大家好，今天我们学习第28章锐角三角函数第一课时。学习目标，一、理解正弦函数的概念，掌握正弦函数的表示方法。2、会根据直角三角形的边长求一个锐角的正弦值，并且能利用正弦求直角三角形的边长。3、经历正弦函数概念的形成过程，培养从特殊到一般的归纳能力以及数形结合的思想方法，提升数学思维能力。我们首先来看以下两道题目，如图一，在RT3角形ABC中，角A等于30度，BC等于1厘米。根据在直角三角形中30度的角所对的直角边等于斜边的一半，得到AB等于2厘米。然后根据勾股定理得ac等于根号3厘米。如图2，在RT3角形ABC中，角C等于90度，角A等于45度，BC等于1厘米，则AC等于1厘米，AB等于根号2厘米，你做对了吗？这两道题中涉及到的图形是我们数学中常用的特殊的直角三角形。一含有30度的直角三角形。二含有45度的直角三角形。它们的边长之间都有特殊的关系。下面我们来看问题。为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌。现测得斜坡与水平面所成角的度数为30度，为使出水口的高度为35米，那么需要准备多长的水管？根据题意，我们将这幅图抽象成直角三角形ABC斜坡与水平面的夹角30度，即图中的角A为30度，出水口的高度为35米，即BC为35米，这道题就转化成了在RT3角形ABC中，角C等于90度，角A等于30度，BC等于35米，求AB的长。不难发现，根据以前我们所学，在直角三角形中，30度角所对的边等于斜边的一半，即角A的对边，也就是BC与斜边AB的比值等于1比2。那么AB的长度就是二倍的BC等于70米，也就是说需要准备70米长的水管。请同学们思考，在前面的问题中，如果出水口的高度为50米，那么需要准备多长的水管呢？在上面的问题中我们用到了结论，在直角三角形中，锐角等于30度。那么无论这个三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于1比2。那么出水口的高度为50米，即30度的角角A的对边BC为50米。那么AB的长度就等于二倍的BC等于100米，也就是说需要准备100米长的水管。思考，如图，任意画一个RT3角形ABC是角C等于90度，角A等于45度，计算角A的对边与斜边的比BC比AB由此你能得出什么结论呢？如图，在RT3角形ABC中，角C等于90度。因为角A等于45度，所以RT3角形ABC是一个等腰直角三角形。由勾股定理可知，两条直角边的平方和等于斜边的平方，即AB方等于AC方加BC方等于二倍的BC方。两边同时开平方，我们可以得到AB等于根号二倍的BC那么角A的对边与斜边的比BC比AB我们就可以转化成BC比根号二倍的BC经过化简得到二分之根号2。也就是说，在直角三角形中，当一个锐角等于45度时，无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于二分之根号2。综上可知，在直角三角形中，角C等于90度，当角A等于30度时，角A的对边与斜边的比等于1比2是1个固定值。当角A等于45度时，角A的对边与斜边的比都等于根号2比2也是一个固定值。请同学们思考，当角A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？我们一起来探究，请同学们任意画RT3角形ABC和RT3角形A撇B撇C撇，使它们满足角C等于角C撇等于90度，角A等于角A撇，那么BC比AB与B撇C撇比A撇B撇有什么关系呢？你能解释吗？不难发现这两个直角三角形由于满足两个角对应相等，所以RT3角形ABC相似于RT3角形A撇B撇、C撇。因此我们可以得到对应边的比相等，即BC比上B撇，C撇等于AB比上A撇B撇。经过恒等变形，我们可以得到BC比AB等于B撇，C撇比上A撇B撇。由于BC比上AB是角A的对边与斜边的比，B撇C撇比A撇B撇是角A撇的对边与斜边的比。由此我们可以得到。在RT3角形中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，角A的对边与斜边的比是一个固定值。所以我们就得到了正弦函数的定义。在直角三角形中，角C等于90度。我们把锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sin a即sin a等于角A的对边比，斜边等于ABC。例如当角A等于30度时，我们就可以得到sine，a等于30度等于2分之1。当角A等于45度时，我们有sin，a等于sin 45度，等于二分之根号2。角A的正弦sine a是随着角A的变化而变化。因此我们说sine a是角A的函数。我们一起来看，例一如图，在RT3角形ABC中，角C等于90度，求sin a和sine b的值。在第一幅图中，可根据勾股定理求出斜边AB的值为五。因此sine a等于角A的对边BC比斜边AB等于3比5，sine b等于角B的对边ac比斜边AB等于4比5。在这里我们既可以读作sin a等于3比5，也可以读作sine a等于5分之3。第二幅图中我们用同样的方法，用勾股定理可求得直角边ac的长度等于12，sine a等于角A的对边BC比斜边AB等于5比13 sin b等于角B的对边ACB斜边AB等于12比13。下面我们一起来判断一下。1 sin a等于BC比AB sine a等于角A的对边BC比斜边AB因此第一个结论是正确的。第二个sine d应该等于角B的对边。由图可知角B的对边。是AC并不是。BC所以第二个结论错误。第三个sine a等于角A的对边，6米比上斜边10米等于0.6。同学们注意6米比10米结果是0.6，不带单位，所以第三个结论是错误的。第四个sin . b根据。勾股定理，我们可以求出AC的长度为8米，所以sine b等于0.8是正确的。如图，在平面直角坐标系中点A的坐标为3到4，那么sine a的值是多少？在这幅图中并没有直角三角形，但是平面直角坐标系的网格给我们提供了思路。我们可以过点A向X轴作垂线，垂足为C不难发现此时我们就构造了直角三角形OAC，OC为三，ac为4。根据勾股定理，OA的长度为五，因此sine阿尔法等于阿尔法的对边比斜边time we say。把RT3角形ABC3边的长都扩大为原来的三倍，则锐角角A的正弦值。不会发生变化。根据前面的探究，我们发现角A的正弦值是角A的函数随着角A的变化而变化，角A的度数不变。那么正弦值不会发生变化，我们一起来巩固提升。在三角形ABC中，角C等于90度，AC等于24米，sin a等于25分之7。求这个三角形的周长。由图可知这个三角形我们只知道其中一条直角边的长度，而另外BC和AB的长都未知。因为题目中已知sin a等于25分之7，也就是角A的对边BC占7份，斜边AB25份。因此我们可以设BC为7X则AB为25X。根据勾股定理，我们可以求得AC的长度。进一步我们可以得到BC7厘米，AB等于25厘米，所以三角形的周长等于三边之和56厘米，你做对了吗？这节课我们学了正弦函数的定义以及它的表示方法。请同学们牢记sine a等于角A的对边比斜边。角A的正弦sine a是随着角A的变化而变化。无论直角三角形的大小如何，角A度数不变，那么它的正弦值就不会发生变化。我们常用的sine 30度等于2分之1，sin 45度等于二分之根号2。感谢大家的聆听。