2.1 认识一元二次方程 第2课时 课件 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 第2课时 一元二次方程的解及其估算 北师大版九年级上册 1.理解方程的解的概念. 2.经历对一元二次方程解的探索过程并理解 其意义.(重点) 3.会估算一元二次方程的解.（难点） 学习目标 1. 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的______. 一元二次方程 (x+1)2 - x = 3(x2-2) 化成一般形式是 __________________. 3.近似数 2.36 ≈ _______（精确到十分位）. 解 2x2 – x - 7 = 0 2.4 导入新课 复习引入 一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫做根）. 下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4 解： 3和-2. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 讲授新课 一、一元二次方程的根 例1.已知a是方程 x2+2x－2=0 的一个实数根, 求 2a2+4a+2024的值. 解：由题意得 【方法点拨】求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值． 2.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9 1.已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则m的值为_______． 练一练 问题1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯部分的宽度x满足方程(8 -2x)(5-2x)= 18，你能求出这个宽度吗？ (1) x可能小于0吗?说说你的理由． (2) x可能大于4吗?可能大于2.5吗? 说说你的理由. 二、一元二次方程解的估算 （3）完成下表： x 0 0.5 1 1.5 2 (8 -2x)(5-2x) （4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗? 还有其他求解方法吗?与同伴进行交流． 4 10 18 28 40 问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程 x2 +12 x - 15 = 0. 10m 8m 1m xm 你能猜出滑动距离x的大致范围吗？ (1) 小明认为底端也滑动了1 m,他的 说法正确吗？为什么？ (2) 底端滑动的距离可能是2 m吗？ 可能是3 m吗？为什么？ 下面是小亮的求解过程： x 0 0.5 1 1.5 2 … x2+12x - 15 -15 - 8.75 - 2 5.25 13 … 可知x取值的大致范围是:1<x<1.5. 进一步计算： 所以1.1＜x＜1.2,因此x整数部分是1 ,十分位部分是1． x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2 +12x-15 - 0.59 0.84 2.29 3.76 用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤 1.在未知数x的取值范围内排除一部分取值; 2.根据题意所列的具体情况再次进行排除; 3.对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选; 4.最终得出未知数的最小取值范围或具体数据. 规律方法 上述求解是利用了“两边夹”的思想 归纳小结 例2.一名跳水运动员进行10m跳台跳水训练,在正常情况下,运动员必需在距水面5m以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否则就容易出现失误.假设运动员起跳后的运动时间t(s)和运动员距水面的高度h(m)满足关系: h＝10+2.5t－5t2. 那么他最多有多长时间完成规定动作？ 5＝10+2.5t－5t2. 2t2－t－2＝0. 即 解：根据题意得 完成下表(在0<t<3这个范围内取值计算,逐步逼近): 根据题意,t的取值范围大致是0<t<3. 完成下表(在0<t<3这个范围内取值计算,逐步逼近): 由此看出,可以使2t2-t-2的值为0的t的范围是1.2<t<1.3.故可知运动员完成规定动作最多有1.3s. t … … 2t2-t-2 … … 0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 2 3 -2 -1 -0.68 -0.32 0.08 0.52 4 13 根据题意,t的取值范围大致是0<t<3. 解一元二次方程 （“两边夹”方法） 确定其解的大致范围 列表、计算 进行两边“夹逼” …… 求得近似解 课堂小结 C 1. 下列是方程x2－x－2＝0的根的是(　　) A．1 B．－2 C．－1 D．0 课堂练习 15 2. 2 [2024深圳中考] 已知一元二次方程x2－3x＋m＝0的 一个根为1，则m＝________． 3. C 根据下表判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个解x的范围是(　　)   A．x>4.6 B．4.5<x<4.6 C．4.4<x<4.5 D．4.3<x<4.4 x 4.6 4.5 4.4 4.3 ax2＋bx＋c －0.7 －0.2 0.3 1 4. 如图，将一张长为8 cm，宽为6 cm的矩形纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，剩余部分(阴影部分)可制成一个底面积是12 cm2的无盖长方体纸盒，求剪去的正方形的边长．小华在做这道题时，设剪去的正方形的边长为x cm，列出关于x的方程为(8－2x)(6－2x)＝12，整理得x2－7x＋9＝0. 他想知道剪去的正方形的边长到底是多少，下面是他的探索过程. 第一步： 因此________<x<________. x －1 0 1 2 x2－7x+9 17 9     3 －1 1 2 第二步：   因此________<x<________． (1)请你帮助小华补全探索过程； (2)通过以上探索，估计剪去的正方形的边长的整数部分是________，十分位是________. x 1.5 1.6 1.7 1.8 x2－7x+9 0.75 0.36     －0.01 －0.36 1.6 1.7 1 6 20 5. 已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0，若 1＋b＋c＝0，则下列各数中是该方程的根的是(　　) A．1 B．－1 C．2 D．0 A 6. D 观察下列表格，一元二次方程x2－3x－4.6＝0的一个近似解为(　　) A．－1.088 B．－1.073 C．－1.124 D．－1.118 x －1.13 －1.12 －1.11 －1.10 －1.09 －1.08 x2－3x 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 7. 等腰三角形 已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋a－c＝0，其中a，b，c是△ABC的三边长，若x＝－1是该方程的一个根，则△ABC的形状为_______________． 8. 18 如果a是方程x2－2x－6＝0的一个根，那么代数式 3a(a－2)的值为________． 9. x2＋x＝0(答案不唯一) 已知一个一元二次方程的一个根为－1，且常数项为0，请写出一个满足要求的方程：____________________． 25 10. D 若a是方程x2＋2x－1＝0的一个根，则 a3＋3a2＋a＋2 025的值为(　　) A．－2 026 B．－2 025 C．2 025 D．2 026 $$