2026届高三一轮复习——函数与导数（三）：导数的几何意义

高三一轮复习——函数与导数（三）：导数的几何意义（含答案） 1、 知识点思维导图 2、 全国卷高考分析 2025年 2024 2023 2022 2021 1. 全国一卷T12：求参数 1. 新课标Ⅰ卷T13：公切线问题 2. 新课标Ⅱ卷T16：求切线方程 3. 全国甲卷文T7：切线与三角形面积 4. 全国甲卷理T6 1. 全国乙卷文T20：求切线方程 2. 全国乙卷理T21：求切线方程 3. 全国甲卷文T8：求切线方程 1. 新课标Ⅰ卷T15：已知切线数量求参数范围. 2. 新课标Ⅱ卷T14：求切线方程 3. 全国甲卷文T20：公切线问题 4. 全国乙卷理T21：求切线方程 1. 新课标Ⅰ卷T7：已知切线数量确定参数关系 2. 全国乙卷理T13：求切线方程 3. 全国乙卷文T21：求切线方程 从历年高考真题的分布看，导数的几何意义是高频考点，在备考中需要高度重视。在备考中需要强过关，掌握求切线方程，学会求参数的值与范围。 3、 典例学习与过关 例1：（求斜率） （1）函数在处切线的斜率是 ． （2）过点作曲线的切线的斜率为 ． 方法总结：①确定切点坐标，无则设出切点坐标；②求曲线的导数，代入求斜率 “在”——表示有切点坐标；“过”——表示需要设切点坐标 【过关训练】 1.已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为 . 2.分别过点和作曲线的切线，切线的斜率分别为 和 . 例2：（求切线方程） （1）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． （2）函数过点的切线方程为 方法总结：①确定切点坐标，无则设出切点坐标；②求曲线的导数，代入求斜率；③利用点斜式求切线方程： 注意：如果没有切点坐标，设出切点坐标后，利用切点为公共点建立方程求出切点坐标. 【过关训练】 1．已知函数，求在点处的切线方程； 2．已知函数.求曲线在点处的切线方程； 3．过点作曲线的切线，则切线方程是 . 4．已知函数，则曲线经过点的切线方程是 例3：（求切点坐标） （1）已知直线是曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． （2）已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 方法总结：①确定切点坐标，无则设出切点坐标；②求曲线的导数，代入求斜率；③利用题目的斜率和切点为公共点建立方程组求解. 【过关训练】 1．（多选）曲线的一条切线平行于直线，则切点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 2．直线是曲线的一条切线，切点坐标为 ，实数 ． 3．已知函数．直线l为曲线的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标． 例4：（已知切线（斜率）求参数或参数范围） （1）已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． （2）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 方法总结：求值：①设出切点坐标；②求曲线的导数，代入求斜率；③利用题目的斜率和切点为公共点建立方程组求解. 求范围：①设出切点坐标；②求曲线的导数，代入求斜率；③利用题目的斜率和切点为公共点建立方程，转化为方程根的个数问题. 【过关训练】 1．若直线是曲线的切线，则 . 2．已知直线与曲线在处的切线平行，则实数值为 . 3．若曲线上存在垂直于轴的切线，则的范围是 例5：（公切线问题） （1） 已知，若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线， 则 ． （2）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . （3）直线与函数和的图象都相切，则 ． 方法总结：公切线问题一般把两条曲线分开考虑，先分析一条曲线与直线相切，再分析另外一条曲线与直线相切，根据斜率相等，切点为公共点建立方程组，解方程组.公切线问题难点为解方程组. 【过关训练】 1．若曲线与曲线在点处有相同的切线，则 ． 2．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则的值为 ． 3．已知曲线的切线与曲线也相切，若该切线过原点，则 ． 知识点过关测试 一、单选题 1．函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 2．设函数，则曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 3．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（    ） A．3 B．2 C．1 D．3或 4．已知曲线的一条切线的方程为，则实数（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 5．已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象上两点，处的切线互相垂直，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 7．若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可能是（ ） A． B． C． D． 8．已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．若函数在处的切线与直线平行，则实数 . 10．已知函数，过点作函数的切线，则切线方程为 . 11．若点是曲线上的任意一点，则点到直线的最小距离是 . 12．若曲线在处的切线恰好与曲线也相切，则 . 参考答案 例1： （1）3【详解】由题意得，则， 在处切线的斜率. （2）2【详解】，设切点横坐标为，故曲线在处的切线方程为l：，将，代入，得，解得，∴， 【过关训练】 1．/【详解】由题设，则，所以与曲线在点处的切线垂直的直线斜率为.故答案为： 2． ； 【详解】设切点为，由，得所以切线方程为，即， 将代入得，解得，此时过点与曲线相切的切线斜率为， 将代入得，解得，此时过点与曲线相切的切线斜率为. 例2： （1）C【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为，所以，所以所以 所以曲线在点处的切线方程为.故选：C （2）或【详解】由题设，若切点为，则， 所以切线方程为，又切线过，则，解得或， 当时，切线为； 当时，切线为，整理得. 故答案为：或 【过关训练】 1.【详解】，，则，则，且， 则切点，且切线的斜率为，故函数在点处的切线方程为； 2.【详解】，则， 据此可得，函数在处的切线方程为， 即. 3.【详解】由题意可知，当时，，故点不在曲线上， 由可得，过点作曲线的切线，设切点为， 则切线斜率为，则切线方程为， 将坐标代入得：，即，即，则 故切线方程是，即， 4．或.【详解】设切点为对求导得：，切线方程为：， 切线过，解之：或1，所以斜率或， 又过，代入点斜式得切线方程为：或，故答案为：或. 例3： （1）A【详解】设切点坐标为，因为，所以在点处切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即，所以，解得，所以切点为. （2）A【详解】设切点坐标为，由，得，则过切点的切线方程为，把点代入切线方程得，，即， 又，所以，则，则切点坐标为.故选：A 【过关训练】 1．AB【详解】设点，因为，则， 由题意可知：，解得， 当时，，此时点的坐标为； 当时，，此时点的坐标为；故选：AB. 2 0【详解】直线是曲线的一条切线， 设切点坐标为,因为，，则，所以切点为， 故切线为，即，故.故答案为： ；0. 3．【详解】设切点为，则直线l的斜率为， 所以直线l的方程为．又直线l过点， 则，整理得，解得， 所以，直线l的斜率， 所以直线l的方程为，切点坐标为. 例4： （1）D【详解】由题可得，设切点坐标为，则， 所以，，，故D正确. （2）【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 【过关训练】 1．【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得，所以切点坐标为， 因为切点在曲线上，所以，即，解得. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为，则，解得. 2．【详解】由得，所以切线的斜率为， 所以，解得：,故答案为： 3．【详解】由题意函数的定义域， 求导，因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为， 即， 存在零点， 故，即  ,令，，则， 故. 例5： （1）/【详解】由于曲线相交，即有解， 因为，所以，， 设两曲线的交点为，， 因为曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线， 可得，两式相除得， 因为，所以，解得，代，可得，解得． （2）【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. （3）【详解】设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 所以，由可得， 所以，解得，故， 则，故. 【过关训练】 1．2【详解】显然点在曲线上，由求导得， 由求导得， 由曲线与曲线在点处有相同的切线，得， 所以. 2．【详解】由题可得，所以在处的切线斜率， 所以切线方程为，即， 设曲线上的切点为， 则，在处的切线斜率为，且， 解得，所以，则，所以. 3．【详解】因为的导数为，设切点为， 所以切线斜率为， 所以曲线在处的切线过原点，所以，即，所以，切线为， 又切线与曲线相切，设切点为， 因为，所以切线斜率为，解得， 所以，则，解得. 知识点过关测试 1．C【详解】因为，所以.所以，而. 所以切线方程为，即.故选：C. 2．A【详解】因为，则，所以切线斜率为， 故所求切线方程为，该直线交轴于点，交轴于点，因此，切线与两坐标轴围成的三角形面积为.故选：A. 3．A【详解】函数的定义域为，由题得（）. 设切点的横坐标为，则，解得或（舍去）.故选：A. 4．B【详解】与的图象相切，设切点为，则，故， 由，即，将代入上式，得，故.故选：B. 5．C【详解】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为，，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为.故选：C. 6．B【详解】，，， 根据题意，则有， 当时，显然不成立， 所以，若，，不满足题意； 若，则恒成立，解得. 7．ABD【详解】设切线与两曲线与的切点分别为，， 由，得，由，得， 则两切线方程分别为与， 化简得， 又两条切线为同一条，可得，得， 令，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ，∴ 所以实数的取值可能是1，，． 8．AC【详解】设直线与曲线的切点坐标为，与曲线的切点坐标为，直线的方程为，，，直线的方程为， 又，直线的方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程为， 直线为曲线与的公共切线，， 由①得，两边取自然对数，得，， 代入②，得，即，解得或， 当时，，，直线的方程为；当时，，，直线的方程为， 综上，直线的方程为或.故选：AC. 9．1【详解】因为，所以， 依题意可得，即，解得.故答案为：1. 10．【详解】设切点坐标为，则切线的斜率， 故切线方程为，又因为点在切线上，所以，解得，所以切线方程为. 11．【详解】解：设斜率为的直线与曲线相切于点， 因为，所以，令，解得，所以， 所以切线的方程为：，所以要求点到直线的最小距离， 即求切线到直线的距离，由两平行线间的距离公式可得, 所以点到直线的最小距离是.故答案为： 12．【详解】设，，则，， 所以曲线在处的切线方程为，即，设，切点为，，所以，得，，. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$