1.2 二次函数的图象与性质-【全效学习】2024-2025学年九年级数学下册同步学练测（湘教版）

数学九年级下册[湘教版 1.2 二次函数的图象与性质 第1课时 二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质 子课堂导学 XA组·基础达标 逐点去废 知识梳理 知识点1二次函数y=a.x2(a>0)的图象 二次函数y=ax2(a>0)的性质： (1)函数图象的开口 1.函数y=3x2的图象大致为 (2)图象的对称轴为 ,对称 轴与图象的交点坐标是 (3)在对称轴的左侧，y随x的增大 木平 而 :在对称轴的右侧，y随x的 增大而 简记为“左降右升” 2.若二次函数y=ax2的图象过点P(一1,2)，则该图象必经 (4)当x= 时，函数值最小，最 过点 小值为 A.(1,2) B.(-1,-2) 例题引路 C.(-2,1) D.(2,-1) 例已知函数y=(m十2x+·是 知识点2二次函数y=ax2(a>0)的性质 关于x的二次函数， 3.[2024保定模拟]下列关于函数y一36x2的叙述中，错误 (1)求满足条件的m的值。 的是 () (2)当m为何值时，抛物线有最低 A.y有最大值 点？求出这个最低点.这时当x为何值 B.图象的对称轴是y轴 时，y随x的增大而增大？ 【思路分析】先根据二次函数的定义 C.当x>0时，y随x的增大而增大 确定m的值，进而确定该函数的相关 D.图象的顶点是原点 性质. 4.[2024常州模拟]已知二次函数y=(a一1)x2,当x>0时， 【规范解答】(1)由题意，得 y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是 () m3+m-4=2, A.a>0 B.a>1 C.a≠1 D.a<1 m十2≠0， 5.二次函数y=ax2的图象如图所示，则 解得m=2或m=一3. (1)a 05 (2)若抛物线有最低点，则抛物线开 (2)开口向 口向上， (3)对称轴是 .m十2>0，即m>一2， (4)顶点坐标是 .m=2. (5)当x= 时，y的最小值为 这个最低，点为抛物线的顶点，其坐 (6)当x>0时，y随x的增大而 标为(0,0) 这时当x>0时，y随x的增大而 昌带京对函数的性质把握不准导致出错 增大。 6.已知二次函数y=(2一k)x-3的图象在对称轴的右侧部 分，函数值y随自变量x的增大而增大，则k= 4 第1章二次函数 园B组·能力提升 小王的解答过程正确吗？如果不正确，写出 操化突成 正确的解答过程。 7.[2024秦皇岛模拟]如图，正方形四个顶点 的坐标依次为(1,1)，(3,1)，(3,3)，(1,3). 若抛物线y=ax的图象与正方形有公共 点，则实数a的取值范围是 () 013 A长9 Bg<a≤1 C.ga3 1 D.3<a≤1 的C组·核心素养拓展 素养浅适 8.已知二次函数y=Qx2的图象经过点A(一1,2). 10.【空间观念，应用意识】已知点A(2,a)在二次 (1)求二次函数的表达式； 函数y=x2的图象上 (2)画出函数y=ax2的图象； (1)求点A的坐标 (3)观察图象可以得出：在对称轴左侧，图象 (2)在x轴上是否存在点P,使△OAP是 逐渐 ；在对称轴右侧，图象逐渐 等腰三角形？若存在，请求出点P的坐 标；若不存在，请说明理由. 9.【过程性学习】[2024唐山期末]已知二次函 数y=x2,当一1≤x≤2时，求函数y的最 小值和最大值.小王的解答过程如下： 解：当x=-1时，y=1, 当x=2时，y=4, 所以函数y的最小值为1，最大值为4. 57 数学九年级下册[湘教版 第2课时 二次函数y=ax2(a<0)的图象与性质 课堂导学 XA组·基础达标 逐正考成 知识梳理 知识点1二次函数y=ax2(a<0)的图象 二次函数y=ax2(a<0)的性质： (1)函数图象的开口 1.已知二次函数y=一2x2,当x>0时，其图象位于( (2)图象的对称轴为 ,对称 A.第一象限 B.第二象限 轴与图象的交点坐标是 C.第三象限 D.第四象限 (3)在对称轴的左侧，y随x的增大2.[2024沧州模拟]如图所示的四个二次 而 :在对称轴的右侧，y随x的 函数图象分别对应①y=ax2,②y= 增大而 .简记为“左升右降”. bx2,③y=cx2,④y=dx2,则a,b,c, (4)当x= 时，函数值最大， 最大值为 d的大小关系为 .(用 例题引路 “>”连接) 例在平面直角坐标系中画出二次 知识点2二次函数y=ax(a<0)的性质 函数y=一4x2的图象，并解答下列问题： 3.关于二次函数y=一7x2的图象与性质，下列说法不正确 (1)写出图象的对称轴及顶点坐标. 的是 () (2)当x<0时，随着x值的增大， A.图象只在第三、四象限 y值如何变化？当x>0时呢？ (3)当x取何值时，y有最大值？最 B.对称轴是直线x=0 大值是多少？ C.顶点坐标是(0,0) 【思路分析】先画出函数的图象，然后 D.当x<0时，y随x的增大而增大 结合图象解答与性质有关的问题。 4.已知原点是抛物线y=(m十1)x2的最高点，则m的取值 【规范解答】画出函数图象如答图 范围是 () 所示 A.m<-1 B.m<1 C.m>-1D.m>-2 5.已知抛物线y=一 2x,解答下列问题： 4 2 (1)开口方向： (2)对称轴： 方43--药立4 (3)顶点坐标： (4)当x>0时，y随x的增大而 3 (5)当x 时，函数y有最 值是 -5 例题答图 尼B组·能力提升 强化爽微 (1)对称轴是y轴，顶点坐标是(0,0). 6.[2024中山模拟]如图，正方形的边长为4，以 (2)当x<0时，随着x值的增大，y 正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作 值随之增大；当x>0时，随着x值的增 2 大，y值随之减小 出函数y=了x2与y= x的图象，则阴影 (3)当x=0时，y有最大值，最大值 部分的面积是 是0. A.4 B.6 C.7 D.8 6 第1章二次函数 7.[2024石家庄模拟]二次函数y=ax2与一 的C组·核心素养拓展 素养秀重 次函数y一ax十a在同一平面直角坐标系 中的图象可能是 9.【几何直观，推理能力】如 图，在x轴上有两点 A(m,0),B(n,0)(n>m> 0 0),分别过点A,B作x轴 的垂线，交抛物线y= B 一x2于点C,D.直线OC交直线BD于点 E,直线OD交直线AC于点F,点E,F的 10 纵坐标分别记作yE,yF· (1)特例探究： D 当m=1,n=2时，yE= yp= 8.如图，已知直线AB过x轴上一点A(2,0), 当m=3,n=5时，yE= 且与抛物线y=ax2相交于B(1,一1)，C 两点. (2)归纳证明： (1)求抛物线对应的函数表达式 对任意实数m,n(n>m>0),猜想yE与yF (2)抛物线上是否存在一点D,使S△OAD= 的大小关系，并证明你的猜想， S△Oc?若存在，请求出点D的坐标；若不 存在，请说明理由. (3)拓展应用： 若将抛物线y=一x2改为抛物线y=ax (a<0),其他条件不变，请直接写出yE与 yr的大小关系】 1 数学九年级下册[湘教版] 第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 课堂导学 XA组·基础达标 逐正考成 知识梳理 1.二次函数y=a(x一h)严的图象是抛物 知识点1 抛物线y=a(x一h)2与y=a.x2之间的关系 线，它的对称轴是直线 ,它的顶 1.将抛物线y=x2向右平移1个单位，得到的抛物线是 点坐标是 ) 2.当a>0时，开口向 ,其图象在对 称轴右侧（即x>h),函数值y随x的 A.y=x2+1 B.y=x2-1 增大而 :其图象在对称轴左侧 C.y=(x+1)2 D.y=(x-1) (即x<h),函数值y随x的增大而 :当x=h时，函数有最 2.要得到抛物线y-十0，可将抛物线y一号女( 值，其值为0.当a<0时，开口向 A.向上平移4个单位 B.向下平移4个单位 其图象在对称轴右侧（即x>h),函数值 :其图象在对 C.向右平移4个单位 D.向左平移4个单位 y随x的增大而 称轴左侧（即x<h),函数值y随x的增 知识点2二次函数y=a(x一h)”的图象与性质 大而 :当x=h时，函数有最 值，其值为0 3.[2024新化模拟]二次函数y=3(x-2)2的图象大致是 例题引路 例在平面直角坐标系中画出y x十1)的图象，并解答下列问题： 1 (1)写出图象的开口方向、对称轴及 D 顶点坐标 (2)观察图象：当x取何值时，y随x 4.[2024汕头模拟]对于二次函数y=一3(x一2)2的图象，下 的增大而减小？当x取何值时，y随x的 列说法正确的是 () 增大而增大？ A.开口向上 (3)它可以看作由抛物线y= 1 B.对称轴是直线x=一2 通过怎样的平移得到？ C.当x>一2时，y随x的增大而减小 【思路分析】先画出函数的图象，然后 D.顶点坐标为(2,0) 结合图象解答与性质有关的间题 【规范解答】画出函数图象如答图 5.已知二次函数y= 4(x-1). 所示. (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)图象的开口方向是 ,对称轴是 ,顶点 坐标是 (3)当x 时，y随x的增大而增大：当x 时， y随x的增大而减小. (4)当x= 时，y取最 值，其最值是 例题答图 (1)开口向下，对称轴是直线x 一1，顶点坐标是(-1,0). (2)当x>一1时，y随x的增大而减 小：当x<一1时，y随x的增大而增大. (3)它可以看作由抛物线y= 有工向左平移1个单位得到 1 8 第1章二次函数1 多带成 运用增减性确定字母取值范围时 的C组·核心素养拓展 素养秀适 出错 6.已知二次函数y=9(x一h),当x>7时， 10.【几何直观，推理能力】如图，已知二次函数 y随x的增大而增大，则h的取值范围为 y=(x十2)2的图象与x轴交于点A,与 y轴交于点B. (1)求点A,B的坐标及△AOB的面积： 邑B组·能力提升 强化哭成 (2)写出抛物线的对称轴； (3)在对称轴上是否存在点P,使得以P,A, 7.[2024惠州模拟]已知二次函数y=一 O,B为顶点的四边形是平行四边形？若存 h)2,当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其 在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 对应的函数值y的最大值为一2，则常数h 的值为 A.1或3 B.-1或1 C.3或5 D.-1或5 8.对于二次函数y=a(x一k)的图象，三名 同学分别说出了它的一些特点. 甲：开口向上。 乙：对称轴是直线x=2. 丙：与y轴的交点到原点的距离为2 满足上述全部特点的二次函数的表达式为 9.已知点P(m,a)是抛物线y=a(x一1)上 的点，且点P在第一象限内。 (1)求m的值； (2)过点P作PQ∥x轴交抛物线y= a(x一1)2于点Q,若a的值为3，试求 △PQO的面积. 97 数学九年级下册[湘教版 第4课时 二次函数y=a(x一h)2+k的图象与性质 课堂导学 XA组·基础达标 逐正青成 知识梳理 二次函数y=a(x一h)2+是的性质： 知识点1二次函数y=a(x一h)2+k图象的平移 a>0 a<0 1.[2023广西]将抛物线y=x2先向右平移3个单位，再向上 开口 () 方向 平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式是 顶点 A.y=(x-3)2+4 B.y=(x+3)2+4 坐标 C.y=(x-3)2-4 D.y=(x+3)2-4 对称轴 直线 2.[2024滨州门将抛物线y=一x先向右平移1个单位，再向上 在对称轴的 在对称轴的左 左边，函数值 边，函数值y 平移2个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为 y随x的增大 随x的增大而 而 知识点2二次函数y=a(x一h)2+k的图象与性质 增减性 :在 在对称轴的 对称轴的右 右边，函数值 边，函数值y 3.二次函数y=2(x十2)2-1的图象大致是 y随x的 随x的增大而 而增大 例题引路 例画出二次函数y=一(x一2)2+4 的图象，并解答下列问题： B D (1)写出图象的开口方向、对称轴和 4.[2024邢台模拟]若二次函数y=(x十1)2一6有最小 顶点坐标 (2)观察图象：当x取何值时，y随x 值，则“”中可填的数是 () 的增大而增大？当x取何值时，y随x的 1 增大而减小？ A.2 B.一2 C.0 D.-2 【思路分析】先画出函数的图象，然后 1 结合图象解答与性质有关的问题。 5.已知二次函数y=-2(x+1)2+3. 【规范解答】画出函数图象如答图 (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； 所示， (2)图象的开口方向是 ,对称轴是 顶点坐标是 ,当x<一1时，y随x的增大而 ,当x>一1时y随x的增大而 (3)当x= 时，函数y有 值，其最值为 -2-1: 12:34567 例题答图 (1)开口向下，对称轴是直线x=2, 顶点坐标是(2,4). (2)当x<2时，y随x的增大而增 大：当x>2时，y随x的增大而减小 10 第1章二次函数1 知识点3利用顶点式求二次函数的表 的C组·核心素养拓展 素养秀适 达式 10.【几何直观，空间观念】如图，已知抛物线的 6.在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点 顶点为A(1,4),抛物线与y轴交于点 为A(1,一4)，且过点B(3,0).求该二次函 B(0,3),与x轴交于C,D两点，点P是 数的表达式 x轴上的一个动点 (1)求此抛物线的函数表达式； (2)当PA十PB的值最小时，求点P的 坐标. 墨带意将图象平移与坐标轴平移混淆 7.已知抛物线的函数表达式为y=3(x一2)2十1. 若将x轴向上平移2个单位，将y轴向左平 移3个单位，则该抛物线在新的平面直角坐标 系中的函数表达式为 () A.y=3(x+1)2+3 B.y=3(x-5)2+3 C.y=3(x-5)2-1 D.y=3(x+1)2-1 邑B组·能力提升 强化突被 8.[2024凉山州]抛物线y= 2 (x-1)2+c经 过(-2.0.（层三点，则， y2,y:的大小关系正确的是 A.y1>y:>ys B.y:>ys>y C.ya>y1>y D.yi>ya>y2 9.[2024长春模拟]如图，在平面直角坐标系 中，抛物线y=一号红一3)”+长经过坐标原 2 点O,与x轴的另一个交点为A,过抛物线 的顶点B分别作BC⊥x轴于点C,BD⊥y 轴于点D,则图中阴影部分的面积和 为 117 十数学九年级下册[湘教版 第5课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 课堂导学 XA组·基础达标 逐正考成 知识梳理 知识点1二次函数y=a.x2+bx十c 的图象与性质 将二次函数y=ax2+bz十c配方，得 61 y=ar2+br+c=a(z+2a】 +ac-b2 1.抛物线y=一3x2+6x一1的对称轴是 () 4a A.直线x=2 B.直线x=1 顶点坐标是 ,对称轴 是直线x= 当x= C.直线x=-2 D.直线x=一1 2a时，函 2.抛物线y=x2-2x一3的顶点为 ( 数达到最大值(a<0)或最小值(a>0): A.(1,-4) B.(1,4) C.(0,-3)D.(2,-3) 例题引路 3.[2024淄博模拟]下列关于抛物线y=x2一6x+7的说法， 例已知二次函数y=一 2x+ 正确的是 () x十4. A.开口向下 (1)试确定抛物线的开口方向、顶点 B.对称轴是直线x=一3 坐标和对称轴，并画出函数的图象」 C.顶点坐标是（一3,1） (2)当x为何值时，y有最值？ D.x<2时，y随x的增大而减小 (3)根据图象回容，x取何值时，y随 x的增大而增大？x取何值时，y随x的4.已知二次函数y=x2十bx十3的图象经过点(3,0). 增大而减小？ (1)求b的值： 【思路分析】通过配方，确定抛物线的 (2)求出该二次函数的图象的顶点坐标和对称轴： 顶点坐标和对称轴.结合图象解答与性质 相关的问题。 (3)在如图所示的平面直角坐标系中，画出二次函数 2x2+x+4= y=x2+bx十3的图象. 【规范解答】(1)y= 2(x-1)+ ，抛物线的开口向下， 9 项点坐标为1,2 9 ）,对称轴为直线x=1. 2 画出函数图象如答图所示 4-3-2- 0123145 例题答图 (2)当x=1时，y有最大 2 (3)当x<1时，y随x的增大而增 大；当x>1时，y随x的增大而减小. 12 第1章二次函数Y 知识点2求二次函数y=ax2+bx+c 9.[2024乐山]已知二次函数y=x2-2x(一1≤ 的最值 x≤t一1)，当x=一1时，函数取得最大值； 5.[教材P19习题1.2第7题变式]用配方法 当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范 围是 () 求下列二次函数的最大值或最小值： A.0<t≤2 B.0<t≤4 (10y=x2-5x+4 C.2≤t≤4 D.t≥2 10.如图，抛物线y=ax2十bx十c的对称轴是 直线上一弓小亮通过观察得出了下面四个 结论：①c<0;②a-b+c>0:③2a-3b=0; ④5b一2c<0.其中正确的有 (填序号) 2y=-x+3x-7, 的C组·核心素养拓展 素养浅重 11.【运算能力】[2024安徽]已知抛物线y= 一x2十bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物 线y=一x2+2x的顶点横坐标大1. (1)求b的值： (2)点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x 上，点B(x1十t,y1十h)在抛物线y=一x2十 马籍流化二次函数为y=a(x-h)严十长形 bx上. 式时，漏掉二次项系数 ①若h=3t,且x1≥0，t>0,求h的值： 6.把二次函数y=女-3x十1化成y=ac- ②若x1=t一1，求h的最大值. h)2十k的形式为 邑B组·能力提升 强化哭成 7.[2024绍兴模拟]将二次函数y=x2-2x- 3的图象先向右平移2个单位，再向上平移 2个单位后所得图象对应的函数表达式为 ( A.y=(x-3)2-6B.y=(x+1)2-6 C.y=(x-3)2-2D.y=(x+1)2-2 8.二次函数y=ax2+bx十c的图象如图所示，若 点A(-2.2,y1),B(-3.2,y2)是图象上的 两点，则y1与y2的大小关系是 () A.yi<y B.y-y: C.y1>y2 D.不能确定 第8题图 第10题图 137参考答案 同步学练测 第1章二次函数 1,1二次函数 【】 L二 124e4 LC I AA 4.C i.x=ticdl-1 s.A 年自：他方线升】 L(llym-le )y盖年的三式端能 一子4子，角家满4水脑西丽陆心 L子-+0 面型维起的Ar青和身体月直：网 1.2二次涵数的围象与性质 前1准时二支路超)=出0养图金南值置 【】 (1D州上 20。轴00. t4054 LCA名ALB 里风 室用 业木工睛舞答说里是建国解，正降的雨套姓程略 2形景AP的黄标为一4石1请过L.10且.1 【如风领】 1调大满小 :面卡奉陆之标】 标数~才洗并】 LD A 重.4下2y轴0.好4域◆51=6大量 和国，轴九黄异》 但1二我4能多一十工一1的图金鸡：轴的变点金贵 山始他线对有销请春场文为y一一 ((-司 .1一￥-里一日一10 0。=y (A正箱每为（行，兽） E解说整理】 14。 专要调练二}二次函数的图象与 --- 竿母系数的关系 【A整+基味这标】 LD I.D 1.B 4.D 【家·的九得得】 1我B11.表2B 专题训练{三}二次函数与线级， 几.1B-434-3@4的最其直为号 周长、面酸问题 ·L3不共线三点确定二次函数的来达式 (1星霸 [据速纯用】 直民N前经大第身号 0N上-1门00>14▣小0 LIC7 【4数-想黛达黎】 LD1.A1D4r=-44u4 城二太函量店表这式清中-行一 无二我a数)一字一专名国国我m过A:通Ga cw(,-) 1,口能轴线的解销式为y=一山一3 ,- 程制校西利称脑为直线=一I 4,14-=1=-2 C1部有：点严的作每式+1：4)建C一2：=45 第·世才贵开】 心样型长时限情青+：有 “时 【师说装理】 同上有下：一★减尔增大进大孩命 位山能称线同速载梨路人为x一一4材4 18-一w02,去情码 5 1.41,1来C4.A 1人AP离制的国大笔毫t 451的新 专露引篮（一）术二次面数的表达式 专最训练引四}二次函数与特珠三角形、 西墙形同题 上址十二大辆霸件表达或为y+:+期一4 1,4.的，Cg. 置取风数的期有用y一子：子+柱 4物病的的前表这其为州一年一具一 )容华：4N的标为（仔》填（位，-》 D青下碧战=-1一，到装女藏为 (号（片》 1,这各二及满器作虚出文为与一十十里 041■大1 生公治何线的每销大对y=。~七+，房铺的国酒常 G,-1 1.C 1直线n阳满达式方y一宁十行 日重·能h图n】 存在通E的准单者兰)意，二）)速 团数每线时载离达大动一一一：性 粒y-一2++1里直P爵里排有《于】 1.4二次孟数与一元二次方程的联系 3.1着货线L防时称结为直线一身 ■多装利二麦函塑=世'十虹十行酯速最有生型 中卷抽线上纳鑫我式少=444日 【餐】 ◆1+4g (会“9 @作在一的朝才1世正 【4数·蒸线相】 :面下害城这棒1 1.D玉9表02061，》，62,1 60瑞物线物加行大用手一+十，点B的业标方 41D12D