第2章 第3节 简谐运动的回复力和能量-【创新教程】2025-2026学年高中物理选择性必修第一册五维课堂同步Word教案（人教版2019）

第3节　简谐运动的回复力和能量 素养目标 知识图解 物理观念 回复力、简谐运动的能量 科学思维 (1)利用能量守恒研究弹簧振子 (2)模型法理解简谐运动 科学探究 探究弹簧振子系统的机械能守恒 科学态度与责任 能应用回复力特点分析日常生活中的振动问题 [基础梳理] [知识点一]　简谐运动的回复力　 1．回复力 (1)定义：振动质点受到的总能使其回到　平衡位置　的力． (2)方向：指向　平衡位置　. (3)表达式：F＝　－kx　. 2．简谐运动的动力学特征 如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成　正比　，并且总是指向　平衡位置　，质点的运动就是简谐运动． 说明：(3)式中k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中的k才为弹簧的劲度系数)，其值由振动系统决定，与振幅无关． [知识点二]　简谐运动的能量　 1．振动系统(弹簧振子)的状态与能量的对应关系 弹簧振子运动的过程就是　动能　和　势能　互相转化的过程． (1)在最大位移处，　势能　最大，　动能　为零． (2)在平衡位置处，　动能　最大，　势能　最小． 2．简谐运动的能量特点：在简谐运动中，振动系统的机械能　守恒　，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种　理想化　的模型． [自我检测] 1．思维辨析 (1)简谐运动是一种理想化的振动．( √ ) (2)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零．( × ) (3)弹簧振子位移最大时，势能也最大．( √ ) (4)回复力的方向总是与位移的方向相反．( √ ) 2．基础理解 (1)(多选)弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中(　　) A．振子所受的回复力逐渐增大 B．振子的位移逐渐减小 C．振子的速度逐渐减小 D．振子的加速度逐渐减小 解析：BD　[该题考查的是回复力、加速度、速度随位移的变化关系，应根据牛顿第二定律进行分析．当振子向平衡位置运动时，位移逐渐减小，而回复力与位移大小成正比，故回复力也减小．由牛顿第二定律a＝得加速度也减小．振子向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，即加速度与速度方向一致，故振子的速度逐渐增大．故正确答案为B、D.] (2)(多选)把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是(　　) A．小球在O位置时，动能最大，加速度最小 B．小球在A、B位置时，动能最小，加速度最大 C．小球从A经O到B的过程中，回复力一直做正功 D．小球从B到O的过程中，振子振动的能量不断增加 解析：AB　[小球在平衡位置O时，弹簧处于原长，弹性势能为零，动能最大，位移为零，加速度为零，A项正确；在最大位移A、B处，动能为零，加速度最大，B项正确；由A→O，回复力做正功，由O→B，回复力做负功，C项错误；由B→O，动能增加，弹性势能减少，总能量不变，D项错误．] 简谐运动的回复力 ◆[探究导引] 观察水平弹簧振子的振动． 问题1：如图所示，当把振子从静止的位置O拉开一小段距离到A再放开后，它为什么会在A—O —A′之间振动呢？ 问题2：弹簧振子振动时，回复力与位移有什么关系呢？ 提示：1.当振子离开平衡位置后，振子受到总是指向平衡位置的回复力作用，这样振子就不断地振动下去． 2．振子的回复力跟其偏离平衡位置的位移大小成正比，方向相反． ◆[探究归纳] 1．回复力的性质 回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供．如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m随M一起振动，m的回复力是静摩擦力． 甲　 　　　乙　　　　　　丙 2．简谐运动的回复力的特点 (1)由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置． (2)公式F＝－kx中的k指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定． (3)根据牛顿第二定律得，a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反． [名师点睛]　因x＝Asin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化． [例1]　一质量为m的小球，通过一根轻质弹簧悬挂在天花板上，如图所示． (1)小球在振动过程中的回复力实际上是　____________________　； (2)该小球的振动是否为简谐运动？ [解析]　(1)此振动过程的回复力实际上是弹簧的弹力与重力的合力． (2)设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧已经有了一个伸长量h，设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kh＝mg① 当振子向下偏离平衡位置的距离为x时，回复力即合外力为F回＝mg－k(x＋h)② 将①代入②式得：F回＝－kx，可见小球所受合外力与它的位移的关系符合简谐运动的受力特点，该振动系统的振动是简谐运动． [答案]　(1)弹力和重力的合力　(2)是简谐运动 [规律方法]　判断是否为简谐运动的方法 (1)以平衡位置为原点，沿运动方向建立直线坐标系． (2)在振动过程中任选一个位置(平衡位置除外)，对振动物体进行受力分析． (3)将力在振动方向上分解，求出振动方向上的合力． (4)判定振动方向上合外力(或加速度)与位移关系是否符合F＝－kx，若符合，则为简谐运动，否则不是简谐运动． ◆[跟进训练] 1．(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B两点之间做往复运动，下列说法正确的是(　　) A．弹簧振子在运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用 B．弹簧振子在运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用 C．弹簧振子由A向O运动的过程中，回复力逐渐增大 D．弹簧振子由O向B运动的过程中，回复力的方向指向平衡位置 解析：AD　[回复力是根据力的效果命名的，不是做简谐运动的物体受到的具体的力，它是由物体受到的具体的力提供的，在此情境中弹簧振子受重力、支持力和弹簧弹力的作用，故A正确，B错误；回复力与位移的大小成正比，弹簧振子由A向O运动的过程中位移在减小，则在此过程中回复力逐渐减小，故C错误；回复力的方向总是指向平衡位置，故D正确．] 简谐运动的能量 ◆[探究导引] 如图所示的弹簧振子． 观察振子从B→O→C→O→B的一个循环． 请思考： (1)振子在振动过程中动能、势能的变化规律． (2)振子在振动过程中机械能守恒吗？ 提示：(1)振子的动能变化规律：B→O过程动能增大，O点动能最大，O→C动能减小． 振子的势能变化规律：振子在B、C两点势能最大，B→O过程势能减小，O点势能为0，O→C过程势能增大． (2)振子在振动过程中只有弹力做功，故机械能守恒． ◆[探究归纳] 1．简谐运动的能量 做简谐运动的物体在振动中经过某一位置时所具有的势能和动能之和，称为简谐运动的能量． 2．对简谐运动的能量的理解注意以下几点 决定因素 简谐运动的能量由振幅决定． 能量的获得 最初的能量来自外部，通过外力做功获得． 能量的转化 系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒． 理想化模型 (1)力的角度：简谐运动不考虑阻力． (2)能量转化角度：简谐运动不考虑因克服阻力做功带来的能量损耗. 3.决定能量大小的因素 振动系统的机械能跟振幅有关，对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，振动的机械能越大；振幅越小，振动越弱，振动的机械能越小． [名师点睛]　(1)在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化．(2)振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能． [例2]　如图所示，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的．物块在光滑水平面上左右振动，振幅为A0，周期为T0.当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅和周期分别为A和T，则A　________　A0(选填“＞”“＜”或“＝”)，T　________　T0(选填“＞”“＜”或“＝”)． 思路点拨：解答本题注意以下两点： (1)系统的机械能与振幅有关，机械能越大，振幅越大． (2)弹簧振子运动的周期含义． [解析]　弹簧振子通过平衡位置时弹性势能为零，动能最大．向右通过平衡位置，a由于受到弹簧弹力做减速运动，b做匀速运动，两者分离．物块a与弹簧组成的系统的机械能小于原来系统的机械能，所以物块a振动的振幅减小，A＜A0.由于振子质量减小，物块a的加速度的大小增大，所以周期减小，T＜T0. [答案]　＜　＜ [规律方法]　简谐运动的能量 同一简谐运动中的能量只由振幅决定，即振幅不变时系统能量不变，当位移最大时系统的能量体现为势能，动能为零，当处于平衡位置时势能最小，动能最大，这两点是解决此类问题的突破口． ◆[跟进训练] [多维训练1]　简谐运动的运动学、动力学特征 2．如图所示，一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v(v≠0)相同．那么，下列说法正确的是(　　) A．振子在M、N两点所受弹簧弹力相同 B．振子在M、N两点对平衡位置的位移相同 C．振子在M、N两点加速度大小相等 D．从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动 解析：C　[由题意和简谐运动的对称性特点知：M、N两点关于平衡位置O对称．因位移、速度、加速度和力都是矢量，它们要相同，必须大小相等、方向相同．M、N两点关于O点对称，振子所受弹力应大小相等，方向相反，振子位移也是大小相等，方向相反，由此可知，A、B选项错误；振子在M、N两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，故C选项正确；振子由M到O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动，振子由O到N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D选项错误．] [多维训练2]　简谐运动的能量 3．(多选)如图所示，轻质弹簧下面挂一个质量为m的物体，物体在竖直方向做振幅为A的简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长．在物体做简谐运动的过程中，弹簧一直处于弹性限度内，重力加速度为g，则在物体振动过程中(　　) A．物体在最低点时的弹力大小为2mg B．弹簧的弹性势能和物体的动能总和不变 C．弹簧的最大弹性势能等于2mgA D．物体的最大动能等于mgA 解析：AC 选项 选项分析 判断 A 物体振动的平衡位置是物体静止时所受的重力和弹力相等的位置，由于物体到达最高点时，弹簧正好为原长，所以物体的振幅为A＝，当物体在最低点时，弹力大小为2kA＝2mg. √ B 由于只有重力和弹力做功，所以物体的动能、重力势能、弹簧的弹性势能之和保持不变. × C 从最高点振动到最低点，物体的重力势能全部转化为弹簧的弹性势能，所以弹簧的最大弹性势能等于2mgA. √ D 物体在平衡位置时动能最大，由于从最高点到平衡位置物体下降的高度为A，弹簧的弹性势能增大，所以物体的最大动能一定小于mgA. × ◆[课堂小结] [易错1]　对F＝－kx的理解有误 [案例1]　(多选)关于质点做简谐运动，下列说法中正确的是(　　) A．在某一时刻，它的速度与回复力的方向相同，与位移的方向相反 B．在某一时刻，它的速度、位移和加速度的方向都相同 C．在某一段时间内，它的回复力的大小增大，动能也增大 D．在某一段时间内，它的势能减小，加速度的大小也减小 [错答]　B或C [错因分析]　对简谐运动的回复力F＝－kx的特征没有理解透彻．特别是负号的意义，“－”号表示方向关系，说明回复力方向和位移方向相反，不表示大小关系．在某时刻可以讨论加速度、位移、速度的方向关系，在某一段时间内可讨论加速度、位移、速度、动能、势能的变化，这里的变化实质只是大小关系． [正答]　AD [解析]　设O为质点做简谐运动的平衡位置，质点在B、C之间做简谐运动，则它由C经过O到B，又由B经过O到C的一个周期内，由于质点受到的回复力和位移的方向总是相反的，且质点由B到O和由C到O的过程中，速度的方向与回复力的方向相同，A项正确．质点的位移方向与加速度方向总相反，B项错误．质点在振动过程中，当回复力增大时，其势能增大，根据机械能守恒定律，其动能必然减小，C项错误．当质点的势能减小时，如从C到O或从B到O阶段，回复力减小，势能减小，质点的加速度大小也减小，D项正确． [易错2]　对简谐运动的对称性应用不到位 [案例2]　如图所示，一质量为M的无底木箱，放在水平地面上，一轻质弹簧一端悬于木箱的上边，另一端挂着用细线连接在一起的两物体A和B，mA＝mB＝m，剪断A、B间的细线后，A做简谐运动，则当A振动到最高点时，木箱对地面的压力为　________　. [错答]　(M＋m)g [错因分析]　误以为剪断A、B之间的细线后，当A振动到最高点时，A与木箱整体处于平衡状态． [正答]　Mg [解析]　本题考查简谐运动的特点及对物体受力情况的分析，剪断细线前，对A、B整体，由力的平衡有弹簧对A的弹力F满足F＝2mg，此时弹簧的伸长量为Δx′＝＝. 剪断细线后，A做简谐运动，其平衡位置在弹簧的伸长量为Δx′＝处，最低点即刚剪断细线时的位置，离平衡位置的距离为，由简谐运动的对称性可知，当A振动到最高点时离平衡位置的距离也为，所以最高点的位置恰好在弹簧的原长处，此时弹簧对木箱的作用力为零，所以此时木箱对地面的压力为Mg. 附：教材问题解答： 1．教材第41页问题提示：小球受到的力与小球偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置． 2．教材第42页“做一做”答案 位置 Q Q→O O O→P P 位移的大小 最大  0  最大 速度的大小 0  最大  0 动能 0  最大  0 弹性势能 最大  0  最大 机械能 不变 不变 不变 不变 不变 [知识点一]　简谐运动的回复力 1．(多选)关于做简谐运动物体的平衡位置，下列叙述正确的是(　　) A．是回复力为零的位置 B．是回复力产生的加速度改变方向的位置 C．是速度为零的位置 D．是回复力产生的加速度为零的位置 解析：ABD　[平衡位置处，x＝0，则回复力F＝0，回复力产生的加速度为零，且此处速度最大，势能最小，A、D正确，C错误；在平衡位置两边位移方向相反，回复力方向相反，对应加速度方向相反，B正确．] 2．(多选)关于简谐运动，以下说法正确的是(　　) A．回复力可能是物体受到的合外力 B．回复力是根据力的作用效果命名的 C．振动中位移的方向是不变的 D．物体振动到平衡位置时所受合外力一定等于零 解析：AB　[回复力可以是某个力，可以是某个力的分力，也可以是几个力的合力，A正确；回复力可以由重力、弹力、摩擦力等各种不同性质的力提供，其效果是使物体回到平衡位置，B正确；位移是从平衡位置指向物体所在位置，其方向是变化的，做简谐运动的物体振幅是不变的，C错误；物体振动到平衡位置时，所受回复力为零，但合外力不一定为零，D错误．] [知识点二]　简谐运动的能量 3．(多选)如图所示是某一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是(　　) A．在第1 s内，质点速度逐渐增大 B．在第2 s内，质点速度逐渐增大 C．在第3 s内，动能转化为势能 D．在第4 s内，动能转化为势能 解析：BC　[质点在第1 s内，由平衡位置向正向最大位移处运动，做减速运动，所以选项A错误；在第2 s内，质点由正向最大位移处向平衡位置运动，做加速运动，所以选项B正确；在第3 s内，质点由平衡位置向负向最大位移处运动，动能转化为势能，所以选项C正确；在第4 s内，质点由负向最大位移处向平衡位置运动，加速度减小，速度增大，势能转化为动能，所以选项D错误．] 4.如图所示为一弹簧振子的振动图像，试完成以下问题： (1)写出该振子简谐运动的表达式； (2)在第2 s末到第3 s末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？ (3)该振子在前100 s的总位移是多少？路程是多少？ 解析：(1)由题图可知A＝5 cm，T＝4 s，φ0＝0 则ω＝＝ rad/s 故该振子简谐运动的表达式为x＝5sin t cm (2)由题图可知，在t＝2 s时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移不断变大，加速度也变大，速度不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大，当t＝3 s时，加速度达到最大值，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值， (3)振子经过一个周期位移为零，路程为4×5 cm＝20 cm，前100 s刚好经过了25个周期，所以前100 s振子的总位移x＝0，振子的路程s＝25×20 cm＝500 cm＝5 m. 答案：见解析 学科网（北京）股份有限公司 $$