第二章 有理数全章复习学案2025-2026学年苏科（2024）版 七年级 数学上册

第二章 有理数 专辑内容更完整、更精彩 第二章 有理数全章复习 （带答案） 【学习目标】 1、理解数轴、相反数、绝对值的关联关系 2、理解绝对值与偶次幂的非负性 3、理解和掌握有理数的混合运算规则，包括加、减、乘、除的顺序和运算律。 【知识框架】 【要点梳理】 1．负数小于0，正数大于0。0既不是正数,也不是负数．但是0是整数，不是分数 2．正整数、零和负整数统称整数，正分数和负分数统称分数，整数和分数统称有理数 3．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。所有的有理数都能用数轴上的点表示，但是数轴上的点并不都是有理数（还有无理数，例如） 4．在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。原点处是0 5．相反数：只有正负号不同的两个数称互为相反数；在数轴上表示互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（关于原点对称）；规定：0的相反数是0；我们通常把在一个数前面添上“-”号，表示这个数的相反数；在一个数前面添上“+”号，表示这个数本身 6．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离（距离没有负值）叫做数a的绝对值。记作|a|；一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数；任意有理数a，总有|a|≥0。绝对值具有非负性 7．两个负数，绝对值大的反而小 8．两个有理数比较大小 作差法：设a、b为任意数 若a-b＞0，则a＞b 若a-b＝0，则a＝b 若a-b＜0，a＜b；反之成立 求商法：设a、b为任意正数 若，则 若，则 若，则 反之也成立．若a、b为任意负数，则与上述结论相反 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小 9．有理数的加法法则： 1）同号两数相加，取相同的正负号，并把绝对值相加 2）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 3）互为相反数的两个数相加得0 4）一个数同0相加，仍得这个数 注意：一个有理数由正负号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，应注意确定和的正负号与绝对值 10．加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．a+b=b+a 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 ( a + b )+ c = a + ( b + c ) 巧用：拆分带分数 = 11．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数 12．有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对植相乘.任何数同0相乘，都得0 13．乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．ab＝ba 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 (ab)c＝a(bc) 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加 a(b＋c)＝ab＋ac 几个不等于0的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定 当负因数有奇数个时，积为负 当负因数有偶数个时，积为正 几个数相乘，有一个因数为0，积就为0 14．倒数：乘积是1的两个数互为倒数；除以一个数等于乘上这个数的倒数 注意：0不能作除数，因此，0没有倒数 有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 0除以任何一个不等于0的数，都得0 15．求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂 在an中，a叫作底数，n叫做指数，an读作a的n次方 an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂 正数的任何次幂都是正数 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 综上两点，任何数的偶数次幂具有非负性（这点和绝对值一样） 16．科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法 17．有理数混合运算的运算顺序规定如下： 1）先算乘方，再算乘除，最后算加减 2）同级运算，按照从左至右的顺序进行 3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的 18．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字 19．小结 一、数轴动点和绝对值是重点、也是难点，专辑内容有专门的一份资料 二、绝对值+偶次幂的非负性考察 三、在有理数的运算中，要特别注意符号问题，提高运算的正确性，还要善于灵 活运用运算律简化运算。计算能力贯穿整个初中数学。 【附加】找规律和新定义题型 【典型例题】 1、观察下列各组数的规律，填空。 （1）-1，-2，+3，-4，-5，+6，-7，-8， ， ， ，……第2020个数是 ； 【解析】观察每一个数字，由“纯数字”和“符号”两部分组成。“纯数字”就是1，2，3，4….以此类推，“符号”以“-” “-” “+”循环，三个数字一次循环。 【答案】+9， -10， -11， -2020 （2）-1，，-3，，-5，，-7，， ， ， ，……第2020个数是 。 【解析】观察每一个数字，由“纯数字”和“符号”两部分组成。“纯数字”就是1，2的倒数，3，4的倒数….以此类推，“符号”以“-” “+”循环，两个数字一次循环。 【答案】-9，，-11， 2、已知一列数：1，-2,3，-4,5，-6,7，……将这列数排成下列形式： 第一行 1 第二行 -2 3 第三行 -4 5 -6 第四行 7 -8 9 -10 第五行 11 -12 13 -14 15 …… …… 按照上述规律排下去，那么第100行从左边数第5个数是（ ） A．-4955 B．4955 C．-4950 D．4950 【解析】观察每一行最后一个数字，我们发现， 1=1 3=1+2 6=1+2+3 10=1+2+3+4 15=1+2+3+4+5 那么，第99行最后一个数是4950，推断出第100行从左边数第5个数是4955。同时，根据题干条件推断出，奇数是正的，偶数是负的。4955是奇数，所以是正的。 【答案】B 3、将一刻度尺如图所示放在数轴上(数轴的单位长度是 1 cm)，刻度尺上的“0cm”和 “15 cm”分别对应数轴上的－3.6 和 x，则 ( ) A．9<x<10　　　 B．10<x<11 　　　C．11<x<12 　　　D．12<x<13 【答案】C 【解析】x＝15-|-3.6|=11.4 4、|x-1|+|x-2|+|x-3| 的最小值为 ( ) A、1 B、2 C、3 D、4 【答案】B 【解析】根据题意，将数轴分成4个区域： X<1; 原式=1-x+2-x+3-x=6-3x>3 1≤X<2； 原式=x-1+2-x+3-x=4-x>2 2≤X<3； 原式=x-1+x-2+3-x=x≥2 3≤X； 原式=x-1+x-2+x-3=3x-6≥3 5、已知a、b为有理数，且满足：，则a=_______，b=________． 【解析】由，，， 可得 ∴ 【答案】a=___-___，b=___2___． 6、若|a-2|=5, |b|=9,且|a+b|+a+b=0,求a-b 【解析】∵ |a-2|=5，|b|=9 ∴ a=7或-3 b=±9 又∵|a+b|+a+b=0 ∴ |a+b|=-（a+b） ∴ a+b≤0 ∴ b≠9，只能=-9 ∴ a-b=16或6 【答案】16或6 7、小芳同学做这样一道题：“计算∣(-5)+■∣”，其中“■”是被墨水污染看不清的一个数，他翻看了后面的答案，得知该题的答案是12，那么“■”表示的数是(  ) A．7 B．-7 C．-7或-17 D．-7或17 【解析】因为∣(-5)+■∣=12 所以(-5)+■=12或-12 所以■=-7或17 【答案】选D 8、（1）； （2） 【答案】（1）原式 （2）原式 9、计算:(1-2)(2-3)(3-4)…(2024-2025)=________. 【解析】(1-2)(2-3)(3-4)…(2024-2025) =(-1)·(-1)·(-1)·…·(-1)=1 （2024个‘-1’，偶数个负因数，积为正数） 【答案】1 10、已知，且，则的倒数的相反数是 ． 【答案】 【解析】根据题意，a=-2（因为，所以a=6舍去） =-8 的倒数为- 的倒数的相反数为 11、已知（a﹣2）2＋|b﹣3|＝0，则2a﹣b＝______． 【答案】1 【解析】根据偶次方和绝对值的非负性得出a和b的值，代入2a﹣b即可得出答案 ∵（a﹣2）2＋|b﹣3|＝0，且（a﹣2）2≥0、|b﹣3|≥0 ∴a-2=0且b-3=0， ∴a=2，b=3． 则2a﹣b＝2×2-3=1． 故答案为：1． 本题考查了非负数的性质：若两个非负数的和为0，则两个非负数都为0． 12、观察下面三行数： ①-3，9，-27，81，-243，729，… ②0，12，-24，84，-240，732，… ③-1，3，-9，27，-81，243，… (1)第①行数按什么规律排列? (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系? (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】 (1)第①行数的规律是：(-3)1，(-3)2，(-3)3，(-3)4，…； (2)第②行数是第①行数相应的数加3，即：(-3)1+3，(-3)2+3，(-3)3+3， (-3)4+3，…； 第③行数是第①行数相应的数的，即，，，，…； (3)每行数中的第10个数的和是：59049+59052+19683＝137784． 13、已知，则______． 【答案】9 【解析】先根据绝对值的非负性、偶次方的非负性求出a、b的值，再代入计算有理数的乘方即可得． 由绝对值的非负性、偶次方的非负性得：，解得， 则， 故答案为：9． 本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、有理数的乘方，熟练掌握绝对值与偶次方的非负性是解题关键． 14、已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝5．求 4（a+b﹣2）+（﹣cd）2025﹣3m的值． 【答案】-24或6 【解析】因为a，b互为相反数，得到a+b=0 因为c，d互为倒数，得到(-cd)=-1 因为|m|＝5，m=5或-5 原式1=4×(0-2)+(-1)2025-3×5=-8-1-15=-24 原式2=4×(0-2)+(-1)2025-3×(-5)=-8-1+15=6 15、2025000= （用科学记数法表示）， 【答案】2.025×106 16、先观察下列各式：； ； ； …； ，根据以上观察，计算： …的值． 【答案与解析】原式 【总结】根据题中提供的拆项方法把每一项拆成的形式，然后再进行计算 17．用第(16)题的方法计算： 【答案】原式 = 18．对于任意有理数x,经过以下运算过程,当x=-6时,运算结果是________. 【答案】3 【解析】根据运算框图可知,[(-6)+3]2×=(-3)2×=9×=3 19、已知的相反数为，的倒数为 ，的绝对值为，求的值 【答案】4 【解析】因为的相反数为，的倒数为 ，的绝对值为 所以，， 所以 学科网（北京）股份有限公司 $$