1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（讲义）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（暑假高一升高二衔接）

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 知识梳理 1、 空间中点、直线和平面的向量表示 空间图形 向量表示 图形表示 点 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量. 直线 点A是直线l上的一个点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 平面 取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使，这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 平面 的法 向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 . 【注】①在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量． ②一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量． ③已知一平面内两条相交直线的方向向量，就可求出该平面的一个法向量． 典例剖析 【考点一 直线方向向量、平面的法向量的概念与求解】 【归纳总结】确定平面的法向量的两种方法 1.方法1：几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； 2.方法2：几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 1．（24宁夏吴忠市高二上期中）已知为平行四边形外的一点，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量为 C．与夹角的正弦值为 D．平面的一个法向量为 【变式】（24天津弘毅高二上期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 2．（24山东高二上联考）如图，四棱柱为正方体． ①直线的一个方向向量为；      ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为；      ④平面的一个法向量为． 则上述结论正确的是 .（填序号） 3．在空间直角坐标系中，若平面经过点，且是平面的一个法向量.若点为平面内的一点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式】如图，在长方体中，是上一点，以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，若平面的一个法向量为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24安徽芜湖高二上期中）已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D．    5．（24福建南安高二上月考）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25吉林长春高三下模拟）结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 知识梳理 二、空间中平行关系的证明（向量法） 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． 1. 线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． 2. 线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： (1) 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.【最常用】 设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． (2) 证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线． 在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． (3) 证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． 3.面面平行 （1）由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． （2）若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)． 典例剖析 【考点二 向量法证明空间中的平行】 【归纳总结】向量法证明平行关系 位置关系 向量表示 图形表示 线线平行 设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 线面平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 面面平行 设n1，n2分别是不重合的平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 【题型一 线线平行】 6．（24北京怀柔高二上期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 7．（25北京东城区高一下期末）如图，正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，为棱上一动点，点为棱上一点，且满足.求证：； 【变式】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 【题型二 线面平行】 8．（25上海宝山高二下月考）设直线l的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（25河南周口高二下联考）已知平面的法向量为，直线l在平面外，且方向向量，则直线l与平面的位置关系为 ． 10．（25内蒙古高三下模拟）如图，棱长为2的正方体，为底面的中心，为侧面的中心，求证：平面    【变式】如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【题型三 面面平行】 11．（25江苏阜宁高二下期中）已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 12．（25重庆学业水平测试）如图，已知正四棱柱 的底面边长为 2，侧棱长为 4，点 ， 分别为 的中点，求证：平面 平面 知识梳理 三、空间中垂直关系的证明（向量法） 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． 1. 线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． 2. 线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． 3. 面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 典例剖析 【考点三 向量法证明空间中的垂直】 【归纳总结】向量法证明垂直关系 位置关系 向量表示 图形表示 线线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 线面垂直 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 面面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β ⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 【题型一 线线垂直】 13．（24北京密云高二上期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．  B．  C．   D．   【题型二 线面垂直】 14．（25江苏常州高二下月考）已知点，点，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 15．（25全国高考一卷）（多选）在正三棱柱中，D为BC中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【题型三 面面垂直】 16．（24湖南邵阳高二上期中）（多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 17．（24山东菏泽高二上月考）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【考点四 平行、垂直有关的存在性问题】 18．（24重庆渝东九校高二上期中联考）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点. (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.          19．（24浙江诸暨高二上期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 20．（24重庆育才高二上月考）如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．2 【变式】（24四川攀枝花高二上联考）如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 第 2 页 共 22 页 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 知识梳理 1、 空间中点、直线和平面的向量表示 空间图形 向量表示 图形表示 点 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量. 直线 点A是直线l上的一个点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 平面 取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使，这个式子称为空间平面ABC的向量表示式. 平面 的法 向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 . 【注】①在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量． ②一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量 ③已知一平面内两条相交直线的方向向量，就可求出该平面的一个法向量． 典例剖析 【考点一 直线方向向量、平面的法向量的概念与求解】 【归纳总结】确定平面的法向量的两种方法 1.方法1：几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； 2.方法2：几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为； （ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，； （iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． 1．（24宁夏吴忠市高二上期中）已知为平行四边形外的一点，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量为 C．与夹角的正弦值为 D．平面的一个法向量为 【答案】C 【分析】利用向量共线的坐标关系，夹角公式及法向量的特点可以判断选项. 【详解】对于A，因为，，所以， 因为，所以与不是共线向量，A不正确； 对于B，，所以与同向的单位向量为，B不正确； 对于C，，,所以， 所以与夹角的正弦值为，C正确； 对于D，，因为，所以平面的一个法向量一定不是，D不正确. 故选：C 【变式】（24天津弘毅高二上期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 【答案】C 【分析】A选项，求出，设，无解，A错误；B选项，利用进行求解；C选项，计算出，得到垂直关系，进而得到C正确；D选项，求出，利用夹角余弦公式得到D错误. 【详解】A选项，，设， 则，无解，故与不是共线向量，A错误； B选项，的单位向量为，B错误； C选项，由于， ， 与均垂直，又由A知，与不共线， 故平面ABC的一个法向量是，C正确； D选项，， 设与夹角为，则，D错误. 故选：C 2．（24山东高二上联考）如图，四棱柱为正方体． ①直线的一个方向向量为；      ②直线的一个方向向量为； ③平面的一个法向量为；      ④平面的一个法向量为． 则上述结论正确的是 .（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量的定义，结合空间直角坐标系和正方体的性质即可一一判断. 【详解】不妨设正方体的棱长为1，则按照图中坐标系可知， 于是，,故① ，② 正确； 因平面，而， 故 可作为平面的法向量，即③正确； 在正方体中，因平面,平面， 则，易得，又，故平面， 而，即可作为平面的法向量，故④错误. 故答案为：①②③. 3．在空间直角坐标系中，若平面经过点，且是平面的一个法向量.若点为平面内的一点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据法向量定义以及向量垂直的坐标表示可得，联立解方程组即可得结果. 【详解】易知， 依题意，即， 联立，解得， 所以点. 故选：B 【变式】如图，在长方体中，是上一点，以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，若平面的一个法向量为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设，结合即可求解. 【详解】设，又，则，依题意，解得，所以. 故选：A 4．（24安徽芜湖高二上期中）已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D．    【答案】A 【分析】令，求出，设出平面的一个法向量，利用空间向量数量积的运算律列式求解. 【详解】在平行六面体， 令，则， 设平面的法向量，而， 则，整理得，令，得， 所以平面的一个法向量为. 故选：A 5．（24福建南安高二上月考）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意类比可得答案. 【详解】根据题意进行类比，在空间任取一点，则， 平面的法向量为，， 所以该平面的方程为. 故选：B 【变式】（25吉林长春高三下模拟）结合以下材料：“在空间直角坐标系O-xyz中，过点且一个法向量为的平面的方程为.”解决问题：在空间直角坐标系O-xyz中，若直线l是两平面与的交线，则直线l的方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量. 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 故选：A. 知识梳理 二、空间中平行关系的证明（向量法） 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． 1. 线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． 2. 线面平行 线面平行的判定方法一般有三种： (1) 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.【最常用】 设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． (2) 证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线． 在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． (3) 证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． 3.面面平行 （1）由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． （2）若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 设平面α的法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)． 典例剖析 【考点二 向量法证明空间中的平行】 【归纳总结】向量法证明平行关系 位置关系 向量表示 图形表示 线线平行 设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 线面平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 面面平行 设n1，n2分别是不重合的平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2. 【题型一 线线平行】 6．（24北京怀柔高二上期末）已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得，设，列方程求. 【详解】因为直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，， 所以，设， 则， 所以，. 故选：A. 7．（25北京东城区高一下期末）如图，正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，为棱上一动点，点为棱上一点，且满足. (1)求证：； 【答案】(1)证明见详解 【分析】根据正四棱柱性质得出对面平行及面面平行的性质推出线线平行． 【详解】（1）以为原点，分别以所在直线为轴，如图所示建立空间直角坐标系． 则，． . ∴ = ∴ ∥ ∴ 【变式】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算求出，再根据共线向量证明即可. 【详解】证明：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)， ∴=(1，0，1)，=(-1，1，0)，设=(a，b，c)， 则即取=(1，1，-1). 易知， ∴ ， ∴， 即PQ∥BD1. 【点睛】本题主要考查了空间向量垂直关系的坐标运算，向量平行的坐标表示，属于中档题. 【题型二 线面平行】 8．（25上海宝山高二下月考）设直线l的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据线面平行时直线的方向向量和法向量的位置关系判断. 【详解】当时，直线或直线在平面上，故充分性不成立， 当时，则必有，必要性成立， 故是的必要不充分条件. 故选：B. 9．（25河南周口高二下联考）已知平面的法向量为，直线l在平面外，且方向向量，则直线l与平面的位置关系为 ． 【答案】 【分析】根据空间向量法计算法向量及方向向量垂直得出线面平行即可. 【详解】因为， 所以，所以或． 因为，所以． 故答案为：． 10．（25内蒙古高三下模拟）如图，棱长为2的正方体，为底面的中心，为侧面的中心，求证：平面    【答案】见解析 【分析】运用空间向量法计算证明来判断AB，先求关于平面对称点，运用余弦定理计算判定C,将三棱锥转化为用正方体模型求外接球体积，判断D. 【详解】对于A，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 已知正方体棱长为，则各点坐标为：，，，，. 可得. 设平面的法向量为，，. 由，即，令，解得，，所以. 因为，所以，又平面，所以平面.    【变式】如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】以点H为原点，建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量为，求得，得到，进而证得平面； 【详解】证明：如图， 因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 【题型三 面面平行】 11．（25江苏阜宁高二下期中）已知平面的法向量为，，平面的法向量为，若，则（    ） A．最大值为2 B．最大值为 C．最小值为 D．最小值为2 【答案】B 【分析】根据，可得，则，进而可求出的关系及符号，再利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 则存在唯一实数，使得， 即， 所以，所以， 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：B. 12．（25重庆学业水平测试）如图，已知正四棱柱 的底面边长为 2，侧棱长为 4，点 ， 分别为 的中点，求证：平面 平面 【答案】见解析 【分析】建立空间直角坐标系，通过空间向量的数量积运算可以判断 如图，以D为坐标原点，所在方向分别为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为，， 所以，令，则. 设平面的法向量为，， 所以，令，则. 所以，所以平面平面，故B正确； 知识梳理 三、空间中垂直关系的证明（向量法） 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． 1. 线线垂直 设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． 2. 线面垂直 ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． 3. 面面垂直 ①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直． ②证明两个平面的法向量互相垂直． 典例剖析 【考点三 向量法证明空间中的垂直】 【归纳总结】向量法证明垂直关系 位置关系 向量表示 图形表示 线线垂直 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 线面垂直 设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 面面垂直 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β ⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 【题型一 线线垂直】 13．（24北京密云高二上期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【分析】通过建立空间直角坐标系，对于每个选项，先确定相关点的坐标，进而得到向量与的坐标，再计算它们的数量积进行判断. 【详解】对于选项A，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，. 因为，根据向量垂直的性质可知，即满足，故A正确. 对于选项B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，.则与不垂直.故B错误. 对于选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，.则.则与不垂直.故C错误. 对于选项D，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，则.则与不垂直.故D错误. 故选：A. 【题型二 线面垂直】 14．（25江苏常州高二下月考）已知点，点，平面的一个法向量为，则直线与平面的关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【分析】根据平面的法向量与直线的方向向量的关系即可求解. 【详解】因为直线l经过点， 所以，又因为平面的一个法向量为， 且，所以平面的一个法向量与直线l的方向向量平行， 则，； 故选：A. 15．（25全国高考一卷）（多选）在正三棱柱中，D为BC中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 【题型三 面面垂直】 16．（24湖南邵阳高二上期中）（多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 B．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则 D．直线l的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】AC 【分析】判断法向量与直线的方向向量是否共线可判断BD的正误，计算出法向量与法向量的数量积后可判断C的正误，判断出两直线的方向向量是否共线可判断A的正误. 【详解】对于A，因为，所以直线，的方向向量共线，故，故A正确； 对于B，因为，所以不共线，故不成立，故B错误； 对于C，因为，所以，故，故C正确； 对于D，因为，所以共线，所以，故D错误； 故选：AC． 17．（24山东菏泽高二上月考）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可； （2）证明两平面的法向量垂直即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. （2）设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为，所以， 所以平面平面. 【考点四 平行、垂直有关的存在性问题】 18．（24重庆渝东九校高二上期中联考）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点. (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由.          【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到，再由中位线的性质得到，然后由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立如图所示坐标系，平面的法向量，利用解出即可； 【详解】（1）    取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2）    作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以 所以存在点N，使得平面ADM，. 19．（24浙江诸暨高二上期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由条件证明，，结合线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，求向量，的坐标，由条件列方程求即可. 【详解】（1）在三棱柱中，底面，平面， ， ，为的中点， ， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，， 设，则，，， 若，则，解得， 所以存在，使得直线，此时. 20．（24重庆育才高二上月考）如图，已知正方体的棱长为2，、分别为线段、的中点，若点为正方体表面上一动点，且满足平面，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，从而得到⊥平面，从而点在线段上时，满足平面，点的轨迹长度为. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 则， 故， 所以， 又，平面， 所以⊥平面， 故当点在线段上时，满足平面， 点的轨迹长度为. 故选：B 【变式】（24四川攀枝花高二上联考）如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决.建立空间直角坐标系，设出的坐标，利用求得关系式，写出的表达式，然后利用二次函数求最值即可. 【详解】在直三棱柱中，底面， 以点为坐标原点，，、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点、， ，， 由于，则，可得， ，则， . 故选：C. 第 2 页 共 22 页 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $$