第1讲 一元二次方程及其解法 讲义 2025--2026学年人教版七年级数学上册

第1讲 一元二次方程及其解法 板块一 追根溯源————一元二次方程的根 典 例 精 讲 题型一 逢解必代——定义法 【例1】若x=0是一元二次方程( 的一个根，则m 的值为 . 题型二 逢解必代——整体法 【例2】 若x=a 是方程 的一个根，则 的值为 . 题型三 逢解必代——消参法 【例3】若关于x的方程 的两根为2和-3，则 的值为 . 题型四 逢解必代——降次法 【例4】已知m 是方程 的一个根，则代数式 的值为 . 题型五 逢解必代———换元法 【例5】关于x 的一元二次方程。 的两个根分别为 则关于x的方程. 的两个根分别是 . 实 战 演 练 题型六 含参定根———与参无关 1.关于x的一元二次方程 必有一根为 . 题型七 含参定根————比较系数 2.关于x的一元二次方程 当4a+c=2b时，该方程一定有一根为 . 题型八 公共根——设根消参 3. 已知关于x的两个方程. 和 有且只有一个相同的根，则m 的值为 学科网（北京）股份有限公司 板块二 解一元二次方程 典 例 精 讲 题型一 用适当的方法解方程 【例】用适当的方法解下列方程： (4)x(3x-6)=(x-2)². 实 战 演 练 题型二 解含参方程 1.解下列关于x的方程： (4)mx²-(3m-2)x+2m-2=0(m≠0). 2.已知关于x 的一元二次方程 的一个根为m.若2<m<3,求 a 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 板块三 可化为一元二次方程的方程 典 例 精 讲 题型一 换元破解复合方程 【例1】已知实数x 满足 求 的值. 题型二 分类讨论绝对值方程 【例2】阅读材料：解方程 解：(1)当x≥0时，原方程化为 解得 (不合题意，舍去)； (2)当x<0时，原方程化为 解得 (不合题意，舍去)， ∴原方程的根是 请参照例题解方程 实 战 演 练 题型三 降次化解高次方程 1.“解方程 这是一个一元四次方程(也称双偶次方程)，根据该方程的特点，它的解法通常是：设 那么 于是原方程可化为 ，解这个方程，得 .当y=1时,x²=1,∴x=±1;当y=5时,. 所以原方程有四个根： (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到降次的目的，体现了转化的数学思想； (2)按上面的思路，请解方程( 题型四 升次突破无理方程 2.方程 的解为 . 学科网（北京）股份有限公司 板块四 配方法的应用(一)求值及比大小 方法技巧 ①配方为非负数的和为0，然后求值；②比大小，先作差，再配方. 典 例 精 讲 题型一 配方求值 【例1】已知 解方程 题型二 单配方比大小 【例2】已知M=m²-2m,N=6m-25(m为任意实数),则M,N 的大小关系为( ) A. M<N B. M>N C. M=N D.不能确定 题型三 双配方比大小 【例3】 若 则A，B的大小关系为() A. A>B B. A<B C. A≥B D. A≤B 实 战 演 练 1.已知 求 的值. 2.已知a，b满足等式 试比较x，y的大小. 学科网（北京）股份有限公司 板块五 配方法的应用(二)求最值 典 例 精讲 题型一 单变量单配方 【例1】 (2023 广东)多项式 的最小值是 . 题型二 双变量双配方 【例2】不论x，y为何实数，代数式 的值() A.总不小于1 B.总不大于1 C.总不小于6 D.可为任何实数 【例3】求代数式 的最小值. 实 战 演 练 题型三 双变量先消元，再配方 1.(2023江苏)已知 则 的最大值是() A.-2 B.2 C.4 D.6 题型四 双变量三配方 2.当x= ,y= 时,代数式 的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$