，则g'(a)=-ln a， 所以g(a)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，g(a)在a=1处取得最大值0， 所以g(a)≤0恒成立，即M≤0. |思维建模|　解决函数极值、最值综合问题的策略 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小； (2)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值； (3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. [即时训练] 6.已知函数f(x)=ax3+bx2-x(a，b∈R)，且当x=1时，f(x)有极值-. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若对于区间[-3，3]上任意两个自变量的值x1，x2，有|f(x1)-f(x2)|≤c，求实数c的最小值. 解:(1)f'(x)=3ax2+2bx-1(a，b∈R)， 由题意得 即 解得经检验，当a=，b=-时，f(x)在x=1处取得极值-，所以f(x)=x3-x2-x. (2)f'(x)=4x2-3x-1，x∈[-3，3]， 令f'(x)>0，得-3≤x<-或1<x≤3； 令f'(x)<0，得-<x<1. 所以f(x)在上单调递增， 在上单调递减，在(1，3]上单调递增. 因为f(-3)=-，f(1)=-，f=，f(3)=，所以f(x)max=f(3)=，f(x)min=f(-3)=-， 对于区间[-3，3]上任意两个自变量的值x1，x2，有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=66， 所以c≥66，故实数c的最小值为66. 数智赋能:电子版随堂训练，根据课堂情况灵活选用 [课时跟踪检测] 一、单选题 1.函数f(x)=ln x-x在区间(0，e]上的最大值为 (　　) A.1-e B.-1 C.-e D.0 解析:选B　因为f'(x)=-1=，当x∈(0，1)时，f'(x)>0；当x∈(1，e]时，f'(x)<0，所以当x=1时，f(x)取得最大值ln 1-1=-1.故选B. 2.函数f(x)=x3+x2-3x-1的极小值点是 (　　) A.1 B. C.-3 D.(-3，8) 解析:选A　f'(x)=x2+2x-3，由x2+2x-3=0，得x=-3或x=1，所以函数f(x)=x3+x2-3x-1在(-∞，-3)上单调递增，在(-3，1)内单调递减，在(1，+∞)上单调递增，故f(x)在x=1处有极小值，极小值点为1. 3.(2024·承德二模)设a为实数，若函数f(x)=x3-ax2+3在x=1处取得极小值，则a= (　　) A.1 B. C.0 D.-1 解析:选B　由题可得f'(x)=x2-2ax=x(x-2a)，令f'(x)=0，解得x=0或x=2a，因为函数f(x)=x3-ax2+3在x=1处取得极小值，所以2a=1，即a=，当a=时，f'(x)=x(x-1)，由f'(x)>0，得x<0或x>1，由f'(x)<0，得0<x<1，所以函数f(x)在(0，1)内单调递减，在(-∞，0)，(1，+∞)上单调递增，满足题意. 4.函数f(x)=(4x-5)e2x的极值点为 (　　) A. B. C. D. 快审准解:运用导数的正负研究单调性，再得到极值点即可. 解析:选B　f'(x)=4e2x+2(4x-5)e2x=(8x-6)e2x，令f'(x)<0，得x<，此时函数单调递减； 令f'(x)>0，得x>，此时函数单调递增. 所以f(x)的极小值点为.故选B. 5.已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示，则+等于 (　　) A. 　　　B. C. 　　　D. 解析:选C　由题图可知f(x)的图象经过点(1，0)与(2，0)，x1，x2是f(x)的极值点，∴1+b+c=0，8+4b+2c=0，解得b=-3，c=2，∴f(x)=x3-3x2+2x，∴f'(x)=3x2-6x+2.∵x1，x2是方程3x2-6x+2=0的两根，∴x1+x2=2，x1x2=，∴+=(x1+x2)2-2x1x2=4-2×=. 6.函数结构是值得关注的对象.为了研究y=xx(x>0)的结构，两边取对数，可得ln y=ln xx，即ln y=xln x，两边取指数，得eln y=exln x，即y=exln x，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型.结合上述材料，y=xx(x>0)的最小值为 (　　) A.1 B.e C. D.e-e 解析:选C　由y=xx(x>0)，两边取对数，可得ln y=ln xx，即ln y=xln x，令g(x)=xln x(x>0)，则g'(x)=ln x+1，当x∈时，g'(x)<0，g(x)单调递减，当x∈时，g'(x)>0，g(x)单调递增，∴g(x)min=g=-，∴ln y≥-，y≥，y的最小值为.故选C. 7.(2024·宝鸡三模)若函数f(x)=-ax2+4x-2ln x 有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是 (　　) A.(0，2) B.(0，1) C.(-∞，1) D.(2，+∞) 解析:选A　f(x)=-ax2+4x-2ln x，f'(x)=-ax+4-=，故原命题等价于关于x的方程-ax2+4x-2=0在(0，+∞)上有两个不同的实数根，即关于x的方程a==-2+2在(0，+∞)上有两个不同的实数根，令t=，则t∈(0，+∞)，所以关于t的方程a=-2(t-1)2+2在(0，+∞)上有两个不同的实数根，令g(t)=-2(t-1)2+2，t∈(0，+∞)，因为g(t)在(0，1)上单调递增，故g(t)在(0，1)上的值域为(0，2)，因为g(t)在(1，+∞)上单调递减，故g(t)在(1，+∞)上的值域为(-∞，2)，而(0，2)∩(-∞，2)=(0，2)，从而实数a的取值范围是(0，2). 二、多选题 8.对于函数f(x)=-2ln x+x2-3x，下列说法正确的是 (　　) A.f(x)在区间(2，+∞)上单调递增 B.2是函数f(x)的极大值点 C.f(x)的单调递减区间是(0，2) D.函数f(x)的最小值为-2ln 2-2 解析:选ACD　∵f(x)=-2ln x+x2-3x，x∈(0，+∞)，∴f'(x)=-+2x-3==. 令f'(x)=0，则x=2，令f'(x)<0，解得0<x<2，令f'(x)>0，解得x>2， ∴f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，2是函数f(x)的极小值点，故A、C正确，B错误；f(x)min=f(2)=-2ln 2+4-6=-2ln 2-2，故D正确. 9.已知函数f(x)=x3+x2+ax+b的极小值点为1，极小值为-.则 (　　) A.a=-2 B.b=-1 C.f(x)有3个零点 D.直线y=5与f(x)的图象仅有1个公共点 解析:选ACD　由题意得f'(x)=x2+x+a，则f'(1)=2+a=0，解得a=-2，故A正确.由f(1)=+-2+b=-，解得b=1，故B错误.f'(x)=x2+x-2=(x-1)(x+2)，当x∈(-∞，-2)时，f'(x)>0，所以f(x)在(-∞，-2)上单调递增，当x∈(-2，1)时，f'(x)<0，所以f(x)在(-2，1)上单调递减， 当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，所以f(x)在(1，+∞)上单调递增， 所以f(x)的极大值为f(-2)=，画出草图，如图所示.所以f(x)有3个零点，故C正确. 直线y=5与f(x)的图象仅有1个公共点，故D正确.故选ACD. 三、填空题 10.已知函数f(x)=x3-3ax+b+2在区间[0，1]上单调递增且最大值为3， 写出一对符合上述条件的整数a，b(注意:a，b都要为整数)为a=　　　　，b=　　　　.  解析:由f(x)=x3-3ax+b+2可得f'(x)=3x2-3a，依题意， f'(x)=3x2-3a≥0在区间[0，1]上恒成立，则a≤(x2)min，即a≤0，且函数最大值为3，则f(1)=3-3a+b=3，即b=3a.又a，b都要为整数，故可取a=-1，b=-3. 答案:-1(答案不唯一)　-3(答案不唯一) 11.若函数f(x)=ex-ax2-a存在两个极值点x1，x2，且x2=2x1，则a=　　　　.  解析:因为f(x)=ex-ax2-a，定义域为R，所以f'(x)=ex-2ax，故-2ax1=0，-2ax2=0.又x2=2x1，所以-4ax1=0.又>0，故=2，所以x1=ln 2，所以a==. 答案: 四、解答题 12.(10分)(2024·张掖三模)已知函数f(x)=-ln x-图象在x=2处的切线斜率为. (1)求a；(4分) (2)求函数f(x)的单调区间和极大值.(6分) 解:(1)因为f'(x)=-+=-=， 由已知f'(2)=，即=，解得a=2. (2)由(1)知a=2，则f'(x)==0，解得x=1或x=2-ln 2， 当0<x<1时，x-1<0，2ex-2-1<0，则f'(x)>0； 当1<x<2-ln 2时，x-1>0，2ex-2-1<0，则f'(x)<0； 当x>2-ln 2时，x-1>0，2ex-2-1>0，则f'(x)>0， 所以f(x)的单调递增区间为(0，1)和(2-ln 2，+∞)，单调递减区间为(1，2-ln 2)， 函数f(x)的极大值为f(1)=-1. 13.(10分)已知函数f(x)=x2-aln x+1，a∈R. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(4分) (2)当a>0时，若函数f(x)有最小值2，求a的值.(6分) 解:(1)当a=1时，f(x)=x2-ln x+1，y=f(x)的定义域为(0，+∞)， 则f'(x)=2x-，则f'(1)=2-=1，f(1)=1-ln 1+1=2，所以函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y-2=x-1，即y=x+1. (2)f(x)=x2-aln x+1，a∈R的定义域为(0，+∞)，f'(x)=2x-=，当a>0时，令f'(x)>0，解得x>；令f'(x)<0，解得0<x< ，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)min=f=-aln +1=2，即-ln -1=0.令t=>0，设g(t)=t-tln t-1，g'(t)=-ln t，令g'(t)<0，解得t>1；令g'(t)>0，解得0<t<1，所以g(t)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，所以g(t)≤g(1)=0，所以t==1，a=2. 所以a的值为2. 14.(13分)已知函数f(x)=ln x-ax，x∈(0，e]，其中e为自然对数的底数. (1)若x=1为f(x)的极值点，求f(x)的单调区间和最大值；(5分) (2)是否存在实数a，使得f(x)的最大值是-3?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.(8分) 解:(1)∵f(x)=ln x-ax，x∈(0，e]， ∴f'(x)=，由f'(1)=0，得a=1. ∴f'(x)=，当x∈(0，1)时，f'(x)>0， 当x∈(1，e]时，f'(x)<0， ∴f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，e]. f(x)的极大值为f(1)=-1，也即f(x)的最大值为f(1)=-1. (2)∵f(x)=ln x-ax，∴f'(x)=， ①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递增， ∴f(x)的最大值是f(e)=1-ae=-3， 解得a=>0，舍去； ②当a>0时，由f'(x)==0，得x=， 当0<<e，即a>时， ∴x∈时，f'(x)>0； x∈时，f'(x)<0， ∴f(x)在上单调递增，在上单调递减， 又f(x)在(0，e]上的最大值为-3， ∴f(x)max=f =-1-ln a=-3， ∴a=e2，符合题意； 当e≤，即0<a≤时，f(x)在(0，e]上单调递增， ∴f(x)max=f(e)=1-ae=-3， 解得a=>，舍去. 综上，存在a符合题意，此时a=e2. 第四节　函数的构造问题 函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也会在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题. 题点一　通过导数的运算法则构造函数 考法(一)　利用f(x)与xn构造函数 [例1]　已知函数f(x)的定义域为(-∞，0)，f(-1)=-1，其导函数f'(x)满足xf'(x)-2f(x)>0，则不等式f(x+2 025)+(x+2 025)2<0的解集为 (　　) A.(-2 026，0) B.(-2 026，-2 025) C.(-∞，-2 026) D.(-∞，-2 025) 解析:选B　根据题意可令g(x)=(x<0)⇒g'(x)=<0，所以g(x)=在(-∞，0)上单调递减，则原不等式等价于<-1，由g(x+2 025)=<-1=g(-1)⇒0>x+2 025>-1，解得x∈(-2 026，-2 025). |思维建模| (1)出现nf(x)+xf'(x)形式，构造函数F(x)=xnf(x). (2)出现xf'(x)-nf(x)形式，构造函数F(x)=. 考法(二)　利用f(x)与ex构造函数 [例2]　已知定义在R上的函数f(x)，g(x)处处导数存在，f(1)=g(1)，f'(x)+g(x)>g'(x)+f(x)，则下列情况一定成立的是 (　　) A.f(2)+g(0)>f(0)+g(2) B.f(2)+g(0)<f(0)+g(2) C.f(2)·g(0)>f(0)·g(2) D.f(2)·g(0)<f(0)·g(2) 解析:选A　f'(x)+g(x)>g'(x)+f(x)⇔f'(x)-g'(x)>f(x)-g(x)，令h(x)=，则h'(x)=，故h'(x)>0⇒h(x)单调递增，又h(1)=0，所以h(2)>h(1)>h(0)，即f(2)-g(2)>>0>f(0)-g(0)，移项可得A正确，B错误；另外，f(2)>g(2)，f(0)<g(0)，由于f(x)，g(x)与0的大小关系不确定，故C、D无法判断.故选A. |思维建模| (1)出现f'(x)+nf(x)形式，构造函数F(x)=enxf(x). (2)出现f'(x)-nf(x)形式，构造函数F(x)=. 考法(三)　利用f(x)与sin x，cos x构造函数 [例3]　定义在上的函数f(x)，已知f'(x)是它的导函数，且恒有cos xf'(x)+sin xf(x)<0成立，则有 (　　) A.f>f B.f>f C.f>f D.f<f 解析:选C　令g(x)=，x∈，则g'(x)=，因为cos xf'(x)+sin xf(x)<0，所以g'(x)<0，则g(x)=在上单调递减，所以<<，即<<，故f>f，f>f，故选C. |思维建模| (1)若F(x)=f(x)sin x，则F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x； (2)若F(x)=，则F'(x)=； (3)若F(x)=f(x)cos x，则F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x； (4)若F(x)=，则F'(x)=. [即时训练] 1.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，当x>0时，xf'(x)-f(x)<0，则不等式f(x)<0的解集为 (　　) A.(-∞，-1)∪(0，1) B.(-1，0)∪(1，+∞) C.(-∞，-1)∪(-1，0) D.(0，1)∪(1，+∞) 解析:选B　设F(x)=，则F'(x)=，∵当x>0时，xf'(x)-f(x)<0，∴当x>0时，F'(x)<0，即F(x)在(0，+∞)上单调递减.由于f(x)是奇函数，所以F(-x)===F(x)，F(x)是偶函数，所以F(x)在(-∞，0)上单调递增.又f(1)=f(-1)=0，当x<-1或x>1时，F(x)=<0；当-1<x<0或0<x<1时，F(x)=>0，所以当-1<x<0或x>1时，f(x)<0.即不等式f(x)<0的解集为(-1，0)∪(1，+∞). 2.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，f(0)=0且f(x)+f'(x)>0，则不等式f(x2+4x-5)>0的解集为 (　　) A.(-∞，-5)∪(1，+∞) 　 B.(-∞，-1)∪(5，+∞) C.(-5，1) D.(-1，5) 解析:选A　设g(x)=exf(x)，则g'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0，故g(x)单调递增. 又g(0)=e0f(0)=0，故f(x2+4x-5)>0可转化为f(x2+4x-5)>0，即g(x2+4x-5)>g(0)，由g(x)单调递增可得x2+4x-5>0，解得x<-5或x>1，即不等式f(x2+4x-5)>0的解集为(-∞，-5)∪(1，+∞). 3.设f(x)是定义在(-π，0)∪(0，π)上的奇函数，其导函数为f'(x)，且当x∈(0，π)时，f'(x)sin x-f(x)cos x<0，则关于x的不等式f(x)<2fsin x的解集为　　　　.  解析:令g(x)=，x∈(-π，0)∪(0，π)，则g'(x)=，∵当x∈(0，π)时，f'(x)sin x-f(x)cos x<0，∴在(0，π)上，g'(x)<0，∴函数g(x)在(0，π)内单调递减.∵y=f(x)，y=sin x是奇函数，∴函数g(x)是偶函数，∴函数g(x)在(-π，0)内单调递增.当x∈(0，π)时，sin x>0，则不等式f(x)<2fsin x可化为<，即g(x)<g，∴<x<π；当x∈(-π，0)时，sin x<0，则不等式f(x)<2fsin x可化为>=，即g(x)>g，∴-<x<0.综上可得，不等式的解集为∪. 答案:∪ 题点二　利用数学运算式中的相同点构造函数 [例4]　已知a<5，且ae5=5ea，b<4且be4=4eb，c<3且ce3=3ec，则 (　　) A.c<b<a　　　B.b<c<a C.a<c<b　　　D.a<b<c 解析:选D　三个等式可变形为===.∵ae5=5ea，a<5，∴a>0.同理b>0，c>0.构造函数f(x)=，x>0，则f'(x)=.当0<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增.∵f(5)=f(a)，而0<a<5，故0<a<1.同理，0<b<1，0<c<1，f(4)=f(b)，f(3)=f(c).∵f(5)>f(4)>f(3)，∴f(a)>f(b)>f(c)，0<a<b<c<1. |思维建模| (1)若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边，即可构造函数，并且利用函数的单调性求解. (2)当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要 比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小. [即时训练] 4.(2024·宜春三模)已知a=，b=，c=，其中e=2.718 28…为自然对数的底数，则 (　　) A.b<a<c B.b<c<a C.a<b<c D.c<b<a 解析:选A　由题意得a==，b==，c===.设f(x)=，则f'(x)=，当0<x<e时，f'(x)>0，所以f(x)单调递增，又0<<<2<e，所以f()<f()<f(2)，即<<，所以b<a<c. 5.若对于0<x1<x2<a，都有x2ln x1-x1ln x2≤x1-x2成立，则a的最大值为 (　　) A. B.1 C.e D.2e 解析:选B　∵x2ln x1-x1ln x2≤x1-x2，∴-≤-，即≤.又0<x1<x2<a，令φ(x)=，∴φ(x)在(0，a)上单调递增，φ'(x)=，当x∈(0，1)时，φ'(x)>0，当x∈(1，+∞)时，φ'(x)<0，∴φ(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，故a≤1，∴a的最大值为1. [课时跟踪检测] 一、单选题 1.已知f'(x)为函数f(x)的导函数，当x>0时，有f(x)-xf'(x)>0恒成立，则下列不等式一定成立的是 (　　) A.f>2f B.f<2f C.f>f(1) D.f<f(1) 解析:选B　令F(x)=，x>0，则F'(x)=，因为当x>0时，有f(x)-xf'(x)>0恒成立，所以当x>0时，F'(x)=<0，即F(x)在(0，+∞)上单调递减，所以F<F，即<，即f<2f，A错误，B正确；F>F(1)，即>，即2f>f(1)，C、D错误. 2.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，f(0)=1，且对任意的x满足f'(x)<f(x)，则不等式f(x)>ex的解集是 (　　) A.(-∞，1) B.(-∞，0) C.(0，+∞) D.(1，+∞) 解析:选B　令g(x)=，则g'(x)==<0，所以g(x)在R上单调递减，因为f(0)=1，所以g(0)=1，不等式f(x)>ex可变形为>1，即g(x)>g(0)，可得x<0，故选B. 3.已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若f(1)=1，且x2f'(x)+1>0，则下列式子一定成立的是 (　　) A.f>3 B.f>π C.f(log2e)>ln 2 D.f(ln 3)<log3e 解析:选C　因为当x>0时，x2f'(x)+1>0，可得f'(x)+>0，令g(x)=f(x)-，可得g'(x)=f'(x)+>0，所以g(x)在(0，+∞)上单调递增，因为f(1)=1，可得g(1)=f(1)-1=0，对于A，由g<g(1)，即f-3<0，所以f<3，所以A不正确；对于B，由g<g(1)，即f-π<0，所以f<π，所以B不正确；对于C，由g(log2e)>g(1)，即f(log2e)-ln 2>0，所以f(log2e)>ln 2，所以C正确；对于D，由g(ln 3)>g(1)，即f(ln 3)->0，所以f(ln 3)>log3e，所以D不正确. 4.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，对于任意的实数x都有=e2x，且x>0时，f'(x)>f(x).若a=，b=，c=3f，则a，b，c的大小关系是 (　　) A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.c>b>a 解析:选C　令g(x)=，对于任意的实数x都有=e2x⇒=，即g(-x)=g(x)⇒g(x)为偶函数.a=g(1)，b=g(ln 2)，c=g(-ln 3)=g(ln 3).当x>0时，f'(x)>f(x)，g'(x)=>0，g(x)单调递增.又ln 2<1<ln 3，∴g(ln 3)>g(1)>g(ln 2)，即c>a>b. 5.若x∈，a=2x，b=sin x，c=x，则a，b，c的大小关系为 (　　) A.c<a<b B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 解析:选D　令f(x)=x-sin x，x∈(0，1)，则f'(x)=1-cos x>0，所以f(x)在(0，1)内单调递增，所以f(x)>f(0)=0，即x>sin x在(0，1)上恒成立，则c>b在上恒成立，又当x∈时a=2x>20=1，c=x<1，所以a>c>b. 6.已知f(x)是定义在R上的偶函数，f'(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f'(x)-2x>0，且f(1)=2，则f(x)>x2+1的解集是 (　　) A.(-1，0)∪(1，+∞) B.(-∞，-1)∪(1，+∞) C.(-1，0)∪(0，1) D.(-∞，-1)∪(0，1) 快审准解:利用抽象函数的导数，及时还原出原函数，构造所需形式解不等式即可. 解析:选B　由题意知当x≥0时，f'(x)-2x>0，可知[f(x)-x2]'>0.令g(x)=f(x)-x2，故g(x)在[0，+∞)单调递增，且g(1)=1.若求f(x)>x2+1的解集，即求g(x)>1的解集，即解g(x)>g(1)，∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴g(x)也是偶函数，故|x|>1即可，解得x∈(-∞，-1)∪(1，+∞)，故选B. 7.若<a<b<1，则 (　　) A.ba<bb<aa<ab B.ba<aa<bb<ab C.ab<aa<bb<ba D.ab<bb<aa<ba 解析:选C　因为y=ax在R上单调递减，且<a<b<1，所以>aa>ab>a，因为y=bx在R上单调递减，且<a<b<1，所以>ba>bb>b，令f(x)=xln x，则f'(x)=ln x+1，因为<x<1，所以f'(x)>0，所以f(x)在上单调递增，因为<a<b<1，所以f(a)<f(b)，所以aln a<bln b，所以ln aa<ln bb，所以aa<bb，所以ab<aa<bb<ba. 8.设a=1+ln 1.03，b=，c=1.03，则 (　　) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 解析:选B　设g(x)=ln(x+1)-x(x>0)，则g'(x)=-1=，当x>0时，g'(x)<0，即g(x)在(0，+∞)上单调递减，故g(x)<g(0)=0，故ln(x+1)<x，所以ln 1.03<0.03，所以1+ln 1.03<1+0.03，即a<c；因为e0.03>1，所以<1.03，即b<c；构造函数f(x)=1+ln(1+x)-，f'(x)=+，当x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以f(0.03)>f(0)=0，即a>b.故b<a<c. 二、多选题 9.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均是(0，+∞)，2是f(x)的唯一零点，且(x+1)f'(x)<f(x)，则 (　　) A.2 025f(2 023)>2 024f(2 024) B.f(1)>0 C.2 026f(2 024)<2 025f(2 025) D.f(3)>0 解析:选AB　令F(x)=，则F'(x)=，由题意知(x+1)f'(x)<f(x)，所以F'(x)<0，即F(x)在(0，+∞)上单调递减，所以>>，故A正确，C错误.又2是f(x)的唯一零点，所以F(2)=0，又F(x)在(0，+∞)上单调递减，所以F(1)=>0，F(3)=<0，即f(1)>0，f(3)<0，故B正确，D错误. 习得方略:对于比较复杂的式子要观察式子的特征，通过移项或乘除等手段，将相同的变量移到不等式的同一边，化异为同构造函数，然后对构造的函数求导，应用导数进行解答，同时要注意函数的定义域及变形的等价性. 10.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，对任意的正数x，都满足f(x)<xf'(x)<2f(x)-2x，则下列结论正确的是 (　　) A.f(1)<2f B.f(1)<f(2) C.f(1)<4f-2 D.f(1)>f(2)+1 解析:选BCD　设g(x)=(x>0)，则g'(x)=>0，所以g(x)在(0，+∞)上单调递增，由g(1)>g得f(1)>2f，故A错误；由g(1)<g(2)得f(1)<f(2)，故B正确；设h(x)=(x>0)， 则h'(x)= =<0， 所以h(x)在(0，+∞)上单调递减，由h(1)<h得f(1)<4f-2，故C正确；由h(1)>h(2)得f(1)>f(2)+1，故D正确. 三、填空题 11.已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(2)=1，则不等式f(x)>5-2x的解集为　　　　.  解析:由题意，知f(x)在R上为增函数，所以f'(x)≥0恒成立，构造函数g(x)=f(x)+2x-5，所以g'(x)=f'(x)+2≥2恒成立，所以g(x)在R上单调递增.又因为g(2)=f(2)+2×2-5=0，所以当x>2时，g(x)=f(x)+2x-5>g(2)=0，即f(x)>5-2x，所以f(x)>5-2x的解集为(2，+∞). 答案:(2，+∞) 12.若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+2f(x)>0，且f(0)=1，则不等式f(x)>的解集为　　　　.  解析:构造F(x)=f(x)·e2x，∴F'(x)=f'(x)·e2x+f(x)·2e2x=e2x[f'(x)+2f(x)]>0，∴F(x)在R上单调递增，且F(0)=f(0)·e0=1.∵不等式f(x)>可化为f(x)e2x>1，即F(x)>F(0)，∴x>0，∴原不等式的解集为(0，+∞). 答案:(0，+∞) 13.使得不等式logab<logba和ba<ab均成立的一组a，b的值分别为　　　　.  快审准解:取a>1，b>1，由ba<ab变形构造函数f(x)=，x>1，利用导数探讨函数的单调性，由此确定a，b的取值区间，并验证logab<logba成立即可. 解析:不妨取a>1，b>1，由ba<ab，得aln b<bln a⇔<.令函数f(x)=，x>1，求导得f'(x)=.当1<x<e时，f'(x)>0，当x>e时，f'(x)<0，即函数f(x)在(1，e)内单调递增，在(e，+∞)上单调递减，取a，b∈(1，e]，由f(b)<f(a)，得1<b<a≤e，此时logab<logaa=1=logbb<logba，取a=e，b=2. 答案:e，2(答案不唯一) 14.(2024·东莞三模)若a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为　　　　　　.(用“<”连接)  解析:ln a=ln =ln 2，ln b=ln e=，ln c=ln π，令f(x)=(x>0)，则f'(x)=，由f'(x)>0，得0<x<e，由f'(x)<0，得x>e.∴f(x)在(0，e)内单调递增，在(e，+∞)上单调递减.∴ln b=最大，而ln a-ln c=ln 2-ln π=ln 4-ln π<0，∴a<c，则a<c<b. 答案:a<c<b 第五节　导数的综合应用 第1课时　导数与不等式 题点一　利用导数证明不等式 [例1]　已知函数f(x)=ex-1-xln x. (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)证明:f(x)>0. 快审准解:(1)求导，即可得直线斜率，进而可求解直线方程. (2)对x分0<x<1和x≥1，求导，即可根据单调性求解或将不等式变形为>，构造h(x)=，g(x)=，分别利用导数求解函数的单调性，求得最值即可得证. 解:(1)f(1)=e1-1-ln 1=1，f'(x)=ex-1-(ln x+1)，则f'(1)=0，所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=1. (2)证明:法一　易知f(x)的定义域为(0，+∞). ①当0<x<1时，ex-1>e-1，xln x<0，则ex-1>xln x，即f(x)>0； ②当x≥1时，f'(x)=ex-1-(ln x+1)=ex-1-ln x-1.设g(x)=f'(x)，g'(x)=ex-1-， 由于y=ex-1，y=-均在[1，+∞)上单调递增，故g'(x)在[1，+∞)上单调递增，g'(1)=0， 所以g'(x)≥0，所以g(x)在[1，+∞)上单调递增，g(1)=0，g(x)≥0，即f'(x)≥0， 所以f(x)在[1，+∞)上单调递增，f(1)=1，则ex-1-xln x≥1>0.综上所述，f(x)>0. 法二　易知f(x)的定义域为(0，+∞).要证f(x)>0，只需证ex-1>xln x，只需证>， 令h(x)=，g(x)=， h'(x)==， 当x∈(0，2)时，h'(x)<0，h(x)单调递减； 当x∈(2，+∞)时，h'(x)>0，h(x)单调递增， 所以h(x)≥h(2)==. g'(x)==， 当x∈(0，e)时，g'(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(e，+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减， 所以g(x)≤g(e)==. 综上所述，h(x)≥>≥g(x)， 也就是>，即f(x)>0. 习得方略:当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题. |思维建模|　不等式证明的常用思路 (1)移项构造函数法:证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)-g(x)>0(或f(x)-g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x)； (2)最值法:若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题.在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立.从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个x的值. (3)适当放缩构造法:一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论. [即时训练] 1.已知函数f(x)=x2-ax+ln x，1为f(x)的极值点. (1)求a； (2)证明:f(x)≤2x2-4x. 解:(1)f'(x)=2x-a+，依题意，f'(1)=2×1-a+1=0，解得a=3， 经检验符合题意，所以a=3. (2)证明:由(1)可知，f(x)=x2-3x+ln x，要证f(x)=x2-3x+ln x≤2x2-4x，即证x2-x-ln x≥0， 设g(x)=x2-x-ln x，则g'(x)=2x-1-=，所以当x∈(0，1)时，g'(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(1，+∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增，当x=1时，g(x)取得极小值，也是最小值，因为g(1)=0，g(x)≥g(1)=0，所以f(x)≤2x2-4x. 题点二　 利用导数解决不等式恒成立问题 [例2]　已知函数f(x)=.若ex≥f(x)+m恒成立，求实数m的取值范围. 解：第一步：构造函数，将问题转化为函数的最小值问题 由ex≥f(x)+m恒成立，得ex≥+m恒成立，即m≤恒成立. 令h(x)=，则m≤h(x)min. 第二步：构造函数，利用导数证明h(x)≥1 xex-1-ln x-x=ex+ln x-1-ln x-x，(同构法的应用) 令p(x)=ex-x-1，则p'(x)=ex-1，令p'(x)=0，得x=0， 当x∈(-∞，0)时，p'(x)<0，p(x)单调递减，当x∈(0，+∞)时，p'(x)>0，p(x)单调递增， 所以p(x)≥p(0)=0，故ex-x-1≥0，即ex≥x+1， 当且仅当x=0时取等号. 所以ex+ln x-1-ln x-x≥x+ln x+1-1-ln x-x=0， 即xex-1-ln x≥x， 所以h(x)=≥1，当且仅当x+ln x=0时等号成立. 第三步：证明函数h(x)可以取到最小值，即可得解 令g(x)=x+ln x，则g(x)单调递增. 又g=-1<0，g(1)=1>0，所以存在x0∈，使得g(x0)=0， 所以当x=x0时，h(x)取得最小值1. 因此m≤1，故m的取值范围为(-∞，1]. 结论拓展：与ex和ln x相关的常见同构模型 (1)aea≤bln b⇔ealn ea≤bln b，构造函数f(x)=xln x(或aea≤bln b⇔aea≤ln b·eln b，构造函数g(x)=xex); (2)<⇔<，构造函数f(x)=; (3)ea±a>b±ln b⇔ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)=x±ln x(或ea±a>b±ln b⇔ea±a>eln b±ln b，构造函数g(x)=ex±x). |思维建模| 一般利用参变分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解: (1)∀x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)min； (2)∀x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)max； (3)∃x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)max； (4)∃x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)min. [即时训练] 2.设函数f(x)=(1-x2)ex. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若x≥0时，f(x)≤ax+1恒成立，求实数a的取值范围. 解:(1)f'(x)=(1-2x-x2)ex， 令f'(x)=0，得x=-1±， 当x∈(-∞，-1-)时，f'(x)<0； 当x∈(-1-，-1+)时，f'(x)>0； 当x∈(-1+，+∞)时，f'(x)<0. 所以f(x)在(-∞，-1-)，(-1+，+∞)上单调递减，在(-1-，-1+)上单调递增. (2)令g(x)=f(x)-ax-1=(1-x2)ex-(ax+1)， 则g'(x)=(1-x2-2x)ex-a. 令x=0，可得g(0)=0. 令h(x)=(1-x2-2x)ex-a， 则h'(x)=-(x2+4x+1)ex， 当x≥0时，h'(x)<0，则h(x)在[0，+∞)上单调递减，故当x≥0时，h(x)≤h(0)=1-a，即当x≥0时，g'(x)≤1-a. 要使f(x)-ax-1≤0对x≥0恒成立，只需1-a≤0，即a≥1， 此时g(x)≤g(0)=0，故实数a的取值范围是[1，+∞). [课时跟踪检测] 1.(15分)(2024·西安三模)已知函数f(x)=(ax+1)ex. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(4分) (2)若当x≥0时，f(x)≥1恒成立，求a的取值范围.(11分) 解:(1)当a=1时，f'(x)=(x+2)ex，则f'(0)=2. 又f(0)=1，所以切线方程为y=2x+1， 即2x-y+1=0. (2)f'(x)=(ax+1+a)ex. 当a≥0时，f'(x)>0在[0，+∞)上恒成立，则f(x)在[0，+∞)上单调递增， 又f(0)=1，所以f(x)≥1恒成立，满足题意； 当a<0时，->0，f=0<1，不符合题意.综上，a的取值范围为[0，+∞). 2.(15分)(2025·武汉模拟)已知f(x)=-f'(1)x2+x+2ln x. (1)求f'(1)并写出f(x)的解析式；(5分) (2)证明:f(x)≤x-1.(10分) 解:(1)由f(x)=-f'(1)x2+x+2ln x得f'(x)=-2f'(1)x+1+，取x=1得到f'(1)=-2f'(1)+1+2，解得f'(1)=1. 将f'(1)=1代入f(x)=-f'(1)x2+x+2ln x可得f(x)=-x2+x+2ln x. (2)证明:由(1)知f(x)=-x2+x+2ln x=x-(x2-ln x2)，令t=x2，g(t)=t-ln t，则g'(t)=1-=，故当0<t<1时，g'(t)<0，当t>1时，g'(t)>0.所以g(t)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，故g(t)≥g(1)=1. 从而f(x)=x-(x2-ln x2)=x-g(x2)≤x-1. 3.(15分)(2024·拉萨二模)已知函数f(x)=xex+ax2+1. (1)当a=0时，求函数f(x)的最值；(5分) (2)若方程f(x)=ex+1在x∈[1，3]上有解，求实数a的取值范围.(10分) 解:(1)当a=0时，f(x)=xex+1， 则f'(x)=(1+x)ex， 当x<-1时，f'(x)<0，f(x)单调递减； 当x>-1时，f'(x)>0，f(x)单调递增. 所以当x=-1时，f(x)取得极小值，也是最小值， 所以函数f(x)的最小值为f(-1)=-e-1+1=1-，没有最大值. (2)方程f(x)=ex+1在x∈[1，3]上有解， 即xex+ax2+1=ex+1在x∈[1，3]上有解，整理，得ax2=ex-xex. 因为x≠0，所以a=. 令g(x)=(x∈[1，3])， 则g'(x)=-. 因为x2-2x+2≥1>0，所以当x>0时，g'(x)<0， 所以当x∈[1，3]时，g(x)单调递减， 所以g(3)≤g(x)≤g(1)，即-≤g(x)≤0， 所以实数a的取值范围是. 4.(15分)已知函数f(x)=aex-x. (1)讨论f(x)的单调性；(6分) (2)若a>0，∀x∈(0，+∞)，f(x)>-，求a的取值范围.(9分) 解:(1)f'(x)=aex-1. 当a≤0时，f'(x)<0，f(x)在R上是减函数. 当a>0时，令f'(x)=0，解得x=-ln a. 当x∈(-∞，-ln a)时，f'(x)<0；当x∈(-ln a，+∞)时，f'(x)>0. 所以f(x)在(-∞，-ln a)上单调递减，在(-ln a，+∞)上单调递增. 综上，当a≤0时，f(x)在R上是减函数；当a>0时，f(x)在(-∞，-ln a)上单调递减，在(-ln a，+∞)上单调递增. (2)f(x)>-，即aex->x-.令函数g(x)=x-(x>0)，则g(aex)=aex-，所以g(aex)>g(x).因为g'(x)=1+>0，g(x)在(0，+∞)上单调递增，所以aex>x，即a>. 令函数h(x)=(x>0)，则h'(x)=.当x∈(0，1)时，h'(x)>0；当x∈(1，+∞)时，h'(x)<0. 所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 所以h(x)max=h(1)=，a>h(x)max=.故a的取值范围为. 第2课时　导数与函数的零点 题点一　判断或讨论零点个数 [例1]　已知函数f(x)=ax-ln x-2. (1)当a=1时，求函数f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)的零点个数. 解:(1)当a=1时，f(x)=x-ln x-2(x>0)，f'(x)=1-=(x>0)， 令f'(x)>0，则x>1；令f'(x)<0，则0<x<1， 故函数f(x)的单调递增区间是(1，+∞)，单调递减区间为(0，1). 当x=1时，函数取得极小值f(1)=1-ln 1-2=-1，无极大值. (2)令f(x)=ax-ln x-2=0，因为x>0，所以a=，令g(x)=，则g'(x)=， 令g'(x)>0，则0<x<；令g'(x)<0，则x>， 故g(x)在上单调递增，在上单调递减，从而g(x)max=g=e，因此当a>e时，直线y=a与y=g(x)的图象没有交点； 当a=e或a≤0时，直线y=a与y=g(x)的图象有1个交点；当0<a<e时，直线y=a与y=g(x)的图象有2个交点. 综上，当a>e时，函数f(x)没有零点；当a=e或a≤0时，函数f(x)有1个零点；当0<a<e时，函数f(x)有2个零点. |思维建模|　利用导数确定函数零点的常用方法 (1)图象法:根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题(画草图时注意有时候需要使用极限)； (2)利用函数零点存在定理:先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数. [即时训练] 1.(2025·苏州开学考试)已知函数f(x)=sin x+ex-4x，e为自然对数的底数，函数g(x)=x3-ax+3. (1)若f(x)在(0，1)处的切线也是g(x)的切线，求实数a的值； (2)求f(x)在(-π，+∞)上的零点个数. 解:(1)f'(x)=cos x+ex-4，则f'(0)=cos 0+e0-4=-2，所以切线方程为y=-2x+1. 又g'(x)=3x2-a，设直线y=-2x+1与y=g(x)图象的切点为(x0，y0)， 则解得 故实数a的值为5. (2)f'(x)=cos x+ex-4，当-π<x≤0时，cos x≤1，ex≤1，f'(x)<0，所以函数f(x)单调递减，所以f(x)≥f(0)=1，此时函数f(x)无零点； 当x>0时，设h(x)=cos x+ex-4，则h'(x)=-sin x+ex>0，即f'(x)单调递增， f'(0)=-2<0，f'(2)=cos 2+e2-4>0， 因此f'(x)在(0，+∞)即在(0，2)上有唯一零点，记零点为m，即f'(m)=0， (f'(x)的零点不可求，也猜不出来，故虚设零点) 在(0，m)上，f'(x)<0，f(x)单调递减，在(m，+∞)上，f'(x)>0，f(x)单调递增. 又f(0)=1>0，f(1)=sin 1+e-4<0，f(2)=sin 2+e2-8>0，f(π)=eπ-4π>0， 所以f(x)在(0，1)上有一个零点，在(1，2)上有一个零点.综上所述，f(x)在(-π，+∞)上有2个零点. 题点二　由零点存在情况求参数 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例2]　(2024·邵阳三模)已知函数f(x)=-x3+x2+1. (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)若函数g(x)=f(x)-k(k∈R)有且仅有三个零点，求k的取值范围. 解:(1)由f(x)=-x3+x2+1， 得f'(x)=-x2+2x， 令f'(x)>0，得-x2+2x>0， 解得0<x<2. 所以f(x)的单调递增区间为(0，2). (2)令f'(x)=0，解得x=0或x=2. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表所示. x (-∞，0) 0 (0，2) 2 (2，+∞) f'(x) - 0 + 0 - f(x) 单调递减 1 单调递增 单调递减 由函数g(x)=f(x)-k有且仅有三个零点， 得方程f(x)=k(k∈R)有且仅有三个不等的实数根， 所以函数y=f(x)的图象与直线y=k有且仅有三个交点. 显然，当x→-∞时，f(x)→+∞；当x→+∞时，f(x)→-∞. 所以由上表可知，f(x)的极小值为f(0)=1，f(x)的极大值为f(2)=，故k的取值范围为. |思维建模|　利用函数的零点求参数范围的方法 (1)分离参数(a=g(x))后，将原问题转化为y=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y=a与y=g(x)的图象的交点个数问题(优先分离、次选分类)求解； (2)利用函数零点存在定理构建不等式求解； (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. [即时训练] 2.若函数f(x)=ex(x2-2x+1-a)-x恒有2个零点，求a的取值范围. 解:由f(x)=0，得 x2-2x+1-a=.令g(x)=，则函数f(x)=ex(x2-2x+1-a)-x恒有2个零点等价于函数y=x2-2x+1-a与y=g(x)的图象有2个交点，g'(x)=，令g'(x)>0，得x<1，令g'(x)<0，得x>1，所以g(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，所以g(x)max=g(1)=. 作出函数y=x2-2x+1-a=(x-1)2-a与y=g(x)的图象，如图所示， 数形结合可得-a<，解得a>-，故a的取值范围为. [课时跟踪检测] 1.(15分)设f'(x)是函数f(x)的导函数，f″(x)是函数f'(x)的导函数，若方程f″(x)=0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数f(x)=mx3+nx2-9x-13的图象的对称中心为(-1，-2). (1)求实数m，n的值；(5分) (2)求f(x)的零点个数.(10分) 解:(1)因为f(x)=mx3+nx2-9x-13，所以f'(x)=3mx2+2nx-9，所以f ″(x)=6mx+2n=2(3mx+n).又因为f(x)的图象的对称中心为(-1，-2)， 所以 即解得 (2)由(1)知，f(x)=x3+3x2-9x-13， 所以f'(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1). 令f'(x)=0，得x=-3或x=1， 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表: x (-∞，-3) -3 (-3，1) 1 (1，+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 14 单调递减 -18 单调递增 所以f(x)的极大值为f(-3)=14，极小值为f(1)=-18.又f(-10)=-623<0，f(3)=14>0， 所以f(x)有3个零点. 2.(10分)已知函数f(x)=ln x+(a∈R).若函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围. 解:f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=-=，当a≤0时，f'(x)>0，所以f(x)在(0，+∞)上是增函数，不可能有两个零点，舍去. 当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增， 因为f(x)有两个不同的零点，所以f(x)min=f(a)=ln a+1<0，解得0<a<. 当0<a<时，因为f(e)=1+>0，所以f(x)在(a，e)上存在一个零点； 又当a∈时，f(a2)=2ln a+， 令φ(a)=2ln a+，a∈，则φ'(a)=-=<0，所以φ(a)在上单调递减，从而有φ(a)>φ=-2+e>0，即f(a2)=2ln a+>0，所以f(x)在(a2，a)上也存在一个零点.综上，a的取值范围为. 3.(15分)(2025·武汉模拟)已知函数f(x)=ln x-ax2(a∈R). (1)当a=1时，求f(x)的最大值；(6分) (2)讨论函数f(x)在区间[1，e2]上零点的个数.(9分) 解:(1)f(x)的定义域是(0，+∞)，∵f(x)=ln x-ax2(a∈R)，∴f'(x)=-ax=. 当a=1时，令f'(x)==0，解得x=±1. ∵x>0，∴当x∈(0，1)时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，∴当x=1时，函数f(x)取得最大值，最大值为f(1)=-. (2)由f(x)=0，得a=， 令g(x)=，1≤x≤e2，则g'(x)=， 由g'(x)>0，得1<x<， 由g'(x)<0，得<x<e2，g(x)在区间[1，]上单调递增，在区间[，e2]上单调递减.又g(1)=0，g()=，g(e2)=，作函数g(x)的图象如图所示. 综上，当0≤a<或a=时，f(x)在[1，e2]上有一个零点，当≤a<时，f(x)在[1，e2]上有2个零点，当a<0或a>时，f(x)在[1，e2]上没有零点. 习得方略:(1)特值试探法:当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，特殊值的选取应遵循以下原则: ①在含有ln x的函数中，通常选取x=ek，特别地，选取当k=0时，x=1来试探； ②在含有ex的函数中，通常选取x=ln k，特别地，选取当k=1时，x=0来试探.在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点左右的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决. (2)虚设和代换法:当导函数f'(x)的零点无法求出显性的表达式时，我们可以先证明零点的存在，再虚设为x0，接下来通常有两个方向: ①由f'(x0)=0得到一个关于x0的方程，再将这个关于x0的方程的整体或局部代入f(x0)，从而求得f(x0)，然后解决相关的问题； ②根据导函数f'(x)的单调性，得出x0两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解. 4.(17分)已知函数f(x)=(x-1)ex-x2. (1)求函数的单调区间；(3分) (2)求f(x)的零点个数；(4分) (3)若g(x)=f(x)-m在区间上有两个零点，求m的取值范围.(10分) 解:(1)由题可得f'(x)=xex-2x=x(ex-2)， 令f'(x)=0，解得x=0或x=ln 2， 令f'(x)<0，解得0<x<ln 2； 令f'(x)>0，解得x<0或x>ln 2， 所以f(x)的单调递减区间为(0，ln 2)，单调递增区间为(-∞，0)，(ln 2，+∞). (2)由(1)知f(x)的单调递减区间为(0，ln 2)，单调递增区间为(-∞，0)，(ln 2，+∞)，由于f(0)=-1<0，则f(x)在(-∞，0)上无零点； 由于f(ln 2)=2(ln 2-1)-(ln 2)2<0， 则f(x)在(0，ln 2)上无零点； 由于f(2)=e2-4>0，则f(x)在(ln 2，2)上存在唯一零点. 综上，函数f(x)在R上存在1个零点. (3)若g(x)=f(x)-m在区间上有两个零点，则函数y=f(x)与y=m在区间上有两个交点. 由(1)知，f(x)在(-1，0)内单调递增，内单调递减，f(-1)=--1<0，f(0)=-1<0，f=-->f(-1)，如图所示， 函数y=f(x)的图象与y=m在区间上有两个交点，则--≤m<-1，即若g(x)=f(x)-m在区间上有两个零点，则m的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$