第十二讲 全等三角形的判定三（3个知识点3大典例）暑假预习讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义(3个知识点3大典例) 第十二讲 全等三角形的判定三(解析版) 知识点梳理 知识点1 全等三角形的判定3:边边边(SSS) 文字:在两个三角形中,如果有三条边对应相等,那么这两个三角形全等. 图形: 符号:在与中, 要点诠释: ①准备条件:证全等时要用的条件要先证好;②指明范围:写出在哪两个三角形中; ③摆齐根据:摆出三个条件用大括号括起来;④写出结论:写出全等结论. 注意:(1)说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写. (2)结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. 知识点2 用尺规作一个角等于已知角 已知:∠AOB.求作: ∠A′O′B′=∠AOB. 作法:(1)以点O 为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB 于点C、D; (2)画一条射线O′A′,以点O′为圆心,OC 长为半径画弧,交O′A′于点C′; (3)以点C′为圆心,CD 长为半径画弧,与第2 步中所画的弧交于点D′; (4)过点D′画射线O′B′,则∠A′O′B′=∠AOB. 要点诠释: 1.核心依据:边边边(SSS)全等判定 通过构造三边对应相等的全等三角形实现角度复制。具体步骤中,以已知角顶点为圆心画弧,截取两边交点,再以新作射线端点为圆心重复此操作,最终连接两弧交点形成等角。 2.注意事项 操作需严格遵循“以相同半径画弧”的步骤,确保三角形三边对应相等。 适用于初中数学尺规作图的基本题型,是后续学习几何证明的基础. 知识点3 运用边边边定理证明和计算 运用“SSS”证明两个三角形全等主要是找边相等,边相等除了题目中已知的边相等外,还有一些相等边隐含在题设或图形中。 要点诠释: 1.条件检查 :需严格验证三边是否对应相等,避免混淆对应关系; 2.逻辑严密性 :证明过程需每一步都有依据,如通过三角形内角和定理辅助推理。 典例精讲 题型1用sss证明三角形全等 例1.如图,在中,,,则直接利用“SSS”可判定( ) A. B. C. D. 名师支招 有三条边对应相等,那么这两个三角形全等 答案:C 解析:在和中, 所以. 变式训练1 1.已知:如图,点B,F,C,E在一条直线上,,,,求证:. 答案:见解析 解析:证明:, , 即, 在和中, , , . 2.已知:如图,点A,C,F,E在同一条直线上,,,. 求证:. 答案:见解析 解析:∵, ∴, 即, ∵,,, ∴, ∴, ∴. 3.如图,,,求证:. 答案:见解析 解析:证明:如图所示,连接, 在和中, , ∴, ∴. 4.如图,C是的中点,,.求证:. 答案:见解析 解析:证明:C是的中点, , 在和中, , . 5.如图,,点E在BC上,且,. (1)试说明:. (2)判断AC和BD的位置关系,并说明理由. 答案:(1)见解析 (2).理由见解析 解析:(1)在和中, 所以. (2).理由如下: 由(1)知,, 所以, 所以. 6.如图所示,在三角形屋架中,是的中线,.求证:. 答案:证明见解析 解析:证明:∵是边上的中线, ∴, 在和中, , ∴. 题型2 尺规作一个角等于已知角 例2 .如图,已知,请用尺规作图法,在边上求作一点P,使. 名师支招 尺规作图的基本依据是边边边公理,通过构造三边对应相等的全等三角形实现角度复制。具体步骤中,以已知角顶点为圆心画弧,截取两边交点,再以新作射线端点为圆心重复此操作,最终连接两弧交点形成等角。 【答案】见解析 【详解】根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可. 【分析】解:如图所示,点P即为所求. 【点评】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角,熟知相关作图方法是解题的关键. 变式训练2 1.如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中,作出的依据是( ) A. B. C. D. 答案:D 解析:由作图可知,,, , , 故选:D. 2.如图,点O是的边上任意一点.下面是“过点O作”的尺规作图过程:①以点B为圆心,适当的长为半径画弧,分别交,于点D,E;②以点O为圆心,线段的长为半径画弧,交于点F;③以点F为圆心,线段的长为半径画弧,交前弧于点M,作直线,则即为所求. 上述方法通过判定得到,进而得到,其中判定的依据是( ) A. B. C. D. 答案:A 解析:由作图痕迹,得,, ∴, 故选:A. 3.数学课上,王老师布置如下任务: 如图,直线外一点A,过点A作直线的平行线. 小路的作法如下: ①在上任取一点B,作射线; ②以B为圆心任意长为半径画弧,分别交和于C,D两点(点D位于的左侧),再以A为圆心,相同的长度为半径画弧,交于点E(点E位于点A上方); ③以E为圆心,的长为半径画弧,交弧于点F(点F位于左侧); ④作直线. 结论:直线即为所求作平行线. (1)请你根据小路同学的作图方法,利用直尺和圆规完成作图(保留作图痕迹); (2)并完成以下推理,注明其中蕴含的数学依据: ∵_, ∴._. 答案:(1)见解析 (2);同位角相等,两直线平行 解析:如图,即为所求, 证明:如图,根据作图过程,知:, 连接和, 在和中,, ∴, ∴, ∴(同位角相等,两直线平行). (2)∵, ∴(同位角相等,两直线平行). 故答案为:;同位角相等,两直线平行 4.下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程. 已知:(如图1),求作:一个角,使它等于. 作法:如图2: ①在的两边上分别任取一点A,B; ②以点A为圆心,OA为半径画弧;以点B为圆心,OB为半径画弧;两弧交于点C; ③连接AC,BC. 所以即为所求作的角. 请根据小明设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹) (2)完成下列证明. 证明:连接AB, ,_,_, (_)(填推理依据). . 答案:(1)见解析 (2)见解析 解析:(1)如图2,即为补全的图形; (2)证明:连接AB, ,,, . . 5 .已知:如图1,在中,.求作:射线,使得. 下面是小明设计的尺规作图过程. 作法:如图2, ①以点为圆心,适当长为半径作弧,分别交,于,两点; ②以点为圆心,长为半径作弧,交的延长线于点; ③以点为圆心,长为半径作弧,两弧在内部交于点; ④作射线.所以射线就是所求作的射线. 根据小明设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:连接,. ,,. _, _, (_)(填推理的依据). 【答案】(1)见解析;(2),,同位角相等两直线平行 【分析】(1)根据要求作出图形即可. (2)利用全等三角形的性质证明即可. 【详解】解:(1)如图,射线即为所求作. (2)连接,. ,,. , , (同位角相等两直线平行). 故答案为:,,同位角相等两直线平行. 【点评】本题考查作图-复杂作图,全等三角形的判定和性质,平行线的判定等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 题型3 利用边边边公理证明线段相等、角相等 例3.如图,在四边形中,,点E,F分别在,上,,,求证:. 名师支招 1.构造全等三角形 2.应用全等判定条件判定全等 3.得出结论 由全等三角形的性质可知,对应角相等(如∠B = ∠B',∠C = ∠C'),对应边相等(如AB = A'B'),从而完成边边边定理的证明. 答案:证明:连接AC 在与中 , , , . 变式训练3 1.如图,点B,E,C,F在一条直线上,,,, (1)求证: (2)若,,求的度数 答案:(1)证明见解析 (2) 解析:(1)证明:, , 即, 在和中, , . (2),,, , . 2.如图,已知,,.求证:. 答案:见解析 解析:证明:在和中, , , , , . 3.如图,,相交于点O,且,.求证:. 答案:证明见解析 解析:证明:连接, 在和中, , ,, , 在和中, , ,. . 4.如图,在四边形ABCD中,已知,,判断与的关系,并说明理由. 答案:.理由如下:如图,连接BD.在 BAD和 DCB中, 因为 所以(SSS),所以. 5.如图,.求证:. 答案:如图,连接. 在和中,, ∴,∴. 易错易混诠释 1.条件混淆 必须严格满足 三边对应相等 ,仅两边相等或两边加一角(非夹角)无法判定全等。 常见错误:误将“两边及夹角”(SAS)与“三边”(SSS)混淆。 针对训练1 1.如图所示,是三边各不相等的三角形,,以D,E为两个顶点作位置不同的三角形,使所作三角形与全等,这样的三角形最多可以画( ) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 答案:B 解析:如图,分别以点D为圆心,AB长为半径画弧,以点E为圆心,AC长为半径画弧,所作弧相交于两点(DE上下各一个),连接后可以得到两个与全等的三角形;以点D为圆心,AC长为半径画弧,以点E为圆心,AB长为半径画弧,所作弧相交于两点(DE上下各一个),连接后也可以得到两个与全等的三角形.故这样的三角形最多可以画4个. 2.如图,点B,C,D,E在同一直线上,,,.求证:. 答案:见解析 解析:证明:, ,即, 在和中, , , . 2.书写格式错误 全等符号使用不当,如“ABC≌DEF”需明确对应顶点,且需完整书写三边条件(如“AB=DE,AC=DF,BC=EF”)。 针对训练2 1.如图,点B,C,F,E在同一条直线上,,,.求证:. 答案:详见解析 解析:证明:∵, ∴, 即, 在和中, ∴, ∴. 2.在①;②这两个条件中任选一个作为题目条件,补充在下面的横线上,并加以解答. 如图,点A、F、C、D在同一直线上,,,_.(填序号) 求证:. 答案:见解析 解析:证明:选条件①, ∵, , , 在和中, , ∴, ∴, ∴. 选条件②, ∵, , , ∵, ∴, 在和中, , ∴, ∴, ∴. 3.实际应用问题 在动态几何问题中,需准确画出或测量三边长度,避免因作图误差导致条件不符。 部分题目可能涉及隐含条件(如中点连线、对称图形等),需结合图形分析三边关系。 针对训练3 1.中国现役的第五代隐形战斗机歼-20的机翼如图,为适应空气动力的要求,两个翼角,必须相等. (1)实际制造中,工作人员只需用刻度尺测量,就能满足要求,说明理由; (2)若,,求的度数. 答案:(1)见解析 (2) 解析:(1)证明:如图,连接PC, 在和中, ,. (2)如图,延长PC到E点,,, . ,,, . 2.如图,的3个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上的三角形叫格点三角形.除格点外,在网格中可画出与全等的格点三角形共有_个. 答案:3/三 解析:如图, 图中与全等的格点三角形是、、,共3个, 故答案为:3. 创新拓展能力提升 1.如图,,E,F是AC上的两个动点,且. (1)若E,F运动至图1所示的位置,且,试说明:. (2)若E,F运动至图2所示的位置,仍有,则还成立吗?请说明理由. (3)若E,F不重合,且,则AD和CB平行吗?请说明理由. 答案:(1)见解析 (2)成立.理由见解析 (3).理由见解析 解析:(1)因为, 所以,即. 在和中, 所以. (2)成立.理由如下: 因为, 所以,即. 在和中, 所以. (3).理由如下: 由(1)(2)知, 所以,所以. 2.如图,已知:A、F、C、D在同一条直线上,,,. 求证:(1); (2). 答案:(1)证明见解析 (2)证明见解析 解析:(1)证明:如图:在和中, , , , ; (2)证明:由(1)得, 在和中, , , . 3.如图,点C、E、B、F在同一条直线上,,,.试说明:. 答案:见解析 解析:证明:, , 即, 在和中, , , , . 学科网(北京)股份有限公司 $$ 2025年新八年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点3大典例） 第十二讲 全等三角形的判定三 知识点梳理 知识点1 全等三角形的判定三：边边边（SSS） 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 要点诠释： ①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②指明范围：写出在哪两个三角形中； ③摆齐根据：摆出三个条件用大括号括起来；④写出结论：写出全等结论. 注意：（1）说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写. （2）结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. 知识点2 用尺规作一个角等于已知角 已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB． 作法：（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C、D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半径画弧，交O′A′于点C′； （3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中所画的弧交于点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB． 要点诠释： 1.核心依据：边边边（SSS）全等判定 通过构造三边对应相等的全等三角形实现角度复制。具体步骤中，以已知角顶点为圆心画弧，截取两边交点，再以新作射线端点为圆心重复此操作，最终连接两弧交点形成等角。 2.注意事项 操作需严格遵循“以相同半径画弧”的步骤，确保三角形三边对应相等。 适用于初中数学尺规作图的基本题型，是后续学习几何证明的基础. 知识点3 运用边边边定理证明和计算 运用“SSS”证明两个三角形全等主要是找边相等，边相等除了题目中已知的边相等外，还有一些相等边隐含在题设或图形中。 要点诠释： 1.条件检查 ：需严格验证三边是否对应相等，避免混淆对应关系； 2.逻辑严密性 ：证明过程需每一步都有依据，如通过三角形内角和定理辅助推理。 典例精讲 题型1用sss证明三角形全等 例1．如图，在中，，，则直接利用“SSS”可判定( ) A. B. C. D. 名师支招 有三条边对应相等，那么这两个三角形全等 变式训练1 1．已知：如图,点B,F,C,E在一条直线上,,,,求证：. 2．已知：如图，点A，C，F，E在同一条直线上，，，. 求证：. 3．如图,,,求证：. 4．如图,C是的中点,,.求证：. 5．如图，，点E在BC上，且，. （1）试说明：. （2）判断AC和BD的位置关系，并说明理由. 6．如图所示,在三角形屋架中,是的中线,.求证：. 题型2 尺规作一个角等于已知角 例2 .如图，已知，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使． 名师支招 尺规作图的基本依据是边边边公理，通过构造三边对应相等的全等三角形实现角度复制。具体步骤中，以已知角顶点为圆心画弧，截取两边交点，再以新作射线端点为圆心重复此操作，最终连接两弧交点形成等角。 变式训练2 1．如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中,作出的依据是( ) A. B. C. D. 2．如图，点O是的边上任意一点.下面是“过点O作”的尺规作图过程：①以点B为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点D，E；②以点O为圆心，线段的长为半径画弧，交于点F；③以点F为圆心，线段的长为半径画弧，交前弧于点M，作直线，则即为所求. 上述方法通过判定得到，进而得到，其中判定的依据是( ) A. B. C. D. 3．数学课上，王老师布置如下任务： 如图，直线外一点A，过点A作直线的平行线. 小路的作法如下： ①在上任取一点B，作射线； ②以B为圆心任意长为半径画弧，分别交和于C，D两点（点D位于的左侧），再以A为圆心，相同的长度为半径画弧，交于点E（点E位于点A上方）； ③以E为圆心，的长为半径画弧，交弧于点F（点F位于左侧）； ④作直线. 结论：直线即为所求作平行线. (1)请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）； (2)并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据： ∵________， ∴.__________. 4．下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程. 已知:(如图1),求作:一个角,使它等于. 作法:如图2: ①在的两边上分别任取一点A,B; ②以点A为圆心,OA为半径画弧;以点B为圆心,OB为半径画弧;两弧交于点C; ③连接AC,BC. 所以即为所求作的角. 请根据小明设计的尺规作图过程, （1）使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹) （2）完成下列证明. 证明:连接AB, ,________,________, (________)(填推理依据). . 5 .已知：如图1，在中，．求作：射线，使得． 下面是小明设计的尺规作图过程． 作法：如图2， ①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于，两点； ②以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点； ③以点为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点； ④作射线．所以射线就是所求作的射线． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接，． ，，． __________， __________， （__________）（填推理的依据）． 题型3 利用边边边公理证明线段相等、角相等 例3．如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：. 名师支招 1.构造全等三角形 2.应用全等判定条件判定全等 3.得出结论 由全等三角形的性质可知，对应角相等（如∠B = ∠B'，∠C = ∠C'），对应边相等（如AB = A'B'），从而完成边边边定理的证明. 变式训练3 1．如图,点B,E,C,F在一条直线上,,,, (1)求证： (2)若,,求的度数 2．如图，已知，，.求证：. 3．如图，，相交于点O，且，.求证：. 4．如图，在四边形ABCD中，已知,，判断与的关系，并说明理由. 5．如图，.求证：. 易错易混诠释 1.条件混淆 必须严格满足 三边对应相等 ，仅两边相等或两边加一角（非夹角）无法判定全等。 常见错误：误将“两边及夹角”（SAS）与“三边”（SSS）混淆。 针对训练1 1．如图所示，是三边各不相等的三角形，，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与全等，这样的三角形最多可以画( ) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 2．如图,点B,C,D,E在同一直线上,,,.求证：. 2.书写格式错误 全等符号使用不当，如“ABC≌DEF”需明确对应顶点，且需完整书写三边条件（如“AB=DE，AC=DF，BC=EF”）。 针对训练2 1．如图,点B,C,F,E在同一条直线上,,,.求证：. 2．在①；②这两个条件中任选一个作为题目条件,补充在下面的横线上,并加以解答. 如图,点A、F、C、D在同一直线上,,,__________.(填序号) 求证：. 3.实际应用问题 在动态几何问题中，需准确画出或测量三边长度，避免因作图误差导致条件不符。 部分题目可能涉及隐含条件（如中点连线、对称图形等），需结合图形分析三边关系。 针对训练3 1．中国现役的第五代隐形战斗机歼-20的机翼如图，为适应空气动力的要求，两个翼角，必须相等. （1）实际制造中，工作人员只需用刻度尺测量，就能满足要求，说明理由； （2）若，，求的度数. 2．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上的三角形叫格点三角形.除格点外，在网格中可画出与全等的格点三角形共有_____________个. 创新拓展能力提升 1．如图，，E，F是AC上的两个动点，且. （1）若E，F运动至图1所示的位置，且，试说明：. （2）若E，F运动至图2所示的位置，仍有，则还成立吗？请说明理由. （3）若E，F不重合，且，则AD和CB平行吗？请说明理由. 2．如图，已知：A、F、C、D在同一条直线上，，，. 求证：（1）； （2）. 3．如图，点C、E、B、F在同一条直线上，，，.试说明：. 学科网（北京）股份有限公司 $$