第2章 第4节 单摆-【创新教程】2025-2026学年高中物理选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教版2019）

第4节　单摆 素养目标 知识图解 物理观念 初步形成单摆的回复力、周期的概念 科学思维 理解单摆振动的特点，利用图像法分析单摆的振动 科学探究 探究单摆的周期与摆长的关系 科学态度与责任 学会观察、判断、分析归纳的学习方法 [基础梳理] [知识点一]　单摆及单摆的回复力　 1．单摆模型 如果细线的　长度　不可改变，细线的　质量　与小球相比可以忽略，球的　直径　与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫作单摆．单摆是实际摆的　理想化　模型． 在单摆模型里，悬线无弹性、不可伸缩、没有质量，小球是质点，单摆是一个理想化的模型． 2．单摆的回复力 (1)回复力的提供：摆球的重力沿　切线　方向的分力，即F＝　mgsin θ　. (2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成　正比　，方向总指向　平衡位置　. (3)运动规律：单摆在偏角很小时做　简谐　运动，其振动图像遵循正弦函数规律． [知识点二]　单摆的周期　 1．影响单摆周期的因素 (1)单摆的周期与　摆球质量　、　振幅　无关． (2)单摆的周期与　摆长　有关，摆长越长，周期　越大　. 2．周期公式 (1)公式：T＝　2π　. (2)单摆的等时性：单摆的周期与振幅无关的性质． [自我检测] 1．思维辨析 (1)单摆回复力的方向总是指向悬挂位置．( × ) (2)单摆的回复力是由摆球重力的分力提供的．( √ ) (3)单摆的振幅越大周期越大．( × ) (4)单摆的周期与摆球的质量无关．( √ ) 2．基础理解 (1)(多选)关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是(　　) A．摆球受重力、摆线的张力作用 B．摆球的回复力最大时，向心力为零 C．摆球的回复力为零时，向心力最大 D．摆球的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大 解析：ABC　[单摆在运动过程中，摆球受重力和摆线的拉力，故A对；重力垂直于摆线的分力提供回复力，当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则摆线拉力小于重力，在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿摆线指向悬点，故D错，B、C对．] (2)(多选)如图所示是一个单摆(θ＜5°)，其周期为T，则下列说法正确的是(　　) A．把摆球的质量增加一倍，其周期不变 B．此摆由O→B运动的时间为 C．摆球由B→O时，动能向势能转化 D．摆球由O→C时，动能向势能转化 解析：ABD　[单摆的周期与摆球的质量无关，A正确；此摆由O→B运动的时间为，B正确；摆球由B→O时，势能转化为动能，由O→C时动能转化为势能，C错误，D正确．] 单摆的回复力 ◆[探究导引] 问题1：(1)生活中，我们经常可见悬挂起来的物体在竖直平面内摆动，这样摆动的装置叫单摆，请举几例！ (2)判断以下摆动模型是不是单摆，为什么？ 问题2：试分析单摆的回复力由什么力提供？ 提示：问题1：(1)生活中常常看到摆钟、荡船、秋千都在竖直平面内做摆动，理想情况下都可看成单摆模型． (2)模型①不是单摆，因为橡皮筋伸长不可忽略． 模型②不是单摆，因为绳子质量不可忽略． 模型③不是单摆，因为绳长不是远大于球的直径． 模型④不是单摆，因为悬点不固定，因而摆长在发生变化． 模型⑤是单摆． 问题2：单摆的回复力是重力的切向分力，也是摆球沿运动方向的合力，即F＝mgsin θ＝mg＝kx. ◆[探究归纳] 1．单摆运动特点 (1)摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v≠0，半径方向都有向心力． (2)摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都有回复力． 2．摆球的受力 (1)任意位置 如图所示，G2＝Gcos θ，F－G2的作用就是提供摆球绕O′做变速圆周运动的向心力；G1＝Gsin θ的作用是提供摆球以O为中心做往复运动的回复力． (2)平衡位置 摆球经过平衡位置时，G2＝G，G1＝0，此时F应大于G，F－G提供向心力，因此，在平衡位置，回复力F回＝0，与G1＝0相符． (3)单摆的简谐运动 在θ很小时(理论值为＜5°)，sin θ≈tan θ＝， G1＝Gsin θ＝x， G1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力 F回＝G1＝－x＝－kx. 因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动． [例1]　(多选)下列关于单摆的说法，正确的是(　　) A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处的位移为A(A为振幅)，再运动到平衡位置时的位移为零 B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合力 C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力 D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零 思路点拨：解决该题的关键是要分清物体的受力、回复力、向心力之间的关系． [解析]　AC　[简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零，A正确；摆球的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，合力在摆线方向的分力提供向心力，B错误，C正确；摆球经过最低点(摆动的平衡位置)时回复力为零，但向心力不为零，所以合力不为零，加速度也不为零，D错误．] [规律方法]　对于单摆的两点说明 (1)所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置．实际上，在摆动过程中，摆球受力不可能平衡． (2)回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ提供的，不可误认为回复力是重力G与摆线拉力T的合力． ◆[跟进训练] [多维训练1]　单摆模型 1．(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是(　　) A．摆线质量不计 B．摆线长度不伸缩 C．摆球的直径比摆线长度小得多 D．只要是单摆的运动就是简谐运动 解析：ABC　[单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量且摆线不伸缩，摆球直径远小于摆线长度，A、B、C项正确；把单摆的运动作为简谐运动来处理是有条件的，只有在偏角很小(θ≤5°)的情况下才能视单摆的运动为简谐运动，D项错误．] [多维训练2]　单摆的回复力 2．关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是(　　) A．摆球经过平衡位置时所受合力为零 B．摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比 C．只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力 D．摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力 解析：C　[摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，经过平衡位置，合力不为零，合力提供向心力，方向指向悬点，A错误；摆球所受回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，重力沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力的合力提供向心力，所以摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比，B错误；根据牛顿第二定律可知，摆球在最大位移处时，速度为零，向心加速度为零，重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力，回复力才等于重力和摆线拉力的合力，在其他位置时，速度不为零，向心加速度不为零，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力，故C正确，D错误．] 单摆的周期 ◆[探究导引] 情景设置： 探究单摆周期的决定因素是什么 振幅较小时，周期与振幅有关吗？ 问题探究：1.定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期有什么影响？ 2．定量探究单摆的周期与摆长有什么关系？ 提示：1.单摆振动的周期与摆球的质量无关；振幅较小时，周期与振幅无关；摆长越长，周期越大，摆长越短，周期越小． 2．T∝. ◆[探究归纳] 1．摆长l的确定 实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l＝l0＋，l0为摆线长，D为摆球直径． 2．重力加速度g的变化 (1)公式中的g由单摆所在地空间位置决定 由G＝g知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2. (2)g还由单摆系统的运动状态决定 如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a，此时摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值g′＝g＋a. (3)g还由单摆所处的物理环境决定 如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是重力和电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有g′的问题． [例2]　如图所示，将摆长为L的单摆放在一升降机中，若升降机以加速度a向上匀加速运动，求单摆的摆动周期． 思路点拨：本题考查单摆周期公式．解题关键是正确理解单摆周期公式中的g应为等效重力加速度，由单摆所处的位置，摆球的受力情况及系统运动的加速度决定． [解析]　单摆的平衡位置在竖直位置，若摆球相对升降机静止，则摆球受重力mg和绳拉力F，根据牛顿第二定律：F－mg＝ma，此时摆球的视重mg′＝F＝m(g＋a)，所以单摆的等效重力加速度g′＝＝g＋a，因而单摆的周期为T＝2π＝2π. [答案]　2π [规律方法]　确定单摆周期的方法 (1)明确单摆的运动过程，判断是否符合简谐运动的条件． (2)运用T＝2π时，注意l和g是否发生变化，若发生变化，则分别求出不同l和g时的运动时间． (3)单摆振动周期改变的途径： ①改变单摆的摆长； ②改变单摆的重力加速度(改变单摆的地理位置或使单摆超重或失重)． (4)明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系． ◆[跟进训练] 3．如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，已知OC线长是l，下端C点系着一个小球(可视为质点且做小角度摆动)． 让小球在纸面内振动，周期T＝　__________　.让小球在垂直纸面内振动，周期T＝　__________　. 解析：让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期T＝2π；让小球在垂直纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为，周期T＝2π. 答案：2π　2π ◆[课堂小结] [易错]　摆钟快慢问题 [案例]　某摆钟的摆长为l＝30 cm，一昼夜快10 min，则应如何调整摆长，才能使摆钟走时准确？ [错答]　应使摆长调整为29.582 cm [错因分析]　没有弄清由摆钟的机械构造决定摆钟每完成一次全振动摆钟所显示的时间为一定值，若周期变长则实际用时大于钟面显示的时间，计时变慢；反之，则计时变快． [正答]　应使摆长调整至30.418 cm [解析]　由题意可知Δt＝10 min，T＝2π，设调整好后的摆长为l0，由T0＝2π，直接代入公式Δt＝，其中t0＝24 h，解得l0≈30.418 cm.即应使摆长调整至30.418 cm. [满分策略]　有一段时间t0(比如1天)，不准时摆钟摆动的次数为，由于每摆一次，钟面上所显示的时间依旧是T0，所以在这段t0时间内，不准时摆钟的钟面所显示的时间为·T0，因而该钟比标准的钟快(或慢)的时间Δt＝，即摆钟快慢的计算公式，此公式容易理解，也便于记忆，更重要的是它方便实用，通常称为摆钟问题中的“万能公式”． 附：教材问题解答： 1．教材第44页问题提示：摆角很小时，单摆的振动为简谐运动． 2．教材第44页“思考与讨论”答案提示： 方法一：分析单摆的回复力，看其与位移是否成正比，并且方向相反． 方法二：分析单摆位移与时间的关系是否满足正弦关系． 3．教材第46页“实验”答案提示： 利用描点法在坐标纸上画出T­l图像为曲线，T2­l图像为过原点的一条倾斜直线．由此得出单摆振动周期与摆长的关系T2∝l. [知识点一]　单摆的回复力 1．(多选)关于单摆，下列说法正确的是(　　) A．摆球受到的回复力是它所受的合力 B．摆球经过平衡位置时，所受的合力不为零 C．摆角很小时，摆球所受合力的大小跟摆球相对于平衡位置的位移大小成正比 D．摆角很小时，摆球的回复力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比 解析：BD　[摆球所受的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，不是摆球所受的合力，A选项错误；摆球经过平衡位置时，回复力为零，但由于摆球做圆周运动，有向心力，合力不为零，方向指向悬点，B选项正确；摆角很小时，回复力与摆球相对于平衡位置的位移大小成正比，但合力没有此关系，C选项错误，D选项正确．] 2.图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中(　　) A．摆球在A点和C点处，速度为零，合力也为零 B．摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零 C．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大 D．摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大 解析：D　[摆球在摆动过程中，最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零；在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大．] [知识点二]　单摆的周期 3．(多选)发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大(　　) A．增大摆球质量 B．增加摆长 C．减小单摆振幅 D．将单摆由山下移到山顶 解析：BD　[由单摆的周期公式T＝2π可知，g减小或l增大时周期会变大．] 4．如图所示是一个单摆(θ＜5°)，其周期为T，则下列说法正确的是(　　) A．把摆球的质量增加一倍，其周期变小 B．摆球的振幅变小时，周期也变小 C．此摆由O→B运动的时间为 D．摆球在B→O过程中，动能向势能转化 解析：C　[单摆的周期与摆球的质量无关，A错误；单摆的周期与振幅无关，B错误；此摆由O→B运动的时间为，C正确；摆球在B→O过程中，势能转化为动能，D错误．] 5．如图甲所示是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置．设向右为正方向．图乙是这个单摆的振动图像．请根据图像回答： (1)单摆振动的频率是多大？ (2)开始时摆球在何位置？ (3)若当地的重力加速度为10 m/s2，试求摆长． 解析：(1)由题图可知，单摆的周期T＝0.8 s，所以单摆振动频率f＝＝1.25 Hz.(2)由图像可知，t＝0时，位移为负的最大值，所以开始时摆球在B处．(3)由T＝2π 知L＝≈0.162 m. 答案：(1)1.25 Hz　(2)B处　(3)0.162 m 学科网（北京）股份有限公司 $$