2.1.2两条直线平行和垂直的判定 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.1.2两条直线平行和垂直的判定 一、单选题 1．过点和点的直线与直线的位置关系是（ ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 2．“”是“两直线和互相平行”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（   ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 4．设，则“”是 “方程与有公共解”的（     ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，三点，且有一点D满足，，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 6．已知直线与直线互相平行，则实数的值为（   ） A． B．2或 C．2 D． 7．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则＝（　　） A． B．－ C． D．－ 二、多选题 8．已知直线，，，则下列结论正确的是（    ） A．直线l恒过定点 B．当m＝1时，直线l的倾斜角为 C．当m＝0时，直线l的斜率不存在 D．当m＝2时，直线l与直线AB垂直 9．设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 三、填空题 11．若直线，且直线的倾斜角为，则直线的斜率为 ． 12．已知集合、，若，则 ． 13．已知直线过点，直线过点，若直线，则 ． 14．以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为 ． 15．已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，其中为正数，若，则的最小值为 ． 四、解答题 16．判断下列两条直线是否垂直． (1)直线的斜率为，直线经过点，； (2)直线经过点，，直线经过点，； (3)直线的法向量为，直线的法向量为． 17．直线经过，，直线经过点，． (1)若，求m的值； (2)若，求m的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】根据坐标可知直线斜率不存在，得出直线的方程，进而得出两直线的位置关系. 【详解】由题意点和点， 所以直线斜率不存在，且直线的方程为， 所以直线与直线垂直. 故选：D. 2．A 【分析】根据两直线平行的条件求解出的值，即可做出推断. 【详解】由两直线和互相平行得，解得， 所以“”是“两直线和互相平行”的充要条件； 故选：A. 3．A 【分析】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合. 故选：A 4．A 【分析】求出两方程有公共解的充要条件是，再判断即可. 【详解】与有公共解即两条直线相交或重合， 当两直线相交时，，即， 当，显然两直线平行，不合题意， 所以“方程与有公共解”等价成， 由于是的充分不必要条件， 故选：A. 5．D 【分析】设，根据平行、垂直关系列式求解即可. 【详解】由题意可知：，， 若，，可知直线的斜率存在， 设，则，， 则，即，解得，即． 故选：D. 6．D 【分析】根据两直线平行得到，求出的值，再代入检验即可. 【详解】因为直线与直线互相平行， 所以，解得或， 当时，两直线重合，不符合题意，故舍去； 当时，直线与直线互相平行，符合题意； . 故选：D 7．C 【分析】根据直线的垂直关系，可求得垂直直线的斜率；由斜率与倾斜角关系，结合同角三角函数关系式中齐次式化简方法可求得式子的值． 【详解】直线的斜率为，因此与此直线垂直的直线的斜率， ， ∴， 把代入得， 原式. 故选：C． 8．BD 【分析】对于选项A，将代入，即可求得定点坐标；对于选项B、C、D，分别将m＝1、m＝0、m＝2代入，求斜率、倾斜角和判断两条直线垂直即可． 【详解】对于选项A，直线，令，解得直线l恒过定点，选项A错误； 对于选项B，当m＝1时，设直线l的方程为，斜率为，倾斜角为，选项B正确； 对于选项C，当m＝0时，直线l的方程化为，斜率为，斜率存在，选项C错误； 对于选项D，当m＝2时，直线，所以． 由，，可得，得， 所以直线l与直线AB垂直，选项D正确． 故选：BD． 9．ABD 【分析】求相应直线的斜率，结合平行、垂直关系逐项分析判断. 【详解】由题意可得：，，，，， 因为，可知，故A正确； 因为，可知，故B正确； 因为，可知PS与QS不平行，故C错误； 因为，可知，故D正确； 故选：ABD. 10．BCD 【分析】根据直线斜率之积为判断ABC，再由方向向量垂直的数量积表示判断D. 【详解】对A，，，，所以A不正确； 对B，，，故B正确； 对C，，，，故C正确； 对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确. 故选：BCD 11． 【分析】根据倾斜角和斜率的关系求得正确答案. 【详解】由题得直线与的倾斜角相等， 直线的倾斜角为，则直线的斜率为． 故答案为： 12．1 【分析】即两图像没有交点，即两直线平行. 【详解】依题知两直线平行，则，解得， 经验证时，两直线不重合，所以. 故答案为：1 13． 【分析】根据题意，由条件可得，代入计算，即可求解. 【详解】由题得，即，解得． 故答案为： 14．A 【分析】利用斜率公式计算AB,AC的斜率，通过计算从而可得，从而得解. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以，所以以A点为直角顶点的直角三角形， 故答案为：A. 15． 【分析】两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒得到等式，再结合基本不等式计算即可. 【详解】依题意，两直线垂直，则两直线的方向向量垂直，其数量积为零﹒ 可得，即，所以， 由得．当且仅当取等号. 故答案为：. 16．(1)垂直 (2)垂直 (3)垂直 【分析】（1）根据斜率关系判断两直线是否垂直； （2）根据斜率关系判断两直线是否垂直； （3）根据法向量关系判断两直线是否垂直. 【详解】（1）直线的斜率，直线的斜率，因为，所以与垂直． （2）直线的斜率不存在，故与轴垂直，直线的斜率为0，故直线与轴平行，所以与垂直． （3）因为，所以与的法向量垂直，所以与垂直． 17．(1)或 (2)或 【分析】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【详解】（1）由题知直线的斜率存在且， 若，则直线的斜率也存在，由， 得，解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时， 此时，斜率存在，不符合题意； 当时，直线的斜率存在且不为0， 则直线的斜率也存在，且， 即， 解得或， 所以当或时，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$