2026届高三数学一轮复习优生加练22：函数中的构造问题

第22练　函数中的构造问题 1.出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x). 2.出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=. 3.出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x). 4.出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=. 5.出现 f'(x)sin x+f(x)cos x形式,构造函数F(x)=f(x)sin x. 6.出现形式,构造函数F(x)=. 一、单项选择题(每小题5分,共20分) 1.(2024·苏州四校联考)设a=eπ,b=2π,c=πe(e为自然对数的底数),则(　　) A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a 2.(2025·九江模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20,且f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)>6x2+2,则不等式f(x)>2x3+2x的解集为(　　) A.{x|x>-2} B.{x|x>2} C.{x|x<2} D.{x|x<-2或x>2} 3.已知α,β∈且αsin α-βsin β>0,则下列结论正确的是(　　) A.α3>β3 B.α+β>0 C.|α|<|β| D.|α|>|β| 4.(2024·石家庄模拟)已知a,b,c∈(1,+∞)===则下列大小关系正确的是(　　) A.c>b>a B.a>b>c C.b>c>a D.c>a>b 二、多项选择题(每小题6分,共12分) 5.(2024·福州联考)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0,则下列结论正确的是(　　) A.f(2)-ln 2>f(1) B.f(4)-f(2)>ln 2 C.f(2)+ln 2>f(e)+1 D.f(e2)-f(e)>1 6.(2025·保定模拟)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),导函数为f'(x),满足xf'(x)-f(x)=(x-1)ex(e为自然对数的底数),且f(1)=0,则(　　) A.3f(2)>2f(3) B.f(1)<f(2)<f(e) C.f(x)在x=1处取得极小值 D.f(x)无极大值 三、填空题(每小题5分,共10分) 7.(2024·晋中统考)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数为f'(x),若f(1)=4,且f'(x)-2x<3对任意的x∈R恒成立,则不等式f(2x-3)<2x(2x-3)的解集为　　　　.  8.已知函数f(x)定义在上,f'(x)是它的导函数,且恒有f(x)<f'(x)tan x成立,又知f=则关于x的不等式f(x)>sin x的解集是　　　　　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22练　函数中的构造问题 (分值：42分) 1.出现nf(x)+xf'(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x). 2.出现xf'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=. 3.出现f'(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x). 4.出现f'(x)-nf(x)形式,构造函数F(x)=. 5.出现 f'(x)sin x+f(x)cos x形式,构造函数F(x)=f(x)sin x. 6.出现形式,构造函数F(x)=. 一、单项选择题(每小题5分,共20分) 1.(2024·苏州四校联考)设a=eπ,b=2π,c=πe(e为自然对数的底数),则(　　) A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a 答案　C 解析　设函数f(x)=则f'(x)= ∴当x>e时,f'(x)<0, ∴函数f(x)=在[e,+∞)上单调递减, ∴>即eπ>πe,∴a>c, 又πe>=92π<=88<9 ∴πe>2π,即c>b, ∴a>c>b. 2.(2025·九江模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20,且f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)>6x2+2,则不等式f(x)>2x3+2x的解集为(　　) A.{x|x>-2} B.{x|x>2} C.{x|x<2} D.{x|x<-2或x>2} 答案　B 解析　令g(x)=f(x)-2x3-2x,因为f'(x)>6x2+2,则g'(x)=f'(x)-6x2-2>0,即g(x)在R上为增函数, 因为g(2)=f(2)-2×23-2×2=0,则不等式f(x)>2x3+2x等价于g(x)>g(2),解得x>2,所以原不等式的解集为{x|x>2}. 3.已知α,β∈且αsin α-βsin β>0,则下列结论正确的是(　　) A.α3>β3 B.α+β>0 C.|α|<|β| D.|α|>|β| 答案　D 解析　令f(x)=xsin x,x∈ 则f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x), 则f(x)为偶函数, 又f'(x)=sin x+xcos x, 当x∈时,f'(x)≥0, 所以f(x)在区间上单调递增, f(x)在区间上单调递减. 又αsin α-βsin β>0,即f(α)>f(β), 所以|α|>|β|. 4.(2024·石家庄模拟)已知a,b,c∈(1,+∞)===则下列大小关系正确的是(　　) A.c>b>a B.a>b>c C.b>c>a D.c>a>b 答案　B 解析　设f(x)=xln x(x>1), g(x)=(18-x)ln x(x≥10), 因为=== 所以aln a=8ln 10,bln b=7ln 11,cln c=6ln 12, 即f(a)=g(10),f(b)=g(11),f(c)=g(12), g'(x)=(18-x)'ln x+(18-x)(ln x)' =-ln x+-1, 令h(x)=g'(x)=-ln x+-1(x≥10), 则h'(x)=--<0,g'(x)在[10,+∞)上单调递减, 所以g'(x)≤g'(10)<0,所以g(x)在[10,+∞)上单调递减, 所以g(10)>g(11)>g(12), 即f(a)>f(b)>f(c), f'(x)=ln x+1,当x>1时,f'(x)>0, 所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以a>b>c. 二、多项选择题(每小题6分,共12分) 5.(2024·福州联考)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0,则下列结论正确的是(　　) A.f(2)-ln 2>f(1) B.f(4)-f(2)>ln 2 C.f(2)+ln 2>f(e)+1 D.f(e2)-f(e)>1 答案　ABD 解析　构造函数g(x)=f(x)-ln x,x>0, 则g'(x)=f'(x)-= 因为xf'(x)-1>0, 所以g'(x)>0, 故g(x)是增函数, 由g(2)>g(1)得,f(2)-ln 2>f(1)-ln 1, 即f(2)-ln 2>f(1),故A正确； 由g(4)>g(2)得,f(4)-ln 4>f(2)-ln 2, 即f(4)-f(2)>ln 4-ln 2=ln 2,故B正确； 由g(e)>g(2)得,f(e)-ln e>f(2)-ln 2, 即f(e)+ln 2>f(2)+1,故C错误； 由g(e2)>g(e)得,f(e2)-ln e2>f(e)-ln e, 即f(e2)-2>f(e)-1, 即f(e2)-f(e)>1,故D正确. 6.(2025·保定模拟)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),导函数为f'(x),满足xf'(x)-f(x)=(x-1)ex(e为自然对数的底数),且f(1)=0,则(　　) A.3f(2)>2f(3) B.f(1)<f(2)<f(e) C.f(x)在x=1处取得极小值 D.f(x)无极大值 答案　BCD 解析　设g(x)=(x>0), 则g'(x)===', 可设g(x)=+c, 则g(1)=e+c=0, 解得c=-e, 故g(x)=-e, 即f(x)=ex-ex,x>0, 令g'(x)>0,则x>1, 故g(x)在(1,+∞)上单调递增, 所以g(2)<g(3),即< 则3f(2)<2f(3),故A错误； 令f'(x)=ex-e>0,得x>1, 令f'(x)=ex-e<0,得0<x<1, 则f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以f(1)<f(2)<f(e),f(x)在x=1处取得极小值,无极大值,故B,C,D均正确. 三、填空题(每小题5分,共10分) 7.(2024·晋中统考)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数为f'(x),若f(1)=4,且f'(x)-2x<3对任意的x∈R恒成立,则不等式f(2x-3)<2x(2x-3)的解集为　　　　.  答案　(2,+∞) 解析　令g(x)=f(x)-x2-3x, 则g'(x)=f'(x)-2x-3<0在R上恒成立, 所以g(x)是减函数. 又f(2x-3)<2x(2x-3), 即f(2x-3)-(2x-3)2-3(2x-3)<0, 又f(1)-12-3×1=0, 即g(2x-3)<g(1), 所以2x-3>1,解得x>2, 所以不等式f(2x-3)<2x(2x-3)的解集为(2,+∞). 8.已知函数f(x)定义在上,f'(x)是它的导函数,且恒有f(x)<f'(x)tan x成立,又知f=则关于x的不等式f(x)>sin x的解集是　　　　　　　　. 答案　 解析　∵f(x)<f'(x)tan x, ∴f'(x)sin x-f(x)cos x>0,x∈ 令g(x)=x∈ ∴g'(x)=>0, ∴g(x)在上为增函数, 由f(x)>sin x,得>1= 即g(x)>g∴x> 又0<x<∴<x< ∴不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$